DIERZHANG

第二章隨機變量及其分布

I

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現(xiàn)實世界中存在著大量的隨機現(xiàn)象，隨機現(xiàn)象的不確定性和大量重復(fù)試驗中的統(tǒng)計規(guī)律性就

是本章我們重點學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

學(xué)習(xí)本章要注意體會隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性和隨機模擬思想，體會概率模型的作用和概

率思想的基本特征.

2.1禽散型隨機變量及其分布列

2.1.1離散型隨機變量

自主預(yù)習(xí)?探新知

情景引入

在2020年射擊世界杯北京站射擊比賽中，統(tǒng)計某運動員的射擊結(jié)果知，該運動員射擊

所中環(huán)數(shù)均在7環(huán)(含7環(huán))以上，已知該運動員射擊一次命中7環(huán)的概率為0.1,射擊一次

命中7環(huán)，8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)的概率依次成等差數(shù)列.

你知道該運動員射擊命中環(huán)數(shù)的概率分布情況嗎？

新知導(dǎo)學(xué)

1.一個試驗如果滿足下列條件：

(1)試驗可以在相同的情形下_重復(fù)一進(jìn)行;

(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知.的,并且不只一個；

(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的.一個一，但在一次試驗之前卻不能肯定

這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.

這種試驗就是一個隨機試驗，為了方便起見，也簡稱試驗.

2.隨著.試驗結(jié)果.變化而變化的變量稱為隨機變量,隨機變量常用字母X、K々〃

等表示.

3..所有取值可以一一列出一的隨機變量,稱為離散型隨機變量.

預(yù)習(xí)自測

1.袋中有大小相同的紅球6個，白球5個，從袋中每次任意取出一個球，直到取出的

球是白色為止，所需要的取球次數(shù)為隨機變量X,則X的可能取值為(B)

A.1,2,…，6B.1,2,?，,,7

C.1,2,…，11D.1,2,3…

［解析1依題意知最多取7次一定能取到白球，故選B.

2.下列隨機變量中，不是離散型隨機變量的是（B）

A.某無線尋呼臺1分鐘內(nèi)接到的尋呼次數(shù)X

B.某水位監(jiān)測站所測水位在（0,18］這一范圍內(nèi)變化，該水位監(jiān)測站所測水位H

C.從裝有1紅、3黃共4個球的口袋中，取出2個球，其中黃球的個數(shù)j

D.將--個骰子擲3次，3次出現(xiàn)的點數(shù)和X

【解析］水位在（0,18］內(nèi)變化，不能一一列出，故不是離散型隨機變量，故選B.

3.在一次比賽中，需回答三個問題，比賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得2分，回答不正

確倒扣1分，記選手甲回答這三個問題的總得分為副則。的所有可能取值構(gòu)成的集合是

{6,3,0,—3］.

［解析］三個問題回答完，其回答可能結(jié)果有：三個全對，兩對一錯，兩錯一對，三個

全錯，故得分可能情況是6分，3分，0分，一3分，二。的所有可能取值構(gòu)成的集合為{6,3,0,

—3）.

4.某次產(chǎn)品的檢驗，在含有5件次品的100件產(chǎn)品中任意抽取5件，設(shè)其中含有次品

的件數(shù)為X,求X的可能取值及其意義.

［解析］含有次品件數(shù)是0件、1件、2件、3件、4件、5件.

所以X的取值范圍為{0,123,4,5}.

X=0表示抽取的5件產(chǎn)品中含有。件次品，

X=l表示抽取的5件產(chǎn)品中含有1件次品，

X=2表示抽取的5件產(chǎn)品中含有2件次品，

X=3表示抽取的5件產(chǎn)品中含有3件次品，

X=4表示抽取的5件產(chǎn)品中含有4件次品，

X=5表示抽取的5件產(chǎn)品中含有5件次品.

互動探究?攻重難

互動探究解疑

命題方向?

隨機變量的概念

典例1下列變量中，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量？并說明理由.

(1)某機場一年中每天運送乘客的數(shù)量.

(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù).

(3)明年5月1日至I」10月1日期間所查酒駕的人數(shù).

