3.1變化率與導(dǎo)數(shù)

變化率問題、導(dǎo)數(shù)的概念

預(yù)

習(xí)核心必知——自讀教材找關(guān)鍵

導(dǎo)

問題思考——辨析問題解疑惑

引

區(qū)課前反思----鎖定目標(biāo)穩(wěn)啟程

自主學(xué)習(xí)梳理主干zizhuK.ueK.ishutizhugan

［核心必知］

1.預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入

根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材％?P76的內(nèi)容，回答下列問題.

(1)氣球膨脹率

4

氣球的體積，(單位：L)與半徑r(單位：dm)之間的函數(shù)關(guān)系是Mr)=彳口封，如果將半

O

徑r表示為體積，的函數(shù)，那么r(D=

①當(dāng)空氣容量，從0增加到1L時(shí)，氣球的平均膨脹率是多少？

提示：八“：一：(。)［0.62(dm/L).

②當(dāng)空氣容量，從1L增加到2L時(shí)，氣球的平均膨脹率是多少？

［曰一r(2)—r(1)、

提不：-----o~；-----^0.16(dm/L).

③當(dāng)空氣容量從匕增加到七時(shí)，氣球的平均膨脹率又是多少？

T(%)—T(匕)

提示:

(2)高臺(tái)跳水

在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度力(單位：m)與起跳后時(shí)間N單位：s)存

在函數(shù)關(guān)系A(chǔ)(f)=-4.9d+6.5f+10.

①在0WIWO.5這段時(shí)間里，運(yùn)動(dòng)員的平均速度P是多少？

h(0.5)-h(0)

提示:=4.05(m/s)?

v—0.5-0

②在1WK2這段時(shí)間里，運(yùn)動(dòng)員的平均速度P是多少？

$口一/?(2)~h(1)cc//\

提示：v=--------:-----=—8.2(m/s).

③在這段時(shí)間里，運(yùn)動(dòng)員的平均速度P又是多少？(其中，爾友G0,招)

2.歸納總結(jié)，核心必記

(1)函數(shù)的平均變化率

對(duì)于函數(shù)y=F(x),給定自變量的兩個(gè)值為和生，當(dāng)自變量x從z變?yōu)槿?時(shí)，函數(shù)值

從f(%)變?yōu)椤?均，我們把式子/(必)(不)稱為函數(shù)尸f(x)從x,到用的平均變化率.

習(xí)慣上用Ax表示至一小，即八。=尼一小,可把Ax看作是相對(duì)于汨的一個(gè)“增量”，可

Ay

用小+Ax代替物類似地，△了=/1(就一”小).于是，平均變化率可表示為二」.

(2)瞬時(shí)速度

①物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.

②若物體運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間的關(guān)系式是s=f(t),當(dāng)At趨近于0時(shí)，函數(shù)F(。在t0

到友十△1之間的平均變化率//5"趨近于常數(shù),我們就把這個(gè)常數(shù)叫做物

體在加時(shí)刻的瞬時(shí)速度.

(3)導(dǎo)數(shù)的定義

一般地，函數(shù)產(chǎn)=f(4)在X=Ab處的瞬時(shí)變化率是：

AT-*△才3△1,我們稱它為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，

..任I-/5+")~~/(-0)

記作f(加或y'|x=xo,即f(Xo)=網(wǎng)&r=@Ar.

［問題思考］

(1)設(shè)履?AM)),B5,f(xj)是曲線y=f(x)上任意不同的兩點(diǎn)，則函數(shù)y=f(x)

AyfqXi)—f(xi)f(Xi+△X)-f(Xi)

的平均變化率?表示什么？

X2-X\

提示：表示割線4g的斜率.

(2)Ax,的值一定是正值嗎？平均變化率是否一定為正值？

提示：Ax,Ay可正可負(fù)，Ay也可以為零，但Ax不能為0,平均變化率表可正、可

負(fù)、可為零.

(3)在高臺(tái)跳水中，如何求在［1,1+A打這段時(shí)間內(nèi)的平均速度W當(dāng)/t趨近于0時(shí),

平均速度V有什么樣的變化趨勢(shì)？

提示：v=-v(1二+At八)—、-v(；—1).當(dāng)/t趨近于0時(shí)，平均速度-即為t=l時(shí)的瞬時(shí)速

度.

(4)平均變化率與瞬時(shí)變化率有什么區(qū)別和聯(lián)系？

提示：(1)區(qū)別：平均變化率刻畫函數(shù)值在區(qū)間［為，幻上變化的快慢，瞬時(shí)變化率刻畫

函數(shù)值在X。點(diǎn)處變化的快慢；

(2)聯(lián)系：當(dāng)Ax趨于。時(shí)，平均變化率%趨于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)即為函數(shù)在施處的

瞬時(shí)變化率，它是一個(gè)固定值.

