專題07數(shù)列

?081

2025高考真題

一、單選題

1.（2025?全國二卷?高考真題）記S.為等差數(shù)列｛&｝的前〃項和，若S3=6,§5=-5,則&=（）

A.-20B.-15C.-10D.-5

【答案】B

【分析】由等差數(shù)列前〃項和公式結(jié)合題意列出關于首項4和公差d的方程求出首項4和公差d,再由等差

數(shù)列前〃項和公式即可計算求解.

,、[3a.+3J=6｛d=-3

【詳解】設等差數(shù)列qj的公差為d,則由題可得＜,

54+】0"=-5[4=5

所以§6=6q+15d=6x5+15x（-3）=T5.

故選：B.

2.（2025?北京?高考真題）已知｛&｝是公差不為零的等差數(shù)列，4=-2,若/必,必成等比數(shù)列，則％。=（）

A.-20B.-18C.16D.18

【答案】C

【分析】由等比中項的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的基本量運算即可求解.

【詳解】設等差數(shù)列｛q｝的公差為4（4工0）,

因為4,4,生成等比數(shù)列，且4=-2,

所以姆=的6，即（-2+3d『=（—2+2d）（—2+5d）,解得d=2或〃=0（舍去），

所以4。=q+9d=-2+9x2=16.

故選：C.

3.（2025?天津?高考真題）S“-r『+8〃，則數(shù)列｛同｝的前12項和為（）

A.112B.48C.80D.64

【答案】C

【分析】先由題設結(jié)合為=S“-S,i求出數(shù)列｛%｝的通項公式，再結(jié)合數(shù)列｛%｝各項正負情況即可求解.

【詳解】因為S.=-/+8般,

所以當〃=1時，q=$=_12+8x]=7,

當〃之2時，a,,=Sn-Sn_x=(-/?'+8/2)--1)"+8(〃-1)]=-2〃+9,

經(jīng)檢驗，4=7滿足上式，

所以?！?一2〃+9(〃￡N"),令=-2〃+920=>〃44,an=-2n+9<0=>/J>5,

設數(shù)列｛瓦|｝的前〃項和為。，

貝!1數(shù)歹U｛1%1｝的前4項和為4=S4=-42+8X4=16

數(shù)列｛3｝的前12項和為

石“=|4|+|4|+一?+|42|=4+出+%+%一%一4----C%

2

=2S4-S12=2X16-(-12+8X12)=80.

故選:C

4.(2025?上海?高考真題)已知數(shù)列｛q,｝、他｝、k｝的通項公式分別為4=1?！?9,優(yōu)=2”、，

%=而”+(1-團?！?若對任意的/、"、％的值均能構成三角形，則滿足條件的正整數(shù)〃有()

A.4個B.3個C.I個D.無數(shù)個

【答案】B

【分析】由5=44+(1-㈤包可知范圍，再由三角形三邊關系可得的不等關系，結(jié)合函數(shù)零點解

不等式可得.

【詳解】由題意可也￡>(),不妨設AS,4),5(〃也),C(〃,q),

三點均在第一象限內(nèi)，由可知，團=4麗，衣[05，

故點C恒在線段A8上，則有min｛q也｝<c?<max｛/也｝<4,+包.

即對任意的義?0』，恒成立，

令104-9=23構造函數(shù)/。)=2'-10x+9,x>0,

則6(x)=2*1112-10,由廣(用單調(diào)遞增，

又1(3)<0,八4)>0,存在仆w(3,4),使八%)=0,

即當0<工<與時，外幻<0,單調(diào)遞減；

當了八。時，ru)>o,/⑶單調(diào)遞增；

故f(x)至多2個零點，

又由/(D>0,/(2)<0,/(5)<0,f(6)>0,

可知/(x)存在2個零點，不妨設片，々(斗<巧)，且為c(1,2),與￡(5,6).

①若見V2,即10〃-9?2"時，此時〃=1或〃26.

則%可知包+%>，“成立，

要使4、%、c”的值均能構成三角形，

所以4+G>久恒成立，故々<2%,

\0n-9<2"5H

所以有,解得n=6；

l2n<2(10/z-9)

②若'之久,即10〃-922"時，此時〃=2,3,4,5.

則%之?！爸?，可知成立,

要使《、b八g的值均能構成三角形,

所以勾+%>%怛成立，故勺<乃”，

10〃-922"?一

所以有1?！?<2…解得〃=4或5;

綜上可知，正整數(shù)〃的個數(shù)有3個.

故選:B.

