《多元統(tǒng)計分析》教學大綱

前言

《多元統(tǒng)計分析》課程是統(tǒng)計學專業(yè)高等教育的專業(yè)拓展課，內(nèi)容包

括：多元正態(tài)分布、方差分析、因子分析、主成分分析、判別分析、

聚類分析等一些常用多元分析的理論與方法。通過對所考慮的包括多

個變量的統(tǒng)計問題進行分析，以了解各變量的關(guān)系、建立合理的模型

等。這些方法在經(jīng)濟、管理、醫(yī)學、生物、社會學等各個領域得到了

廣泛的應用。系統(tǒng)地講授本課程的基本理論與基本知識，加強基本技

能的訓練，培養(yǎng)和提高學生理解、分析運用多元統(tǒng)計分析相關(guān)的理論

與方法進行數(shù)據(jù)處理的能力。多元統(tǒng)計分析簡稱多元分析，是統(tǒng)計學

的一個重要分支，也是近三、四十年迅速發(fā)展的一個分支。隨著電子

計算機的普及和軟件的發(fā)展，信息儲存手段以及數(shù)據(jù)信息的成倍增長,

多元分析的方法已廣泛應用于自然科學和社會科學的各個領域。國內(nèi)

國外實際應用中卓有成效的成果，已證明了多元分析方法是處理多維

數(shù)據(jù)不可缺少的重要工具，并日益顯示出無比的魅力。

設置本課程的目的是：進一步培養(yǎng)學生學習用概率統(tǒng)計的思想和方法

去思考隨機系統(tǒng)中多個變量之間的數(shù)量關(guān)系，逐步提高學生處理隨機

數(shù)據(jù)的能力。通過學習，要求學生掌握多元統(tǒng)計中的一些基木概念、

基本理論與基本方法，掌握一些常見分布的性質(zhì)和應用，掌握常用的

數(shù)理統(tǒng)計的基本原理。

學習本課程的要求是：要求學生在學完本門課程以后，清楚每種統(tǒng)計

方法所要解決的問題、前提條件和局限性等；要求學生學會分析多元

觀測數(shù)據(jù)，對給定的數(shù)據(jù)能夠選用本課程中所介紹的各種方法，借助

統(tǒng)計分析軟件包去計算，從中提取出有用的信息，對所研究的問題作

出合理的推斷和科學的評價。

先修課程要求：高等代數(shù)、概率論、數(shù)理統(tǒng)計、應用統(tǒng)計軟件

本課程計劃72學時，4學分。

選用教材：方開泰編著，《實用多元統(tǒng)計分析》,華東師范大學出版社，

1989年

教學手段：課堂講授為主，習題課、課外輔導為輔

考核方法：考試

教學進程安排表

周學時教學主要內(nèi)容教學方法備注

次數(shù)

14矩陣代數(shù)，一元分布講課

24隨機向量，多元分布，邊緣分布，講課

條件分布，獨立性

34矩，特征函數(shù)，多元正態(tài)分布的定講課

義

44多元正態(tài)分布的基本性質(zhì)，講課

條件分布和獨立性

54和的極大似然估計及性質(zhì)，Wishart講課

2

分布的定義及性質(zhì),Hotelling分布

及性質(zhì)

64單一總體均值向量的檢驗講課

74兩總體均值向量的檢驗講課

84Wilks分布及性質(zhì)，多元方差分析講課

94協(xié)差陣的檢驗，獨立性檢驗講課

104距離判別講課

114貝葉斯判別講課

124費歇判別講課<,.T>

134距離和相似系數(shù)類和類的特征講課

144系統(tǒng)聚類法講課

154總體的主成分，樣本的主成分講課

164主成分的統(tǒng)計推斷，多變量的圖表講課

示法

174因子數(shù)學模型，參數(shù)估計，講課

184因子旋轉(zhuǎn)，因子得分，復習講課

第一章矩陣代數(shù)

一、學習目的

通過本章的學習，要求學生了解多元分析的基本內(nèi)容及應用領域，并

掌握矩陣代數(shù)的基本知識：如行列式、逆矩陣、矩陣的跡、二次型、

3

正定陣以及矩陣微商等概念。建議課時安排：2學時。

二、課程內(nèi)容

多元分析基本內(nèi)容，以及本課程的主要安排。相關(guān)的補充知識（絕

大部分是已學

習過的內(nèi)容）和將要涉及的計算軟件程序。

第二章多元分布

一、學習目的

通過本章的學習，要求學生了解多維隨機向量，多元分布函數(shù),密度函

數(shù)邊緣分布概念，要會由分布函數(shù)求密度函數(shù)或由密度函數(shù)求分布函

數(shù)及由聯(lián)合分布求邊緣分布和條件分布等：了解隨機向量獨立性概念,

掌握分布函數(shù)，密度函數(shù)，特征函數(shù)等方法判斷兩個或多個隨機向量

的獨立性；了解隨機向量均值和協(xié)方差的概念；掌握隨機向量均值向

量和協(xié)方差的性質(zhì)并會運用其進行相關(guān)的計算。建議課時安排：8學

時。

二、課程內(nèi)容

第一節(jié)一元分布

回顧幾個常見一元分布的分布函數(shù)