［課前反思］

(1)平均變化率的定義是：

(2)什么是函數(shù)的瞬時(shí)變化率？它與平均變化率有什么區(qū)別和聯(lián)系？

(3)導(dǎo)數(shù)的定義是什么？如何表示？

(4)平均速度與瞬時(shí)速度的定義是什么？它們有什么區(qū)別和聯(lián)系？

課

堂

知識(shí)突破一能力提升

互

II動(dòng)

重點(diǎn)知識(shí)拔高知識(shí)

步步探究穩(wěn)根基深化提能奪高分區(qū)

知識(shí)點(diǎn)1求函數(shù)的平均變化率-K重點(diǎn)知識(shí)?講透練會(huì)】I

［思考1］平均變化率可用式子?表示，其中Ay、Ax的意義是什么?

提示：Ay、Ax分別表示函數(shù)值和自變量的變化量.

［思考2］如何求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［為，及］上的平均變化率？

提示：平均變化率為/('")二/(=)

X2~X\

講一講

1.已知函數(shù)f(x)=3*+5,求/'(x)：

(1)從0.1到0.2的平均變化率；

(2)在區(qū)間［揚(yáng)，劉+Ax］上的平均變化率.

［嘗試解答］(1)因?yàn)閒(x)=37+5,

所以從0.1到0.2的平均變化率為

3X0.22+5-3X0.12-5

----------------------=09

0.2-0.1

⑵f(龍+△X)—f(xo)

=3(蜀+Ax)"+5—(3A§+5)

=3/+6施△x+3(Ax)"+5—3髭-5

=6AbA>+3(Ax))

函數(shù)Ax)在區(qū)間［旅，x0+Ax］上的平均變化率為

類題?通決

(1)求函數(shù)平均變化率的三個(gè)步驟

第一步，求自變量的增量Ax=X2一小.

第二步，求函數(shù)值的增量△了=/'(抱)一￡(不).

Ayf(xz)—F(M)

第三步，求平均變化率?

X2-X\

(2)求平均變化率的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)

求點(diǎn)旅附近的平均變化率，可用/(±。+W)二/(而)的形式.

練一練

1.已知函數(shù)F(x)=x+L分別計(jì)算f(x)在自變量x從1變到2和從3變到5時(shí)的平均

X

變化率，并判斷在哪個(gè)區(qū)間上函數(shù)值變化得較快.

解：自變量X從1變到2時(shí)，函數(shù)/'(x)的平均變化率為

f⑵一)⑴2+萬一"+1)1

二1=1=5；

自變量X從3變到5時(shí)，函數(shù)的平均變化率為

f(x)［□—；3=

114

因?yàn)?〈左，

乙10

所以函數(shù)/"(X)=x+：在自變量X從3變到5時(shí)函數(shù)值變化得較快.

求瞬時(shí)速度K重點(diǎn)知識(shí)?講透練會(huì)】I

某物體按s=H?的規(guī)律運(yùn)動(dòng).

［思考1］該物體在［電友+4句內(nèi)的平均速度是什么？在⑦的瞬時(shí)速度是多少？

△夕

［思考2］如何求f(當(dāng)Ax無限趨近于0時(shí))的極限？

名師指津：(1)在極限表達(dá)式中，可把Ax作為一個(gè)數(shù)來參與運(yùn)算.

(2)求出尹的表達(dá)式后，△不無限趨近于0就是令△*=(),求出結(jié)果即可.

△X

講一講

_29+3(t-3)2,0WK3,

2.若一物體的運(yùn)動(dòng)方程為6-|3t2+2,t>3,(路程單位：m,時(shí)間單位:

s).求：

(1)物體在t=3s到t=5s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；

(2)物體在t=ls時(shí)的瞬時(shí)速度.

［嘗試解答］(1)因?yàn)锳$=3X52+2-(3X32+2)=48,At=2,所以物體在t-3s

到t=5s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為粉號(hào)=24(m/s).

(2)因?yàn)椤?=29+31(1+4)—3了一29—3><(1—3)2=

3(4f產(chǎn)-12&.所以罟=3=3~—12.則物

體在，=1s時(shí)的瞬時(shí)速度為s'(1)=lim*=lim(34-

xjr-*O

12)=—12(m/s).

類題?通去

求瞬時(shí)速度的步驟

(1)求物體運(yùn)動(dòng)路程與時(shí)間的關(guān)系S=s(力；

⑵求時(shí)間改變量△t,位移改變量As=s?+At)—s&o)；

、4s

(3)求平均速度原；

(4)求瞬時(shí)速度.v=lim組

練一練

2.一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s(￡)=ad+i做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m,時(shí)間單位：s),若該質(zhì)點(diǎn)在

t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s,求常數(shù)3的值.