二、多選題

5.（2025?全國二卷?高考真題）記S。為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，<7為0｝的公比，c/>0,若名=7,%=1,

則（）

A.q=*B.

c.&=8D.凡+s“=8

【答案】AD

【分析】對A,根據(jù)等比數(shù)列通項公式和前〃項和公式得到方程組，解出4M,再利用其通項公式和前〃項

和公式一一計算分析即可.

2_14=44=9

=

【詳解】對A,由題意得“聞2寸結(jié)合4>0,解得1或<1（舍去），故A正確；

4+44+44=7q=—7=-5

對B,則％=644=4乂g）=；，故B錯誤；

對C,55=40—/）-4（：32,］里,故C錯誤；

1-q1-14

2

2

則%+S“=23-"+8-2j=8,故D正確;

故選：AD.

法三：設該等比數(shù)列為｛q｝,S。是其前〃項和，則8=4,1=68,

設幾｝的公比為夕(夕>0),

因為Sg_S&=%+4+%+,=(4+出+/+。4)/=68-4=64,

又，=6+生+%+。4=4,

所以“\邑=/=弓=16,所以g=2,

所以該等比數(shù)列公比為2.

故答案為：2.

四、解答題

8.(2025.全國一卷?高考真題)設數(shù)列｛q｝滿足q=3,豪=含+忌耳

(1)證明：卜也”｝為等差數(shù)列；

m

(2)沒/。)=%人++L+um,\,求.

【答案】(1)證明見解析；

⑵尸(_2)._0"+?(-2『

【分析】(1)根據(jù)題目所給條件午=熱+就同化簡，即可證明結(jié)論；

(2)先求出｛%｝的通項公式，代入函數(shù)并求導，函數(shù)兩邊同乘以x,作差并利用等比數(shù)列前〃項和得出導

函數(shù)表達式，即可得出結(jié)論.

【詳解】(D由題意證明如下，“wN”,

在數(shù)列應｝中，6=3,于=蒲+而旬，

J(〃+1)4川=4+1，即5+1)%「叫=1，

???｛〃6｝是以％=3為首項，1為公差的等差數(shù)列.

(2)由題意及(1)得，n<=N*.

在數(shù)列卜74｝中，首項為3,公差為1,

2

/.nan=3+1x(//-1),即4=1+二，

在f(x)=a^+c^x2+…+q/”中，

“到=3工+2/+…+0+訃J/(x)=3+4x+…+(〃z+2)/i

.j/(x)=3+4x+…+W+2)V”T

**=3x+4/+…+(〃?+2)

當工工1且xwO時，

=3+^^

(l-.r)/,(x)=3+x+x2+---+xzw-|-(/?/+2)^'_(6+2)廣，

\-x

3耳―5)W+2)/

工/"(%)=—+

\-x(if1-X

3-2[1-(-2fl]W+2)(-2)"'

r(-2)=

1一(一2)[l-(-2)]21-(-2)

1[(-2)[1-(-2)-](w+2)(-2r

93

2(-2廣(,?2)(-2『

-1---------------------------------

993

J(3,〃+7)(-2『

-9

9.(2025?天津?高考真題)已知數(shù)列｛《｝是等差數(shù)列,｛〃”｝是等比數(shù)列，4=二=2,%=&+1嗎=4.

⑴求｛《,｝，他｝的通項公式；

(2)V?eN\，￡｛0,1｝,有(=｛R岫+0她+…++PM也」Pi，P2，…，Pz，〃”“｝，

⑴求證：對任意實數(shù)/€，，均有，訪;

(ii)求，所有元素之和.

【答案】⑴氏=3〃-1也=2"；

⑵⑴證明見解析；(ii)2"馬(8+(3〃-4)2”+[

【分析】(1)設數(shù)列｛4｝的公差為d,數(shù)列低｝公比為以9工0),由題設列出關于d和以夕工。)的方程求解，

再結(jié)合等差和等比數(shù)列通項公式即可得解；

(2)⑴由題意結(jié)合(1)求出。川%和〃必4+〃2%&+“?+〃”“*%+凡。也的最大值，再作差比較兩者

大小即可證明；

(ii)法一：根據(jù)外P2,…,Pz，P”中全為1、一個為0其余為1、2個為0其余為、…、全為0幾個情況將，

中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后將所有系列所得的和加起來即可得解；

法二：根據(jù)。元素的特征得到。中的所有元素的和中各項。力(k｛1,2,…,〃｝)出現(xiàn)的次數(shù)均為2小次即可求

解.

