第1講平面及其基本性質(zhì)

一、填空題

I.不重合的三條直線，若相交于一點(diǎn)，最多能確定個平面.

【答案】3

【分析】

可將三條直線視為三棱錐4-38的三條側(cè)棱，即可得出結(jié)論.

【教師】

可將三條直線視為三棱錐A-38的三條側(cè)棱48、AC.AD,則這三條直線最多能確定3個平面.

故答案為：3.

2.設(shè)平面a與平面￡相交于/,直線aua,直線aQb=M,則M/.

【答案】6

【分析】

根據(jù)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系可得結(jié)果.

【教師】

Vadb=M,所以

因為aua,6u￡,所以用ea,Me尸，

因為a口尸=/,所以Me/.

故答案為：e

3.把下列符號敘述所對應(yīng)的圖形的字母編號填在題后橫線上.

ABC

(1)ACa,aua.

(2)aC尸a,Pia,且夕秋.

(3)aC\8=a,aPly=c,pC\y=b,aC\bC\c=O

【答案】BCA

【分析】

根據(jù)圖形語言與符號語言的相互轉(zhuǎn)化即可判斷

【教師】

根據(jù)圖形語言與符號語言的相互轉(zhuǎn)化即可判斷(1)對應(yīng)的是圖以(2)對應(yīng)的是圖C；(3)對應(yīng)的是圖A,

故答案為：B；C；A.

4.思考辨析.

(1)直線/在平面a內(nèi)，記作/Ga.()

(2)若aCb=0,則a與b平行.()

(3)若加分0,則直線/與平面a有公共點(diǎn).()

(4)若直線/在平面a外，則直線/與平面a平行.()

(5)若afV彳0,則平面a與平面尸相交，且交于一個點(diǎn).()

【答案】錯誤錯誤正確錯誤錯誤

【分析】

直接利用空間線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系的定義判斷即可.

【教師】

(1)直線/在平面a內(nèi)，記作/ua,所以錯誤；

(2)若aC6=0,則。與6平行或異面，所以錯誤；

(3)若則直線/與平面a有一個或無數(shù)個公共點(diǎn)，所以正確；

(4)若直線/在平面a外，則直線/與平面a平行或相交，所以錯誤；

(5)若aC毋0,則平面a與平面少有無數(shù)個公共點(diǎn)，所以錯誤

故答案為：錯誤，錯誤，正確，錯誤，錯誤

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系的定義，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.3個不同的平面最多將空間分成“部分，最少將空間分成6部分，則b-a=_.

【答案】-4

【分析】

對平面的位置關(guān)系分類討論，即可得到答案.

【教師】

當(dāng)三個不同的平面互相平行時，最少將空間分成4部分，即匕=4,

當(dāng)三個平面三維放置時，最多將空間分成8部分，即a=8,

所以。-a=4-8=-4.

故答案為：-4

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：對平面分空間為幾個部分問題，要有畫圖的意識，結(jié)合空間想象能力全方位、多角度地去考慮

問題，作出判斷.

6.空間中有AB,C,D,E五個點(diǎn)，已知A,B,C,。在同一個平面內(nèi)，B,C,D,E在同一個平面內(nèi)，

那么下列關(guān)于這五個點(diǎn)的說法正確的是.①共面；②不一定共面；③不共面.

【答案】②

【分析】

AB,C,。在同一個平面，B,C,D,E在同一個平面內(nèi)，兩個平面都經(jīng)過8,C,D,分情況討論，若

B,C,。不共線則兩平面重合，若B,C,。三點(diǎn)共線，則兩平面可相交.

【教師】

當(dāng)B,C,。三點(diǎn)共線時，B,C,O三點(diǎn)不能確定平面，AB,C,短所在的平面和8,C,D,E所在的平

面可能不同，所以AB,C,D,E五點(diǎn)不一定共面.

故答案為：②

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了確定一個平面的條件，屬于容易題.

7.給出下列說法：①如果一條線段的中點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么它的兩個端點(diǎn)也在這個平面內(nèi)；②兩組對邊

分別平行的四邊形是平行四邊形；③若一個四邊形有三條邊在同一個平面內(nèi)，則第四條邊也在這個平面內(nèi)；

④點(diǎn)A在平面”外，點(diǎn)4和平面。內(nèi)的任意一條直線都不共面.其中所有正確說法的序號是.

