初中數(shù)學輔助圓探究最值練習冊引言：輔助圓——破解最值問題的利器在初中數(shù)學的學習旅程中，我們常常會遇到一類充滿挑戰(zhàn)的問題——最值問題。無論是線段長度的最大與最小，還是圖形面積的最大與最小，亦或是角度的某些特殊關(guān)系，這些問題往往讓我們感到無從下手。常規(guī)的幾何變換或代數(shù)方法有時會顯得繁瑣，甚至難以奏效。此時，若能巧妙地引入一個“輔助圓”，往往能化繁為簡，柳暗花明，讓隱蔽的數(shù)量關(guān)系變得清晰可見，讓復雜的最值問題迎刃而解。本練習冊旨在引導同學們探索輔助圓在解決最值問題中的應(yīng)用。通過對具體問題的分析與探究，我們將一同揭示輔助圓構(gòu)造的基本思路與常見策略，感受圓的性質(zhì)在最值求解中的強大威力，從而提升我們分析問題和解決問題的能力。一、知識回顧：圓的基本性質(zhì)與輔助圓的構(gòu)建基礎(chǔ)在深入探究之前，讓我們先回顧一些與圓相關(guān)的基本性質(zhì)，這些性質(zhì)是我們構(gòu)造輔助圓并利用其解決問題的基石。1.圓的定義：平面上到定點（圓心）的距離等于定長（半徑）的所有點組成的圖形叫做圓。這個定義本身就蘊含著“距離不變”的特性，這是我們構(gòu)造輔助圓的重要依據(jù)。2.圓的半徑：同圓或等圓的半徑相等。3.圓周角定理及其推論：*直徑所對的圓周角是直角。*90°的圓周角所對的弦是直徑。*在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。4.點與圓的位置關(guān)系：設(shè)點到圓心的距離為d，圓的半徑為r，則：*點在圓外?d>r*點在圓上?d=r*點在圓內(nèi)?d<r這些基本性質(zhì)，尤其是“到定點的距離等于定長的點的集合是圓”這一核心定義，以及“直徑對直角”的特性，是我們構(gòu)造輔助圓解決最值問題的兩把金鑰匙。二、輔助圓構(gòu)造策略與最值探究策略一：利用“到定點的距離等于定長”構(gòu)造輔助圓當題目中出現(xiàn)一個定點和一個動點，且動點到定點的距離為定值時，根據(jù)圓的定義，該動點的軌跡就是一個以定點為圓心，定值為半徑的圓。我們可以通過構(gòu)造這樣的輔助圓，將動點的問題置于圓的背景下進行分析，進而利用圓的性質(zhì)求解最值。探究1：線段長度的最值例題1：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點P是邊AB上的一個動點，點Q是邊BC上的一個動點，且始終保持PQ=2。連接CQ，求線段CQ長度的最小值。分析與引導：1.首先，我們需要明確哪些點是定點，哪些點是動點。在本題中，點C、A、B是定點，點P和Q是動點。2.已知條件“PQ=2”，這意味著點Q到點P的距離始終為2。這里，點P是AB上的動點，點Q是BC上的動點。如果我們固定點P，那么點Q的軌跡就是以點P為圓心，半徑為2的圓的一部分。但點P本身也在運動，這使得問題變得復雜。3.換個角度思考：我們能否將其中一個動點視為“定點”，來考察另一個動點的軌跡？或者，我們能否找到一個不變的“定點”和“定長”，使得某個動點到該定點的距離等于定長？4.注意到點Q在BC上運動，CQ是我們要求解的線段。我們希望CQ最小。點Q除了在BC上，還滿足到點P的距離為2。點P在AB上。構(gòu)造輔助圓：考慮點Q的運動約束：它既在直線BC上，又在以點P為圓心、半徑為2的圓上。但點P在AB上滑動，因此，以P為圓心、2為半徑的圓也隨之運動。我們可以理解為，點Q是動圓⊙P（半徑2）與直線BC的交點。那么，CQ的最小值，就轉(zhuǎn)化為在直線BC上找到一點Q，使得存在AB上一點P，滿足PQ=2，且CQ最小。進一步思考，對于直線BC上的任意一點Q，若存在AB上的點P使得PQ=2，則點P在以Q為圓心、2為半徑的圓上，同時點P又在AB上。因此，⊙Q（半徑2）與線段AB必須有交點。所以，問題可以轉(zhuǎn)化為：在直線BC上找一點Q，使得⊙Q（半徑2）與線段AB有交點，且CQ最小。此時，CQ最小，即點Q到點C的距離最小。要使⊙Q（半徑2）與線段AB有交點，那么圓心Q到直線AB的距離d必須滿足d≤半徑2。