第05講直線與圓的位置關(guān)系

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解直線與圓的幾種關(guān)系。

①直線與圓的位置關(guān)系2.會(huì)判斷一條直線是否是圓的切線以及會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)

②切線的性質(zhì)作圓的切線。

③切線的判定3.理解并掌握?qǐng)A的判定定理與性質(zhì)定理。

4.能夠熟練的運(yùn)用性質(zhì)與判定解決相關(guān)題目。

思維導(dǎo)圖

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01直線與圓的位置關(guān)系

1.直線與圓的位置關(guān)系：。

設(shè)。。的半徑為「，圓心。到直線的距離OP為乩如圖

dd

d

（1）dVr。直線與圓相交，有'個(gè)交點(diǎn)，直線叫圓的一割線。

（2）d=直線與圓相切,與圓只有1個(gè)交點(diǎn),此時(shí)直線叫做圓的切線，交點(diǎn)叫做

直線與圓的切點(diǎn)。

（3）直線與圓相離，與圓沒(méi)有公共點(diǎn)。

考點(diǎn)題型：①直線與圓的位置關(guān)系判斷。

②根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求半徑的范圍。

【即學(xué)即練1】

1.己知OO的半徑等于3,圓心。到直線/的距離為5,那么直線/與OO的位置關(guān)系是（）

A.直線/與0。相交B.直線/與。。相離

C.直線/與O。相切D.無(wú)法確定

【解答】解：：。。的半徑等于3,圓心。到直線/的距離為5,3<5,

???直線/與OO相離.

故選：B.

【即學(xué)即練2】

2.如圖，以點(diǎn)尸為圓心作圓，所得的圓與直線/相切的是（）

A.以南為半徑的圓B.以P8為半徑的圓

C.以PC為半徑的圓D.以PQ為半徑的圓

【解答】解：于4,

???以點(diǎn)尸為圓心，PB為半徑的圓與直線/相切.

故選:B.

【即學(xué)即練3】

3.平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（3,4）,以A為圓心，5為半徑畫圓，在同一坐標(biāo)系中直線），=?x與。A的

位置.關(guān)系是（）

A.相離B.相切

C.相交D.以上情況都有可能

【解答】解：如圖，

V4（3,4）,?"0=5,

???點(diǎn)A到直線y=的距離為A8的長(zhǎng)小于圓的半徑r,HPAB<AO,

???直線），=-x與OA的位置關(guān)系是相交，

故選:C.

【即學(xué)即練4】

4.如圖，已知RlZ\4BC中，NC=90°,AC=3,BC=4,如果以點(diǎn)C為圓心的圓與斜邊A8有公共點(diǎn),

那么OC的半徑廠的取值范圍是（）

B.—C.工WK4D.3WW4

555

【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CQJ_/W于點(diǎn)。,

VAC=3,BC=4.如果以點(diǎn)C為圓心，「為半徑的圓與斜邊A8只有一個(gè)公共點(diǎn),

：.AB=5,

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，d=「，圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，圓與斜邊人8只有一個(gè)公共點(diǎn),

??.CDXAB=ACXBC,

ACZ)=r=—,

5

當(dāng)直線與圓如圖所示也可以有交點(diǎn)，

???衛(wèi)―

5

故選：C.

【即學(xué)即練5】

5.已知矩形4BCO中，A8=4,BC=3,以點(diǎn)B為圓心，?為半徑作圓，且與邊C。有唯一公共點(diǎn)，則r

的取值范圍是3W/W5.

【解答】解：I?矩形A3c。中，48=4,4C=3,

?,.B/）=AC=5/AB2+BC2=5,AD=BC=3,CD=AB=4,

???以點(diǎn)8為圓心作圓，08與邊C。有唯一公共點(diǎn)，

???。3的半徑「的取值范圍是：3W/W5：

故答案為：3Wr<5

知識(shí)點(diǎn)02切線的判定

1.切線的判定:

經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)且與這條半徑垂直的直線叫做圓的切線。

2.切線的判定的方法：

（1）直線與圓有公共點(diǎn)，連半徑，證明垂直。

證明垂直的方法：①利用勾股定理證明垂直。

②利用特殊角或一般角之間的轉(zhuǎn)換證明垂直.