解：因?yàn)椤?=s(2+Ar)—5(2)=a(2+zlr)2+1-a?22—1

=4ad+a(4)2?所以h=4a+azk?故在t=2s時(shí)?瞬時(shí)

速度為s'⑵=lim半=4a(m/s).

4r—0Af

由題意知，4。=8,所以a=2.

知識(shí)點(diǎn)3利用定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)-------K拔高知識(shí).拓寬提能】1

［思考］任何一個(gè)函數(shù)在定義域中的某點(diǎn)處均有導(dǎo)數(shù)嗎？函數(shù)f(x)=|x|在x=0處是

否存在導(dǎo)數(shù)？

名師指津：不一定，/1(x)=|x|在x=0處不存在導(dǎo)數(shù).

/(04-A;r)-/(0)1,Ax>0,

因?yàn)樗援?dāng)

一13V0,

AD時(shí)，&的極限不存在，從而在k。處的導(dǎo)數(shù)不存在.

講一講

3.求函數(shù)尸在尸1處的導(dǎo)數(shù).

［嘗試解答］

△x

=卜X1+Ax'

bx

.AyAX+1+AX…1

?**-7=7=］+1］A'

△x△x1+A%

???!巴聿=也(1)=2.從而J，'1i=2.

類題?通法

求函數(shù)尸/Xx)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟

［求函數(shù)的增量］△y=/Go+A"GJ

求函數(shù)的?_/(%+囚)■/(%)

平均變化率Ax-Ax

〔取極￡得導(dǎo)數(shù))r(?廣皿第=阮￡西)

‘。"-0A’J

簡(jiǎn)稱：一差、二比、三極限.

練一練

3.求函數(shù)f(x)=f+5x在x=3處的導(dǎo)數(shù).

解：；Ay=f(3+Ax)-F(3)

=(3+AX)2+5(3+AX)-(32+5X3)

=9+6Ax+(AA)'+15+5AX—9—15

=(△%)■+!1△%,

Xy(Ax)?+llAx

=---;-------=△x+11,

△x△x

yz-3=lim-7^-=lim(Ax-11)=11.

a一心攵AX-o

一一［課堂歸納?感悟提升］------

1.本節(jié)課的重點(diǎn)是函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)的定義，也是本節(jié)課的難點(diǎn).

2.本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法

(1)平均變化率的求法，見講1；

(2)瞬時(shí)速度的求法，見講2;

(3)利用定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法，見講3.

3.本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念理解不清而導(dǎo)致出錯(cuò)，見講3.

注意：在導(dǎo)數(shù)的定義中，增量Ax的形式是多樣的，但不論是哪種形式，Ay必須

選擇相對(duì)應(yīng)的形式.

一課下練

II

課堂8分鐘對(duì)點(diǎn)練，讓課下限時(shí)檢測(cè)，提速

學(xué)生趁熱打鐵消化所提能，每課一檢測(cè)，步

學(xué).既練速度又練準(zhǔn)度步為營(yíng)步步贏

^ubentinenji分層練習(xí)固本提能

課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練(十三)

［即時(shí)達(dá)標(biāo)對(duì)點(diǎn)練］

題組1求函數(shù)的平均變化率

1.如圖，函數(shù)y=f(x)在46兩點(diǎn)間的平均變化率等于()

A.1B.-1

C.2D.-2

解析：選B平均變化率為口=-1.

2.已知函數(shù)y=F(x)=2寸的圖象上點(diǎn)尸(1,2)及鄰近點(diǎn)0(1+Ax,2+Ay),則仄、的

值為()

A.4B.4%C.4+2D.4+2Ax

△y2(1+Ax)2—2X1,0

解析：選D=4+2A

Ax

3.求函數(shù)y=f(x)=；在區(qū)間[1,1+Ax]內(nèi)的平均變化率.

解：?；Ay=f(l+Ax)-AD-1

1—71+△X_1-(1+AA-)

.1+Ax(1+71+Ax).1+Ax

_______________—卜x________

(1+.1+Ax)d1+Ax'

.by_________L

卜X(1+yj1+Ax).1+△x

題組2求瞬時(shí)速度

4.某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間方(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s1)=5-2表示,

則此物體在1=1s時(shí)的瞬時(shí)速度(單位：m/5)為()

A.1B.3C.-1D.0

答案：B

5.求第4題中的物體在1。時(shí)的瞬時(shí)速度.

解：物體在打時(shí)的平均速度為

s(to+—s()

『二---------------------

/t

=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！

=34+3歸/方+(4t)2.

