2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)寫作表達(dá)試題（二）一、集合與函數(shù)綜合應(yīng)用題情境描述：某電商平臺在"618"促銷期間統(tǒng)計了某品牌手機(jī)的銷售數(shù)據(jù)。已知購買該手機(jī)的客戶年齡構(gòu)成集合(A={16,17,18,19,20,21,22})（單位：歲），其中購買基礎(chǔ)版手機(jī)的客戶年齡集合(B={16,17,19,21})，購買Pro版手機(jī)的客戶年齡集合(C={18,19,20,22})。設(shè)客戶年齡為(x)，手機(jī)單價為(y)（元），且基礎(chǔ)版手機(jī)單價滿足函數(shù)(y_1=2000+50x)，Pro版手機(jī)單價滿足函數(shù)(y_2=3000+100\sqrt{x})。題目要求：用集合運(yùn)算表示既購買基礎(chǔ)版又購買Pro版的客戶年齡構(gòu)成，并求出該集合的元素個數(shù)；分別寫出函數(shù)(y_1)和(y_2)的定義域與值域（值域結(jié)果保留整數(shù)）；若某客戶年齡為19歲，計算購買兩種版本手機(jī)的差價，并從函數(shù)單調(diào)性角度分析年齡對單價的影響差異。解答要求：需用描述法表示集合運(yùn)算結(jié)果；值域計算需列出至少3個關(guān)鍵數(shù)據(jù)點的函數(shù)值；單調(diào)性分析需結(jié)合導(dǎo)數(shù)或定義法證明，并舉例說明實際意義。二、三角函數(shù)模型應(yīng)用題情境描述：某摩天輪的半徑為50米，中心距離地面高度為60米，旋轉(zhuǎn)一周所需時間為30分鐘。小明從摩天輪最低點開始計時，設(shè)經(jīng)過(t)分鐘后所處位置的縱坐標(biāo)（以地面為基準(zhǔn)，向上為正方向）為(h(t))。題目要求：寫出(h(t))的三角函數(shù)表達(dá)式（需說明參數(shù)意義）；計算(t=5)分鐘和(t=20)分鐘時小明的高度，并判斷這兩個時刻摩天輪的旋轉(zhuǎn)方向是否相同；若小明在高度超過80米時能看到遠(yuǎn)處的江景，求單次旋轉(zhuǎn)過程中他能看到江景的總時長。解答要求：表達(dá)式需包含振幅、周期、相位偏移等參數(shù)；高度計算需寫出角度與弧度的轉(zhuǎn)換過程；時長計算需用不等式表示高度條件，并結(jié)合三角函數(shù)圖像求解。三、平面向量與幾何證明題情境描述：在平行四邊形(ABCD)中，點(E)為(BC)邊中點，點(F)滿足(\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD})。已知(\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a})，(\overrightarrow{AD}=\boldsymbol)，且(|\boldsymbol{a}|=4)，(|\boldsymbol|=6)，(\boldsymbol{a})與(\boldsymbol)的夾角為(60^\circ)。題目要求：用(\boldsymbol{a})和(\boldsymbol)表示向量(\overrightarrow{AE})和(\overrightarrow{EF})；計算(|\overrightarrow{AE}|)和(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{EF})的值；證明：(\overrightarrow{AC})與(\overrightarrow{EF})不垂直，并求出它們的夾角余弦值。解答要求：向量表示需寫出線性運(yùn)算過程；模長與數(shù)量積計算需用向量數(shù)量積公式展開；垂直證明需通過數(shù)量積結(jié)果判斷，夾角計算需寫出完整公式。四、概率統(tǒng)計與數(shù)據(jù)分析題情境描述：某校高一（1）班有40名學(xué)生，其中男生22人、女生18人?，F(xiàn)采用分層抽樣法從全班學(xué)生中抽取5人參加數(shù)學(xué)建模競賽，再從這5人中隨機(jī)抽取2人擔(dān)任組長。題目要求：計算抽取的5人中男生和女生的人數(shù)，并寫出分層抽樣的具體步驟；求抽取的2名組長中至少有1名女生的概率；若該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布(N(75,10^2))，估算全班數(shù)學(xué)成績在85分以上的人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）。解答要求：分層抽樣步驟需分“確定抽樣比”“計算各層人數(shù)”“實施抽樣”三部分；概率計算需用組合數(shù)表示事件總數(shù)與有利事件數(shù)；正態(tài)分布估算需寫出(\mu)、(\sigma)的值及概率公式。五、數(shù)學(xué)寫作題（二選一）題目1：結(jié)合本次試題中的函數(shù)、向量或概率模型，撰寫一篇300字以上的短文，主題為《數(shù)學(xué)工具在解決實際問題中的局限性》。要求：需舉例說明至少兩種局限性（如模型假設(shè)與現(xiàn)實差異、數(shù)據(jù)誤差影響等）；提出1種改進(jìn)模型的思路，并說明理由。題目2：以“摩天輪高度與時間的關(guān)系”為例，用數(shù)學(xué)日記的形式記錄你解決三角函數(shù)應(yīng)用題的思維過程。要求：包含“問題轉(zhuǎn)化→公式構(gòu)建→計算驗證→反思拓展”四個環(huán)節(jié)；用自然語言描述數(shù)學(xué)符號的實際意義，避免純公式堆砌。寫作要求：邏輯清晰，結(jié)構(gòu)完整，需包含標(biāo)題和分段；至少引用1個試題中的具體數(shù)據(jù)或公式；語言需體現(xiàn)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性與人文性的結(jié)合。六、附加題（選做）情境描述：某公司生產(chǎn)兩種型號的機(jī)器人，A型機(jī)器人每臺利潤為2000元，B型為3000元。生產(chǎn)一臺A型需消耗鋼材2kg、芯片3個，生產(chǎn)一臺B型需消耗鋼材4kg、芯片2個?，F(xiàn)有鋼材100kg、芯片80個，且A型產(chǎn)量不超過B型的2倍。題目要求：設(shè)生產(chǎn)A型(x)臺、B型(y)臺，列出利潤最大化問題的約束條件和目標(biāo)函數(shù)；用線性規(guī)劃圖像法求出最優(yōu)生產(chǎn)方案及最大利潤；若芯片供應(yīng)增加5個，分析利潤變化情況（需計算邊際利潤值）。解答要求：約束條件需用不等式組表示，并標(biāo)注變量