③利用三角形的全等轉(zhuǎn)換證明垂直。

④利用平行線轉(zhuǎn)換證明垂直。

（2）直線與圓無(wú)公共點(diǎn)：作垂直，證半徑。

【即學(xué)即練1】

6.如圖，點(diǎn)。是上一點(diǎn)，點(diǎn)P在直徑A8的延長(zhǎng)線.匕。。的半徑為3,PB=2,PC=4.求證：PC

是。。的切線.

【解答】證明：連接0C,

■。。的半徑為3,PB=2,

：?0C=0B=3,0P=0B+PB=5,

VPC=4,

：.OC2+PC2=OP2,

???△OCP是直角三角形，

AOCIPC,

???OC是。。的半徑，

???PC是的切線.

【即學(xué)即練2】

7.如圖，線段48經(jīng)過(guò)圓心。，交OO于點(diǎn)4、C,A力為。。的弦，連接8。，N84O=NB=30°,直線

B。是。。的切線嗎？如果是，請(qǐng)給出證明.

【解答】解：直線BZ)是。。的切線.

證明如下：?：OA=OD,ZA=ZABD=30°,

AZA=ZAD0=3()°,

，N/)OB=NA+NAOO=60°,

/.ZODB=1800-ZDOB-ZB=90°,

TO。是半徑，

是。。的切線.

［即學(xué)即練3】

8.如圖，在△ABC中，AB=AC,NB4C=120°,點(diǎn)Z)在BC邊上，OD經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)8且與BC邊相交

于點(diǎn)E,求證：AC是。。的切線.

【解答】證明：連接A。,

/.Zfi=ZC=30°,

在。。中，AD=BD,

：.ZBAD=ZB=30°,

/.ZADC=60°,

???NZMC=1800-AADC-ZC=180°-60°-30°=90°,

：.AD±AC,

又???。人是半徑，

，AC是OD的切線.

【即學(xué)即練4】

9.如圖，已知AB是。。的直徑，8C是。。的切線，切點(diǎn)為8,。。平行于弦AD,OA=2.求證：。。是

0。的切線；

???8C是。。的切線，

AZB=90°,

'：AD//OC,

AZ1=Z3,Z2=Z4

?：OA=OD,

AZ2=Z3=Z1=Z4,

'：OB=OD,OC=OC,

:.△OCDQXOCB'

???NOOC=90°,又???C。過(guò)半徑OQ的外端點(diǎn)D,

???OC是OO的切線；

【即學(xué)即練5】

10.如圖，。。是△ABC的外接圓，A3是。0的直徑，。是A8的延長(zhǎng)線上的i點(diǎn)，4E_LQC交。。的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)￡且人。平分NEA8.求證：。七是。。的切線.

：.ZOAC=ZOCA,

???AC平分NE4總

：,ZEAC=ZOAC,

則NOCA=NE4C,

：.OC//AE,

*：AE±DE,

???OCLDE,

???OE是O。的切線.

【即學(xué)即練6】

II.如圖，菱形中，對(duì)角線AC,〃。相交于O點(diǎn)，O￡_LA/3,垂足為￡,以O(shè)為圓心，OE為半徑作

30.試說(shuō)明OO與C0相切.

【解答】證明：如圖，延長(zhǎng)￡。交CO于點(diǎn)「

???在菱形A8CO中，AB//CD,OE±AB,

：,OF1CD.

???在菱形ABC。中，OA=OC,OB=OD,ACLBD,AB=CD,

：.SMOB=-^OA*OB=^OC*OD=S^COD,即2AB?OE=4CO?OR

2222

：?OE=OF.

???OE為。0的半徑，

???O/是OO的半徑，

???。0與CO相切.

