樹狀數(shù)組的構(gòu)建與應(yīng)用方法一、樹狀數(shù)組概述

樹狀數(shù)組（BinaryIndexedTree，BIT），又稱Fenwick樹，是一種高效的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，主要用于處理可變數(shù)組中的前綴和問題。它結(jié)合了二叉索引樹和數(shù)組的特點，通過巧妙的索引壓縮技術(shù)，實現(xiàn)了對數(shù)組元素的快速更新和前綴和查詢。

（一）樹狀數(shù)組的基本概念

1.定義：樹狀數(shù)組是一種基于數(shù)組實現(xiàn)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，通過特殊的方式維護前綴和，支持對數(shù)時間復(fù)雜度的更新和查詢操作。

2.特點：

-索引從1開始，便于計算父節(jié)點和子節(jié)點關(guān)系。

-支持區(qū)間查詢和單點更新，效率高。

-適用于頻繁更新的場景，如動態(tài)數(shù)組求和。

（二）樹狀數(shù)組的應(yīng)用場景

1.前綴和查詢：快速計算數(shù)組中前n個元素的和。

2.區(qū)間和查詢：高效計算數(shù)組中任意區(qū)間的和。

3.單點更新：快速更新數(shù)組中的某個元素，并同步影響相關(guān)前綴和。

4.差分數(shù)組：結(jié)合差分思想，解決區(qū)間增量問題。

二、樹狀數(shù)組的構(gòu)建方法

樹狀數(shù)組的構(gòu)建基于二叉樹的性質(zhì)，通過將數(shù)組索引映射到樹狀結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。具體構(gòu)建步驟如下：

（一）初始化數(shù)組

1.創(chuàng)建一個大小為n+1的數(shù)組（從1開始），初始化所有元素為0。

2.示例：若n=5，則數(shù)組為[0,0,0,0,0,0]。

（二）更新操作實現(xiàn)

1.定義更新函數(shù)：通過遞歸或迭代方式，將當前元素及其祖先節(jié)點更新為新的值。

2.計算父節(jié)點：當前索引j的父節(jié)點索引為floor((j+1)/2)。

3.示例：更新索引3的值為5，則依次更新索引3、2、1。

（三）前綴和查詢實現(xiàn)

1.定義查詢函數(shù)：通過累加當前節(jié)點及其祖先節(jié)點的值，計算前綴和。

2.計算父節(jié)點：與更新操作相同，使用floor((j+1)/2)計算父節(jié)點。

3.示例：查詢索引4的前綴和，累加索引4、2、1的值。

三、樹狀數(shù)組的應(yīng)用實例

（一）前綴和查詢

1.初始化數(shù)組：[0,1,3,4,7,8]。

2.查詢前綴和sum(3)=1+3+4=8。

3.實現(xiàn)步驟：

-sum(3)=tree[3]+tree[2]+tree[1]。

（二）區(qū)間和查詢

1.通過前綴和計算區(qū)間和：sum(l,r)=sum(r)-sum(l-1)。

2.示例：sum(2,4)=sum(4)-sum(1)=7-1=6。

（三）單點更新

1.更新索引2的值為6，則依次更新tree[2]、tree[1]、tree[0]。

2.更新后數(shù)組：[0,6,9,4,7,8]。

（四）差分數(shù)組應(yīng)用

1.差分數(shù)組定義：diff[i]=arr[i]-arr[i-1]。

2.通過差分數(shù)組實現(xiàn)區(qū)間增量：

-給區(qū)間[l,r]增加v，則diff[l]+=v，diff[r+1]-=v。

3.還原原數(shù)組：通過前綴和計算arr[i]=arr[0]+diff[1]+...+diff[i]。

四、樹狀數(shù)組的優(yōu)缺點

（一）優(yōu)點

1.時間效率高：更新和查詢均為O(logn)復(fù)雜度。

2.空間效率低：僅需O(n)的存儲空間。

3.實現(xiàn)簡單：相比線段樹更易理解和編寫。

（二）缺點

1.功能受限：僅支持前綴和相關(guān)操作，無法處理更復(fù)雜的區(qū)間查詢。

2.適用場景有限：不適用于需要動態(tài)區(qū)間刪除或插入的場景。

五、總結(jié)

樹狀數(shù)組是一種高效的前綴和處理工具，通過索引壓縮技術(shù)實現(xiàn)快速更新和查詢。它適用于動態(tài)數(shù)組求和、區(qū)間和計算等場景，但功能相對單一。在實際應(yīng)用中，可根據(jù)需求選擇是否使用樹狀數(shù)組。

六、樹狀數(shù)組的構(gòu)建與初始化細節(jié)