【答案】②③

【教師】

【分析】

對于①由線面關(guān)系可得線段與平面相交或線段在平面內(nèi)；

對于②由平行四邊形的定義可判斷命題正確；

對于③，由點(diǎn)與線及線與面的關(guān)系可得，第四條邊的兩個端點(diǎn)也在這個平面內(nèi)，所以第四條邊在這個平面

內(nèi)；

對于④中，由直線外一點(diǎn)與直線確定一個平面即可判斷.

【教師】

解:對于①中，線段的兩個端點(diǎn)可以在這個平面內(nèi)，線段也可以與平面相交，故①錯誤；

對于②中，由平行四邊形的定義可得：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；故②正確;

對于③中，由四邊形的三條邊在同一個平面內(nèi)，可知第四條邊的兩個端點(diǎn)也在這個平面內(nèi)，所以第四條邊

在這個平面內(nèi)，故③正確；

對于④中，點(diǎn)A和平面a內(nèi)的任意一條直線都能確定一個平面，故④錯誤

故答案為②③.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間點(diǎn)與線，點(diǎn)與面、線與面的位置關(guān)系，重點(diǎn)考查了平面的基本定理及公理，屬基礎(chǔ)題.

8.下列說法正確的是.

①一個平面的面積是2cm=②平面內(nèi)的一條線段把這個平面分成兩部分；③平面a和平面夕可能有且只有

一個公共點(diǎn)；④四邊形一定是平面圖形；⑤同一平面內(nèi)不重合的兩條直線最多有一個交點(diǎn)；⑥如果一條直

線。在平面a外，那么直線。與平面a沒有公共點(diǎn).

【答案】⑤

【分析】

根據(jù)平面的基本性質(zhì)，逐一分析六個命題的真假，綜合可得答案.

【教師】

①平面是無限延展的，錯誤；

②平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩部分，錯誤；

③平面a和平面尸有一個公共點(diǎn)，一定相交于經(jīng)過此點(diǎn)的一條直線，錯誤；

④四邊形有平面四邊形，也有空間四邊形：

⑤同一平面內(nèi)不重合的兩條直線，平行或相交，正確；

⑥一條直線。在平面a外，直線與平面可能相交，也可能平行，錯誤.

故答案為⑤

【點(diǎn)睛】

本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了平面的基本性質(zhì)和概念，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

9.給出以下命題：①和一條直線都相交的兩條直線在同一平面內(nèi)；②三條兩兩相交的直線在同一

平面內(nèi)；③有三個不同公共點(diǎn)的兩個平面重合；④兩兩平行的三條直線確定三個平面.其中正確命題的個

數(shù)是.

【答案】0

【教師】

空間中和一條直線都相交的兩條直線不一定在同一平面內(nèi)，故①錯；若三條直線相交于一點(diǎn)時，不一定在

同一平面內(nèi)，如長方體一角的三條線，故②錯；若兩平面相交時，也可有三個不同的公共點(diǎn)，故③錯；若

三條直線兩兩平行且在同一平面內(nèi)，則只有一個平面，故④錯.正確命題的個數(shù)是0

點(diǎn)睛：判斷點(diǎn)、直線共面問題的常用方法

(I)納入平面法：先確定一個平面，再判斷有關(guān)點(diǎn)、線是否在此平面內(nèi)；

(2)輔助平面法：先根據(jù)有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面a,再根據(jù)其余元素確定平面。，最后判斷平面a,B是

否重合.

10.空間中四條直線兩兩相交，經(jīng)過任意兩條可以作一個平面，則最多作個不同平面.

【答案】6

【分析】

根據(jù)平面的基本性質(zhì)可得答案.

【教師】

解：空間中四條直線兩兩相交，設(shè)這4條直線分別為a,h,c,d,經(jīng)過任意兩條可以作一個平面，則由出7,

ac,ad,be,bd,cd最多可作6個不同的平面，

故答案為：6.

H.若平面a,4相交，在a,夕內(nèi)各取兩點(diǎn)，這四點(diǎn)都不在交線上，這四點(diǎn)能確定個平面.

【答案】1或4

【分析】

此題主要根據(jù)平面公理2以及推論，以及直線的位置關(guān)系，還有舉出符合條件的空間幾何體進(jìn)行判斷.

【教師】

解：由題意知由兩種情況：

當(dāng)四點(diǎn)確定的兩條直線平行或相交時，則四個點(diǎn)確定1個平面；

當(dāng)四點(diǎn)確定的兩條直線異面時，四點(diǎn)不共面，則四個點(diǎn)確定4個平面，如三棱錐的頂點(diǎn)和底面上的頂點(diǎn)；

故答案為：1或4.

