相似三角形專(zhuān)題復(fù)習(xí)：從基礎(chǔ)到綜合應(yīng)用的深度剖析相似三角形作為平面幾何的核心內(nèi)容之一，不僅是全等三角形知識(shí)的延伸與拓展，更是解決復(fù)雜幾何問(wèn)題、培養(yǎng)邏輯推理能力和空間想象能力的重要載體。本專(zhuān)題復(fù)習(xí)旨在幫助同學(xué)們系統(tǒng)梳理相似三角形的判定與性質(zhì)，并通過(guò)典型例題的剖析與變式訓(xùn)練，提升綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。一、復(fù)習(xí)目標(biāo)與核心素養(yǎng)在進(jìn)入具體知識(shí)梳理前，我們首先要明確本次復(fù)習(xí)希望達(dá)成的目標(biāo)，這不僅關(guān)乎知識(shí)的鞏固，更關(guān)乎數(shù)學(xué)能力的提升。*知識(shí)與技能：熟練掌握相似三角形的定義、判定定理及性質(zhì)定理，并能靈活運(yùn)用它們進(jìn)行幾何證明與計(jì)算；理解相似比的概念，能結(jié)合比例線(xiàn)段、等比性質(zhì)、合比性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題；能識(shí)別并構(gòu)造基本相似模型（如“A”型、“X”型、母子型、一線(xiàn)三垂直等）。*過(guò)程與方法：經(jīng)歷“觀察—猜想—驗(yàn)證—推理—應(yīng)用”的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想在解決相似問(wèn)題中的應(yīng)用；通過(guò)一題多解與多題一解，培養(yǎng)思維的靈活性與深刻性。*情感態(tài)度與價(jià)值觀：感受相似圖形的和諧與統(tǒng)一之美，激發(fā)對(duì)幾何學(xué)習(xí)的興趣；在解決具有挑戰(zhàn)性問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)克服困難的意志品質(zhì)和合作探究精神。二、核心知識(shí)梳理與要點(diǎn)突破相似三角形的復(fù)習(xí)，必須牢牢抓住“判定”與“性質(zhì)”這兩條主線(xiàn)，并深刻理解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。（一）相似三角形的定義對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）。要點(diǎn)詮釋?zhuān)?.相似三角形的定義既是判定方法（定義法），也是性質(zhì)。2.相似比具有順序性。若△ABC與△A'B'C'的相似比為k，則△A'B'C'與△ABC的相似比為1/k。3.全等三角形是相似比為1的特殊相似三角形。（二）相似三角形的判定方法判定三角形相似是解決相似問(wèn)題的前提，我們需要熟練掌握以下判定方法，并能根據(jù)已知條件靈活選擇。1.定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。（不常用，但最基本）2.平行法：平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。（“A”型或“X”型模型的直接應(yīng)用）3.判定定理1（AA或AAA）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。*引申：有一組角對(duì)應(yīng)相等，且?jiàn)A這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，這兩個(gè)三角形相似。（此為SAS判定，見(jiàn)下）4.判定定理2（SAS）：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。5.判定定理3（SSS）：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。6.直角三角形相似的特殊判定：*斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似。*直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。（“母子型”相似，極為重要）要點(diǎn)突破：*“AA”判定是最常用的方法，尋找等角是關(guān)鍵。常見(jiàn)的等角來(lái)源有：對(duì)頂角、公共角、平行線(xiàn)的同位角/內(nèi)錯(cuò)角、等角的余角（或補(bǔ)角）相等、角平分線(xiàn)、等腰三角形的底角等。*使用“SAS”判定時(shí)，務(wù)必注意“夾角”相等，不可誤用于“邊邊角”的情況。*對(duì)于復(fù)雜圖形，要學(xué)會(huì)從圖形中分解出基本相似模型，或通過(guò)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形。（三）相似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)是解決與比例線(xiàn)段、面積相關(guān)計(jì)算問(wèn)題的依據(jù)。1.對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。2.對(duì)應(yīng)線(xiàn)段（高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)）的比等于相似比。