（一）數(shù)組的初始化

1.存儲結(jié)構(gòu)設(shè)計：首先，需要創(chuàng)建一個一維數(shù)組`tree`，其大小為`n+1`（其中`n`是原數(shù)組的最大索引值）。數(shù)組`tree`的索引從1開始使用，索引0通常不使用或用于特殊標記。初始化時，將`tree`中的所有元素設(shè)置為0。這種從1開始索引的設(shè)計是為了方便后續(xù)計算父節(jié)點和子節(jié)點的索引。

示例：假設(shè)原數(shù)組的大小為5，其元素索引為1,2,3,4,5。則創(chuàng)建的`tree`數(shù)組大小為6，初始化后為`[0,0,0,0,0,0]`。

2.明確數(shù)組用途：在初始化前，明確該樹狀數(shù)組將要處理的具體問題，例如是用于單點更新和前綴和查詢，還是結(jié)合差分數(shù)組處理區(qū)間增量問題。不同的應(yīng)用可能需要微調(diào)初始化或更新邏輯。

（二）樹狀數(shù)組的核心構(gòu)建邏輯——低有效位（LowestOneBit,LBS）

樹狀數(shù)組的更新和查詢操作都依賴于對索引進行低有效位（LBS）的計算。LBS表示一個數(shù)的二進制表示中最低位的1所在的位置。計算一個數(shù)`j`的LBS有多種方法，常用的有兩種：

1.位運算方法：`j&(-j)`。這個運算利用了補碼的性質(zhì)，`-j`是`j`的二進制按位取反加1。例如，`j=6`（二進制`110`），`-j=-6`（二進制`...11111010`），`j&(-j)=2`（二進制`10`）。

2.移位減法方法：`j&~(j-1)`。這個運算通過將`j`減1后按位取反與`j`進行按位與，結(jié)果就是最低位的1。例如，`j=6`（`110`），`j-1=5`（`101`），`~(j-1)=...01001011`，`j&~(j-1)=2`（`010`）。

作用：LBS在樹狀數(shù)組中代表了從當前索引`j`向上跳轉(zhuǎn)到達的父節(jié)點索引。每次更新或查詢時，都需要通過`j-=j&(-j)`或`j-=j&~(j-1)`來找到下一個需要處理的祖先節(jié)點，直到`j`減少到0。

七、樹狀數(shù)組的更新操作詳解

更新操作的目標是將數(shù)組中某個位置的值增加一個給定的值`v`（可以是正數(shù)或負數(shù)），并相應(yīng)地更新樹狀數(shù)組`tree`中的所有受影響的節(jié)點，以保持前綴和的正確性。更新過程遵循“自底向上”的原則。

（一）更新函數(shù)的基本結(jié)構(gòu)

1.輸入?yún)?shù)：接收當前要更新的索引`index`和更新的增量值`delta`（即`new_value-old_value`）。

2.循環(huán)或遞歸過程：通過不斷減去LBS來向上遍歷樹狀結(jié)構(gòu)，直到遍歷完所有受影響的節(jié)點。

（二）更新操作的步驟（以迭代方式為例）

1.檢查邊界：首先檢查`index`是否有效（通常要求`index>=1`）。如果`index`無效，直接返回。

2.進入循環(huán)：當`index>0`時，執(zhí)行更新操作。

3.計算當前節(jié)點：將增量`delta`加到`tree[index]`上：`tree[index]+=delta`。

4.計算下一個節(jié)點索引：使用LBS方法計算當前索引`index`的父節(jié)點索引：`index-=index&(-index)`。這會跳轉(zhuǎn)到下一個需要更新的祖先節(jié)點。

5.循環(huán)條件：重復(fù)步驟3和4，直到`index`減少到0。

6.結(jié)束更新：當`index`為0時，表示所有受影響的節(jié)點已經(jīng)更新完畢，退出循環(huán)。

（三）更新操作的示例

假設(shè)`tree=[0,0,0,0,0,0]`，要更新索引3的值，將其增加5（即`old_value=0`,`new_value=5`,`delta=5`）。

1.`index=3`，`tree[3]=0+5=5`。

2.`index=3&(-3)=3&1=1`。

3.`tree[1]=0+5=5`。

4.`index=1&(-1)=1&1=1`。

5.`tree[1]=5+5=10`。

6.`index=1&(-1)=1&1=1`。

7.`index`不再大于0，更新結(jié)束。最終`tree=[0,10,0,5,0,0]`。

八、樹狀數(shù)組的查詢操作詳解

查詢操作的目標是計算數(shù)組中從索引1到指定索引`index`的所有元素的和，即前綴和`sum(1,index)`。查詢過程遵循“自頂向下”的原則，從根節(jié)點開始，根據(jù)當前節(jié)點與目標索引的LBS關(guān)系決定是向左還是向右子樹遞歸查詢。