【點(diǎn)睛】

本題的考點(diǎn)是平面公理2以及推論的應(yīng)用，主要利用公理2的作用和公理中的關(guān)鍵條件進(jìn)行判斷，可以借

助于空間幾何體有助理解，考查了空間想象能力.

12.已知平面a與平面夕、平面/都相交，則這三個平面可能的交線有條.

【答案】1條、2條或3條

【分析】

分平面0與Y平行和不平行進(jìn)行討論，并且以棱柱或棱錐的側(cè)面為例進(jìn)行研究，即可得到此三個平面的交

線條數(shù)可能是1條、2條或3條.

【教師】

①若平面B〃平面Y，平面a與平面p,Y都相交，則它們有2條交線，且這2條交線互相平行；

②若平面pn平面y=a,平面a是經(jīng)過直線。的平面，則三個平面只有一條交線，即直線m

③若平面BC平面Y=a,平面a與平面0,丫都相交，但交線與直線。不重合，則它們有3條交線，

例如棱柱或棱錐的三個側(cè)面相交于三條直線，即三條側(cè)棱

綜上所述，這三個平面的交線的條數(shù)可能是1條、2條或3條，

故答案為：1條、2條或3條.

【點(diǎn)睛】

本題給出平面a與平面p,Y都相交，求它們交線的條數(shù)，著重考查了平面的基本性質(zhì)和空間平面與平面位

置關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題.

二、單選題

13.下列說法正確的是（）

A.鏡面是一個平面B.一個平面長10m,寬5m

C.一個平面的面積是另一個平面面積的2倍D.所有的平面都是無限延展的

【答案】D

【分析】

結(jié)合平面是無限延展的性質(zhì)判斷即可

【教師】

鏡面可以抽象成平面，但不是平面，所以選項A不正確；平面沒有大小，所以選項8和選項C都不正確，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題

14.下列命題正確的是（）

A.經(jīng)過三點(diǎn)確定一個平面

B.兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個平面

C.經(jīng)過一條直線和一個點(diǎn)確定一個平面

D.四邊形確定一個平面

【答案】B

【分析】

根據(jù)線線關(guān)系，來確定平面或者線面關(guān)系，一一分析即可.

【教師】

對A,當(dāng)三點(diǎn)共線時，平面不確定，故A錯誤；

對B,?.?兩條相交直線確定一個平面a,第三條直線與這兩條直線分別相交且交點(diǎn)不重合，則第三條直線也

在a內(nèi)，，兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個平面，故B正確；

對C,當(dāng)點(diǎn)在直線上時，不能確定平面，故C錯誤；

對D,?.?空間四邊形不在一個平面內(nèi)，故D錯誤.

故選：B.

15.兩個平面能把空間分成幾個部分（）

A.2或3B.3或4C.3D.2或4

【答案】B

【分析】

分別判斷兩個平面的平行和相交時，分空間的情況即可的答案.

【教師】

若兩個平面平行，此時兩個平面把空間分成3個平面，

若兩個平面相交，此時兩個平面把空間分成4個平面，

故兩個平面能把空間分成3個或4個部分.

故選:B

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是要考慮到兩個平面的位置關(guān)系.

16.如圖所示，用符號語言可表述為（）

/X”

A.aC\/i=m,mC\n=A

B.aC\B=m,n^a,mC\n=A

C,aCp=m,nua,Aan

D.aC\[3=m,A^n

【答案】A

【分析】

根據(jù)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的符號表示可得答案.

【教師】

根據(jù)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的符號表示可得an尸=相，nua,mC\n=A,

故選：A

17.A,B,C表示不同的點(diǎn)，〃，/表示不同的直線，a,//表示不同的平面，下列推理表述不正確的是（）

A.AG/,AGa,Be/,BCanlua

B.Ada,A。,B。,直線AB

C.A,B,CGa,A,B,CG。,且A,B,C不共線=a與//重合

D.lua,〃ua,/n〃=An/與"不能確定唯一平面

【答案】D

【分析】

由平面性質(zhì)的三個公理得選項A正確；ar*=直線AB,所以選項B正確；因為不共線的三個點(diǎn)只能確定一

個平面，所以選項C正確；/與〃能確定唯一平面，所以選項D不正確.