【詳解】⑴設數(shù)列｛q｝的公差為d,數(shù)列低｝公比為q值工0),

2+d=2q+\_d=3

則由題得2

2+2d=2q=q=2'

所以4“=2+3(〃—1)=3〃-1,4=2X2"T=2"；

(2)(i)證明：由⑴e=(3〃一1)2"以=0或H〃也=(3〃一1)，＞。，q+仇.|=(3〃+2)2川,

當PM仇=（3〃-1）2”>0時，

1

設，=*他+PW2b2+...+PAI%"I+pnanbn=2X2+5X2?+...+⑶L4）2"'+（3〃一1）2",

所以2s“=2X22+5X2".+（3〃-4）2"+（3〃-I）2“\

所以—5“=4+3乂（22+23+...+2"）-（3〃—1）2田=4+3'^^1-（3〃_1）2向=一8+（4—3〃）2向，

1—2

所以工=8+（3…）2叫為。中的最大元素，

此時4+也用一A=（3〃+2）2向-[8+（3〃-4）2叫=6-2e-8>（）恒成立，

所以對Me?；,均有

（ii）法一：由⑴得S.=8+⑶-4）2向，為7；中的最大元素，

由題意可得。中的所有元素由以下系列中所有元素組成：

當小，〃2,…，片十幾均為1時：此時該系列元素只有S“=8+（3〃-4）2"腳C：個；

當PI，〃2，...，P“T，〃”中只有一個為0,其余均為1時：

此時該系列的元素有S.-岫,S”力2,S0-砧”…，S“一。也共有C；個，

則這〃個元素的和為C5-（她+她+.??+〃也）=?-《用；

當P，…中只有2個為0,其余均為1時：

此時該系列的元素為S〃-咐-初/仃￡{1,2,...,〃},加力共有C：個，

則這〃個元素的和為C泣-CL（她+她+...+〃也）=（C：-4心,；

當P],〃2,…，P".I，P”中有2個為0,其余均為1時：此時該系列的元素為

s?-afy-ajbj-akbk（i,j,%w{1,2,〃}”jok）共有C；個,

則這〃個元素的和為C泣-C；_,（岫+砌+...+q"）=?-Ct.）5?；

當小,〃2,…,P1，P”中有〃-1個為0,1個為1時：此時該系列的元素為3"他,…,。也共有CL個,

則這〃個元素的和為c;1S—c普（3+曲+...+O也）=（cr-C用s.；

當8，”2，一?，，1，區(qū)均為0時：此時該系列的元素為O=（c：-C3）s“即C：=l個，

綜上所述，7；中的所有元素之和為

S“+?T邑+?-CL）s“+（c：-C3）5“+…+（C：T-C=;）S"+0

=[?+c,+…+c丁+c：）-（C3+C；T+…+G=；+C3）]s.

=（2"—2"T）s"=2"Ts"=2f[8+⑶L4）2".]；

法二：由⑴得S.=8+（3〃-4）2用，為7；中的最大元素,

由題意可得

7；=｛邑,S“一。四,S“一a九一”廣a^h.-akbk，…,afy+4力八q.4,（）｝,億j,kw｛1,2,…,〃｝,iw/｛4）,

所以7；的所有的元素的和中各項“A（i￡｛L2，.…〃｝）出現(xiàn)的次數(shù)均為C3+C\+...+C：，+C3=2小次,

所以。中的所有元素之和為213a她+...+，也）=2"-5"、[8+（3〃-4）2"].

?911

2025高考模擬題

一、單選題

1.（2025?陜西漢中?三模）已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，若〃4+e=12,則10=（）

A.30B.40C.60D.120

【答案】C

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求5吁

【詳解】因為｛《,｝為等差數(shù)列，故品,=地產(chǎn)位=5（4+?）=60,

故選：C.

2.（2025?江蘇南通?三模）在等比數(shù)列｛q｝中，勺年%=8,%+必=2。，則（=（）

A.36B.±6C.-6D.6

【答案】D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】等比數(shù)列｛&｝中6牝%=4=8,??4=2,%=18,

.-.d4=±7^6=±6,由于〃2>。，故4>0，所以%=6,

故選：D.

3.（2025?山東青島?三模）《九章算術》是中國古代的數(shù)學名著，書中有“分錢問題”：現(xiàn)有5個人分5錢，5

人分得錢數(shù)依次成等差數(shù)列，前兩人分得錢數(shù)之和等于后三人分得錢數(shù)之和，則分得錢數(shù)最少的一人錢數(shù)

為（）

【答案】C

【分析】設第所得錢數(shù)為a.錢，設數(shù)列6、%、%、(、%的公差為〃，根據(jù)已知條件

可得出關于4、d的值，即可求得出的值.

