中學幾何中點專題復習講義各位同學，幾何學習中，“中點”是一個看似簡單卻蘊含豐富內(nèi)涵的概念。許多復雜的幾何問題，往往通過巧妙地運用中點性質(zhì)，就能迎刃而解。今天，我們就一同對“中點”這個專題進行系統(tǒng)的梳理與復習，希望能幫助大家構(gòu)建更清晰的知識網(wǎng)絡(luò)，掌握更靈活的解題技巧。一、核心概念回顧：中點的定義與意義首先，我們從最基礎(chǔ)的定義出發(fā)。線段的中點，指的是將一條線段分為兩條相等線段的點。這個定義看似直白，但其背后延伸出的幾何性質(zhì)卻是我們解決問題的關(guān)鍵。我們可以說，中點是線段上的一個“對稱中心”，它天然地與“相等”、“平分”等概念聯(lián)系在一起。二、與中點相關(guān)的重要性質(zhì)與定理在中學階段，與中點相關(guān)的定理和性質(zhì)是我們處理中點問題的“利器”。我們逐一回顧：1.三角形中位線定理這是中點問題中最為核心和常用的定理之一。定理內(nèi)容：三角形連接兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。幾何語言描述：若D、E分別為△ABC的邊AB、AC的中點，則DE∥BC，且DE=1/2BC。定理的作用：它建立了中位線與第三邊之間的位置關(guān)系（平行）和數(shù)量關(guān)系（一半）。在題設(shè)中出現(xiàn)兩個或多個中點時，中位線定理往往是首選的突破口，它能將分散的條件集中起來，或?qū)崿F(xiàn)線段長度的轉(zhuǎn)化。2.直角三角形斜邊中線定理定理內(nèi)容：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。幾何語言描述：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為斜邊AB的中點，則CD=1/2AB。定理的作用：該定理揭示了直角三角形中一個重要的數(shù)量關(guān)系，它常常與直角三角形的其他性質(zhì)（如勾股定理）結(jié)合使用。反過來，如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形，這一逆定理也具有重要的判定作用。3.等腰三角形“三線合一”性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容：等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的角平分線互相重合。定理的作用：在等腰三角形中，已知“中線”可以推得“高”和“角平分線”；反之，已知“高”或“角平分線”（針對底邊）也可以推得“中線”。這為我們在等腰三角形中處理中點問題提供了多維度的思考方向。4.三角形中線的性質(zhì)除了上述特定三角形中的中線性質(zhì)外，任意三角形一邊上的中線還有如下基本性質(zhì)：*三角形的一條中線將三角形分成兩個面積相等的三角形。（等底同高）*三角形三條中線交于一點，該點稱為三角形的重心。重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的兩倍。（重心定理，這在一些綜合題中可能會用到）5.中點與中心對稱圖形平行四邊形是中心對稱圖形，其對角線的交點就是它的對稱中心，同時也是兩條對角線的中點。因此，平行四邊形的對角線互相平分這一性質(zhì)，也體現(xiàn)了中點的特性。在解決與平行四邊形相關(guān)的中點問題時，這一點尤為重要。三、與中點相關(guān)的輔助線作法遇到中點問題，恰當添加輔助線往往是解題的關(guān)鍵。以下是幾種常用的輔助線作法：1.構(gòu)造三角形中位線：*當已知三角形兩邊中點時，連接這兩個中點，即可構(gòu)造出三角形的中位線，利用其平行且等于第三邊一半的性質(zhì)。*當已知三角形一邊中點時，若需要用到中位線的性質(zhì)，可以考慮取另一邊的中點，從而構(gòu)造中位線。2.倍長中線（或類中線）：*“倍長中線”是處理三角形中線問題的經(jīng)典方法。