第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025-2026學(xué)年上海市長(zhǎng)寧區(qū)復(fù)旦中學(xué)高三（上）9月調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（一）一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知一組樣本數(shù)據(jù)1，2，2，3，4，5，則2.5是該組數(shù)據(jù)的(

)A.極差 B.平均數(shù) C.中位數(shù) D.眾數(shù)2.已知復(fù)數(shù)z滿足1+iz=z?2i，則|z|=(

)A.32 B.52 C.103.已知函數(shù)f(x)=x+log3x4?x的圖象與直線x=1，x=3及x軸所圍成的封閉圖形的面積為S，則SA.4 B.6 C.8 D.104.若定義在R函數(shù)f(x)滿足：存在正實(shí)數(shù)t，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x)<f(x+t)，則稱f(x)是“t增函數(shù)”．

現(xiàn)給出如下兩個(gè)命題：

命題甲：若對(duì)一切正有理數(shù)t，函數(shù)f(x)均為“t增函數(shù)”，則f(x)是R上的增函數(shù)，

命題乙：若對(duì)一切正無(wú)理數(shù)t，函數(shù)f(x)均為“t增函數(shù)”，則f(x)是R上的增函數(shù)，

則下列說(shuō)法正確的是(

)A.甲是真命題，乙是假命題 B.甲是真命題，乙是真命題

C.甲是假命題，乙是假命題 D.甲是假命題，乙是真命題二、填空題：本題共12小題，共54分。5.已知集合M={?2,?1,0,1,2}，N={x|2x>1}，則M∩N=6.已知α是第四象限角，且sinα=?23，則cosα=______．7.圓錐的底面半徑是3，高是4，則圓錐的側(cè)面積是______．8.若{an}為等差數(shù)列，a5+9.已知x>0，y>0且x+2y=202，則xy的最大值為_(kāi)_____．10.函數(shù)f(x)=(x2+1)311.設(shè)M是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，且MB+32MA+32MC=012.有3位醫(yī)生、2位護(hù)士和1位工作人員一起合影，現(xiàn)將這6人隨機(jī)排成一排，則3位醫(yī)生中有且只有2位相鄰的概率為_(kāi)_____．13.若函數(shù)y=(4?x2)(x2+ax+b)的圖像關(guān)于直線14.函數(shù)f(x)=lnx+ax存在與直線2x?y=0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．15.設(shè)a∈R，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x不等式[x2+(a+2)x+1][(3?2a)x216.若函數(shù)f(x)=ex(x?5)?13三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題14分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為4，D是AB的中點(diǎn)．

(1)求證：BC1//平面A18.(本小題14分)

已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，P，Q依次是AB，AC邊上的點(diǎn)，且線段PQ將△ABC分成面積相等的兩部分，設(shè)AP=x，AQ=t，PQ=y．

(1)求t關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求y的最值，并寫(xiě)出取得最值得條件．19.(本小題14分)

函數(shù)f(x)=x2+(3a+1)x+cx+a(a,c∈R)．

(1)當(dāng)a=0時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)c，使得f(x)為奇函數(shù)；

(2)若函數(shù)f(x)過(guò)點(diǎn)(1,3)，且函數(shù)f(x)圖像與20.(本小題18分)

已知點(diǎn)A(a,0)(其中a>0)，P1、P2、P3是平面直角坐標(biāo)系上的三點(diǎn)，且|AP1|、|AP2|、|AP3|成等差數(shù)列，公差為d．

(1)若a=1，P1坐標(biāo)為(1,?1)，d=2，點(diǎn)P3在直線3x?y?18=0上時(shí)，求點(diǎn)P3的坐標(biāo)；

(2)若a=1，P1、P2、P3都在拋物線y2=4x上，點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)為3，求證：線段21.(本小題18分)

已知函數(shù)f(x)=x2?ax+2lnx．

(1)若x=2是f(x)的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若f(x)在定義域上嚴(yán)格增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，若x1∈(0,1參考答案1.C