【詳解】設第〃(1工〃45,〃￡%)所得錢數(shù)為勺錢，則數(shù)列4、出、生、出、牝為等差數(shù)列，

設數(shù)列4、%、。八。八%的公差為"，

5x4q=_

則，"+2,解得<3,故&=4+4d=g-4x;=j.

2q+d=3q+9dd=-％363

故選：C

4.(2025?山西口梁?三模)已知等差數(shù)列｛q｝的公差4>0,%=14-%=9,則〃=()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)處的通項公式，將外、內(nèi)用q和△表示出來，再代入已知等式求解

【詳解】由等差數(shù)列通項公式4=4+(〃-1)”可得：a2=ai+d,

已知4=1,所以％=1+〃；4=4+2d=?+24.

將出=l+d,%=1+2〃代入嫉一%=9可得：(l+d)2—(l+2d)=9,

則1+2〃+1一1-21=9,化簡可得：d2=9,解得d=3或"=一3.

因為已知公差d>0,所以舍去d=-3,得到d=3.

故選:B.

5.(2025?遼寧大連?三模)已知正項等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為5”，若邑=2邑-52+6,%=1,則4=()

A.16B.32C.27D.81

【答案】C

【分析】應用S.-S.T=《，再結(jié)合等比數(shù)列基本量運算計算求解.

【詳解】因為S—2S3-S2+6,生=1,貝”-—8+6,

所以4=%+6,

因為的=1，所以/=9+6,夕>0,

所以9=3或9=-2舍，

所以牝=1x33=27.

故選：C.

6.(2025?湖南岳陽?三模)已知S”為正項等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，%%%=4%，8=7,則4=()

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【分析】等比數(shù)列的性質(zhì)可得6=1,即。4=1,再結(jié)合題干條件邑=7,利用等比數(shù)列求和公式，得到關

于，的一元二次方程，解出公比即得4的值.

q

【詳解】由題意，設正項等比數(shù)列｛q｝的公比為4,其中，/>o,

由等比數(shù)列的性質(zhì)可知見%=4%,由題干可得/=1，即qd=l=4=]，

q-

若q=l,則S3=34=3,不合題意，故q*,

所以&=黑出=業(yè)"D/（收+力*+”/）=與。=7，

解得'=2或，=一3（舍去），故4=[=4.

qqq

故選：c.

7.（2025?北京海淀??:模）漸進式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長退休年齡.對于男職工，

新方案將延遲法定退休年齡每4個月延遲1個月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十

三周歲.如果男職工延遲法定退休年齡部分對照表如表所示：

1965年1月一41965年5月一81965年9月一121966年1月一4

出生時間???

月月月月

新方案法

定退休年60歲+1個月60歲+2個月60歲+3個月6（）歲+4個月???

齡

那么1970年5月出生的男職工退休年齡為（）

A.61歲+4個月B.61歲+5個月

C.61歲+6個月D.61歲+7個月

【答案】B

【分析】解法一：出生年月在1965年1月一4月的人的法定退休年齡記為4,出生年月在1965年5月一8

月的人的法定退休年齡記為生,出生年月在“65年9月一12月的人的法定退休年齡記為由，…，分析可

知數(shù)列｛q｝構成等差數(shù)列，求出該數(shù)列的首項和公差，即可求出47,即可得解；

解法二：利用枚舉法：出生年齡每延后一年，退休年齡延后三個月，可得結(jié)果.

【詳解】解法一：根據(jù)題意，出生年月在1965年1月一4月的人的法定退休年齡記為4,

出生年月在1965年5月一8月的人的法定退休年齡記為的，

出生年月在1965年9月一12月的人的法定退休年齡記為生，…，

則｛勺｝構成等差數(shù)列，首項%-60歲+1個月，公差，為1個月，可得q=60歲+〃個月.

依此規(guī)律，1970年5月出生的男職工，他的退休年齡應該是｛%｝的第17項,

即他的退休年齡為&=60歲+"個月=61歲+5個月.

解法二：利用枚舉法：出生年齡每延后一年，退休年齡延后三個月.

出生年

退休年齡

齡

1965.560歲+2個月

1966.560歲+5個月

1967.560歲+8個月

60歲+11個

1968.5

月

1969.561歲+2個月

1970.561歲+5個月

故選：B.