知識(shí)點(diǎn)03切線的性質(zhì)

1.切線的性質(zhì):

（1）圓的切線.垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。

（2）經(jīng)過(guò)圓心目.垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)一切點(diǎn)。

（3）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)

【即學(xué)即練1】

12.如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，且不與4、4兩點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)C的切線交A3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

D,連接AC,BC,若NABC=53°,貝UNO的度數(shù)是（)

C.26.5°D.37.5°

【解答】解：連接OC,如圖所示.

???C。為。。的切線,

???NOCO=90°.

VOB=OC,NA"C=53°,

，NOCB=53°，ZCBD=1800-NA8c=127°,

：,ZBCD=90°-/OCB=3T,

/.ZD=18O0-/CBD-/BCD=160.

【即學(xué)即練2】

13.如圖，直線A3與。。相切于點(diǎn)A,AC,CO是。。的兩條弦，且C￡>〃A5,連接AO并延長(zhǎng)，交CD

于點(diǎn)E，若。。的半徑為5,CD=8,則弦AC的長(zhǎng)為」代

【解答】解：如圖：連接OC

???直線AB與。。相切于點(diǎn)A,

：.OA±AB,

CD//AB,

：.AE±CD.

VCD=8,

，CE=DE*D=4.

在Rl^OCE中，0￡=70,202=62_42=&

AE=AO+OE=89

則AC=VCE2+AE2=A/42+82=蠣-

故答案為：475.

B

【即學(xué)即練3】

14.如圖，AB為的直徑，點(diǎn)C,點(diǎn)。在。。上，且點(diǎn)C是標(biāo)的中點(diǎn)，DE是0。的切線且DE_LAC交

AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接0C

（1）求證：△AOC是等邊三角形;

是OO的切線，

/.ZODE=90°,

VDE1AC,

：.AE//ODf

???ZACO=ZCOD,

丁點(diǎn)。是G的中點(diǎn)，

NAOC=NCOO,

?，NAOC=NACO,

*：OA=OC,

；?/A=NOCA,

???ZACO=ZAOC=NA,

???△AOC是等邊三角形；

(2)解：過(guò)點(diǎn)。作。凡LAC于凡

則四邊形。五石。為矩形，

：.OF=DE=2^3,

???△4OC為等邊三角形，

AZA=60°,

.?.OA=—^—=4,

sinZA

：.AC=4.

【即學(xué)即練4】

15.如圖，在△A8C中，AB=AC,以AB為直徑的。。與8C相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作。。的切線交AC于

點(diǎn)E.

(1)求證：DE1AC；

(2)若。。的半徑為5,8c=16,求DE的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：方法一：連接A。、OD.

：.ZADB=90°.

???NAOO+NOO8=90°.

???。七是圓。的切線，

ZOD1.DE.

???NEQA+NAQO=90°.

:?NEDA=NODB.

?：OD=OB,

：,/ODB=/OBD.

:?/EDA=/OBD.

*：AC=AB,AD±BC,

：.ZCAD=ZBAD.

???NOB4+ND48=90°,

.??NEW+NEQA=90°.

???N￡>E4=90°.

：.DE1AC.

方法二：???￡)￡是圓。的切線,

：.OD±DE,

,：AB=AC.

:?/B=/C,

，：OB=OD,

:./B=/ODB,

；,/ODR=/C,

???OD//AC,

：.DE±AC,

(2)解：VZ4DB=90°,AB=AC,

:.BD=CD,

???。。的半徑為5,8c=16,

???AC=10,CQ=8,

/M￡)=VAC2-CD2=7102-82=6,

,:SMDC=3AD-DC+C?DE,

?,?/n7r/_t-A---D-----D---C--_--6--X---8-_24.

題型精講

題型01直線與圓的位置關(guān)系

【典例1】

己知。。的半徑為3°〃，圓心。到直線/的距離是2Mb則直線，與。。的位置關(guān)系是」

【解答】解：???圓心。到直線/的距離是2cm，小于。。的半徑為3cm,

???直線/與。。相交.