3.周長(zhǎng)的比等于相似比。4.面積的比等于相似比的平方。要點(diǎn)詮釋?zhuān)?性質(zhì)中的“對(duì)應(yīng)”二字至關(guān)重要，必須明確哪條邊（或線(xiàn)段）對(duì)應(yīng)哪條邊（或線(xiàn)段）。*面積比是相似比的平方，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，需特別注意。反過(guò)來(lái)，若已知面積比，則相似比為面積比的算術(shù)平方根。三、常見(jiàn)輔助線(xiàn)作法與解題策略在解決相似三角形問(wèn)題時(shí)，恰當(dāng)添加輔助線(xiàn)往往能起到“柳暗花明”的效果。1.作平行線(xiàn)：構(gòu)造“A”型或“X”型相似。這是最常用的輔助線(xiàn)之一，目的是轉(zhuǎn)移比例或構(gòu)造等角。2.作垂線(xiàn)：在直角三角形或與高相關(guān)的問(wèn)題中，構(gòu)造直角三角形相似（如母子型相似）。3.倍長(zhǎng)中線(xiàn)或類(lèi)中線(xiàn)：在涉及中點(diǎn)或中線(xiàn)的問(wèn)題中，嘗試構(gòu)造全等或相似三角形。4.截長(zhǎng)補(bǔ)短：在證明線(xiàn)段和差關(guān)系時(shí)，結(jié)合相似比進(jìn)行轉(zhuǎn)化。解題策略：*仔細(xì)審題，標(biāo)注已知條件：將題目中的已知角、已知邊、相等關(guān)系、特殊圖形等在圖中標(biāo)出，便于觀察。*尋找相似三角形：從已知條件出發(fā)，看是否有直接的相似三角形；若無(wú)，則考慮通過(guò)輔助線(xiàn)構(gòu)造。*靈活運(yùn)用比例性質(zhì)：如比例的基本性質(zhì)（交叉相乘）、合比性質(zhì)、等比性質(zhì)等，進(jìn)行比例式的變形與轉(zhuǎn)換。*注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于求線(xiàn)段長(zhǎng)度等問(wèn)題，常設(shè)未知數(shù)，根據(jù)相似關(guān)系列出比例式（方程）求解。*多思多想，一題多解：嘗試從不同角度分析問(wèn)題，尋找多種解題途徑，培養(yǎng)發(fā)散思維。四、典型例題精析（一）基礎(chǔ)鞏固型例1如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC。若AD=3，DB=2，AE=6，求EC的長(zhǎng)。分析：本題直接考查“平行法”判定相似及相似三角形性質(zhì)。∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例）。∴AD/AB=AE/AC。已知AD=3，DB=2，則AB=AD+DB=5。AE=6，設(shè)EC=x，則AC=AE+EC=6+x。∴3/5=6/(6+x)，解得x=4。故EC=4。點(diǎn)評(píng)：“A”型相似的基本應(yīng)用，注意比例式的正確書(shū)寫(xiě)。（二）模型應(yīng)用與判定綜合型例2如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高。(1)求證：△ACD∽△ABC∽△CBD；(2)若AC=6，BC=8，求AD、BD、CD的長(zhǎng)。分析：(1)本題是“母子型”相似的經(jīng)典模型?！摺螦CB=90°，CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°。又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC（AA）。同理可證△CBD∽△ABC?！唷鰽CD∽△ABC∽△CBD。(2)在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，由勾股定理得AB=10。由(1)知△ACD∽△ABC，∴AC/AB=AD/AC，即6/10=AD/6，解得AD=3.6?！郆D=AB-AD=10-3.6=6.4。由△ACD∽△CBD，得CD/AD=BD/CD，即CD2=AD·BD=3.6×6.4=23.04，∴CD=4.8（取正值）。（或利用面積法：S△ABC=1/2AC·BC=1/2AB·CD，也可求得CD）。點(diǎn)評(píng)：“雙垂直”模型（母子型相似）及其性質(zhì)（射影定理的雛形）必須熟練掌握，它在計(jì)算線(xiàn)段長(zhǎng)度、證明比例式等方面有廣泛應(yīng)用。（三）動(dòng)態(tài)探究與分類(lèi)討論型例3如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0<t<3）。連接PQ，當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ與△ABC相似？分析：本題涉及動(dòng)態(tài)點(diǎn)，需根據(jù)相似三角形的不同對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行分類(lèi)討論。由題意：BP=t，CQ=2t，則BQ=BC-CQ=6-2t。∵AB=AC=5，∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C。