延長中線至一倍長度，構(gòu)造全等三角形，從而實現(xiàn)線段或角的轉(zhuǎn)移。*對于“類中線”（即經(jīng)過中點的線段，但不完全是中線），有時也可以采用類似“倍長”的思想，構(gòu)造全等或平行四邊形。3.利用直角三角形斜邊中線性質(zhì)：*在直角三角形中，若已知斜邊中點，連接該中點與直角頂點，即可得到斜邊的中線，從而運用其性質(zhì)。*若要證明某線段是直角三角形斜邊的中線，則可嘗試證明該線段等于斜邊的一半。4.構(gòu)造等腰三角形：*在已知中點的情況下，若能構(gòu)造出以該中點所在線段為底邊的等腰三角形，就可以利用“三線合一”的性質(zhì)。5.取中點，連中點：*在復雜圖形中，當有多個中點或需要將分散的中點聯(lián)系起來時，可以考慮取某條線段的中點，然后將相關(guān)的中點連接，尋找中位線或其他特殊圖形。四、例題精講例題1：已知，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，連接DE。求證：DE∥BC且DE=1/2BC。（三角形中位線定理的證明）分析：這是最基礎(chǔ)的中位線證明題。思路是通過構(gòu)造全等三角形和平行四邊形來證明。證明：（此處省略，同學們可自行回顧課本上的證明方法，核心是延長DE至F，使EF=DE，連接CF，證明△ADE≌△CFE，進而證明四邊形DBCF是平行四邊形）例題2：已知，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，連接BE并延長交AC于點F。求證：AF=1/2FC。分析：已知E是AD中點，D是BC中點。有兩個中點，可考慮構(gòu)造中位線。證明思路：方法一（構(gòu)造中位線）：取BF的中點G，連接DG?！逥是BC中點，G是BF中點，∴DG∥FC且DG=1/2FC。再證△AEF≌△DEG（或利用AE=ED，DG∥AF，證得AF=DG），從而AF=DG=1/2FC。方法二（倍長中線）：延長AD至H，使DH=AD，連接BH。易證△ADC≌△HDB，得AC∥BH，AC=BH。再由E是AD中點，可證△AEF∽△HEB，得AF/BH=AE/EH=1/2，從而AF=1/2BH=1/2AC，即AF=1/2FC。例題3：已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，CE是∠ACB的平分線，∠A=30°。求證：CD=CE。分析：在Rt△ABC中，∠A=30°，則∠B=60°，斜邊AB=2BC。CD是斜邊中線，故CD=AD=BD=1/2AB=BC，所以△BCD是等邊三角形。CE是角平分線，∠ACE=∠BCE=45°。在△BCE中，∠B=60°，∠BCE=45°，可求∠BEC=75°；在△CDE中（或△CBE與△CDE的關(guān)系），可證∠CDE=∠A+∠ACD=30°+30°=60°（CD=AD，∠A=30°），∠DCE=∠BCD-∠BCE=60°-45°=15°，則∠CED=180°-60°-15°=105°？不對，似乎剛才角度分析有誤。重新梳理：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=1/2AB，∠B=60°?！逤D是斜邊AB中線，∴CD=1/2AB=BC，∴△BCD為等邊三角形，∠BCD=60°?！逤E平分∠ACB，∴∠BCE=45°?！唷螪CE=∠BCD-∠BCE=60°-45°=15°。在△CDE中，CD=BC，在△BCE中，BC是斜邊嗎？不是，BE在AB上。在Rt△ABC中，設(shè)BC=a，則AB=2a，AC=√3a。CE是∠ACB的平分線，由角平分線定理：AE/EB=AC/BC=√3a/a=√3。設(shè)EB=x，則AE=√3x，AE+EB=AB=2a，即x(√3+1)=2a，x=2a/(√3+1)=a(√3-1)。BD=1/2AB=a，∴DE=BD-EB=a-a(√3-1)=a(2-√3)。CD=a?，F(xiàn)在在△CDE中，CD=a，DE=a(2-√3)，∠DCE=15°，要證CD=CE，即證CE=a?？