故答案為：相交.

【典例2】

已知O。的半徑為5c小，圓心。到直線/的距離為3近57,則直線/與。。的位置關(guān)系為（）

A.相交B.相切C.相離D.無(wú)法確定

【解答】解：???圓心到直線的距離為3&c/〃，。。的半徑為5c〃?，

5>3加,

???直線和圓相交.

故選：4.

【典例3】

設(shè)00的半徑為R,圓心O到直線的距離為〃，若小R是方程J-6x+〃?=0的兩根，則直線Z與。0相切

時(shí)，一的值為9.

【解答】解：???4、R是方程/-6x+/〃=0的兩個(gè)根，且直線Z與。。相切，

；.d=R,

，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，

△=36-4rti=0,

解得m=9.

故答案為：9.

【典例4】

如圖，已知。。是以數(shù)軸的原點(diǎn)。為圓心，半徑為1的圓，NAO8=45°,點(diǎn)P在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若過(guò)點(diǎn)P

且與QA平行的直線與。。有公共點(diǎn)，設(shè)OP=x,則x的取值范圍是.

【解答】解：設(shè)切點(diǎn)為C，連接0C則圓的半徑OC=1,0C1PC,

VZAOB=45°,OA//PC,

???NOPC=45°,

：,PC=OC=\,

同理，原點(diǎn)左側(cè)的距離也是且線段的長(zhǎng)度是正數(shù),

???X的取值范闈是()VxW⑦，

故答案為：ovxwJE.

【典例5】

如圖，。。的半徑OC=5c〃?，直線/_LOC,垂足為H,且,交OO于A、B兩點(diǎn),AB=8cm,則/沿OC所

在直線平移后與OO相切，則平移的距離是()

A.\cmB.2cmC.8c/?/D.或

【解答】解：連接。力

'JABA.OC,

:.AH=BH,

/A?=—X8=4,

22

在中，OB=OC=5,

.,.O/7=5/0B2_BH2=3,

又???將直線/通過(guò)平移使直線/與OO相切，

???直線/垂直過(guò)C點(diǎn)的直徑，垂足為直徑的兩端點(diǎn)，

???當(dāng)向下平移時(shí)，直線/平移的距離=5?3=2(c/?)；

當(dāng)向上平移時(shí)，直線/平移的距離=5+3=8(C/H).

C.

題型02切線的判定與性質(zhì)

【典例1】

如圖，RtAAA。中，NACB=90°,點(diǎn)。在AC邊上，以40為直徑作。。交4。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,CE=BC.

(1)求證：CE1是。。的切線；

(2)若CD=2,BD=2后求O。的半徑.

VZACB=90°,

r.Zl+Z5=90°.

■:CE=BC,

???N1=N2.

'：OE=OD,

???N3=N4.

又?:N4=/5,

???N3=N5,

.,.Z2+Z3=90°,即NO￡C=90°,

???OELCE.

YOE是OO的半徑，

???CE是。。的切線.

(2)在中，ZDCB=90°,CD=2,BD=2?

BC=CE=4.

設(shè)OO的半徑為r,則OQ=OE=r,OC=r+2,

在Rt^OEC中，ZOEC=90°,

：.OE2+CE2=OC2,

；,A42=(什2)2,

解得，=3,

???。0的半徑為3.

【典例2】

如圖，AA=4C,點(diǎn)。在48上，0。過(guò)點(diǎn)分別與BC、AB交于D、E,過(guò)。作D〃_LAC于E

(1)求證：。尸是。。的切線；

(2)若AC與。。相切于點(diǎn)G,。。的半徑為3,CF=\,求AC長(zhǎng).