要使△BPQ與△ABC相似，已知∠B是公共角，故有兩種可能：①△BPQ∽△BAC（此時(shí)∠BPQ=∠A，∠BQP=∠C）則BP/BA=BQ/BC，即t/5=(6-2t)/6解得：6t=5(6-2t)→6t=30-10t→16t=30→t=15/8=1.875②△BPQ∽△BCA（此時(shí)∠BPQ=∠C，∠BQP=∠A）則BP/BC=BQ/BA，即t/6=(6-2t)/5解得：5t=6(6-2t)→5t=36-12t→17t=36→t=36/17≈2.117∵0<t<3，∴t=15/8和t=36/17均符合題意。故當(dāng)t為15/8秒或36/17秒時(shí)，△BPQ與△ABC相似。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的相似三角形判定，若有一個(gè)公共角（或已知一對(duì)等角），常需分兩種情況討論對(duì)應(yīng)邊成比例，注意檢驗(yàn)解的合理性（是否在給定范圍內(nèi)）。五、分層測(cè)評(píng)與反饋提升為了檢驗(yàn)復(fù)習(xí)效果，以下提供一組分層練習(xí)題，請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成，并進(jìn)行自我評(píng)估與反思。（一）基礎(chǔ)鞏固題（夯實(shí)基礎(chǔ)，確保掌握）1.下列條件中，不能判定△ABC與△A'B'C'相似的是（）A.∠A=∠A'，∠B=∠B'B.AB/A'B'=AC/A'C'=BC/B'C'C.AB/A'B'=AC/A'C'，∠B=∠B'D.∠C=∠C'=90°，AB/A'B'=AC/A'C'2.若△ABC∽△DEF，且相似比為2:3，則它們的周長(zhǎng)比為_(kāi)_____，面積比為_(kāi)_____。3.如圖，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，則EC=______。（此處應(yīng)有圖：一個(gè)三角形ABC，DE平行于BC，D在AB上，E在AC上）4.在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=4，BD=9，則CD=______，AC=______。（二）能力提升題（綜合應(yīng)用，深化理解）5.如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，作BF⊥AE于F，交CD于G。求證：△ABE∽△BCG。（此處應(yīng)有圖：正方形ABCD，E在BC上，AE被BF垂直，F(xiàn)為垂足，G在CD上）6.如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在BC、AB上，且∠ADE=∠B。(1)求證：△ACD∽△DBE；(2)若AB=5，BC=6，BD=2，求BE的長(zhǎng)。（此處應(yīng)有圖：等腰三角形ABC，AB=AC，D在BC上，E在AB上，連接AD、DE）（三）拓展探究題（挑戰(zhàn)思維，提升能力）7.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4。點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單位/秒；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2個(gè)單位/秒。當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。連接PQ，是否存在某一時(shí)刻t，使得以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（此處應(yīng)有圖：Rt△ABC，∠C=90°，P在AC上從A向C運(yùn)動(dòng)，Q在BC上從C向B運(yùn)動(dòng)）8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,3)，B(4,0)，連接AB。點(diǎn)P是線(xiàn)段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過(guò)點(diǎn)P分別作PD⊥y軸于D，PE⊥x軸于E。設(shè)矩形PDOE的面積為S，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值。（此處應(yīng)有圖：坐標(biāo)系，A在y軸正半軸，B在x軸正半軸，AB線(xiàn)段，P在AB上，PD垂直y軸，PE垂直x軸，構(gòu)成矩形PDOE）參考答案與提示：（此處略去詳細(xì)答案，實(shí)際教案中應(yīng)提供。提示：1.C；2.2:3,4:9；3.1.5；4.6,2√13；5.提示：利用同角的余角相等找等角；6.(1)提示：利用外角性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)找等角；(2)BE=14/5；7.t=12/11或t=3/2；8.S=-3/4x2+3x(0<x<4)，最大值為3，當(dāng)x=2時(shí)取得。）六、總結(jié)與反思相似三角形的復(fù)習(xí)，不僅僅是知識(shí)點(diǎn)的簡(jiǎn)單回顧，更是對(duì)思維方法和解題技巧的綜合錘煉。希望同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)過(guò)程中，能夠做到：*回歸課本，夯實(shí)基礎(chǔ)：深刻理解定義、定理的本質(zhì)，不要滿(mǎn)足于表面記憶。*勤于思考，善于總結(jié)：對(duì)常見(jiàn)的模型、輔助線(xiàn)作法、解題思路進(jìn)行歸納整理，形成自己的知識(shí)體系。*勇于實(shí)踐，不怕犯錯(cuò)：通過(guò)