因?yàn)閘im[3詔

。-*0+3ZO&+(4)21=3^,

故此物體在力=友時(shí)的瞬時(shí)速度為34m/s.

6.若第4題中的物體在勿時(shí)刻的瞬時(shí)速度為27m/s,求益的值.

.,S(to+At)—S(to)…、口.

解n：由r=------------------二錯(cuò)誤！

=錯(cuò)誤！=3N錯(cuò)誤！+3友41+(4

因?yàn)閘im[3r，+3foA/+(zV)21=3總.

3-?0

所以由34=27,解得fo=i3,

因?yàn)閠o>O,故to=3,

所以物體在3s時(shí)的瞬時(shí)速度為27m/s.

題組3利用定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

7.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)照附近有定義，且有f(xo+Ax)一/'(加)=aA*+從Ax)2(a,6為

常數(shù))，貝M)

A.f(x)=aB.f(x)—b

C.f1（x））=aD.f（Ao）—b

刖…八r，,、r/'（彳o+Al）-/（7o）_「,

解析：選Cf（^o）=hm---------------=\m（.a-

b?Ar）=a.

8.設(shè)函數(shù)F（x）=ax+3,若/（1）=3,則a等于（）

A.2B.—2C.3D.—3

解析：選C⑴=lim/「一￥）一/⑴

Ax

[.。（1一"）—3—（a+3）

=上li-m0--------------------=a,

?*?a=3.

9.求函數(shù)f（x）=、”在x=l處的導(dǎo)數(shù)/（1）.

解：由導(dǎo)致的定義知?函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)/（1）=

蛔屐，而甌=—3—=

-,1—-.又lim—-1——=《.所以/（1）=4-.

/TT^-lAy1T^7722

［能力提升綜合練］

1.若/（外在7=死處存在導(dǎo)數(shù)，則國(guó)‘6U-"檢）（）

A.與她，方都有關(guān)

B.僅與揚(yáng)有關(guān)，而與力無關(guān)

C.僅與方有關(guān)，而與崗無關(guān)

D.以上答案都不對(duì)

解析：選B由導(dǎo)數(shù)的定義知，函數(shù)在x=x。處的導(dǎo)數(shù)只與胸有關(guān).

2.函數(shù)在照到照+Ax之間的平均變化率為左，在刖一到蜀之間的平均變化

率為左，則k\與k?的大小關(guān)系為（）

A.k〉kzB.k《kz

C.k\=k2D.不確定

解析：選D九=3上空二￡3

=錯(cuò)誤！=2刖+XX；

f（xo）—f（劉一Ax）

ki—=錯(cuò)誤！=2旅一△%.

AI-

因?yàn)锳x可正也可負(fù)，所以左與左的大小關(guān)系不確定.

3.A,6兩機(jī)關(guān)開展節(jié)能活動(dòng)，活動(dòng)開始后兩機(jī)關(guān)的用電量加（t）,強(qiáng)（￡）與時(shí)間M天）

的關(guān)系如圖所示，則一定有（）

A.兩機(jī)關(guān)節(jié)能效果一樣好

B.4機(jī)關(guān)比6機(jī)關(guān)節(jié)能效果好

C.4機(jī)關(guān)的用電量在［0,相上的平均變化率比6機(jī)關(guān)的用電量在［0,京I上的平均變化

率大

D.4機(jī)關(guān)與6機(jī)關(guān)自節(jié)能以來用電量總是一樣大

解析：選B由題圖可知，/機(jī)關(guān)所對(duì)應(yīng)的圖象比較陡峭，8機(jī)關(guān)所對(duì)應(yīng)的圖象比較平

緩，且用電量在［0,由上的平均變化率都小于0,故一定有4機(jī)關(guān)比6機(jī)關(guān)節(jié)能效果好.

4.一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=l-t+/，其中s的單位是：m,t的單位是：s,那么物

體在3s末的瞬時(shí)速度是()

A.7m/sB.6m/s

C.5m/sI).8m/s

4s1—(3+4t)+(3+t)2—(1—3+32)

解析：選c:

=5+/t,

男鼠=9"(5一△，)=$(m/s).

5.如圖是函數(shù)y=f(x)的圖象，則

(1)函數(shù)/Xx)在區(qū)間［-1,1］上的平均變化率為；

(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,2］上的平均變化率為.

/*(1)—f(―1)9—11

解析：(1)函數(shù)在區(qū)間［-1,1］上的平均變化率為一；~~--7—=一廠=5

(x+3-/

(2)由函數(shù)f(x)的圖象知，f(x)=J2

、x+l,l〈xW3.