；為,〃為偶數(shù)

2.，則卬=（）

8.（2025?山東臨沂?三模）在數(shù)列｛4｝中，已知4=1,〈%

4+—,〃為奇數(shù)

2

.33□3365

焚D.

A.64128

【答案】B

【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出生。t即可求解.

【詳解】依題意‘%"+1=g（/”T+g），則。2”+1-而

因此數(shù)列他是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，

則〃2“TT=（J）"，=；+4）"，所以當〃=6時，％=；+4）6=言.

22222264

故選：B.

9.（2025?河南三門峽?三模）已知數(shù)列｛q｝的前〃項和是S”，若3=（-1嚴4+〃（“22）,〃￡^,則『25=

（）

A.-1B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】由數(shù)列的通項與前〃項和的關系，分別令〃-2027,n-2026,解方程可得所求值.

【詳解】數(shù)列｛《,｝的前〃項和是弟，若S.二（-l嚴可+〃（在2）,〃wN',

則當〃22時，S.T=（-

兩式相減可得=（一1嚴%-（一1）”%+1（，此2）,

當〃=2027時，，。27=%。27+%）26+1，解得。2。26=一1，

當〃=2026時，4（）26=一〃2026—%）25+]，解得d2O25=3.

故選：D.

10.（2025?江蘇蘇州?三模）已知數(shù)列｛q｝滿足則（）

A.%>a,B.a>-

n2

C.1013。2025VlD.2025a202s<1

【答案】C

【分析】根據(jù)給定的遞推公式，變形計算判斷AB；裂項，結(jié)合累加法求通推理判斷CD.

【詳解】對于A,由也=1一；4,得對=。，>。，

則4>%+i，A錯誤;

anZ2

對于B,由q=l,得生=；，當拉23時，B錯誤;

對于CD,由「呆,得6=2]=（2-/）+%__1?一1

E則

a,向（2-an2-aJ

111I1.〃-1n+\

即二一二二，則當》時，—=—+-------+---------+???+---------->1+

%%2-q2-a22-a122

1,1〃+1

-2ss1013x2,

-二1,因此一Nf,a<f1013a，o,5<-----------=1,

%42n~n+\-°-52026

2。25。2025V有冷，而嗡Z>],c正確，D錯誤.

202o202o

故選：C

H.（2025?重慶?三模）數(shù)列｛a〃｝滿足q+3=a〃+q,+]-q+2（〃NL〃eN），M4=L電=I,%=2,則（）

A.?2024=-1011B.%024=-10】2

C.生。”=1013D.?2025=1014

【答案】C

【分析】求出前12項，觀察奇偶項規(guī)律可得，奇數(shù)項構成首項為1公差為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項構成首項

為1公差為-1的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項公式求解庫可.

【詳解】因為數(shù)列口｝滿足q+3=?！?——4+25N1，〃€N）,且4=1,々=1，%=2,

所以+%一%=1+1-2=0；

%=/+%-4=1+2—0=3；

〃6=%+-%=2+()-3=-I;

%=?4+a5~a6=0+3-(-l)=4.

仆=%+牝-%=3+(-1)-4=一2；

4o=0+4-佝=4+(-2)-5=-3;

41=6+〃9-40=(-2)+5-(-3)=6；

《2=%+%o-41=5+(—3)—6=-4；

觀察奇偶項規(guī)律：

奇數(shù)項：4=1嗎=2嗎=3,，=4,，=5,即=6,構成首項為1公差為1的等差數(shù)列，

令〃=2k-l,貝!)&=，■i?,通項公式為％t=%IT=1+(%-l)xl=k=g^;

偶數(shù)項：生=1,q=。4=7嗎=-2M。=-3,%=-4,構成首項為1公差為T的等差數(shù)列,

令n=2k,貝必=微，通項公式為/=%*=1+(Z-I)X(T)=2-A=2-1,通項公式為勺=2-；,

2024

^24=2—y-=-1010,選項AB錯誤；

生o?=W^=l°13,選項C正確，選項D錯誤?

故選：C.

12.(2025?上海?三模)設數(shù)列｛3｝的各項均為北零的整數(shù)，其前，，項和為S”.設3為正整數(shù)，若?為正

偶數(shù)時，都有勺之2q恒成立，且S?=(),則5。的最小值為()

A.0B.22C.26D.31

【答案】B

【分析】不妨設0>。，/<。，要使得幾取最小值，且各項盡可能小，根據(jù)題意，分別列出%，%，6，%，

%,〃9,%。，滿足的不等式組,，得到q0的最小值2%,進而求得4=1時，九有最小值，即可求解.