（一）查詢函數(shù)的基本結(jié)構(gòu)

1.輸入?yún)?shù)：接收查詢的目標索引`index`。

2.累積和變量：定義一個變量（如`result`）用于累積沿途節(jié)點值，初始值為0。

（二）查詢操作的步驟（以遞歸方式為例）

1.檢查邊界：首先檢查`index`是否有效（通常要求`index>=1`）。如果`index`無效，直接返回0。

2.進入遞歸：當`index>0`時，執(zhí)行查詢操作。

3.累加當前節(jié)點：將`tree[index]`的值加到累積和變量`result`上：`result+=tree[index]`。

4.計算下一個查詢節(jié)點索引：使用LBS方法計算當前索引`index`的下一個祖先節(jié)點索引：`index-=index&(-index)`。

5.遞歸調(diào)用：如果新的`index`大于0，遞歸調(diào)用查詢函數(shù)`query(index)`，將返回值加到`result`上。

6.返回結(jié)果：當`index`減少到0時，表示所有相關(guān)節(jié)點已經(jīng)查詢完畢，返回累積和`result`。

（三）查詢操作的步驟（以迭代方式為例）

1.初始化：定義累積和變量`result=0`。

2.進入循環(huán)：當`index>0`時，執(zhí)行查詢操作。

3.累加當前節(jié)點：將`tree[index]`的值加到`result`上：`result+=tree[index]`。

4.計算下一個查詢節(jié)點索引：使用LBS方法計算當前索引`index`的下一個祖先節(jié)點索引：`index-=index&(-index)`。

5.循環(huán)條件：重復(fù)步驟3和4，直到`index`減少到0。

6.返回結(jié)果：當`index`為0時，返回累積和`result`。

（四）查詢操作的示例

假設(shè)`tree=[0,10,0,5,0,0]`，要查詢索引4的前綴和`sum(1,4)`。

1.`index=4`，`result=0+tree[4]=0+0=0`。

2.`index=4&(-4)=4&4=4`。

3.`result=0+tree[4]=0+0=0`。

4.`index=4&(-4)=4&4=4`。

5.`index`不再大于0，查詢結(jié)束。最終`sum(1,4)=0`。

九、樹狀數(shù)組與差分數(shù)組的結(jié)合應(yīng)用

樹狀數(shù)組可以與差分數(shù)組結(jié)合，高效地處理區(qū)間增量問題。這種組合特別適用于需要頻繁對數(shù)組中的某個連續(xù)區(qū)間進行統(tǒng)一加/減操作，然后查詢整個數(shù)組或其子數(shù)組狀態(tài)的場景。

（一）差分數(shù)組的基本概念

1.定義：創(chuàng)建一個與原數(shù)組等長的差分數(shù)組`diff`。`diff[i]`存儲原數(shù)組`arr`中`arr[i]`與`arr[i-1]`的差值（`diff[i]=arr[i]-arr[i-1]`）。注意`diff[0]`通常沒有定義或為0。

2.還原原數(shù)組：通過差分數(shù)組可以高效地還原原數(shù)組。`arr[i]=arr[0]+sum(diff[1]...diff[i])`。這正是樹狀數(shù)組擅長的操作。

（二）利用樹狀數(shù)組實現(xiàn)區(qū)間增量

1.目標：對原數(shù)組`arr`的區(qū)間`[l,r]`進行增量操作，即`arr[l]+=v`,`arr[l+1]+=v`,...,`arr[r]+=v`。

2.轉(zhuǎn)換為差分數(shù)組操作：根據(jù)差分數(shù)組的定義，這等價于`diff[l]+=v`和`diff[r+1]-=v`。

3.使用樹狀數(shù)組更新：

對`diff[l]`執(zhí)行樹狀數(shù)組的更新操作，將`diff[l]`增加`v`。

對`diff[r+1]`執(zhí)行樹狀數(shù)組的更新操作，將`diff[r+1]`減少`v`（即增量為`-v`）。

4.操作時間復(fù)雜度：每次區(qū)間增量操作都可以在O(logn)時間內(nèi)完成。

（三）利用樹狀數(shù)組查詢原數(shù)組狀態(tài)

1.目標：在進行了多次區(qū)間增量操作后，查詢原數(shù)組`arr`中任意區(qū)間`[q_l,q_r]`的和，或查詢整個數(shù)組的狀態(tài)。

2.轉(zhuǎn)換為差分數(shù)組查詢：查詢`sum(arr[q_l]...arr[q_r])`等價于`sum(diff[1]...diff[q_r])-sum(diff[1]...diff[q_l-1])`。