第二節(jié)多元分布

（一）隨機向量的定義

（二）隨機向量的分布函數(shù)

（三）隨機向量的邊緣分布，條件分布及獨立性

第三節(jié)特征函數(shù)和矩陣

4

（一）隨機向量特征函數(shù)的定義

（二）隨機向量矩的定義

三、重點、難點提示和教學手段

（一）多元分布函數(shù)的定義，多元分布的邊緣分布、條件分布及獨立

性；

（二）多維隨機向量均值和協(xié)方差矩陣的定義及性質(zhì)。

四、思考與練習

見教材P64-65:2-l,2-5,2-7,2-11

第三章多元正態(tài)分布

一、學習目的

通過本章的學習，多元正態(tài)分布是多元統(tǒng)計中的重要的分布，要讓學

生知道多元分布在多元統(tǒng)計分析中重要性：要讓學生了解多元正態(tài)分

布的四種不同的等價定義并掌握其證明方法和多元正態(tài)分布的基本

性質(zhì)；了解樣本數(shù)字特征的概念并掌握其矩陣形式；會求多元正態(tài)分

布未知參數(shù)均值向量和協(xié)差陣￡的極大似然估計并掌握其性質(zhì)；了

解維希特分布定義及其性質(zhì)，了解T2分布。建議課時安排：1（）學時

二、課程內(nèi)容

第一節(jié)多元正態(tài)分布的定義和基木性質(zhì)

（一）多元正態(tài)分布的定義

（二）多元正態(tài)分布的基本性質(zhì)

第二節(jié)條件分布和獨立性

定義、計算

5

第三節(jié)矩陣正態(tài)分布

定義、性質(zhì)

第四節(jié)和的極大似然估計

（一）和的極大似然估計

（二）極大似然估計的性質(zhì)

第五節(jié)Whishart分布

Whishart分布定義、性質(zhì)

三、重點、難點提示和教學手段

（一）正態(tài)分布的定義、多元正態(tài)變量的基本性質(zhì)

（二）多元樣本的數(shù)字特征

（三）均值向量和協(xié)差陣的最大似然估計及其基本性質(zhì)

（四）Wishart分布及其基本性質(zhì)

四、思考與練習

見教材P101?104:3?3,3-5,3-6,3-7,3-8,3-14

第四章多元正態(tài)總體均值向量和協(xié)差陣的假設檢驗

一、學習目的

通過本章的學習，了解假設檢驗的基本思想，計算步驟；了解Wilks

分布,似然比統(tǒng)計量概念,了解一總體均值向量檢驗，兩總體均值的檢

驗（分三種情形討論：協(xié)差陣相等，協(xié)差陣不相等，成對試驗的T2統(tǒng)

計量）,多總體均值檢驗（多元方差分析）協(xié)差陣檢驗,獨立性檢驗的檢

驗統(tǒng)計量建立的統(tǒng)計思想并掌握用正態(tài)分布理論導出其在原假設下

的分布；會上述各種檢驗方法對實際問題進行檢驗。建議課時安排:

6

16學時

二、課程內(nèi)容

第一節(jié)單個總體均值的檢驗

（一）一元情形

（二）多元情形

（三）似然比原理

第二節(jié)兩總體均值的比較

（一）協(xié)差陣相等情形

（二）協(xié)差陣不相等情形

（三）成對實驗情形

第三節(jié)多總體均值的比較

（一）一元方差分析

（-）多元方差分析

第四節(jié)協(xié)差陣的檢驗

第五節(jié)獨立性檢驗

三、重點、難點提示和教學手段

（一）單個均值向量的檢驗

（-）兩個正態(tài)總體均值向量的檢驗

（三）多個正態(tài)總體均值向量的檢驗

四、思考與練習

見教材P138-14141,4-2,4-3,4-9

第五章判別分析

7

一、學習目的

通過本章的學習，要求學生理解判別分析的目的和意義、它的統(tǒng)計思

想。了解并熟悉判別分析的三種類型，特別是Bayes判別方法的統(tǒng)計

思想。掌握教材中給出的不同判別方法的判別規(guī)則和判別函數(shù)的結(jié)構(gòu)。

要熟悉對兩總體樣本的距離判別法、Fisher判別法和Bayes判別法的

具體計算步驟，并比較其異同。建議課時安排：12學時

二、課程內(nèi)容

第一節(jié)距離判別

（一）距離判別法的基本思想

（二）兩個總體的距離判別

（三）多個總體的距離判別

第二節(jié)Bayes判別

（一）Bayes判別法的基本思想

（-）多元正態(tài)總體的Bayes判別法（判別函數(shù)的導出、基本假設、

計算后驗概率）

第三節(jié)Fisher判別法

（一）兩個總體的Fisher判別法（基本思想、判別函數(shù)的推導、計算

步驟）

（二）多個總體的Fisher判別法（推廣）Fisher判別

三、重點、難點提示和教學手段

（一）距離判別

（二）Fisher判別法

8

（三）Bayes判別法

四、思考與練習

見教材P213-214:6-l,6-3

第六章聚類分析

一、學習目的

通過本章的學習，要求學生理解聚類分析的目的和意義、它的統(tǒng)計思

想，了解變量類型的幾種尺度定義。熟悉Q型和R型聚類分析常用

的距離和相似系數(shù)的定義，特別是Minkowski距離。了解教材中介紹

的八種系統(tǒng)聚類方法，以及它們的統(tǒng)一公式，熟悉軟件中最長（短）

距離法、重心法和Ward（離差平方和）法的具體使用步驟。在理解

系統(tǒng)聚類方法基本性質(zhì)基礎上，初步掌握實際問題中選用聚類方法與

對應的測量距離的原則。建議課時安排：8學時

二、課程內(nèi)容

第一節(jié)概述

聚類分析及其適用的范圍和對象，聚類分析的目的。

第二節(jié)距離和相似系數(shù)

樣品分類（Q-型聚類分析）常用的距離和相似系數(shù)和指標分類（R-

型聚類分析）常用的距離和相似系數(shù)。

第三節(jié)系統(tǒng)聚類方法

八種系統(tǒng)聚類方法（最短距離法，最長距離法，中間距離法，重心法，

類平均法，可變類平均法，可變法，離差平方和法）及其統(tǒng)一，類的

個數(shù)選擇問題。

9

第四節(jié)系統(tǒng)聚類法的基本性質(zhì)

系統(tǒng)聚類法的兩條基本性質(zhì)（單調(diào)性和空間的濃縮與擴張）。

第五節(jié)計算步驟

聚類分析的計算步驟（對應于8種不同方法的具體計算步驟）。

三、重點、難點提示和教學手段

最短距離法、最長距離法、中間距離法、重心法、類平均法、可變類

平均法、可變法、離差平方和法

四、思考與練習

見教材P252-256:7?l,7-2,7-37-4,7-5

第七章主成分分析

一、學習目的

通過本章的學習，要求學生了解主成分分析的統(tǒng)計思想和實際意義,

以及它的數(shù)學模型和二維空間上的幾何意義。掌握主成分的推導步驟

及其重要的基本性質(zhì)。能夠利用計算軟件，自己編程解決實際問題并

給出分析報告。熟悉數(shù)據(jù)處理中的樣本標準化（歸一化）的實際

意義和處理步驟。建議課時安排：6學時

二、課程內(nèi)容

第一節(jié)概述

主成分分析（概念），問題提出的背景，以及主成分分析的基本思想。

第二節(jié)主成分分析的數(shù)學模型及幾何解釋

主成分分析的數(shù)學模型，主成分分析的幾何解釋（意義）。

第三節(jié)主成分的推導及性質(zhì)：

1()

主成分的導出，主成分的主要性質(zhì)。

第四節(jié)主成分的計算步驟及其應用

主成分的計算步驟（1.將原始數(shù)據(jù)標準化；2.建立變量的相關(guān)系數(shù)矩

陣R；3.求R的特征根及相應的特征向量；4.寫出主成分），在經(jīng)濟管

理中的應用（直接的主成分分析、綜合評估）。

三、重點、難點提示和教學手段

（-）數(shù)學模型、

（二）主成分的推導、

（三）主成分的貢獻率、

（四）主成分的主要性質(zhì)、

（五）計算步驟

四、思考與練習

見教材P252-256:7?l,7-2,7-37-4,7-5

第八章多元數(shù)據(jù)圖表示方法

一、學習目的

通過本章的學習，掌握四種多元數(shù)據(jù)的圖示方法，要學生會由多元數(shù)

據(jù)圖對數(shù)據(jù)建立直觀印象。建議課時安排：2學時。

二、課程內(nèi)容

輪廓圖；雷達圖；調(diào)和曲線圖；星座圖。

第九章因子分析

11

一、學習目的

本章要求學生了解因子分析的B的和實際意義，特別是因子分析模型

的統(tǒng)計思想，以及與一般回歸模型在本質(zhì)上的區(qū)別。要熟悉因子分析

數(shù)學模型建模的假設條件和各個分量的實際統(tǒng)計意義。掌握由主成分

方法估計因子載荷陣的推導步驟，以及重要的基本性質(zhì)。了解因子旋

轉(zhuǎn)（主要是方差最大正交旋轉(zhuǎn)方法）和因子得分的實際統(tǒng)計意義和它

們的數(shù)學表達式。能夠利用計算軟件，自己編程解決實際問題中的因

子分析問題，同時能給出初步的統(tǒng)計分析報告。建議課時安排：