【詳解】因為S,=q+d=。，所以4%互為相反數(shù)，不妨設4>00<。，

要使得凡取最小值，取奇數(shù)項為正值，取偶數(shù)項為負值，且各項盡可能小，

由題意知，出滿足為之2《，取心的最小值為2%,

｛a.>2a.

則為滿足1，因為6>0,4q>2q,故取火的最小值46，

a5>2%24q

a-,>2q

%滿足9之2%"a1,因為4>0,8^>4a,>2alf故取知的最小值84,

>2as34%之8q

aa

同理，取。9的最小值1同，所以4++5+%+%=\+同+同+同+16%=3\a｛,

由滿足。4N2生，取出的最小值2的，

4滿足廠，因為生<0,所以加2>4%，取4的最小值2生，

ab>2a4>4%

卬22%

出滿足，2,因為生<0，所以24>4%>8%,取用的最小值2a2,

.>2a&>4%N8a2

同理，?。的最小值2a2，所以/+/+4+6+60=%+242+2。2+2%+2%=9生,

所以So=31q+9/=31q-9q=22a,,

因為數(shù)列｛q｝的各項均為非零的整數(shù)，4>。，所以當4=1時，、。有最小值22.

故選：B.

二、多選題

13.（2025?廣西河池?二模）已知數(shù)列｛q｝滿足％川=巴三且4=2,則下列說法正確的是（）

n

I

A.a.=--

B.數(shù)列｛《J是周期數(shù)列

C.是等差數(shù)列

I凡+1J

D.數(shù)列｛《：｝的通項公式為q=

3〃一1

【答案】ACD

【分析】根據(jù)給定的遞推公式，依次計算判斷A；變形給定的遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列定義判斷BCD.

a1a-11

【詳解】對于A,由4=2,得七=花=產(chǎn)=*=-"人正確;

12a+21?+3(a+1)+211

對于BC,由，Z+1=會不得------=-....=--------=-+-----

+3寸.+12an+22(an+1)2an+1

則上一六號'數(shù)列｛煦｝是首項為:'公差為g的等差數(shù)列'B錯誤'C正確;

對于D，1~匕=:+：（〃-1）二與‘，貝！K+lN'T、，解得D正確?

?！?13，o3〃-13n-1

故選：ACD

14.（2025?四川成都?三模）已知公差為1的等差數(shù)列｛qj滿足%％成等比數(shù)列，則（）

A.4=2

B.｛4｝的前八項和為當勺

C.<—!的前8項和為1

18

D.｛(-1)"),｝的前50項和為-25

【答案】ABD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式及等比中項列方程求解判斷A,由等差數(shù)列求和公式判斷B,利用裂項相

消法求和判斷C,根據(jù)通項公式并項求和可判斷D.

【詳解】對于A,因為外見9成等比數(shù)列，所以。回=必，即4■+6)=(4+2)2,解得4=2,故A正確；

對于B,｛4｝的前〃項和為-(2；+1)=巴要,故B正確；

1111

對于G因為/；=(〃+1)(〃+2)=—1一*工,

所以ti?｝的前8項和為身+W鷲4十*1，故C錯誤；

對于D,因為(T廣&=(-1產(chǎn)(〃+1),

所以｛(—)"%“｝的前50項和為2—3+4-5+…+50—51=—25,故D正確.

故選：ABD

15.(2025?廣東茂名?二模)等差數(shù)列㈤｝中，/+為=-12,%+的=2.記數(shù)列｛《｝前〃項和為S“，下列選

項正確的是()

A.數(shù)列｛/｝的公差為2B.S。取最小值時，〃=6

C.S4=S7D.數(shù)列*“|｝的前10項和為50

【答案】AD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式得關于外"的方程，解出則得到工，最后一一判斷選項即可.

4=2

【詳解】對A,設等差數(shù)列｛q｝的公差為4,則由題意知

a,=-9

解得,c,故A正確；

4=2

nn22

對B,4=-9+2(〃-1)=2〃-11,Sn=-9n+^^x2=n-I0n=(H-5)-25,

則當〃=5時，S”取最小值一25,故B錯誤；

對C,S4=4?—10x4=-24,S,=72-10X7=-21,貝J)S,wS?,故C錯誤；

對D,數(shù)列｛㈤｝的前10項和為卜9|+|-7|+|-5|+|-3|+|-1|+1+3+5+7+9=50,故D正確.

故選：AD.