/(2)

所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,2］上的平均變化率為——：

13

答案：(1)-(2)-

6.函數(shù)尸一x=4處的導(dǎo)數(shù)是

解析3一亞廿十左

11^4+△x-2

214+Ax2>4+△x

____________Ax__________

2yl4+Ax(^4+△x+2)

.by_廣_L_

△x2yl4+△x(14+dx+2)

!國(guó)笈一蛔2,4+3，4+AX+5

_________1___________1_

2X，Zx(，Z+2)-16，

v'I^,i=—.

答案W

7.一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間，的關(guān)系是s=32一/(位移：叱時(shí)間：s).

(1)求此物體的初速度；

(2)求此物體在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度;

(3)求力=0到1=2時(shí)平均速度.

s(d)—s(0)

解：(1)初速度比=

個(gè)或"’])"：㈣3-&)=3(m/s).

即物體的初速度為3m/s.

/61.s(2+△/)—、,(2)

(2)v=Ah-m0-----74-------

3(2+&)—(2+4)2-(3X2-4)

=lin)---------------；--------------------

=lim--=lim(-1)=-1(m/s).

03-0

即此物體在1=2時(shí)的瞬時(shí)速度為1m/s,方向與初速度相反.

s⑵一s(0)6—4一0

(3)V—^0-2-=1(m/s).

即t=0到t=2時(shí)的平均速度為1m/s.

8.路燈距離地面8m,一個(gè)身高為1.6m的人以84m/min的速度從路燈。在地面上的

射影點(diǎn)。'沿某直線離開路燈，求人影長(zhǎng)度在任意時(shí)刻友的瞬時(shí)變化率.

解：如圖,

0

設(shè)人的高度為力反則力8=1.6,人的影子長(zhǎng)力。=方,

84m/min=l.4m/s,由直角三角形相似得^人’）力夫

on~v1.4r

所以/1=奈￡,所以人影長(zhǎng)度在任意時(shí)刻t0的瞬時(shí)變化率

7.“、7

而(如一△￡)一時(shí)0

7

Zr201

第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

預(yù)

核心必知——自讀教材找關(guān)鍵習(xí)

導(dǎo)

問題思考——辨析問題解疑惑引

I

課前反思----鎖定目標(biāo)穩(wěn)啟程區(qū)

［核心必知］

1.預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入

根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材件6?%的內(nèi)容，回答下列問題.

觀察教材P"圖3.1—2,回答下列問題.

(1)割線笈，的斜率尤是什么？

提示：割線用的斜率%,=y=/(二)二/

△XnXn—XQ

(2)當(dāng)點(diǎn)2趨近于點(diǎn)一時(shí)，割線例與過點(diǎn)。的切線尸7有什么關(guān)系？

提示：當(dāng)點(diǎn)只趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線程，趨近于過點(diǎn)尸的切線尸刀

(3)當(dāng)月無限趨近于點(diǎn)。時(shí)，兒與切線的斜率％有什么關(guān)系？

提示：兒無限趨近于切線々■的斜率北

(4)如何求得過點(diǎn)P的切線戶7的斜率？

提示：函數(shù)/U)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率即

即2后ggs-

2.歸納總結(jié)，核心必記

(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)『(")在x=xo處的導(dǎo)數(shù)就是切線外的斜率上，即0號(hào)

(2)導(dǎo)函數(shù)

從求函數(shù)f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)的過程可以看到，當(dāng)x=x0時(shí)，f(加是一個(gè)確定的數(shù).這

樣，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為祥x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)便『f(x)

/()—/(1)

的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作V.即尸(x)=y'=啊"’.

［問題思考］

(1)若函數(shù)y=F(x)在點(diǎn)兩處的導(dǎo)數(shù)存在，則曲線y=F(x)在點(diǎn)尸(加，/'(施))處的切線方

程是什么？

提示：根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為y—/"(?)=/(x0)(x—胡).

(2)函數(shù)y=F(x)的部分圖象如圖，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，你能比較f(⑷、f(x2)

和F(公的大小嗎？

提示：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，因?yàn)樵?8處的切線斜率大于零且兒＞兒，在。處的切線

斜率小于零，所以￡(兇)＞，(&)＞/U).

(3)曲線在某點(diǎn)處的切線是否與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)？

提示：不一定，切線只是一個(gè)局部概念，是該點(diǎn)處的割線的極限位置，在其他地方可能

還有一個(gè)或多個(gè)公共點(diǎn).

(4)r(揚(yáng))與產(chǎn)(x)有什么區(qū)別？

提示：f(即)是一個(gè)確定的數(shù)，而f'(x)是一個(gè)函數(shù).