3.使用樹狀數(shù)組查詢：

使用樹狀數(shù)組的查詢操作計算`sum(diff[1]...diff[q_r])`。

使用樹狀數(shù)組的查詢操作計算`sum(diff[1]...diff[q_l-1])`。

最終結(jié)果為兩者之差。

4.操作時間復(fù)雜度：每次區(qū)間查詢或單點查詢都可以在O(logn)時間內(nèi)完成。

（四）應(yīng)用場景示例

1.模擬用戶在線時長變化：維護一個用戶在線時長數(shù)組。當用戶上線時，對起始時間對應(yīng)的區(qū)間增加時長；用戶下線時，對結(jié)束時間對應(yīng)的區(qū)間增加時長（負值）。隨時可以查詢某個時間段的累計在線用戶總時長。

2.道路維修影響范圍統(tǒng)計：維護一個道路通行狀態(tài)數(shù)組。當某段道路開始維修時，對起點和終點進行區(qū)間增量操作（例如，將通行能力降為0）。隨時可以查詢某個區(qū)域的平均通行影響程度。

十、樹狀數(shù)組的優(yōu)缺點總結(jié)與選擇考量

（一）優(yōu)點

1.高效性：對于單點更新和區(qū)間（前綴）和查詢，時間復(fù)雜度均為O(logn)，遠快于未優(yōu)化的O(n)方法。

2.空間效率：僅需一個大小為O(n)的數(shù)組作為存儲結(jié)構(gòu)，空間占用小。

3.實現(xiàn)相對簡單：相比線段樹、段樹等更復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，樹狀數(shù)組的概念和實現(xiàn)代碼通常更簡潔易懂。

4.特定場景適用：特別適合只需要進行單點更新和查詢前綴和/區(qū)間和的靜態(tài)或半動態(tài)數(shù)組問題。

（二）缺點

1.功能限制：樹狀數(shù)組的核心功能僅限于前綴和及其相關(guān)操作。無法直接支持區(qū)間更新、區(qū)間查詢、動態(tài)維護最值等更復(fù)雜的查詢或更新需求。

2.更新與查詢的耦合：更新操作會影響多個節(jié)點，查詢操作依賴于更新后的全局狀態(tài)。對于某些需要獨立處理不同區(qū)域更新的場景，不夠靈活。

3.不支持某些操作：例如，無法直接高效地回答“在數(shù)組中查找第k大的元素”這類問題。

（三）選擇考量

1.問題需求匹配：如果問題核心需求是頻繁的單點更新和前綴和/區(qū)間和查詢，樹狀數(shù)組是非常好的選擇。否則，應(yīng)考慮其他數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

2.操作類型組合：如果問題需要混合多種操作（如更新、查詢、最值查詢等），可能需要線段樹或樹狀數(shù)組與其他數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的組合，或者選擇功能更全面的線段樹。

3.數(shù)據(jù)規(guī)模與動態(tài)性：對于大規(guī)模數(shù)據(jù)且更新操作遠多于查詢操作，樹狀數(shù)組的O(logn)性能優(yōu)勢明顯。

4.實現(xiàn)復(fù)雜度容忍度：如果對代碼實現(xiàn)的簡潔性要求較高，樹狀數(shù)組優(yōu)于復(fù)雜度更高的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

十一、樹狀數(shù)組的常見變種

雖然基本的樹狀數(shù)組（BinaryIndexedTree）是最常用的形式，但根據(jù)不同的應(yīng)用需求，也衍生出一些變種，它們在特定場景下可能更具優(yōu)勢。

（一）二維樹狀數(shù)組（2DBinaryIndexedTree/FenwickTree2D）

1.應(yīng)用場景：用于處理二維數(shù)組的前綴和查詢和更新問題，例如在網(wǎng)格地圖上進行頻繁的增量更新和區(qū)域求和計算。

2.構(gòu)建方式：通常有兩種構(gòu)建方式：

方法一（二維獨立）：構(gòu)建兩個一維樹狀數(shù)組`tree1`和`tree2`，分別對行和列進行維護。查詢時需要分別查詢行和列的范圍，更新時也需要分別在兩個數(shù)組中進行。

方法二（二維聯(lián)合）：將二維坐標`(x,y)`映射到一維索引`index=xwidth+y+1`（其中`width`是列數(shù)）。然后在這個一維數(shù)組上構(gòu)建樹狀數(shù)組。查詢和更新操作需要轉(zhuǎn)換為一維索引進行。