【解答】（1）證明：連接0。，

yAB=AC,

???N4=NC,

,:0B=0D,

：./B=/0DB,

：.ZODB=ZC,

：.0D//AC,

VDF1AC,

：.OD±DF,

則OF為圓。的切線;

（2）解：連接。G,

?「AC與圓0相切，

：.OG±AC,

；?NOGF=NGFD=NODF=90°,且。G=OO,

???四邊形ODFG為邊長(zhǎng)為3的正方形，

設(shè)Ali=AC=x,則有AG=x-3-1=x-4,AO=x-3,

在RtAAOG中，利用勾股定理得：AO2=AG2+OG2,即（x-3）2=（x-4）2+32,

解得:x=8,

則4c=8.

【典例3】

如圖，OO與△八8C的八。邊相切于點(diǎn)C,與8。邊交于點(diǎn)E,O。過(guò)八8上一點(diǎn)O,fLDE//AO,CE是

的直徑.

(1)求證：48是的切線；

(2)若8。=4,EC=6,求AC的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：連接0Q，

?：OD=OE,

；?/OED=/ODE,

*：DE//OA,

ZODE=NAOD,NDEO=NAOC,

，ZAOD=ZAOC,

TAC是切線，

，NAC8=90°,

在△AO。和△AOC中

rOD=OC

ZAOD=ZAOC

0A=0A

???△AOOg△AOC(SAS),

???/4OO=NACB=90°,

:。。是半徑，

???A3是。。的切線：

(2)解：TAB是0。的切線,

.??N3QO=9(r,

：.BD2+OD2=OB2,

.\42+32=(3+BE)2,

:,BE=2,

；?BC=BE+EC=8,

「A。，AC是。。的切線，

：.AD=AC,

設(shè)AD=AC=xt

在RlZ\ABC中，AB2=AC1+BC2,

(4+x)2=X2+82,

解得：x=6,

【典例4】

如圖.A/T為0O的百杼，C.。是0O卜的點(diǎn).。是O。外一點(diǎn).ACI/V）于點(diǎn)￡,4。平分

（1）求證：P。是。。的切線；

（2）若DE=f,ZBAC=60°,求。。的半徑.

【解答】（1）證明：連接0Q,

??飛。平分N84C,

：.ZBAD=ZDAE,

?：OA=OD,

：.ZODA=ZOAD,

；./ODA=ZlDAE,

J.OD//AE,

'：ACLPDt

/.ZAEP=90°,

：.ZODP=ZAEP=90a,

：.OD±PE,

???o。是Oo的半徑，

???。。是O。的切線；

(2)解：連接6。，

??Y。平分NR4C,NBAC=60°，

???N84￡)=ND4E=3(r,

V4ClPE,DE=g,

：.AD=2DE=2^3t

??SB為OO的直徑，

AZADB=90°,

:?AB=2BD,

設(shè)BO=x,則AB=2x,

,:AD2+BD1=AB2.

；?，+(2V3)2=(2x)2,

:.BD=2,A6=4,

：.AO=2,

???。0的半徑為2.

【典例5】

如圖，四邊形ABCD為菱形，以AD為直徑作。0交AB于點(diǎn)R連接DB交。0于點(diǎn)”,￡是8c上的一點(diǎn),

且BE=BF,連接?！?/p>

(1)求證：OE是。。的切線.

(2)若BF=2,DH=心求OO的半徑.

D

C

AFB

【解答】（1）證明：如圖I，連接。F,

???四邊形ABC。為菱形,

：.AB=BC=CD=DA,AD//BC,NDAB=/C,圖1

?:BF=BE，

：.AB-BF=BC-BE,

AF=CE,

：.ADAF^/\DCE(SAS),

：.NDFA=NDEC,

「A。是00的直徑，

/.ZDM=90°,

.??N3￡C'=9()°

'：AD//BC,

/.ZADE=ZDEC=W,

：?OD工DE,

TOD是Oo的半徑，

???。七是。。的切線；

：A。是。。的直徑，

??./4"。=/。以=90°,

/.ZDFB=90°，

?：AD=AB,DH=?

:.DB=2DH=2?