［課前反思］

(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：

(2)導(dǎo)數(shù)的概念是：

(3)如何求函數(shù)f(x)在x=x。處的切線方程？

課

堂

能力提升

互知識(shí)突破一

動(dòng)II

重點(diǎn)知識(shí)拔高知識(shí)

區(qū)步步探究穩(wěn)根基深化提能奪高分

知識(shí)點(diǎn)1求曲線的切線方程-K重點(diǎn)知識(shí)■講透練會(huì)】I

［思考1］直線的點(diǎn)斜式方程是什么？

提示：y-y§=k(x-xo).

［思考2］如何求曲線/U)在點(diǎn)(施，/V。))處的切線方程？

名師指津：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(劉，f(x。))處的導(dǎo)數(shù)，即曲線

在該點(diǎn)處的切線的斜率，再由直線方程的點(diǎn)斜式求出切線方程.

［思考3］曲線f(x)在點(diǎn)(旅，f(x。))處的切線與曲線過點(diǎn)(施，㈤的切線有什么不同？

名師指津：曲線/'(x)在點(diǎn)(刖，F(xiàn)(x。))處的切線，點(diǎn)(蜀，f(x。))一定是切點(diǎn)，只要求出％

=『'(加，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程即可；而曲線『(")過某點(diǎn)(施，㈤的切線，給出的點(diǎn)(8,

%)不一定在曲線上，即使在曲線上也不一定是切點(diǎn).

講一講

1.已知曲線y=9,

(1)求曲線在點(diǎn)尸(1,1)處的切線方程；

(2)求曲線過點(diǎn)H3,5)的切線方程.

［嘗試解答］(1)設(shè)切點(diǎn)為(施，％),

..(#0一乙彳)2-4

=hm—;-----------

?》Ax-0△/

XQ-T2XQ?△/—(△1)2一4

二11S----------i----------二,

??)'］=2一

???曲線在點(diǎn)戶(1,1)處的切線方程為y—l=2(x—1),

即y=2^—1.

(2)點(diǎn)月(3,5)不在曲線尸f上，設(shè)切點(diǎn)為(照，㈤，

由(1)知，/|才=照=2版，

.??切線方程為y—%=28(彳一照),

由2(3,5)在所求直線上得5—%=2照(3—選)，①

再由力(劉，為)在曲線上得為=/,②

聯(lián)立①，②得照=1或照=5.

從而切點(diǎn)為(1,1)時(shí)，切線的斜率為4=2刖=2,

此時(shí)切線方程為廣-1=25—1),即y=2x-l,

當(dāng)切點(diǎn)為(5,25)時(shí)，切線的斜率為左=2劉=10,

此時(shí)切線方程為y-25=10(x—5),

即尸10才一25.

綜上所述，過點(diǎn)尸(3,5)且與曲線尸V相切的直線方程為尸2x—l或尸10x—25.

類題?通決

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的方法

（1）若己知點(diǎn)（與，外）在已知曲線上，求在點(diǎn)（劉，㈤處的切線方程，先求出函數(shù)y=f（x）

在點(diǎn)旅處的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程（劉）（/一班）.

（2）若點(diǎn)（施，㈤不在曲線上，求過點(diǎn)（施，㈤的切線方程，首先應(yīng)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程.

練一練

1.已知曲線Gy=x.

（1）求曲線。在x=l處的切線方程；

（2）求第（1）問中的切線與曲線C的公共點(diǎn).

=3/+3△x?x+(A

?守=蛔e=3/,切線斜率&=川，.=3,

又x=1時(shí)，y=l,

???切線方程為yT=3(x—l),

即3x—y—2=0.

⑵由1{y3=kx,L2=。，得Ix+2=0,

即f—x—2x+2=0,(x—l)“x+2)=0.

解得x=l或x=-2,

切線與曲線。的公共點(diǎn)為（1,1）和（-2,-8）.

知識(shí)點(diǎn)2求切點(diǎn)坐標(biāo)-------K重點(diǎn)知識(shí)?講透練會(huì)】I

［思考］如何處理切點(diǎn)問題？

名師指津：切點(diǎn)問題的處理方法：

（1）借斜率先求橫坐標(biāo)：由條件得到直線的傾斜角或斜率，由這些信息得知函數(shù)在某點(diǎn)

的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求出點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（2）與幾何知識(shí)相聯(lián)系：解決這些問題要注意和解析幾何的知識(shí)聯(lián)系起來，如直線的傾

斜角和斜率的關(guān)系，兩直線平行或垂直與斜率的關(guān)系等.

講一講

2.若曲線一3/+1在點(diǎn)P處的切線平行于直線y=9x-l,求產(chǎn)點(diǎn)坐標(biāo)及切線方

程.

［嘗試解答］設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（旅，外）,

Ayf(照+Ax)-f(Xo)

△X~△X

=錯(cuò)誤！=(△x)'+3xoAx—3△x+3比§誤！—6xo.