3.操作復(fù)雜度：無論是哪種方式，單次查詢和更新操作的時間復(fù)雜度通常都是O(lognlogm)，其中`n`是行數(shù)，`m`是列數(shù)。

（二）帶權(quán)樹狀數(shù)組（WeightedFenwickTree）

1.應(yīng)用場景：用于處理與權(quán)重相關(guān)的查詢和更新問題，例如在圖論中處理與邊權(quán)重相關(guān)的動態(tài)路徑和問題。

2.特點：除了支持普通的加法更新和前綴和查詢外，還支持與權(quán)重相關(guān)的更復(fù)雜操作，如查詢某個權(quán)重的第k小元素等。

3.實現(xiàn)復(fù)雜度：實現(xiàn)相對復(fù)雜，通常需要結(jié)合二叉搜索樹或排序數(shù)組來維護權(quán)重順序信息。

（三）可變樹狀數(shù)組（MutableFenwickTree/BinaryIndexedTreewithPointUpdateandRangeQuery）

1.應(yīng)用場景：標準的樹狀數(shù)組在處理區(qū)間查詢時效率高，但在處理區(qū)間更新（如`add(l,r,v)`）時需要分解為兩個點更新`add(l,v)`和`add(r+1,-v)`，然后進行區(qū)間查詢。如果需要直接支持高效的區(qū)間更新，則需要可變樹狀數(shù)組。

2.特點：通過更復(fù)雜的內(nèi)部結(jié)構(gòu)（如結(jié)合了線段樹的思想），使得區(qū)間更新和區(qū)間查詢都能達到O(logn)的時間復(fù)雜度。

3.實現(xiàn)復(fù)雜度：實現(xiàn)比標準樹狀數(shù)組復(fù)雜得多。

十二、總結(jié)

樹狀數(shù)組是一種強大且實用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，通過巧妙的索引映射和低有效位運算，實現(xiàn)了對動態(tài)數(shù)組中前綴和的高效管理。它支持O(logn)時間復(fù)雜度的單點更新和區(qū)間（前綴）和查詢，在許多實際問題中能夠顯著提升性能。理解樹狀數(shù)組的構(gòu)建邏輯、更新和查詢步驟，以及如何將其與差分數(shù)組結(jié)合應(yīng)用，對于解決涉及動態(tài)數(shù)據(jù)求和的問題至關(guān)重要。在選擇數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)時，應(yīng)充分考慮問題的具體需求，判斷樹狀數(shù)組是否是最佳匹配，或者在必要時考慮其變種或其他更復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

一、樹狀數(shù)組概述

樹狀數(shù)組（BinaryIndexedTree，BIT），又稱Fenwick樹，是一種高效的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，主要用于處理可變數(shù)組中的前綴和問題。它結(jié)合了二叉索引樹和數(shù)組的特點，通過巧妙的索引壓縮技術(shù)，實現(xiàn)了對數(shù)組元素的快速更新和前綴和查詢。

（一）樹狀數(shù)組的基本概念

1.定義：樹狀數(shù)組是一種基于數(shù)組實現(xiàn)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，通過特殊的方式維護前綴和，支持對數(shù)時間復(fù)雜度的更新和查詢操作。

2.特點：

-索引從1開始，便于計算父節(jié)點和子節(jié)點關(guān)系。

-支持區(qū)間查詢和單點更新，效率高。

-適用于頻繁更新的場景，如動態(tài)數(shù)組求和。

（二）樹狀數(shù)組的應(yīng)用場景

1.前綴和查詢：快速計算數(shù)組中前n個元素的和。

2.區(qū)間和查詢：高效計算數(shù)組中任意區(qū)間的和。

3.單點更新：快速更新數(shù)組中的某個元素，并同步影響相關(guān)前綴和。

4.差分數(shù)組：結(jié)合差分思想，解決區(qū)間增量問題。

二、樹狀數(shù)組的構(gòu)建方法

樹狀數(shù)組的構(gòu)建基于二叉樹的性質(zhì)，通過將數(shù)組索引映射到樹狀結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。具體構(gòu)建步驟如下：

（一）初始化數(shù)組

1.創(chuàng)建一個大小為n+1的數(shù)組（從1開始），初始化所有元素為0。

2.示例：若n=5，則數(shù)組為[0,0,0,0,0,0]。

（二）更新操作實現(xiàn)

1.定義更新函數(shù)：通過遞歸或迭代方式，將當前元素及其祖先節(jié)點更新為新的值。

2.計算父節(jié)點：當前索引j的父節(jié)點索引為floor((j+1)/2)。

3.示例：更新索引3的值為5，則依次更新索引3、2、1。

（三）前綴和查詢實現(xiàn)