(4)明年某天濟南一青島的某次列車到達(dá)青島站的時間.

［解析］(1)某機場一年中每天運送乘客的數(shù)量可能為0,1,2,3,…，是隨機變化的，因

此是隨機變量.

(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)可能為0』,2,3,…，是隨機變化的，因此是隨

機變量.

(3)明年5月1日到10月1日期間，所查酒駕的人數(shù)可能為0,1,2,3,…，是隨機變化的,

因此是隨機變量.

(4)濟南一青島的某次列車到達(dá)青島站的時間每次都是隨機的，可能提前，可能準(zhǔn)時，

亦可能晚點，故是隨機變量.

『規(guī)律總結(jié)』(1)隨機試驗的結(jié)果是否具有可變性，即每次試驗對應(yīng)的結(jié)果不盡相同.

(2)隨機試驗的結(jié)果的確定性，即每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次

試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.

如果一個隨機試驗的結(jié)果對應(yīng)的變量具有以上兩點，則該變量即為隨機變量.

II跟蹤練習(xí)L■

指出哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理由.

(1)某人射擊一次命中的環(huán)數(shù)；

(2)任意擲一枚均勻硬幣5次，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)；

(3)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)；

(4)某個人的屬相隨年齡的變化.

I解析］(1)某人射擊一次，可能命中的所有環(huán)數(shù)是0,1,10,而且出現(xiàn)哪一個結(jié)果

是隨機的，因此命中的環(huán)數(shù)是隨機變量.

(2)任意擲一枚硬幣1次，可能出現(xiàn)正面向上也可能出現(xiàn)反面向上，因此擲5次硬幣，

出現(xiàn)正面向上的次數(shù)可能是0,123,4,5,而且出現(xiàn)哪種結(jié)果是隨機的，因此出現(xiàn)正面向上的

次數(shù)是隨機變量.

(3)擲一枚骰子，出現(xiàn)的結(jié)果是1點，2點，3點，4點，5點，6點中的一個且出現(xiàn)哪一

個結(jié)果是隨機的，因此出現(xiàn)的點數(shù)是隨機變量.

(4)一個人的屬相在他出生時就確定了，不隨年齡的變化而變化，因此屬相不是隨機變

量.

命題方向?

隨機變量的判定

典例2(2020?山東泰安第一中學(xué)檢測)有以下隨機試驗：①某路口一天內(nèi)經(jīng)

過的機動車的輛數(shù)為X；②一天內(nèi)的溫度為X；③某單位的某部電話在單位時間內(nèi)被呼叫的

次數(shù)為X；④某籃球運動員在一次訓(xùn)練中，投中球的個數(shù)為X.上述問題中的X是離散型隨

機變量的是(C)

A.①②③④B.②③④

C.①③④D.①②④

［思路分析］判斷一個變量是否為離散型隨機變量，關(guān)鍵是看它的取值能否一一列出，

若能，則是離散型隨機變量，否則就不是離散型隨機變量.

［解析］隨機試驗的結(jié)果可以一一列出的，就是離散型隨機變量.一天內(nèi)的溫度的取值

不能一一列出，是連續(xù)型隨機變量.故選C.

『規(guī)律總結(jié)』判斷一個變量是否為離散型隨機變量的步驟

(1)根據(jù)題意分析變量是否為隨機變量.

(2)求隨機變量的值域.

(3)判斷變量的取值能否按一定順序列舉出來，若能，則是離散型隨機變量.

II跟蹤練習(xí)2一■

指出下列隨機變量是否是離散型隨機變量，并說明理由.

(1)小明回答20道選擇題，答對的題數(shù)；

(2)某超市5月份每天的銷售額；

(3)某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差X；

(4)武漢市長江水位監(jiān)測站所測水位在(0,29］這一范圍內(nèi)變化，該水位站所測水位X.

［解析］(1)小明回答的題數(shù)X的取值可以一一列出，故X為離散型隨機變量.

(2)某超市5月份每天銷售額可以一一列出，故為離散型隨機變量.

(3)實際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出，不是離散型隨機變量.

(4)不是離散型隨機變量，水位在(0,29］這一范圍內(nèi)變化，不能按次序一一列舉.