在RtA/ADF和RtABDF中，

*：DF2=AD2-AF2,DF2=BD2-BF2,

:.AD1-AF2=DB2-BF2,

AAD2-(AD-BF)2=DB2-BF2,

???AD2-(AD-2)2=(2V5)2-22*

：,AD=5.

???OO的半徑為至■.

2

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.已知。。的半徑為6a〃，點(diǎn)。到直線/的距離為7cM則直線/與。0的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切C.相離D.無(wú)法確定

【解答】解：的半徑為6加,圓心。到直線/的距離為7cm,6<7,

，直線/與。0相離.

故選：C.

2.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（2,V2）,。尸的半徑為2,下列說(shuō)法正確的是（）

A.CP與x軸、y軸都有兩個(gè)公共點(diǎn)

B.。夕與x軸、y軸都沒(méi)有公共點(diǎn)

C.。戶與工軸有一個(gè)公共點(diǎn)，與1y軸有兩個(gè)公共點(diǎn)

D.。尸與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)

【解答】解：??7（2,V2），圓P的半徑為2,

???以尸為圓心，以2為半徑的圓與工軸的位置關(guān)系是相交，與），軸的位置關(guān)系是相切，

???該圓與工軸的交點(diǎn)有2個(gè)，與y軸的交點(diǎn)有1個(gè).

故選：D.

3.如圖，。4交。0于點(diǎn)B,AC切。。于點(diǎn)C,。點(diǎn)在。。上.若/。=25°,則NA為（）

A.25°B.40°C.50°D.65°

【解答】解：???/。=25°,

???NAOC=2/O=2X25°=50°,

??.AC切。。于點(diǎn)C,

：.OC±AC

/.ZOC4=90°

r.ZA=90°-NAOC=90°-50°=40°,故8正確.

故選：B.

4.如圖，四邊形A4CO內(nèi)接于OO,8C經(jīng)過(guò)圓心O,過(guò)點(diǎn)。佇。0的切線。石，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)七,

AD//BC.若NB=60°,則NE的大小等于（)

C.40°D.50°

???△A80為等邊三角形，

???/4OB=NBAO=60°，

又,：AD〃BC,

???NZMO=120°，

???/OAO=120°-60°=60°,

又,：OA=OD,

為等邊三角形，

，N4OD=60°,

???NOOC=180°-60°-60°=60°,

又????！晔?。0的切線，

???NOQE=90°,

???/￡：=180°-90°-60°=30°.

故選：A.

5.如圖，A4為。。的直徑，。為。。上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)。作。。的切線交A4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，連接4C,若

)

C.8D.4^3

【解答】解：如圖.連接OC

為OO的切線，

:.ocx.cn.

\,BD=AO=4,

：22=22=4,

.ZD=30°,CD=5/QD-0CVS-4^3

AZCOD=60°,

由圓周角定理得：NA=』/COO=30°,

2

；?N4=N。，

：.AC=CD=4^/3,

故選：D.

6.如圖，直線與X軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn),圓心P的坐標(biāo)為（1,0）,0P與），軸相

3

切于點(diǎn)O.若將。P沿工軸向左移動(dòng)，當(dāng)。P與該直線相交時(shí)，滿足橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：令），=0,則與，

解得x=-3,

則A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,0）；

令x=0,則），=/§,

則8點(diǎn)坐標(biāo)為（0,V3），

J3

???lanNB4O=W-,

3

???NBAO=30°,

作。P'與OP”切A4于。、E,

連接P'。、P"E,貝ljP'DA.AB.P"ELAB,

則在RtZ\A。尸'中，AP'=2X0?=2,

同理可得，AP'r=2,

則P'橫坐標(biāo)為-3+2=-1,"'橫坐標(biāo)為-I-4=-5,

???〃橫坐標(biāo)x的取值范圍為：-5VxV-1,

，橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P坐標(biāo)為(?2,0)、(-3,0)、(-4,0).

故選：A.