1.定義查詢函數(shù)：通過累加當前節(jié)點及其祖先節(jié)點的值，計算前綴和。

2.計算父節(jié)點：與更新操作相同，使用floor((j+1)/2)計算父節(jié)點。

3.示例：查詢索引4的前綴和，累加索引4、2、1的值。

三、樹狀數(shù)組的應(yīng)用實例

（一）前綴和查詢

1.初始化數(shù)組：[0,1,3,4,7,8]。

2.查詢前綴和sum(3)=1+3+4=8。

3.實現(xiàn)步驟：

-sum(3)=tree[3]+tree[2]+tree[1]。

（二）區(qū)間和查詢

1.通過前綴和計算區(qū)間和：sum(l,r)=sum(r)-sum(l-1)。

2.示例：sum(2,4)=sum(4)-sum(1)=7-1=6。

（三）單點更新

1.更新索引2的值為6，則依次更新tree[2]、tree[1]、tree[0]。

2.更新后數(shù)組：[0,6,9,4,7,8]。

（四）差分數(shù)組應(yīng)用

1.差分數(shù)組定義：diff[i]=arr[i]-arr[i-1]。

2.通過差分數(shù)組實現(xiàn)區(qū)間增量：

-給區(qū)間[l,r]增加v，則diff[l]+=v，diff[r+1]-=v。

3.還原原數(shù)組：通過前綴和計算arr[i]=arr[0]+diff[1]+...+diff[i]。

四、樹狀數(shù)組的優(yōu)缺點

（一）優(yōu)點

1.時間效率高：更新和查詢均為O(logn)復(fù)雜度。

2.空間效率低：僅需O(n)的存儲空間。

3.實現(xiàn)簡單：相比線段樹更易理解和編寫。

（二）缺點

1.功能受限：僅支持前綴和相關(guān)操作，無法處理更復(fù)雜的區(qū)間查詢。

2.適用場景有限：不適用于需要動態(tài)區(qū)間刪除或插入的場景。

五、總結(jié)

樹狀數(shù)組是一種高效的前綴和處理工具，通過索引壓縮技術(shù)實現(xiàn)快速更新和查詢。它適用于動態(tài)數(shù)組求和、區(qū)間和計算等場景，但功能相對單一。在實際應(yīng)用中，可根據(jù)需求選擇是否使用樹狀數(shù)組。

六、樹狀數(shù)組的構(gòu)建與初始化細節(jié)

（一）數(shù)組的初始化

1.存儲結(jié)構(gòu)設(shè)計：首先，需要創(chuàng)建一個一維數(shù)組`tree`，其大小為`n+1`（其中`n`是原數(shù)組的最大索引值）。數(shù)組`tree`的索引從1開始使用，索引0通常不使用或用于特殊標記。初始化時，將`tree`中的所有元素設(shè)置為0。這種從1開始索引的設(shè)計是為了方便后續(xù)計算父節(jié)點和子節(jié)點的索引。

示例：假設(shè)原數(shù)組的大小為5，其元素索引為1,2,3,4,5。則創(chuàng)建的`tree`數(shù)組大小為6，初始化后為`[0,0,0,0,0,0]`。

2.明確數(shù)組用途：在初始化前，明確該樹狀數(shù)組將要處理的具體問題，例如是用于單點更新和前綴和查詢，還是結(jié)合差分數(shù)組處理區(qū)間增量問題。不同的應(yīng)用可能需要微調(diào)初始化或更新邏輯。

（二）樹狀數(shù)組的核心構(gòu)建邏輯——低有效位（LowestOneBit,LBS）

樹狀數(shù)組的更新和查詢操作都依賴于對索引進行低有效位（LBS）的計算。LBS表示一個數(shù)的二進制表示中最低位的1所在的位置。計算一個數(shù)`j`的LBS有多種方法，常用的有兩種：

1.位運算方法：`j&(-j)`。這個運算利用了補碼的性質(zhì)，`-j`是`j`的二進制按位取反加1。例如，`j=6`（二進制`110`），`-j=-6`（二進制`...11111010`），`j&(-j)=2`（二進制`10`）。

2.移位減法方法：`j&~(j-1)`。這個運算通過將`j`減1后按位取反與`j`進行按位與，結(jié)果就是最低位的1。例如，`j=6`（`110`），`j-1=5`（`101`），`~(j-1)=...01001011`，`j&~(j-1)=2`（`010`）。

作用：LBS在樹狀數(shù)組中代表了從當前索引`j`向上跳轉(zhuǎn)到達的父節(jié)點索引。每次更新或查詢時，都需要通過`j-=j&(-j)`或`j-=j&~(j-1)`來找到下一個需要處理的祖先節(jié)點，直到`j`減少到0。