學(xué)科核心素養(yǎng)

離散型隨機變量的取值

?■)典例3寫出下列各隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的

隨機試驗的結(jié)果：

(1)在2019年北京大學(xué)的自主招生中，參加面試的5名考生中，通過面試的考生人數(shù)X：

(2)一個袋中裝有5個同樣的球，編號分別為1,2,3,4,5.現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機取出3個球，被

取出的球的最大號碼數(shù)X.

［思路分析I明確隨機變量X的意義，寫出X的所有可能取值及每個值對應(yīng)的試驗結(jié)果.

［解析］⑴X可能取0,1,2,3,4,5.X=i表示“面試通過的有i人"，其中i=0,l,2,3,4,5.

(2)X可取3,4,5.X=3表示“取出的3個球的編號為1,2,3”；X=4表示“取出的3個球

的編號為1,2,4或1,3,4或2,3,4"；X=5表示“取出的3個球的編號為1,2,5或1,3,5或1,4,5

或2,3,5或2,4,5或3,4,5”.

『規(guī)律總結(jié)』因為隨機變量的取值描述了隨機試臉的結(jié)果，因此要準(zhǔn)確寫出隨機變量

的所有取值，就必須弄清楚所有試驗的結(jié)果.還要注意一個隨機變量的取值可能對應(yīng)一個和

多個隨機試驗的結(jié)果，因此在解決這類問題時不能漏掉某些試驗結(jié)果.

II跟蹤練習(xí)3一■

寫出下列隨機變量4的所有可能取值，并說明隨機變量：=4所表示的隨機試驗的結(jié)果.

(1)從10張已編號的卡片(編號從1號到10號)中任取2張(一次性取出)，被取出的卡片

的較大編號為&

(2)某足球隊在點球大戰(zhàn)中5次點球射進(jìn)的球數(shù)為二

|解析】(1片的所有可能取值為2,3,4,10.其中*=4”表示的試驗結(jié)果為“取出

的兩張卡片中的較大號碼為4”.基本事件有如下三種：取出的兩張卡片編號分別為1和4,2

和4或3和4.

(2片的所有可能取值為0,123,4,5.其中‘七=4”表示的試驗結(jié)果為“5次點球射進(jìn)4個

球”.

V

V

易混易錯警示

離散型隨機變量的可能取值搞錯致誤

典例4小王參加一次比賽，比賽共設(shè)三關(guān)，第一、二關(guān)各有兩個必答題，

如果每關(guān)兩個問題都答對，可進(jìn)入下一關(guān)，第三關(guān)有三個問題，只要答對其中兩個問題，則

闖關(guān)成功.每過一關(guān)可一次性獲得價值分別為1000元，3000元，6000元的獎品(不重復(fù)

得獎)用X表示小王所獲獎品的價值，寫出X的所有可能取值.

［錯解］X的可能取值為0,1000,3000,6000.

X=0表示一關(guān)沒過；

X=1000表示只過第一關(guān)；

X=3000表示只過第二關(guān)；

X=600()表示只過第三關(guān).

［辨析J①對題目背景理解不準(zhǔn)確：比賽設(shè)三關(guān)，前一關(guān)不過是不允許進(jìn)入下一關(guān)比賽

②忽略題目中的條件：忽略不重復(fù)得獎，最高獎不會超過6000元.

［正解］X的可能取值為0,1000,3000,6000.

X=0表示“第一關(guān)就沒有通過”；

X=1000表示“第一關(guān)通過，而第二關(guān)沒有通過”；

X=3000表示“第一關(guān)通過、第二關(guān)通過而第三關(guān)沒有通過”；

X=6000表示“三關(guān)都通過”.

［誤區(qū)警示］理解題目背景，弄清各條件的含義，挖掘出隱含條件，準(zhǔn)確寫出隨機變量

的所有可能取值是本章學(xué)習(xí)的重要基本功.