所以/(?(,)=恒［(△z)2_3z2z_3'+3總―6劭二=3宕_6加，于是3/—6般=9,解得劉

=3或xo=-1,

因此，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(3,1)或(一1,-3).

又切線斜率為9,所以曲線在點(diǎn)尸處的切線方程為y=9U-3)+1或y=9(x+1)-3,

即y=9x—26或尸9x+6.

類題?通決

根據(jù)切線斜率求切點(diǎn)坐標(biāo)的步驟

(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(Xo,H);

(2)求導(dǎo)函數(shù)f(x)；

(3)求切線的斜率￡U)；

(4)由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于刖的方程，解方程求崗；

(5)點(diǎn)(劉，㈤在曲線f(x)上，將(加，為)代入求外得切點(diǎn)坐標(biāo).

練一練

2.已知曲線尸2f-a在點(diǎn)尸處的切線方程為8x—y—15=0,求切點(diǎn)戶的坐標(biāo)及a的

值.

解：設(shè)切點(diǎn)P(的,㈤,

由丁'=恒志

_［2(?r+zkr)2-a］—(2才2-a)

=lim------------------------

=恒(4彳+23

=4%,

==

k'y'IxXQ=AXO,

根據(jù)題意4照=8,照=2,

代入8x—y—15=0得%=L

故所求切點(diǎn)為尸(2,1),a=2^—yo=7.

知識(shí)點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用?-----1【拔高知識(shí)?拓寬提能】I

講一講

3.(1)若函數(shù)尸〃x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間［a,6］上是增函數(shù)，則函數(shù)尸/'(才)在區(qū)間［必

6］上的圖象可能是下圖中的)

yy

(2)已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖，那么y=f(x),y=g(x)的圖象可

能是()

［嘗試解答］(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知導(dǎo)函數(shù)遞增說明函數(shù)切線斜率隨x增大而變大，

因此應(yīng)選A.

(2)從導(dǎo)函數(shù)的圖象可知兩個(gè)函數(shù)在施處斜率相同，可以排除B、C.再者導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)

值反映的是原函數(shù)的斜率大小，可明顯看出y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的值在減小，所以原函數(shù)的斜

率慢慢變小，排除A.

［答案］(DA(2)D

類題?通生

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象升降的關(guān)系

若函數(shù)三〃/)在了=劉處的導(dǎo)數(shù)存在且/(即)>0(即切線的斜率大于零)，則函數(shù)y=

f(x)在*=加附近的圖象是上升的；若f(揚(yáng))〈0(即切線的斜率小于零)，則函數(shù)y=f(x)

在x=x。附近的圖象是下降的.導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值的大小反映了曲線上升和下降的快慢.

練一練

3.如圖，點(diǎn)/(2,1),8(3,0),E(x,0)(x20),過點(diǎn)￡作刃的垂線，.記△/如在直

線/左側(cè)部分的面積為S,則函數(shù)S=f(x)的圖象為下圖中的()

cD

解析：選D函數(shù)的定義域?yàn)椋?,十8）,當(dāng)xe［0,2］時(shí)，在單位長(zhǎng)度變化量△了內(nèi)面

積變化量AS越來越大，即斜率/（x）在［0,2］內(nèi)越來越大，因此，函數(shù)S=f（x）的圖象是

上升的，且圖象是下凸的；

當(dāng)xC（2,3）時(shí)，在單位長(zhǎng)度變化量Ax內(nèi)面積變化量/S越來越小，即斜率/（x）在

（2,3）內(nèi)越來越小，因此，函數(shù)S=f（x）的圖象是上升的，且圖象是上凸的：

當(dāng)xC［3,+8）時(shí)，在單位長(zhǎng)度變化量Ax內(nèi)面積變化量/S為0,即斜率F'（x）在［3,

+8）內(nèi)為常數(shù)0,此時(shí)，函數(shù)圖象為平行于x軸的射線.

---------------------------［課堂歸納?感悟提升］-----------------------------

1.本節(jié)課的重點(diǎn)是求曲線在某一點(diǎn)的切線方程及導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，難點(diǎn)是求曲線

的切線方程.

2.本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法

（1）求曲線的切線方程的方法，見講1；

（2）已知曲線的切線求切點(diǎn)坐標(biāo)，見講2；

（3）導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，見講3.

3.利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，要注意已知點(diǎn)是否在曲線上，這是本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn).如

果已知點(diǎn)在曲線上，則以該點(diǎn)為切點(diǎn)的曲線方程為y—f（x0）=/（施）5—加；若已知點(diǎn)不

在曲線上，則先設(shè)出切點(diǎn)（劉，丹加），表示出切線方程，然后求出切點(diǎn).