七、樹狀數(shù)組的更新操作詳解

更新操作的目標是將數(shù)組中某個位置的值增加一個給定的值`v`（可以是正數(shù)或負數(shù)），并相應(yīng)地更新樹狀數(shù)組`tree`中的所有受影響的節(jié)點，以保持前綴和的正確性。更新過程遵循“自底向上”的原則。

（一）更新函數(shù)的基本結(jié)構(gòu)

1.輸入?yún)?shù)：接收當前要更新的索引`index`和更新的增量值`delta`（即`new_value-old_value`）。

2.循環(huán)或遞歸過程：通過不斷減去LBS來向上遍歷樹狀結(jié)構(gòu)，直到遍歷完所有受影響的節(jié)點。

（二）更新操作的步驟（以迭代方式為例）

1.檢查邊界：首先檢查`index`是否有效（通常要求`index>=1`）。如果`index`無效，直接返回。

2.進入循環(huán)：當`index>0`時，執(zhí)行更新操作。

3.計算當前節(jié)點：將增量`delta`加到`tree[index]`上：`tree[index]+=delta`。

4.計算下一個節(jié)點索引：使用LBS方法計算當前索引`index`的父節(jié)點索引：`index-=index&(-index)`。這會跳轉(zhuǎn)到下一個需要更新的祖先節(jié)點。

5.循環(huán)條件：重復(fù)步驟3和4，直到`index`減少到0。

6.結(jié)束更新：當`index`為0時，表示所有受影響的節(jié)點已經(jīng)更新完畢，退出循環(huán)。

（三）更新操作的示例

假設(shè)`tree=[0,0,0,0,0,0]`，要更新索引3的值，將其增加5（即`old_value=0`,`new_value=5`,`delta=5`）。

1.`index=3`，`tree[3]=0+5=5`。

2.`index=3&(-3)=3&1=1`。

3.`tree[1]=0+5=5`。

4.`index=1&(-1)=1&1=1`。

5.`tree[1]=5+5=10`。

6.`index=1&(-1)=1&1=1`。

7.`index`不再大于0，更新結(jié)束。最終`tree=[0,10,0,5,0,0]`。

八、樹狀數(shù)組的查詢操作詳解

查詢操作的目標是計算數(shù)組中從索引1到指定索引`index`的所有元素的和，即前綴和`sum(1,index)`。查詢過程遵循“自頂向下”的原則，從根節(jié)點開始，根據(jù)當前節(jié)點與目標索引的LBS關(guān)系決定是向左還是向右子樹遞歸查詢。

（一）查詢函數(shù)的基本結(jié)構(gòu)

1.輸入?yún)?shù)：接收查詢的目標索引`index`。

2.累積和變量：定義一個變量（如`result`）用于累積沿途節(jié)點值，初始值為0。

（二）查詢操作的步驟（以遞歸方式為例）

1.檢查邊界：首先檢查`index`是否有效（通常要求`index>=1`）。如果`index`無效，直接返回0。

2.進入遞歸：當`index>0`時，執(zhí)行查詢操作。

3.累加當前節(jié)點：將`tree[index]`的值加到累積和變量`result`上：`result+=tree[index]`。

4.計算下一個查詢節(jié)點索引：使用LBS方法計算當前索引`index`的下一個祖先節(jié)點索引：`index-=index&(-index)`。

5.遞歸調(diào)用：如果新的`index`大于0，遞歸調(diào)用查詢函數(shù)`query(index)`，將返回值加到`result`上。

6.返回結(jié)果：當`index`減少到0時，表示所有相關(guān)節(jié)點已經(jīng)查詢完畢，返回累積和`result`。

（三）查詢操作的步驟（以迭代方式為例）

1.初始化：定義累積和變量`result=0`。

2.進入循環(huán)：當`index>0`時，執(zhí)行查詢操作。

3.累加當前節(jié)點：將`tree[index]`的值加到`result`上：`result+=tree[index]`。

4.計算下一個查詢節(jié)點索引：使用LBS方法計算當前索引`index`的下一個祖先節(jié)點索引：`index-=index&(-index)`。

5.循環(huán)條件：重復(fù)步驟3和4，直到`index`減少到0。

6.返回結(jié)果：當`index`為0時，返回累積和`result`。

（四）查詢操作的示例

假設(shè)`tree=[0,10,0,5,0,0]`，要查詢索引4的前綴和`sum(1,4)`。

1.`index=4`，`result=0+tree[4]=0+0=0`。

2.`index=4&(-4)=4&4=4`。

3.`result=0+tree[4]=0+0=0`。

4.`index=4&(-4)=4&4=4`。

5.`index`不再大于0，查詢結(jié)束。最終`sum(1,4)=0`。

九、樹狀數(shù)組與差分數(shù)組的結(jié)合應(yīng)用

樹狀數(shù)組可以與差分數(shù)組結(jié)合，高效地處理區(qū)間增量問題。這種組合特別適用于需要頻繁對數(shù)組中的某個連續(xù)區(qū)間進行統(tǒng)一加/減操作，然后查詢整個數(shù)組或其子數(shù)組狀態(tài)的場景。