課堂達(dá)標(biāo)?固基礎(chǔ)

1.下列變量中，不是隨機變量的是(B)

A.一射擊手射擊一次命中的環(huán)數(shù)

B.標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，水沸騰時的溫度

C.拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和

D.某電話總機在時間區(qū)間(0,Q內(nèi)收到的呼叫次數(shù)

［解析］標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，水沸騰時的溫度是一個確定值，而不是隨機變量.故選B.

2.若用隨機變量X表示從一個裝有1個白球、3個黑球、2個黃球的袋中取出的4個

球中不是黑球的個數(shù)，則X的取值不可能為(A)

A.0B.1

C.2D.3

［解析］由于白球和黃球的個數(shù)和為3,所以4個球不是黑球的個數(shù)分別可能是1,2,3,

X不可能取0.故選A.

3.在考試中，需回答三個問題，考試規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確

得一100分，則這名同學(xué)回答這三個問題的總得分X的所有可能取值是300,100,—100,

-300.

I解析］可能回答全對，兩對一錯，兩錯一對，全錯四種結(jié)果，相應(yīng)得分為300分，100

分，一100分，一300分.

4.連續(xù)不斷地射擊某一目標(biāo)，首次擊中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)X是一個隨機變量，則X

=4表示的試驗結(jié)果是前3次未擊中目標(biāo)，第4次擊次目標(biāo)..

［解析】由于隨機變量X表示首次擊中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)，所以當(dāng)X=上時，表示前

%—1次均未擊中目標(biāo)，第k次擊中目標(biāo)，故X=4表示的試驗結(jié)果為前3次未擊中目標(biāo)，第

4次擊中目標(biāo).

5.同時擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣.

(1)用X表示擲出正面的個數(shù)，要表示試驗的全部可能結(jié)果，X應(yīng)取哪些值？

(2)X<2和X>0各表示什么？

［解析］(1)擲兩枚硬幣時，擲出正面的個數(shù)可能是0,1,2中的一個，但事先不能確定，

結(jié)果是隨機產(chǎn)生的.

用X表示擲出正面的個數(shù)，X的值應(yīng)隨機地取0,1,2中的某個.

(2)X<2表示事件“正面?zhèn)€數(shù)小于2”，即事件“正面?zhèn)€數(shù)為0或1"；X>0表示事件“正

面?zhèn)€數(shù)大于0”，即事件“正面?zhèn)€數(shù)為1或2”.

2.1.2離散型隨機變量的分布列

自主預(yù)習(xí)?探新知

情景引入

投擲一顆骰子，所得點數(shù)記為第則4可取哪些數(shù)字？《取各個數(shù)字的概率分別是多少？

可否用列表法表示^的取值與其概率的對應(yīng)關(guān)系？投擲兩顆骰子，將其點數(shù)之和記為。則

可能的取值有哪些，你能列出表示。取各值的概率與4取值的對應(yīng)關(guān)系嗎？

新知導(dǎo)學(xué)

1.離散型隨機變量的分布列

(1)定義：一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為XI、X2、…、為、…、斯，X

取每一個值為"=1,2,…，〃)的概率尸(X=X,)=P"以表格的形式表示如下：

……

XX\X2XiXn

…

PPiP2???PiPn

那么上表稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列.

(2)表示：離散型隨機變量可以用表格法、解析法、圖象法表示.

(3)性質(zhì)：離散型隨機變量的分布列具有如下性質(zhì)：

①口20，?=1,2,,,,,”；

②5=―L

2.兩個特殊分布列

(1)兩點分布列

如果隨機變量X的分布列是

X01

P1—pP

這樣的分布列叫做兩點分布列.如果隨機變量X的分布列為兩點分布列，就稱X服從

一兩點分布..而稱〃=P(X=1)為一成功概率一.

(2)超幾何分布列

一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則事件X=k

發(fā)生的概率為7。=4=_尊管劣_,%=0,1,2,…，“，其中機=min{M,n},且"WN,

MWN,〃、M、NGN*,稱分布列

X01…m

「心〃一

Q0c-c處—!必

P…

CX，C%C'fj

為一超幾何分布列一.

如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量X服從超幾何分布.