Z\

16.(2025?湖北黃岡?三模)已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為工，為sin加+g+4川=〃.則下列式子的值可以確

定的是()

A.Si。？B.S］0GC.4+%04D.42+400

【答案】BCD

【分析】推導出。2間+。2“-1=1，出“+2+/0=4〃+1,其中%-4=1，%+4的值不確定，然后利用分組求

和法可判斷AB選項；利用并項求和法可判斷CD選項.

【詳解】由題意得，a”cos(/m)+%=〃，即4川+(-1)"%=〃，〃eN",

所以生”一生1二2〃-1,%的+生”=2〃，生“+2一生二2〃+1,,?eN\

可得外向+=1，。2”+2+生”=4〃+1,

由此可得數(shù)列中相鄰兩奇數(shù)項的和可以確定，相鄰兩偶數(shù)項的和可以確定，

其中%-4=1,%+6的值不確定.

對于A選項，5102=%+4+(%+%)+(%+%)+??.+(如+4oJ

+(%+%)+(/+4。)+一?+(400+602),

其中4+6的值不確定，故選項A錯誤；

對于B選項，S100=4+%+…+4oo=(q+4)+(%+%)+???+(%+%)

+(/+4)+(%+/)+,?+(/+%o)?

每一組數(shù)都可以確定，故選項B正確；

對于D選項，/+400=(。2+4)-(4+%)+…+(0+400)

一［［%+%)+(%+%。)+.一+(陽+為8)］，

每一組數(shù)都可以確定，故選項D正確；

對于C選項，因為知+|+。2”=2〃，故(生+。3)+(。4+%)+…+(4O2+4O3)，

因為S3=(%+%)十(%十%)+…十(％oi+“3)

+3+。4)+(4+%)+…+(402+%”)，每一組數(shù)都可以確定，

則4+4(M=SQ-生+%)+(/+)+…+(《02+《03)］為定值，故選項C正確.

故選：BCD.

17.(2025?湖南長沙?三模)已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S.,4=1,且何用-⑷=p〃，則下列結(jié)論正確的是

()

A.若｛%｝是遞增數(shù)列，且3q、4%、5%成等差數(shù)列，則p=]

B.若〃=g,且｛/“_J是遞增數(shù)列，｛%”｝是遞減數(shù)列，則狐+

C.若〃=1,則存在數(shù)列上“，使得當〃=軟心€葉）時，S.=〃

D.若〃=1,則存在數(shù)列｛4｝,使得當〃=4攵-l（AeN"）時，5'=〃

【答案】ABC

【分析】由｛4｝是遞增數(shù)列，先得到，=再由網(wǎng),4生,5%成等差數(shù)列，％=1,列出方程求出P的

值，即可得出結(jié)果,可判斷A選項;先由題中條件，得到的“-"7>0，，““-。2〃<°，推出/一"=怨上，

再由累加法，即可求出數(shù)列｛〃”｝的通項公式，可判斷B選項；由=得到。.=凡±1；討論〃=軟

或〃=42-3僅".）；〃=必-2或〃=4&-1（攵6.）兩類情況，即可分別得出結(jié)論，可判斷CD選項.

【詳解】對于A選項，因為｛〃,,｝是遞增數(shù)列，所以4用-4=|。向-?！皘="'.

因為6=1，所以4=1+〃，/T+P+P，

又因為34、4電、5%成等差數(shù)列，所以8%=3%+5%,

即8。+〃）=3+5（1+〃+/）,即5P2_3p=0,解得〃=0或〃=|.

當p=。時，。向=外,這與?｝是遞增數(shù)列相矛盾，所以〃=g,A對；

對于B選項，因為是遞增數(shù)列，則有《e-小小>。，

于是（%+—%）+⑸-叫）>0①

因為表<備，所以⑸+1-〃2」J②

由①、②得，生”一生3>。，

因此%-*=（fT，即知—霽③

又因為｛%」是遞減數(shù)列，貝！1有%.2一%,<0,于是（。+2一%用）+（%「。2“）<0④

因為備〈表，所以|%”+2-%/<|%用-〃2』⑤

由④、⑤得，。2”+1-42”<。，

因此--隙，即—乎⑥

（-1嚴

由③、⑥可得q“+I■一〃=------■

3”

于是當“之2時，可=4+（出一《）+（%一。J+…+（勺一/1）

3323小3,4443”“

日n51(-1)M

即a=—+—x----—.

”n44

當〃=1時，代入上式得6=1,與已知條件相吻合.

所以所求數(shù)列｛〃”｝的通項公式是+77GN\B對；

對于CD選項，當〃=4攵或〃=4&-3pcN）時，存在數(shù)列｛%｝,使得S.=〃.