衫谜叶ɡ碓凇鰾CE中：BC/sin∠BEC=CE/sin∠B?！螧=60°，∠BCE=45°，∠BEC=180°-60°-45°=75°。BC=a，所以CE=BC*sin∠B/sin∠BEC=a*sin60°/sin75°。sin60°=√3/2，sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=√2(√3+1)/4。CE=a*(√3/2)/[√2(√3+1)/4]=a*(√3/2)*[4/(√2(√3+1))]=a*2√3/[√2(√3+1)]。分母有理化：分子分母同乘(√3-1)：CE=a*2√3(√3-1)/[√2((√3)^2-1^2)]=a*2√3(√3-1)/[√2(3-1)]=a*2√3(√3-1)/(2√2)=a*√3(√3-1)/√2=a*(3-√3)/√2。現(xiàn)在看CD=a，要證CE=CD，即證(3-√3)/√2=1？顯然不成立?？磥韯偛诺乃悸坊蛘哳}目條件理解有誤。哦！我可能犯了一個錯誤，∠DCE不是15°嗎？如果CD=CE，那么∠CDE=∠CED?！螩DE是△ADC的外角嗎？不是，D是AB中點，A是30°，CD=AD，所以∠ACD=∠A=30°?！螩DE是△CDE的內(nèi)角，∠CDE=∠BDE？不對，D在AB上，E也在AB上，所以∠CDE其實就是∠CDB-∠EDB？∠CDB是60°（等邊三角形）。看來用計算方法太復雜，可能我的初始假設(shè)“求證CD=CE”在這個條件下不成立，或者題目我記錯了?；蛟S原例題是∠A=45°？那樣可能結(jié)論成立?；蛘?，這提醒我們，在講解例題時，選擇合適的、結(jié)論正確的題目至關(guān)重要。這個小插曲也告訴我們，幾何證明要嚴謹，不能想當然。我們換一個思路，或者承認這個例子可能不太恰當，重點是理解方法。（*說明：上述例題3在具體計算中發(fā)現(xiàn)可能存在條件或結(jié)論的偏差，這在實際教學中也會遇到。重要的是引導學生分析，即使題目有誤，分析過程本身也是有價值的。此處從略，我們可以換一個更簡潔明確的例子。*）例題3（修正版）：已知，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，過點D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求證：DE=DF。分析：這是等腰三角形中點問題，D是底邊BC中點。欲證DE=DF，可考慮證明△BDE≌△CDF，或證明AD是角平分線（利用等腰三角形三線合一），再由角平分線性質(zhì)得DE=DF。證明：∵AB=AC，D是BC中點，∴AD平分∠BAC（等腰三角形三線合一）。又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分線上的點到角兩邊距離相等）。（這個例子更簡潔，也更好地體現(xiàn)了中點與等腰三角形性質(zhì)的結(jié)合。）四、解題策略與思想方法1.轉(zhuǎn)化思想：中點問題常常需要將未知的線段或角，通過中位線、倍長中線等方法轉(zhuǎn)化為已知的或易求的線段或角。2.構(gòu)造思想：通過添加輔助線，構(gòu)造出我們熟悉的基本圖形（如中位線、全等三角形、直角三角形斜邊中線等），是解決中點問題的核心。3.方程思想：在涉及中點的計算問題中，有時可以通過設(shè)未知數(shù)，利用中點性質(zhì)建立方程求解。4.數(shù)形結(jié)合思想：準確畫圖，觀察圖形中中點與其他元素的位置關(guān)系，有助于啟發(fā)思路。五、總結(jié)與反思中點問題貫穿于整個中學幾何的學習過程，從三角形到四邊形，從簡單證明到綜合計算，都可能涉及。要熟練掌握與中點相關(guān)的基本概念、定理和性質(zhì)，更要深刻理解“中點”所蘊含的幾何變換和數(shù)量關(guān)系。在解題時，要善于觀察題目中中點的數(shù)量和位置，聯(lián)想相關(guān)的定理和輔助線作法。不要局限于單一的思路，要學會多方向嘗試，比如看到中點，既可以想到中位線，也可以想到倍長中