【教師】

由平面性質(zhì)的三個公理得選項A正確；

由題得A3ua,A3u￡,所以江1夕=直線AB,所以選項B正確；

因為不共線的三個點(diǎn)只能確定一個平面，所以a與4重合，所以選項C正確；

lua,”ua,lCin=A,/與"能確定唯一平面，所以選項D不正確.

18.已知a，夕為平面，A,B,M,N為點(diǎn)，〃為直線，下列推理錯誤的是（）

A.AG”，AG夕，BGa,BRgauB

B.MCa,MG0,N?a,）3=MN

C.Ada,ARga\0=A

D.AGa,B&a,MWa,A",B",M",且4,B,M不共線=a,△重合

【答案】C

【分析】

由平面的性質(zhì)可知，ac￡為經(jīng)過A的一條直線而不是人

【教師】

Aea,A6夕，Aeal（3

由基本事實可知ac￡為經(jīng)過A的一條直線而不是A.

故al￡=4的寫法錯誤.

故選:c

19.在空間，已知直線/及不在/上兩個不重合的點(diǎn)A、B,過直線/做平面使得點(diǎn)A、B到平面a的距離

相等，則這樣的平面a的個數(shù)不可能是（）

A.1個B.2個C.3個D.無數(shù)個

【答案】C

【分析】

分情況討論可得出.

【教師】

（1）如圖，當(dāng)直線A8與/異面時，則只有一種情況；

A,B

（2）當(dāng)直線與/平行時，則有無數(shù)種情況，平面&可以繞著/轉(zhuǎn)動;

（3）如圖，當(dāng)/過線段A8的中垂面時，有兩種情況.

故選：C.

20.已知空間四點(diǎn)中無任何三點(diǎn)共線，那么這四點(diǎn)最多可以確定平面的個數(shù)是（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】D

【分析】

根據(jù)題意判斷出空間四點(diǎn)構(gòu)成的兩條直線的位置關(guān)系，由公理2以及推論、符合條件的幾何體進(jìn)行判斷.

【教師】

根據(jù)題意知，空間四點(diǎn)確定的兩條直線的位置關(guān)系有兩種：

當(dāng)空間四點(diǎn)確定的兩條直線平行時，則四個點(diǎn)確定1個平面；

當(dāng)四點(diǎn)確定的兩條直線異面時，四點(diǎn)不共面，如三棱錐的頂點(diǎn)和底面上的頂點(diǎn)，則四個點(diǎn)確定4個平面，

即四點(diǎn)最多可以確定平面的個數(shù)是4,

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題的考點(diǎn)是平面公理2以及推論的應(yīng)用，主要利用公理2的作用和公理中的關(guān)鍵條件進(jìn)行判斷，可以借

助于空間幾何體有助理解，考查了空間想象能力.

21.設(shè)外生生鳥為空間中的四個不同點(diǎn)，則“小鳥、鳥、，中有三點(diǎn)在同一條直線上“是'/、小舄、號在

同一個平面上”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【答案】A

【分析】

由公理2的推論(1)(2)即可得到答案.

【教師】

由公理2的推論：

過一條直線和直線外一點(diǎn),有且只有一個平面，

可得片、P2'鳥、品在同一平面，

故充分條件成立；

由公理2的推論：

過兩條平行直線,有且只有一個平面，

可得，

當(dāng)耳?4、/>e/PPM、P—l。時,

牛生鳥、E在同一個平面上，

但小生鳥、鳥中無三點(diǎn)共線，

故必要條件不成立；

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查點(diǎn)線面的位置關(guān)系和充分必要條件的判斷,重點(diǎn)考查公理2及其推論;屬于中檔題；

公理2的三個推論：

（1）經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個平面；

（2）經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面；

（3）經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面；

22.一個平面將空間分成兩部分，兩個平面最多將空間分成四部分，三個平面最多將空間分成八部分……

由此猜測，個平面最多將空間分成（）部分.

A.2nB.n2C.2"D.n+5/；+l

6

【答案】D

【分析】

由2,3,4,5個平面把空間最多分成的部分?jǐn)?shù)可排除A.B,C.

【教師】

由一個平面將空間分成兩部分，兩個平面最多將空間分成四部分，三個平面最多將空間分成八部分，可以

排除48兩個選項.四個平面時，可以考慮在三個平面最多將空間分成八部分的情況下再加一個平面，則第

四個平面最多可以將該八部分中的七個分為兩部分，所以四個平面最多將空間分成十五部分，可以排除C

選項.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面分空間問題，解題時通過從特殊到一般進(jìn)行歸納，也可通過特殊個數(shù)平面分空間個數(shù)來否定

三個選項.