「kr^n~k

(3)公式P(X=k)=冷產(chǎn)的推導(dǎo)

由于事件{X=A}表示從含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有人件次品這

一隨機事件，因此它的基本事件為從N件產(chǎn)品中任取n件.由于任一個基本事件是等可能

出現(xiàn)的，并且它有_QL_個基本事件，而其中恰有4件次品，則必有(〃一%)件正品，因此事

件口=燈中含有漱氈一個基本事件,由古典概型的概率公式可知P(X=&)=筆當(dāng).

預(yù)習(xí)自測

1.設(shè)離散型隨機變量^的概率分布如下表:

1234

11

Pi

63P

則p的值為(C)

1

C1D

J3u-4

［解析1對于離散型隨機變量分布列中的參數(shù)的確定，應(yīng)根據(jù)隨機變量取所有值時的概

率和等于1來確定，由，+g+，+p=l得p=g,選C.

2.隨機變量X的概率分布規(guī)律為P(*=〃)=而?("=1,2,3,4),其中。是常數(shù)，則尸8

5

9D

23

--

A.3B.4

［解析］???P(X=M)=^-r(n=1,2,3,4),

44005

十

--十=4-

26=4

+■1220

P(1<X<2)=P(X=1)+P(X=2)=4X2+4X6=6,

3.設(shè)隨機變量4的分布為尸k=l、2、3,則。的值為(D)

9

A.1B.B

-11r27

C-13D'73

2

［解析］V^|+Q^+Q^=I,

4.袋中有6個紅球、4個白球，從袋中任取4個球，則至少有2個白球的概率是_蔓_.

［解析］設(shè)取出的白球個數(shù)為離散型隨機變量X,則X的所有可能取值為0、1、2、3、

,CiCs,cic^,90+24+111523

4,川P(Xi2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=己。+c%+C%=-ZIO=麗=我,故LC

至少有2個白球的概率為2昌3

5.某校高三年級某班的數(shù)學(xué)課外活動小組中有6名男生、4名女生，從中選出4人參

加數(shù)學(xué)競賽考試，用X表示其中的男生人數(shù)，求X的分布列.

［解析］依題意隨機變量X服從超幾何分布，

C紀(jì)尸

所以P(X=&)=(%=0、1、2、3、4).

-=四=_!_

..r(x-u)-C4-210>

QCi_4

P(X=1)=Cio-35'

clcl3

P(X=2)=而=7,

P(X=3)=等得,

Lio21

C才C匚1

尸(X=4)=Cto-14'

；.X的分布列為:

X01234

1481

P

2K)352114

互動探究?攻重難

互動探究解疑

命題方向?

離散型隨機變量的分布列

?■)典例1(2020?山東日照實驗中學(xué)月考)袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2

個，從袋中任取3個小球，按3個小球上最大數(shù)字的9倍計分，每個小球被取出的可能性都

相等，用X表示取出的3個小球上的最大數(shù)字，求：

(1)取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率；

(2)隨機變量X的分布列；

(3)計算介于20分到40分之間的概率.

［思路分析］(1)借助古典概型的概率公式求解；(2)列出X的所有可能取值，并求出相

應(yīng)的概率，列出分布列；(3)根據(jù)分布列轉(zhuǎn)化為求概率之和.

［解析I(1)解法一：記''一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A,則

解法二：記''一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”為事件4,“一次取出的3個小

球上的數(shù)字中有兩個數(shù)字相同”為事件B,事件A和事件B是對立事件.

閨工DS、cgeai

因為P(B)=FT=T

12

-=-

所以尸(A)=l—P(8)=l33

(2)由題意，X所有可能的取值為2,3,4,5.

GG+QG__

一瓦一=30

aa+cic?2

尸(X=3)=15;

CQ+Q?3

P(X=4)=-'瓦"—=而;

cicHdC5_

Go--I5

所以隨機變量X的概率分布列為:

X2345

1238

P

3015To15

(3)記“一次取球得分介于20分到40分之間”為事件C,則P(C)=P(X=3或X=4)=

2313

股=3)+%=4)=記+而=市

『規(guī)律總結(jié)』求離散型隨機變量的分布列應(yīng)注意的問題

(1)正確求出分布列的前提是必須先準(zhǔn)確寫出隨機變量的所有可能取值，再依古典概型

求出每一個可能取值的概率.至于某一范圍內(nèi)取值的概率，應(yīng)等于它取這個范圍內(nèi)各個值的

概率之和.