2.C

3.A

4.D

5.{1,2}

6.57.15π

8.18

9.100

10.24

11.1312.3513.144

14.(?∞,2?115.[?4,0]

16.[0,e]∪{e17.(1)證明：∵直三棱柱ABC?A1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為4，D是AB的中點(diǎn)，

∴上下底面為邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)面為邊長(zhǎng)為4的正方形，

連接A1C，AC1交于點(diǎn)E，則E為A1C，AC1的中點(diǎn)，

∴在△C1AB中，D，E分別為邊AB，AC1的中點(diǎn)，

∴DE//BC1，

又∵DE?平面A1DC，BC1?平面A1DC，

∴BC1//平面A1DC．

(2)取AC中點(diǎn)O，則BO⊥AC，以O(shè)為原點(diǎn)，CA為x軸，OB為y軸，OO1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則O(0,0,0),D(1,3,0),C(?2,0,0),A1(2,0,4),C1(?2,0,4)，

∴DA118.解：(1)由已知得12×2×2×sin60°=2×12×t×x×sin60°，

∴t=2x；

(2)由題意，y=x2+t2?2xtcos60°=x2+t2?xt=x2+4x219.解：(1)根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=x2+(3a+1)x+cx+a(a,c∈R)，

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x2+x+cx=x+1+cx，定義域?yàn)镈=(?∞,0)∪(0,+∞)，

假設(shè)y=f(x)為奇函數(shù)，則f(?1)=?f(1)，

而f(1)=2+c，f(?1)=?c，則2+c=c，此時(shí)無(wú)實(shí)數(shù)c滿足條件，

所以不存在實(shí)數(shù)c，使得函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；

(2)y=f(x)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3)，則代入得1+(3a+1)+c1+a=3，解得c=1，

所以f(x)=x2+(3a+1)x+cx+a=x2+(3a+1)x+1x+a，定義域?yàn)??∞,?a)∪(?a,+∞)，

令g(x)=x2+(3a+1)x+1，則g(x)的圖像與x軸負(fù)半軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以?(3a+1)<0Δ>0，即3a+1>0(3a+1)2?4>0，解得a>1320.(1)因?yàn)閨AP1|=1，d=2，因此|AP3|=1+2d=5，

又因?yàn)辄c(diǎn)P3在直線3x?y?18=0上，可設(shè)P3(x,3x?18)，

如圖：

因此(x?1)2+(3x?18)2=25?x2?11x+30=0?(x?5)(x?6)=0，

因此x=5或x=6，

當(dāng)x=5時(shí)，3x?18=?3，此時(shí)P3(5,?3)；當(dāng)x=6時(shí)，(a+2)x2+3x?18=0，此時(shí)P3(6,0)，

因此P3點(diǎn)坐標(biāo)為(5,?3)或(6,0)；

(2)證明：如圖：

因?yàn)閽佄锞€y2=4x的焦點(diǎn)為A(1,0)，且點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)為3，因此|AP2|=3+1=4，

因?yàn)镻1，P3在拋物線y2=4x上，可設(shè)P1(y124,y1)，P3(y324,y3)，

因此|AP1|=y124+1，|AP3|=y324+1，

因?yàn)閨AP1|、|AP2|、|AP3|成等差數(shù)列，因此|AP1|+|AP3|=2|AP2|?y124+1+y324+1=8，

因此y12+y32=24，

設(shè)x軸上點(diǎn)M(m,0)，滿足|MP1|=|MP3|，

則(m?y124)2+y12=(m?y324)2+y32?y21.(1)由已知，f′(x)=2x?a+2x，由題意得f′(2)=2×2?a+22=0，即a=5，

此時(shí)f′(x)=(2x?1)(x?2)x，可知在(12,2)上f(x)單調(diào)遞減，

在(2,+∞)上f(x)單調(diào)遞增，滿足x=2是f(x)的極小值點(diǎn)，所以a=5；

(2)因?yàn)閒(x)在定義域上