7.如圖所示，48是。。的直徑，OO交8C的中點(diǎn)于。，QEL4C于E,連接A。，則下列結(jié)論：①AQ_L

BC；②/EDA=/B；③。4=2AC；④QE是。O的切線，正確的有()

2

二

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解答】解：〈AB是。。直徑，

AZAD/?=90°,

C.ADLBC,選項(xiàng)①正確；

連接。。，如圖，

???￡＞為中點(diǎn)，。為AB中點(diǎn),

???。0為△ABC的中位線，

/.OD//AC,

又。E_LAC,???NQE4=90°,

/.ZOD￡=90°,

???OE為圓。的切線，選項(xiàng)④正確;

又OB=OD,

：?NODB=NB,

???A8為圓O的直徑,

???NAQ8=90°,

*：ZEDA+ZADO=90a，ZBDO+ZADO=90°，

:?/EDA=NBDO,

：,ZEDA=ZB,選項(xiàng)②正確；

由。為BC中點(diǎn)，且AO_L8C,

...AQ垂直平分3C,

：.AC=AB,XOA=-AB,

2

**?OA=—ACt選項(xiàng)③正確；

2

則正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為4個(gè).

8.如圖，點(diǎn)A是。。上一定點(diǎn)，點(diǎn)8是。。上一動(dòng)點(diǎn)、連接0A、013、A3、分別將線段A。、AB繞點(diǎn)、A

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到A4',48,連接OA,BB\A?,OEB,下列結(jié)論正確的有()

①點(diǎn)A'在。。上；②△04B4Z\A4E；@ZBBfA'=—ZBOAf；④當(dāng)OB'=20A時(shí)，ABf與0。

2

【解答】解：???O4=A4',ZOAAr=60°,

??.△AOA'是等邊三角形，

同理可得，

△ABB'是等邊三角形，

①???△AO4'是等邊三角形,

：.OA'=04,

???點(diǎn)A'在。。上，

故①正確，

ZOAAf=NBAB'=60°,

???N04B=NA'AB',

,：OA=AA,,AB=AB，,

:.XOAB烏AB',

故②正確，

③由②知，

△04的AA'AB',

?/B'=08,

VOB=OA=AA,,

.?.44，=A'B',

/.ZA'AB'=NA'B'4,

,:2ABB'是等邊三角形，

：.^BAB'=ZABfB=60°,

AZA/B'B=ZBAA,,

'：ZBOA1=2ZBAA',

:?NBB'A'=-ZBOA',

故③正確,

④如圖,

過(guò)點(diǎn)。作OC_LBB'于C,

,??△ABB'是等邊三角形,

AZAB'4=60°,

,：OA=OB,B'A=B'B,

:?B’。垂直平分A8,

.??/(%/BJ/AB'B=30°，

???。）=2。。,

???。夕=204=208,

；?OC和08重合,

AOBLB'B,

:.BB'是00的切線,

故④正確,

綜上所述：①②?④均正確,

故選A.

9.RtaABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,以。為圓心所作的圓與邊AB僅一個(gè)交點(diǎn)，則半徑「為‘

=4.8或6OW8.

【解答】解：當(dāng)直線A8和圓和切時(shí)，圓心到斜邊的距離為半徑即斜邊上的高,

ACXBC6X8

??r=CD=--4.8；

AB10

當(dāng)圓與直線A8相交，此時(shí)半徑要大于AC且半徑不大于8C,

???6VrW8：

故答案為:r=4.8或6VrW8.

10.如圖，A8為。0的直徑，CB為。。的切線，AC交。。于Z）,/C=38°.點(diǎn)E在A8右側(cè)的半圓上運(yùn)

動(dòng)（不與A、4重合），則乙4￡7?的大小是38°

【解答】解：如圖，連接80,???A3是。0的直徑,

二408=90°，

：.ZABD+ZBAC=90°,

???C8為。0的切線，

：.CBLAB,

???N48C=90°,

.\ZC+ZBAC=90,

AZABD=ZC=38°,

.??NAEO=NA8Q=38°,

故答案為：38°.