三、解答題

23.如圖，已知。，E是AABC的邊AC,BC上的點(diǎn)，平面a經(jīng)過￡>,E兩點(diǎn)，若直線AB與平面a的交點(diǎn)

是P,求證：點(diǎn)P在直線。E上.

【答案】證明見教師.

【分析】

易證尸右平面ABC,又Pda,可證面A8CC平面a的交線為。E,進(jìn)而求證

【教師】

證明：

因為PWAB,ABu平面ABC,

所以尸6平面A8C.又PGa,平面A2CCI平面a=DE,

所以尸W直線。E

所以點(diǎn)尸在直線DE上.

【點(diǎn)睛】

本題考查相交平面的性質(zhì)應(yīng)用，證明點(diǎn)在直線上，屬于基礎(chǔ)題

24.用符號語言表示下列語句，并畫出圖形.

（1）點(diǎn)A在平面a內(nèi)，點(diǎn)B不在平面a內(nèi)；

（2）直線/在平面a內(nèi)，直線機(jī)不在平面a內(nèi).

【答案】（1）Aea,Bea,圖形見教師（2）lua,m^a,圖形見教師

【分析】

（1）根據(jù)點(diǎn)和平面的位置關(guān)系可得結(jié)果；

（2）根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系可得結(jié)果.

【教師】

（1）Aea,B,

圖形如圖:

(2)laa,m<ra,

圖形如圖:

25.若aCp=l,A,B^a,Cd夕，試畫出平面ABC與平面a,夕的交線.

【答案】答案見教師

【分析】

延長BA交/于。，則AB是平面ABC與a的交線，CO是平面ABC與￡的交線.

【教師】

aCi/3=l,A,BGa,

.,.AB是平面ABC與a的交線,

延長84交/于。，則。C平面ABC

?.?Cd/?,.?.CO是平面ABC與4的交線,

則對應(yīng)的圖示如圖.

26.如圖所示，在正方體ABC。-4耳G"中.

（1）AA與CG是否在同一平面內(nèi)？

（2）點(diǎn)B,G，。是否在同一平面內(nèi)？

（3）畫出平面AC與平面BCQ及平面ACR與平面BOG的交線.

【答案】（1）見教師；（2）見教師；（3）見教師.

【分析】

（1）根據(jù)兩直線平行可確定一個平面進(jìn)行判斷；（2）根據(jù)三點(diǎn)共面的條件進(jìn)行判斷：（3）根據(jù)公理3進(jìn)行

判斷.

【教師】

（1）在正方體ABCZ）-AB|CQ中，

?.?4A||CG，AA與cq可確定平面AQ,

A4|與eq在同一平面內(nèi).

（2）?.?點(diǎn)5,G，。不共線，

???點(diǎn)B,C,,?？纱_定平面BCQ,

???點(diǎn)B,C,,。在同一平面內(nèi).

（3）如圖，：ACnBO=0,CDqDC*,

二。€平面AG，Oe平面BCQ.

又Ge平面AC-0€平面80

平面471門平面80。=06.

同理平面ACD1c平面BDCt=OE.

本題主要考查線共面、點(diǎn)共線、兩個平面的交線，屬于基礎(chǔ)題.

27.已知△ABC在平面a外，其三邊所在的直線滿足ABCla=P,BCCia^Q,ACCla=R,如圖所示，求證:

P,Q,R三點(diǎn)共線.

【分析】

推導(dǎo)出P,Q,R都在平面ABC與平面a的交線上，即可證明.

【教師】

證明：法一：，：ABC}a=P,

：.P^AB,PG平面a.

又A8u平面ABC,，PG平面ABC.

由基本事實3可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面a的交線上，同理可證Q,R也在平面ABC與平面a的交線

上.

:.P,Q,R三點(diǎn)共線.

法二："：APHAR=A,

：.直線AP與直線AR確定平面APR.

XVABna=P,ACCla=R,

,平面APRD平面a=PR.

平面”R,CC平面APR,；.BCu平面APR.

■:QRBC,平面APR,又Q《a,J.Q&PR,

?,?P,Q,R三點(diǎn)共線.

28.已知長方體ABCO-4BCA中，M,N分別為A4和AB的中點(diǎn).求證:

(1)Di,M,N,C四點(diǎn)共面；

(2)AM、DA,C7V三線共點(diǎn).

【答案】(1)證明見教師；(2)證明見教師.

【分