訓(xùn)

練

隨堂練課下練

提

能課堂8分鐘對(duì)點(diǎn)練，讓課下限時(shí)檢測(cè)，提速

區(qū)學(xué)生趁熱打鐵消化所提能,每課一檢測(cè)，步

學(xué)，既練速度又練準(zhǔn)度步為營(yíng)步步贏

課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（十四）

［即時(shí)達(dá)標(biāo)對(duì)點(diǎn)練］

題組1求曲線的切線方程

1.曲線y=x'+ll在點(diǎn)（1,12）處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（）

A.-9B.-3C.9D.15

解析：選C?.?切線的斜率4=如孝=叵，吐V上工

1+3?Ar+3?(”)2+3尸一1

Ax

=linj[3+3(Ax)+(Ax)2]=3,

.,.切線的方程為y—12=3(x—1).

令x=0得y=12-3=9.

2.求曲線J-1在點(diǎn)住，2)的切線方程.

11

解:因?yàn)樯匣睾?/p>

1

lim---------=——

＞一°]?-1?&Z*/_

所以曲線在點(diǎn)(9.2)的切線斜率為

所以曲線在點(diǎn)Q，2)的切線斜率為

,.1

k=yx=-=—4.

故所求切線方程為y—2=—4(x—0，即4x+y—4=0.

題組2求切點(diǎn)坐標(biāo)

3.若曲線y=V+ax+6在點(diǎn)(0,6)處的切線方程是x—y+l=0,則()

A.a=l,b—1B.a——\,b—1

C.a=l,b=—\D.a=-1,b=~\

解析：選A點(diǎn)(0,力在直線x—y+l=0上，.?.6=1.

.??過點(diǎn)(0,6)的切線的斜率為y'ko=a=l.

4.已知曲線y=2f+4x在點(diǎn)尸處的切線斜率為16,則點(diǎn)產(chǎn)坐標(biāo)為—

解析:設(shè)尸(劉，2忘+4xo),

則mhnj---------------

2

2(AT)+4T0AX+4AT,,

=llW-----------大--------=470―4.

又,：f(流)=16,

；.4癡+4=16,，劉=3,.(3,30).

答案：(3,30)

5.已知拋物線r=2/+i分別滿足下列條件，請(qǐng)求出切點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）切線的傾斜角為45°；

（2）切線平行于直線4x-y-2=0；

（3）切線垂直于直線x+8y—3=0.

解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（M,yo）,則Ay=2（xo+Ax）2+1—2點(diǎn)-1=4%?Ax+2（Ax）2,

△y

—=4照+2Ax,

△x

.??口里聿=1^（4沏—2Az）=4/o?即/'（了。）=4彳（）,

（1）??,拋物線的切線的傾斜角為45°,

.??斜率為tan45°=1,

即/（盟）=4照=1,得刖=；,

...切點(diǎn)坐標(biāo)為（;，

（2）?.?拋物線的切線平行于直線4x—y—2=0,

二4=4,即（照）=48=4,得*o=l,

二切點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3）.

⑶：拋物線的切線與直線x+8y—3=0垂直，

."?（―3=—1,即A=8.故F（xo）=4劉=8,得施=2.

，切點(diǎn)坐標(biāo)為（2,9）.

題組3導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

6.下面說法正確的是（）

A.若f（劉）不存在，則曲線片f（x）點(diǎn)（施，〃石））處沒有切線

B.若曲線y=f（x）在點(diǎn)（x°,/■（劉））處有切線，則/（就必存在

C.若/''（而）不存在，則曲線片/tv）在點(diǎn)（旅，〃苞））處的切線斜率不存在

D.若曲線y=f（x）在點(diǎn)（的f（加）處沒有切線，則/（加）有可能存在

解析：選C根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線的定義知曲線在（施，㈤處有導(dǎo)數(shù)，則切線一

定存在，但反之不一定成立，故A,B,D錯(cuò)誤.

7.曲線尸f（x）在點(diǎn)（加，〃8））處的切線方程為x+2y-3=0,那么（）

A.f（Ab）＞0B.f（Ab）＜0

C.f（揚(yáng)）=0D.f（施）不存在

解析：選B根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f（x）在X。處的導(dǎo)數(shù)即/tv）在揚(yáng)處切線的斜率，故

f（xo）=--＜0.

8.如圖所示，單位圓中弧的長(zhǎng)為x,/'(x)表示弧4?與弦所圍成的弓形面積的2

倍，則函數(shù)尸/'(X)的圖象是()

解析：選D不妨設(shè)/固定，8從4點(diǎn)出發(fā)繞圓周旋轉(zhuǎn)一周，剛開始時(shí)x很小，即弧45

長(zhǎng)度很小，這