九年級(jí)下冊(cè)第三章圓第9課時(shí)切線的判定與三角形的內(nèi)切圓1.

如圖，OA是☉O的半徑，∠B＝25°，∠AOB＝65°.求證：AB是

☉O的切線.證明：∵∠B＝25°，∠AOB＝65°，∴∠OAB＝180°－25°－65°＝90°.∴OA⊥AB.

∵OA是☉O的半徑，∴AB是☉O的切線.證明：∵∠B＝25°，∠AOB＝65°，∴∠OAB＝180°－25°－65°＝90°.∴OA⊥AB.

∵OA是☉O的半徑，∴AB是☉O的切線.2.

如圖，AC是☉O的直徑，點(diǎn)D在☉O上，過點(diǎn)D的直線BD與AC的延

長(zhǎng)線交于點(diǎn)B，AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，AD平分∠BAE.

求證：BD是

☉O的切線.證明：如圖，連接OD.

∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.

∵AD平分∠BAE，∴∠EAD＝∠OAD.

∴∠EAD＝∠ADO.

證明：如圖，連接OD.

∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.

∵AD平分∠BAE，∴∠EAD＝∠OAD.

∴∠EAD＝∠ADO.

∴AE∥OD.

∴∠ODB＝∠AED.

∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°.∴∠ODB＝90°.∵OD是☉O的直徑，∴BD是☉O的切線.∴AE∥OD.

∴∠ODB＝∠AED.

∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°.∴∠ODB＝90°.∵OD是☉O的直徑，∴BD是☉O的切線.3.

如圖，在△ABC中，∠C＝100°.(1)尺規(guī)作圖：作出△ABC的內(nèi)心O.

(保留作圖痕跡，不寫作法)解：(1)如圖，點(diǎn)O即為所求.

解：(1)如圖，點(diǎn)O即為所求.(2)求∠AOB的度數(shù).解：(2)如圖，連接AO.

解：(2)如圖，連接AO.

∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，∴AO平分∠CAB，BO平分∠ABC.

∵∠C＝100°，

∴∠AOB＝180°－(∠OAB＋∠OBA)＝140°.4.

如圖，△ABC內(nèi)接于☉O，∠B＝60°，CD是☉O的直徑，點(diǎn)P是

CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AP＝AC.

(1)求證：PA是☉O的切線.解：(1)證明：如圖，連接OA.

解：(1)證明：如圖，連接OA.

∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°.又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°.∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°.∴OA⊥PA.

∴PA是☉O的切線.

解：(2)在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴PO＝2OA＝OD＋PD.

又∵OA＝OD，∴PD＝OA.

5.

如圖，木工用角尺的短邊緊靠☉O于點(diǎn)A，長(zhǎng)邊與☉O相切于點(diǎn)B，角

尺的直角頂點(diǎn)為點(diǎn)C.

已知AC＝6

cm，CB＝8

cm，則☉O的半徑

為

cm.

6.

如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，

以點(diǎn)D為圓心，BD長(zhǎng)為半徑作☉D交AB于點(diǎn)E.

(1)求證：☉D與AC相切.解：(1)證明：如圖，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.

解：(1)證明：如圖，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.

∵∠B＝90°，∴AB⊥BC.

∵CD平分∠ACB，∴BD＝DF.

∴DF是圓的半徑.∴☉D與AC相切.∵∠B＝90°，∴AB⊥BC.

∵CD平分∠ACB，∴BD＝DF.

∴DF是圓的半徑.∴☉D與AC相切.(2)若AC＝5，BC＝3，試求AE的長(zhǎng).解：(2)設(shè)圓的半徑為x.∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，

∵AC，BC是圓的切線，∴BC＝CF＝3.∴AF＝AC－CF＝2.∵AB＝4，∴AD＝AB－BD＝4－x.

∴AE＝4－3＝1.7.

如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，以AB為直徑的☉O交BC于點(diǎn)

D，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，判斷直線DE與☉O的位置關(guān)系，并說明理由.解：直線DE與☉O相切.理由如下：如圖，連接OD，AD.

∵AB為☉O的直徑，∴∠ADB＝90°.∴△ADC為直角三角形.∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，解：直線DE與☉O相切.理由如下：如圖，連接OD，AD.

∵AB為☉O的直徑，∴∠ADB＝90°.∴△ADC為直角三角形.∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴ED＝EA.

∴∠EAD＝∠EDA.

∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.

∴∠EAD＋∠OAD＝∠EDA＋∠ODA.

∴∠EDO＝∠EAO＝90°，∴ED⊥OD.

∴DE為☉O的切線.∴ED＝EA.

∴∠EAD＝∠EDA.

∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.

∴∠EAD＋∠OAD＝∠EDA＋∠ODA.

∴∠EDO＝∠EAO＝90°，∴ED⊥OD.

∴DE為☉O的切線.8.

如圖，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長(zhǎng)線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D.

(1)求證：∠BAD＝∠CBD.

證明：(1)∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD＝∠CAD.

∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.

證明：(1)∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD＝∠CAD.

∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.

(2)求證：BD＝ID.

證明：(2)如圖1，連接BI.

證明：(2)如圖1，連接BI.

∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI.

∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.

∴∠BID＝∠ABI＋∠BAD.

∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD＝∠CBD.

∵∠IBD＝∠CBI＋∠CBD，∴∠BID＝∠IBD.∴ID＝BD.

(3)連接BI，CI，求證：點(diǎn)D是△BIC的外心.證明：(3)如圖2，連