此時數(shù)列｛為｝滿足4卜3=《1=1，*2=0,恁1=2,

ALAb—4

則有%=j（l+0+l+2）=4A,S4k,3=a｝+-^—x（0+l+2+l|=4^-3,

即，n=〃.

當〃=軟—2或〃=4A-l（AwN）時，不存在數(shù)列｛叫，使得S“=〃.

理由如下：因為心"I-。」=1,所以4+|=q±1;

又因為q=1為奇數(shù)，則當〃eN,時，/a為奇數(shù)，X為偶數(shù),

所以當AeN?時，S*2為奇數(shù)，S’-為偶數(shù)，

因此%_2=必-2,5皿=以-1均不可能成立.

于是當“=4%-2或〃=以—l（AaN'）時，不存在數(shù)列｛%｝,使得S”=〃，C對D錯.

故選：ACD.

三、填空題

18.（2025.廣東揭陽?三模）已知正項等比數(shù)列｛《,｝滿足％=1,6%,4%成等差數(shù)列，則其公比為

【答案】3

【分析】由等差中項公式和等比數(shù)列通項公式直接計算即可求解.

【詳解】設㈤｝的公比為4（4>0）,

又因為6q,6，4%成等差數(shù)列，

所以2%=6《+4生，可得d-24-3=0,解得9=3或“=-1（舍去）?

故答案為：3.

19.（2025?河南許昌?三模）設S.是等比數(shù)列｛q｝的前〃項和，q-q=3,4-%=6,則*=

【答案】21

【分析】設等比數(shù)列｛&｝公比為心根據(jù)已知條件求出《、，/的值，再利用等比數(shù)列的求和公式化可求出反

的值.

【詳解】設等比數(shù)列｛4｝公比為4,當4=1時，4=%=%，此時生-4=。，與題意不符，

a.-ch=a.q（q-\]=6,一二3

所以夕工1,由題意可得J，解得

由等比數(shù)列求和公式得s「平二LN=L21.

I-qI-2

故答案為：21.

20.（2025?北京?三模）已知等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”,滿足卬=1,2S”=3%.「3.則邑為—；滿足S”>5

的最小的整數(shù)〃為—.

【答案】|3

【分析】將〃賦值可求得的,即可求得S?；根據(jù)4,求出S”，進而解不

等式即可求解.

【詳解】???4=1,2s“=3凡「3,

當〃=1時，$=4=1,貝lj2s1=34一3,二.生=3，

。.58

3、=a.+a-,=1+—=—?

--33

???｛%｝是等比數(shù)列，設公比為明，。=&二3，

35

In巨

化簡得信丫〉兩邊取自然對數(shù)并整理得，2.87,故最小整數(shù)〃=3,

⑴3in

3

當〃=3時，S3=|（|）-1?5.44>5,滿足條件.

Q

故答案為：-；3.

21.（2025?浙江?二模）己知數(shù)列｛叫和佃｝滿足卬=1,々=0,4,*=34—2+4,4%產(chǎn)3么一q—4,則

凡一"=?

【答案】2zi-l

【分析】先根據(jù)等差數(shù)列的定義得出數(shù)列｛?=2｝是等差數(shù)列；再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求解

【詳解】因為4a向=3%-。+4,4%=3“-q,-4,

所以兩式相減可得：4（…％）=4（4-2）+8,即/-%=（4也）+2.

所以數(shù)列｛4-4｝是以6-4=1為首項，2為公差的等差數(shù)列，

故%-"=1+2（〃-1）=2〃-1.

故答案為：2n-\.

22.（2025?天津?二模）數(shù)列｛《,｝的項是由1或2構成，且首項為1,在第k個1和第A+1個1之間有個

2,即數(shù)列｛q｝為：1,2,1,2,221,2,222,2,1，….記數(shù)列｛4｝的前〃項和為S"，則S?*：

【答案】364005

【分析】根據(jù)數(shù)列｛4｝得到構成，直接觀察1和2的個數(shù)，再求5?。；觀察數(shù)列｛q｝,利用等差數(shù)列的求和

公式，確定數(shù)列1和2的個數(shù)，再求和S2

【詳解】由條件可知，前20項有4個1,2的個數(shù)為1+3+5+7=16個，

所以數(shù)列｛%｝的前20項的和為S”=4+16x2=36；

前上+［個］之間有（1+2&二1）&個2,

2

所以k+1個1和二個2的個數(shù)為公十