(2)在求解過程中注重知識間的融合，常常會用到排列組合、古典概率及互斥事件、對

立事件的概率等知識.

II跟蹤練習(xí)匚■

從裝有除顏色外完全相同的6個白球，4個黑球和2個黃球的箱中隨機地取出兩個球，

規(guī)定每取出1個黑球贏2元，而每取出1個白球輸1元，取出黃球無輸贏.

(1)以X表示贏得的錢數(shù)，隨機變量X可以取哪些值？求X的分布列；

(2)求出贏錢(即X>0時)的概率.

［解析］⑴從箱中取兩個球的情形有以下6種：

{2個白球},{1個白球，1個黃球},{1個白球，1個黑球},{2個黃球},{1個黑球，

1個黃球},{2個黑球}.

當(dāng)取到2個白球時，隨機變量X=-2；

當(dāng)取到1個白球，1個黃球時，隨機變量X=-l；

當(dāng)取到1個白球，1個黑球時，隨機變量X=l；

當(dāng)取到2個黃球時，隨機變量X=0；

當(dāng)取到1個黑球，1個黃球時，隨機變量X=2；

當(dāng)取到2個黑球時，隨機變量X=4.

所以隨機變量X的可能取值為-2,—1,0,124.

墟__L

/(X--2)-C，2-22，

尸(X=0)=品=表,

a1

驅(qū)=4)=詼=汗

所以X的分布列如下:

524_4

22TTTT33

44119

(2)P(X>0)=P(X=l)+P(X=2)+P(X=4)=yy+元+五=竟.

19

所以贏錢的概率為萬.

命題方向?

離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)及應(yīng)用

典例2設(shè)隨機變量X的分布列為P(X=§=n%(%=1,2,3,4,5).

(1)求常數(shù)a的值；

3

(2)求P(X25)；

17

⑶求P(75<x<ya

［思路分析］已知隨機變量X的分布列，根據(jù)分布列的性質(zhì)確定a的值及相應(yīng)區(qū)間的概

［解析］題目所給隨機變量X的分布列為：

(1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得。=七

3341414

(2)P(X=P(X=p+P(X=p+P(X=1)=5+石+至=空

171231212

（3）尸（正力曬）=尸（x=5）+尸（x=5）+尸（x=w）=記+記+5=彳

『規(guī)律總結(jié)』1.利用分布列的性質(zhì)￡門=1,可以初步檢驗所求分布列是否正確，即若

金凹片1,則所求的分布列一定是錯誤的.

2.{X=M}所表示的事件是互斥的.

3.一般地，離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概

率之和.

II跟蹤練習(xí)2一■

已知隨機變量e的概率分布如下：

12345

22222

P

3?了?芋

q678910

2222

P至1型m

則P4=10)=(C)

*202

A.B.yio

故選c.

命題方向?

兩點分布的應(yīng)用

典例3一個袋中裝有除顏色外其他都相同的3個白球和4個紅球.

Q摸出白球

（1）從中任意摸出1個球，用0表示摸出白球，用I表示摸出紅球，即x='供一.什

U，摸出紅球，

求x的分布列；

（2）從中任意摸出兩個球，用X=0表示"兩個球全是白球"，用X=1表示"兩個球不

全是白球”，求X的分布列.

［思路分析1兩問中X只有兩個可能取值，且為0,1,屬于兩點分布，應(yīng)用概率知識求

出X=0的概率，然后根據(jù)兩點分布的特點求出X=1的概率，最后列表即可.

34

［解析］(1)由題意知P(X=O)=?P(X=1)=,.

所以X的分布列為：

X01

4

P

7

以1

(2)由題意知P(X=O)=否=,,

P(X=1)=1-P(X=O)=*

所以X的分布列為：

X01

\

P

7

『規(guī)律總結(jié)』兩點分布的兩個特點

(1)兩點分布中只有兩個對應(yīng)結(jié)果，且兩個結(jié)果是對立的.