因為如果圓心到直線的距離小于等于半徑，則圓與直線相交或相切。因此，我們的問題最終轉(zhuǎn)化為：在直線BC上求一點Q，使得點Q到直線AB的距離d≤2，且CQ最小。顯然，當點Q到直線AB的距離恰好為2時，CQ能取得最小值（因為如果距離小于2，我們可以將點Q向C點方向移動，直到距離等于2，此時CQ會更小）。解答：過點C作CH⊥AB于點H（如圖1-1）。在Rt△ABC中，AB=√(AC2+BC2)=√(62+82)=10。由面積法可得：CH=(AC·BC)/AB=(6×8)/10=4.8?，F(xiàn)在，我們需要在BC上找一點Q，使得點Q到AB的距離為2。設(shè)點Q到AB的距離為QD，QD⊥AB于D，則QD=2。因為QD⊥AB，CH⊥AB，所以QD∥CH。因此，△BQD∽△BCH。設(shè)CQ=x，則QB=BC-CQ=8-x。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：QD/CH=QB/BC，即2/4.8=(8-x)/8。解方程：2×8=4.8×(8-x)16=38.4-4.8x4.8x=38.4-16=22.4x=22.4/4.8=14/3≈4.666...但我們需要驗證此時⊙Q（半徑2）與AB是否有交點。因為QD=2，即圓心Q到AB的距離為2，等于半徑，所以⊙Q與AB相切，切點即為D。因此，點P可以與點D重合（若D在AB上）。顯然，D是AB上的點。所以，CQ的最小值為14/3。反思與總結(jié)：1.本題的關(guān)鍵在于將“PQ=2”這一條件，通過轉(zhuǎn)換視角，理解為點P在以Q為圓心、2為半徑的圓上，從而將問題轉(zhuǎn)化為考察該圓與直線AB的位置關(guān)系。2.直線外一點到直線的距離，是該點到直線上所有點距離的最小值。這一性質(zhì)在解決圓與直線位置關(guān)系時經(jīng)常用到。3.構(gòu)造輔助圓后，利用了“圓心到直線的距離”與“半徑”的大小關(guān)系來判斷交點的存在性，并進一步轉(zhuǎn)化為求解線段長度的最值。練習1：如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點E是邊BC上的一個動點（不與B、C重合），以AE為邊在正方形內(nèi)部作等邊三角形AEF，連接CF。求線段CF長度的最小值。策略二：利用“定邊對定角”構(gòu)造輔助圓在平面幾何中，如果一條線段的長度固定（定邊），并且這條邊所對的角的度數(shù)也固定（定角），那么這個角的頂點的軌跡，是以這條定邊為弦的一段圓?。ú话ㄟ叺膬蓚€端點）。這個重要的幾何模型，我們稱之為“定邊對定角”模型。利用這個模型，我們可以構(gòu)造輔助圓，將角的頂點的運動軌跡確定在某個圓上，從而利用圓的性質(zhì)來探究與該頂點相關(guān)的最值問題。探究2：與角度相關(guān)的最值或路徑長問題例題2：如圖2，在平面直角坐標系中，已知點A(0,2)，點B(4,0)，點P是線段OB上的一個動點（不與O、B重合），連接AP，過點P作PD⊥AP，交AB于點D。連接OD，求線段OD長度的取值范圍。分析與引導：1.首先，根據(jù)點A和點B的坐標，可以求出直線AB的解析式，這有助于我們確定點D的坐標特征。2.核心條件是“PD⊥AP”，即∠APD=90°。這里，線段AP和DP是兩條動線段，但其夾角∠APD是固定的90°直角。3.點A是定點，點P是OB上的動點，點D是AB上的動點。我們關(guān)注的是點D的運動軌跡，因為OD的長度取決于點D的位置。4.在∠APD=90°中，有沒有“定邊”？點A是定點，點P是動點，點D是動點。如果我們把AD看作一條線段，那么∠APD是AD所對的角嗎？或者，在△APD中，∠APD=90°，這意味著什么？構(gòu)造輔助圓：在△APD中，∠APD=90°，由圓周角定理的推論可知：直角三角形的斜邊是其外接圓的直徑。因此，點P在以AD為直徑的圓上。但∠APD是直角，所以點A、P、D在同一個圓上，且AD是該圓的直徑。此時，對于△APD，AD是斜邊（定角∠APD=90°所對的邊）。但AD的長度和位置都是變化的，因為點D在AB上運動，點P在OB上運動。