（一）差分數(shù)組的基本概念

1.定義：創(chuàng)建一個與原數(shù)組等長的差分數(shù)組`diff`。`diff[i]`存儲原數(shù)組`arr`中`arr[i]`與`arr[i-1]`的差值（`diff[i]=arr[i]-arr[i-1]`）。注意`diff[0]`通常沒有定義或為0。

2.還原原數(shù)組：通過差分數(shù)組可以高效地還原原數(shù)組。`arr[i]=arr[0]+sum(diff[1]...diff[i])`。這正是樹狀數(shù)組擅長的操作。

（二）利用樹狀數(shù)組實現(xiàn)區(qū)間增量

1.目標：對原數(shù)組`arr`的區(qū)間`[l,r]`進行增量操作，即`arr[l]+=v`,`arr[l+1]+=v`,...,`arr[r]+=v`。

2.轉(zhuǎn)換為差分數(shù)組操作：根據(jù)差分數(shù)組的定義，這等價于`diff[l]+=v`和`diff[r+1]-=v`。

3.使用樹狀數(shù)組更新：

對`diff[l]`執(zhí)行樹狀數(shù)組的更新操作，將`diff[l]`增加`v`。

對`diff[r+1]`執(zhí)行樹狀數(shù)組的更新操作，將`diff[r+1]`減少`v`（即增量為`-v`）。

4.操作時間復(fù)雜度：每次區(qū)間增量操作都可以在O(logn)時間內(nèi)完成。

（三）利用樹狀數(shù)組查詢原數(shù)組狀態(tài)

1.目標：在進行了多次區(qū)間增量操作后，查詢原數(shù)組`arr`中任意區(qū)間`[q_l,q_r]`的和，或查詢整個數(shù)組的狀態(tài)。

2.轉(zhuǎn)換為差分數(shù)組查詢：查詢`sum(arr[q_l]...arr[q_r])`等價于`sum(diff[1]...diff[q_r])-sum(diff[1]...diff[q_l-1])`。

3.使用樹狀數(shù)組查詢：

使用樹狀數(shù)組的查詢操作計算`sum(diff[1]...diff[q_r])`。

使用樹狀數(shù)組的查詢操作計算`sum(diff[1]...diff[q_l-1])`。

最終結(jié)果為兩者之差。

4.操作時間復(fù)雜度：每次區(qū)間查詢或單點查詢都可以在O(logn)時間內(nèi)完成。

（四）應(yīng)用場景示例

1.模擬用戶在線時長變化：維護一個用戶在線時長數(shù)組。當用戶上線時，對起始時間對應(yīng)的區(qū)間增加時長；用戶下線時，對結(jié)束時間對應(yīng)的區(qū)間增加時長（負值）。隨時可以查詢某個時間段的累計在線用戶總時長。

2.道路維修影響范圍統(tǒng)計：維護一個道路通行狀態(tài)數(shù)組。當某段道路開始維修時，對起點和終點進行區(qū)間增量操作（例如，將通行能力降為0）。隨時可以查詢某個區(qū)域的平均通行影響程度。

十、樹狀數(shù)組的優(yōu)缺點總結(jié)與選擇考量

（一）優(yōu)點

1.高效性：對于單點更新和區(qū)間（前綴）和查詢，時間復(fù)雜度均為O(logn)，遠快于未優(yōu)化的O(n)方法。

2.空間效率：僅需一個大小為O(n)的數(shù)組作為存儲結(jié)構(gòu)，空間占用小。

3.實現(xiàn)相對簡單：相比線段樹、段樹等更復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，樹狀數(shù)組的概念和實現(xiàn)代碼通常更簡潔易懂。

4.特定場景適用：特別適合只需要進行單點更新和查詢前綴和/區(qū)間和的靜態(tài)或半動態(tài)數(shù)組問題。

（二）缺點

1.功能限制：樹狀數(shù)組的核心功能僅限于前綴和及其相關(guān)操作。無法直接支持區(qū)間更新、區(qū)間查詢、動態(tài)維護最值等更復(fù)雜的查詢或更新需求。

2.更新與查詢的耦合：更新操作會影響多個節(jié)點，查詢操作依賴于更新后的