(2)由對立事件的概率求法可知：P(X=O)+P(X=1)=I.

II跟蹤練習(xí)3.■

1(針尖向上),

在擲一枚圖釘?shù)碾S機試驗中，令*=

0(針尖向下).

2

如果針尖向上的概率為點那么試寫出隨機變量X的分布列.

9

I解析I根據(jù)分布列的性質(zhì)，針尖向下的概率是1一號于是，隨機變量X的分布列為:

X01

32

P

55

命題方向?

超幾何分布

典例4在一次購物抽獎活動中，假設(shè)10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲

價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品，其余6張沒有獎品.

(1)顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數(shù)X的分布列；

(2)顧客乙從10張獎券中任意抽取2張；

①求顧客乙中獎的概率；

②設(shè)顧客乙獲得獎品總價值為y元，求y的分布列.

|解析I(1)抽取一次，只有中獎和不中獎兩種情況，故X的取值只有0和1兩種情況.

Pfy_n_o._±_2

P(X-D-CIO-1O-5,

3

2-

則P(X=O)=1-P(X=1)=1-55

因此X的分布列為：

X01

32

P55

(2)①顧客乙中獎可分為互斥的兩類事件：所抽取的2張獎券中有1張中獎或2張都中

獎.

clcj,+cacg302

故所求概率P=

CTO_45-3-

②丫的所有可能取值為：0,10,20,50,60,且

CgCg151

P(X=0)=高F3;

Cie182

P(X=10)=

CTO-45-5;

P(X-20)-C2o-45-15；

P(X—50)—c?o-45-15,

P(X=6O)=C|C1=A=±

OU)CTO4515,

因此隨機變量y的分布列為:

X010205060

2121

P5151515

『規(guī)律總結(jié)』求超幾何分布的分布列的步驟

(1)驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N,M,〃的值.

(2)根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率.

(3)用表格的形式列出分布列.

II跟蹤練習(xí)?

從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機變量X表示所選3人中女生

的人數(shù).

(1)求X的分布列；

(2)求“所選3人中女生人數(shù)XW1”的概率.

［解析］(1)X可能取的值為0,1,2,服從超幾何分布,

C<

P(X=k)=C3,k=0,l,2.

所以X的分布列為:

⑵由(1)知“所選3人中女生人數(shù)XW1”的概率為

4

P(XW1)=P(X=O)+P(X=1)=§.

學(xué)科核心素養(yǎng)

離散型隨機變量的分布列的求法

求離散型隨機變量的分布列，明確離散型隨機變量所取的每個值表示的意義是關(guān)鍵，其

一般步驟是：

(1)明確離散型隨機變量的所有可能取值以及取每個值所表示的意義；

(2)利用概率的有關(guān)知識，求出離散型隨機變量取每個值的概率；

(3)按規(guī)范形式寫出其分布列.

典例5一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1,2,345,6,現(xiàn)從中隨機抽

取3個球，以X表示取出球的最大號碼，求X的分布列.

I思路分析I隨機變量X的所有可能取值為3,4,5,6.“X=3”對應(yīng)事件“取出的3個球，

編號為1,2,3"，“X=4”對應(yīng)事件“取出的3個球中恰好取到4號球和1,2,3號球中的2

個"，“X=5”對應(yīng)事件“取出的3個球中恰好取到5號球和1,2,3,4號球中的2個”，“X

=6”對應(yīng)事件“取出3個球中恰好取到6號球和123,4,5號球中的2個”.而要求其概率，

則要用古典概型的概率公式和排列、組合知識求解，從而獲得X的分布列.

［解析］隨機變量X的可能取值為345,6.

從中隨機地取出3個球，包含的基本事件總數(shù)為C2,

事件“X=3”包含的基本事件總數(shù)為C9,

事件“x=4”包含的基本事件總數(shù)為cia,

事件“X=5”包含的基本事件總數(shù)為C|Ct

事件“X=6”包含的基本事件總數(shù)為C|Cg,

cW1

于是有P(X=3)=^1=2Q,

C?3C|Ci3

P(X=4)=20'尸(X=5)=&=而,

1

P(X=6)=

2,

所以隨機變量X的分布列為:

X3456

1331

p2020W2

『規(guī)律總結(jié)』像這類求古典概型的概率的基本方法是：先求出基本事件空間中基本事

777

件的總個數(shù)n,再計算事件A包含的基本事件的個數(shù)〃7,則事件A的概率為尸(A)=》因此

求古典樓型的概率的關(guān)鍵是利用排列、組合的基本知識和基本方法來計算基本事件的個數(shù).