換一種思路：在∠APD=90°中，點A是定點，點P是動點（在OB上），點D是動點（在AB上）。我們能否固定其中一個要素，來尋找另一個要素的軌跡？我們可以視AP和DP為兩條直角邊，點P為直角頂點。那么，對于定點A和動點P、D，滿足∠APD=90°。我們可以考慮，當點P在OB上運動時，點D的軌跡是什么？取AD的中點O'，連接PO'。在Rt△APD中，O'是斜邊AD的中點，所以O(shè)'A=O'P=O'D。這意味著點P到AD中點O'的距離等于AD的一半。但這個關(guān)系似乎還不足以直接找到軌跡。另一個重要的觀察：點D始終在直線AB上。我們可以嘗試求出點D的坐標（用點P的坐標表示），然后消去參數(shù)得到點D的軌跡方程。但這可能涉及較多代數(shù)運算。我們能否用純幾何的方法，利用“定邊對定角”來構(gòu)造輔助圓？我們換個角度，固定點A和點D，那么∠APD=90°意味著點P在以AD為直徑的圓上?，F(xiàn)在點P又在OB上，所以O(shè)B與該圓有交點。即，對于AB上的點D，若以AD為直徑的圓與OB有交點P，則這樣的點D是符合條件的。但我們的目標是找到所有符合條件的點D的集合，進而求出OD的最值?；蛘?，我們可以反過來思考：點P在OB上運動，對于每個確定的點P，都可以作出一個點D，使得∠APD=90°且D在AB上。當點P從O運動到B時，點D如何運動？設(shè)P(t,0)，其中0<t<4。直線AP的斜率為(0-2)/(t-0)=-2/t。因為PD⊥AP，所以直線PD的斜率為t/2。直線PD的方程為：y-0=(t/2)(x-t)。直線AB的方程：A(0,2)，B(4,0)，其斜率為(0-2)/(4-0)=-1/2，方程為y=(-1/2)x+2。聯(lián)立直線PD和AB的方程，可求出點D的坐標。由(t/2)(x-t)=(-1/2)x+2兩邊同乘2：t(x-t)=-x+4tx-t2=-x+4tx+x=t2+4x(t+1)=t2+4x=(t2+4)/(t+1)代入AB方程，得y=(-1/2)(t2+4)/(t+1)+2=[-(t2+4)+4(t+1)]/[2(t+1)]=[-t2-4+4t+4]/[2(t+1)]=(-t2+4t)/[2(t+1)]所以點D的坐標為((t2+4)/(t+1),(-t2+4t)/(2(t+1)))現(xiàn)在，我們得到了點D坐標關(guān)于t的參數(shù)方程。要求OD的長度，即√[x2+y2]，這顯然比較復雜。我們能否找到點D的軌跡方程？設(shè)x=(t2+4)/(t+1)，y=(-t2+4t)/(2(t+1))嘗試消去參數(shù)t。由x=(t2+4)/(t+1)，得t2-xt+(4-x)=0...(1)由y=(-t2+4t)/(2(t+1))，得2y(t+1)=-t2+4t，即t2+(2y-4)t+2y=0...(2)由(1)和(2)表示的是同一個t，所以它們的系數(shù)應(yīng)該成比例？或者聯(lián)立求解。由(1)：t2=xt-(4-x)代入(2)：xt-(4-x)+(2y-4)t+2y=0t(x+2y-4)+(-4+x+2y)=0(x+2y-4)(t+1)=0因為t+1≠0（t>0），所以x+2y-4=0，即x+2y=4。驚喜地發(fā)現(xiàn)，點D的軌跡滿足方程x+2y=4，這是一條直線！但我們還需考慮t的取值范圍0<t<4，所以點D的軌跡是直線x+2y=4上的一段線段。驗證：當t=0時，P與O重合，此時PD⊥AP即OD⊥AO，AO是y軸，OD是x軸，D與O重合？但t=0時，x=(0+4)/(0+1)=4，y=(0+0)/(0+1)=0，即D(4,0)，與點B重合。當t=4時，P與B重合，直線AP的斜率為-2/4=-1/2，直線PD的斜率為4/2=2。直線PD：y=2(x-4)。與AB：y=-1/2x+2聯(lián)立，解得x=(8+2)/(2+0.5)=10/2.5=4，y=0，也與B重合。這說明當t從0到4變化時，點D從B出發(fā)，沿著某條軌跡運動，又回到B？這似乎與我們得到的直線x+2y=4矛盾。檢查計算過程，發(fā)現(xiàn)當t=0時，x=4，y=0，代入x+2y=4+0=4，滿足。當t=2時，x=(4+4)/(3)=8/3，y=(-4+8