11.在平面直角坐標(biāo)系中，直線)、=/-2與x軸、)，軸分別交于點(diǎn)B、C,半徑為1的OP的圓心P從點(diǎn)A

(4,〃口出發(fā)以每秒近個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AC的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，秒，則當(dāng)，=

1或3或5秒時(shí),OP與坐標(biāo)軸相切.

【解答】解：設(shè)。。與坐標(biāo)軸的切點(diǎn)為。，

???直線y=x-2與x軸、)，軸分別交于點(diǎn)B、C,點(diǎn)A(4,w),

???x=0時(shí)，y=-2,y=0時(shí)，x=2,x=4時(shí)，)，=2,

AA(4,2),B(2,0),C(0,-2),

:.AB=2?,AC=4^,OB=OC=2,

???△08C是等腰直角三角形，NO6C=45°,

①當(dāng)OP與x軸相切時(shí)，

???點(diǎn)D是切點(diǎn)，。。的半徑是1,

mx軸，PD=\,

???△8OP是等腰直角三角形，

：,BD=PD=\,PB=^2,

:,AP=AB-PB=?

,:點(diǎn)P的速度為每秒祀個(gè)單位長(zhǎng)度,

②如圖，。尸與X軸和.V軸都相切時(shí),

，：PB=H，

:.AP=AB+PB=3近,

???。。的速度為每秒42個(gè)單位長(zhǎng)度,

.*./=3；

③當(dāng)OP只與y軸相切時(shí)，

'：PC=g,

：,AP=AC+PC=5^/2,

???0P的速度為每秒近個(gè)單位長(zhǎng)度，

，f=5.

綜上所述，則當(dāng)，=1或3或5秒時(shí)，。尸與坐標(biāo)軸相切，

故答案為：1或3或5.

12.如圖，半圓0的直徑。E=12cm,在「△ABC中，NACB=90°，NABC=30°,BC=\2cm.半圓O

以2c〃?/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)圓心O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)D、E始終在直線BC上.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為f(s),運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，半圓。在△ABC的左側(cè)，。。=8°6當(dāng)，=Is,4s,7s時(shí),RtZ\A8C的一邊

所在直線與半圓。所在的圓相切.

【解答】解：①當(dāng)圓心。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E與點(diǎn)。重合是時(shí)，

VAC1OE,OC=OE=6cm,

此時(shí)AC與半圓O所在的圓相切，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)了2c〃?，

所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f=2+2=l(s)；

②當(dāng)圓心O運(yùn)動(dòng)到AC右側(cè)與AC相切時(shí)，

此時(shí)0C=6cm,點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的距離為8+6=14Cem),

所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f=14+2=7(s)；

③如圖1,過(guò)C點(diǎn)作LA&交A8于尸點(diǎn)；

VZABC=30°，BC=\2cm,

；?FO=6c”?；

當(dāng)半圓。與8c的邊AB相切時(shí)，

:圓心O到AB的距離等于6cm,

且圓心。又在直線上，

???0與C重合，

即當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)時(shí)，半圓O與△ABC的邊AB相切;

此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了3cm,所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，=8+2=4(.?),

當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到8點(diǎn)的右側(cè)，且。8=12cm時(shí)，

如圖2,過(guò)點(diǎn)。作0。_1_直線48,垂足為Q.

在RtZ\Q(加中，NOBQ=30°,則。。=6麗，

卻OQ與半圓。所在的圓相切.

此時(shí)點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)了32cm.

所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為；r=324-2=16^?

綜上可知當(dāng)/的值為Is或4s或7秒或16s時(shí),

R1448C的一邊所在直線與半圓。所在的圓相切.

因?yàn)閳A心O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，

所以此種情況不符合題意舍去，

圖1

13.如圖，在△入8c中，NACB=90°,點(diǎn)。是相邊的中點(diǎn)，點(diǎn)。在AC邊上，。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)。且與邊

相切于點(diǎn)區(qū)ZFA