II跟蹤練習(xí)5一■

某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定：在一次摸獎中，摸獎?wù)呦葟难b有3個紅球

與4個白球的袋中任意摸出3個球，再從裝有1個藍(lán)球與2個白球的袋中任意摸出1個球，

根據(jù)摸出4個球中紅球與藍(lán)球的個數(shù)，設(shè)一、二、三等獎如下：

獎級摸出紅、藍(lán)球個數(shù)獲獎金額

一等獎3紅1藍(lán)200元

二等獎3紅0藍(lán)50元

三等獎2紅1藍(lán)10元

其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級.

(1)求一次摸獎恰好摸到1個紅球的概率；

(2)求摸獎?wù)咴谝淮蚊勚蝎@獎金額X的分布列.

［解析］設(shè)4(i=0,l,2,3)表示摸到i個紅球，⑻(/=0,1)表示摸到./個藍(lán)球，則A,與與獨

立.

(1)恰好摸到1個紅球的概率為24)=普=1|.

(2)X的所有可能值為0,10,50,200,且

P(X=200)=舞忠

22

P(X=50)=百?十礪

1_124

P(X=10)=

-cF5-ws35,

124

P(X=0)=1-7o5-To5_35

綜上知X的分布列為:

X01050200

421

P

35-105K)5

V

V

易混易錯警示

離散型隨機變量的性質(zhì)

典例6設(shè)。是一個離散型隨機變量，其分布列為:

-101

P1一29(72

(1)求4的值;

(2)求PC<0),PgWO).

|錯解|(1)由分布列的性質(zhì)得;+(1-20+夕2=1,所以q=l或.

(2)%<0)=%=-1)=/

PQW0)=PQ=-1)+PG=0)

=；+］-2(1±^)=也_聶一啦一1

2,

I辨析I錯誤原因：忽視了pj20(i=l,2,…，〃)這一性質(zhì).

防范措施：根據(jù)分布列的性質(zhì)：p：20(i=l,2,?,,,〃)；若pi=l缺一不可.

［正解］(1)由分布列的性質(zhì)得，1>1-2q>0,l>/20,B+(l—2q)+q2=l，所以q=l一

0

2?

(2)P(gO)=P《=-1)=/

尸仁0)=尸仁=-D+尸(。=0)=；+1—2(1—乎)=啦一看

課堂達(dá)標(biāo).固基礎(chǔ)

1.設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量小描述一次試驗的成功次數(shù)，則

尸(口)=(D)

A.0B.

C.|

D.Q

［解析］由題意，=0”表示試驗失敗，“。=1”表示試驗成功，設(shè)失敗率為p,則

成功率為2p,則4的分布列為：

Q01

PP2P

?.「I?1?山I、2

.〃+2P=1,??〃=???尸（。=1）=1?

2.一個盒子里裝有大小相同的紅球、白球共30個，其中白球4個.從中任取兩個，則

概率為JC6kCgl+C?的事件是（B）

A.沒有白球B.至少有一個白球

C.至少有一個紅球D.至多有一個白球

［解析］罵黑魯表示任取的兩個球中只有一個白球和兩個都是白球的

概率，即至少有一個白球的概率.

3.設(shè)隨機變量小的可能取值為5、6、7、…、16這12個值，且取每個值的概率均相同,

2

=

3

則P(“8)=_P(6vfW14)=

i2

[解析]P(4＞8)=五X8=],

12

尸(6＜。＜14)=五X8=].

4.為了備戰(zhàn)2021年世錦賽，從四支較強的排球隊中選出18人組成女子排球國家隊,

隊員來源人數(shù)如下表：

隊別北京上海天津八一

人數(shù)4635

（1）從這18