2/37專題01利用勾股定理求最短路徑問題的四種模型目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：圓柱中的最短路徑模型 1題型二：長方體中的最短路徑模型 9題型三：階梯中的最短路徑模型 18題型四：將軍飲馬與最短路徑模型 24題型一：圓柱中的最短路徑模型例題：如圖①，圓柱的底面直徑為，高，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，探究螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路徑長多少厘米：(1)圖②是將圓柱側(cè)面沿裁剪后展開形成的四邊形，點(diǎn)在線段上，求的長（取3）；(2)在側(cè)面展開圖形中畫出螞蟻爬行的最短路徑，并求出最短路徑的長度．【答案】(1)；(2)，圖見解析【分析】本題考查螞蟻在圓柱側(cè)面爬行最短路徑問題，涉及圓柱側(cè)面展開圖、圓周長公式、兩點(diǎn)之間線段最短及勾股定理求線段長，根據(jù)問題，作出圖形求解是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)的長為圓柱底面圓的周長，利用圓周長公式代值求解即可得到答案；（2）由兩點(diǎn)之間線段最短即可得到最短路徑為線段，作出圖形，再利用勾股定理求解即可得到最短路徑的長度．【詳解】（1）解：由圓柱的側(cè)面展開圖可知，的長為圓柱底面圓的周長，圓柱的底面直徑為，；（2）解：如圖所示：由兩點(diǎn)之間線段最短即可得到最短路徑為線段，由（1）知，高，，在中，由勾股定理可得．【方法總結(jié)】圓柱體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟圓柱有關(guān)的最短路徑問題時(shí)，要注意圓柱的側(cè)面展開圖為矩形，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意展開后兩個端點(diǎn)的位置，有時(shí)候需要用底面圓的周長進(jìn)行計(jì)算，有時(shí)候需要用底面圓周長的一半進(jìn)行計(jì)算.注意：（1）運(yùn)用勾股定理計(jì)算最短路徑時(shí)，按照展開—定點(diǎn)—連線—勾股定理的步驟進(jìn)行計(jì)算；（2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長度后乘以圈數(shù).【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短.【變式訓(xùn)練】1．如圖，地上有一圓柱，在圓柱下底面的A點(diǎn)處有一螞蟻，它想沿圓柱表面爬行，吃到上底面與A點(diǎn)相對的B點(diǎn)處的食物，當(dāng)圓柱的高厘米，底面半徑厘米時(shí)，螞蟻沿側(cè)面爬行的最短路程是．【答案】【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用-最短路徑問題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．首先畫出圓柱的平面展開圖，求出長，再利用勾股定理可求出的長．【詳解】解：圓柱的展開圖如下：連接，由題意得：，，∴．故答案為：．2．如圖，實(shí)心圓柱的底面周長為，高，的中點(diǎn)B處有一塊面包．一只螞蟻沿圓柱側(cè)面從A處到B處覓食，要爬行的最短路程為．【答案】【分析】本題考查了，平面展開最短路徑，勾股定理，解題的關(guān)鍵是：通過展開圖找到最短路徑．展開成平面，連接，則長時(shí)螞蟻在圓柱表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路程，求出的長，根據(jù)勾股定理，即可求解，【詳解】解：展開成平面，連接，則長為螞蟻在圓柱表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路程，∴，，在中，，故答案為：．3．如圖，圓柱的底面直徑為，高為，一只螞蟻在處，沿圓柱的側(cè)面爬到處，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿“剪開”，則在側(cè)面展開圖上螞蟻爬行的最短路程是

【答案】/【分析】本題考查了平面展開-最短路徑問題，將圓柱的側(cè)面展開，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．沿過點(diǎn)的母線剪開，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖：沿過點(diǎn)的母線剪開，連接，

根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短．由勾股定理得：，故螞蟻爬行的最短路程為，故答案為：．4．如圖，圓柱形無蓋玻璃容器，高，底面圓的直徑為，在外側(cè)距下底的點(diǎn)處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口的處有一蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線的長度．（結(jié)果保留根號）【答案】【分析】本題考查了最短路徑問題，解題思路為：①先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后并畫出展開圖，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短；②構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理列式求解，首先將圓柱展開，將兩個點(diǎn)放在同一平面上，構(gòu)建直角，可知捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線就是的長；根據(jù)已知求出，由題意可知：是底面的周長的一半，根據(jù)底面圓的直徑為和圓的周長公式，可以求的長，從而由勾股定理求出的長．【詳解】解：畫圓柱的展開圖，如圖所示：過作于，由題意得：，，，，由勾股定理得：，答：急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線的長度為．5．葛藤是一種刁鉆的植物．它自己腰托不硬，為了爭奪雨露陽光，常常繞著樹干盤旋而上，它還有一手絕招，就是繞樹盤旋上升的路段，總是沿著最短路線——盤旋前進(jìn)的，難道植物也懂得數(shù)學(xué)嗎？閱讀以上信息，你能設(shè)計(jì)一種方法解決下列問題嗎？(1)如圖，如果樹干的周長（即底面圓的周長）為30cm，從點(diǎn)A繞一圈到點(diǎn)B，葛藤升高40cm，則它爬行路程是多少厘米？(2)如果樹干的周長（即底面圓的周長）為40cm，繞一圈爬行50cm，則爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到達(dá)樹頂，則樹干高多少厘米？【答案】(1)50cm(2)300cm【分析】（1）將圓柱展開，可知底面圓周長，即為的長，圓柱的高即為的長，求出的長即為葛藤繞樹的最短路程．（2）先根據(jù)勾股定理求出繞行1圈的高度，再求出繞行10圈的高度，即為樹干高．【詳解】（1）解：如圖，樹干的周長即底面圓的周長為30cmcm葛藤升高40cmcm由勾股定理得cm所以，葛藤爬行的路程是50cm（2）解：樹干的周長即底面圓的周長為40cmcm葛藤繞一圈爬行50cmcm由勾股定理得繞行1圈的高度爬行10圈到達(dá)樹頂樹干高cm所以，樹干高為300cm【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱的側(cè)面展開圖和勾股定理，解題關(guān)鍵是要弄清底面圓的周長即為矩形的邊的長．6．我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點(diǎn)處纏繞而上．(1)若繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)處，則問題中葛藤的最短長度是________尺．(2)若繞周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)處，則問題中葛藤的最短長度是________尺．【答案】(1)25(2)【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，在Rt中，再根據(jù)勾股定理求解即可；（2）在Rt中根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，在Rt中，，，（尺）答：葛藤長為25尺．故答案為：25；（2）解：在Rt中，，，（尺），答：葛藤長為尺．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開—最短路徑問題，能夠根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造出直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．7．如圖，已知圓柱底面的周長為12，圓柱的高為8，在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)A，C嵌有一圈長度最短的金屬絲．(1)現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿剪開，所得的圓柱側(cè)面展開圖是______．(2)如圖①，求該長度最短的金屬絲的長．(3)如圖②，若將金屬絲從點(diǎn)B繞四圈到達(dá)點(diǎn)A，則所需金屬絲最短長度是多少？(4)如圖③，圓柱形玻璃杯的高，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿，且與蜂蜜相對的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不計(jì)）【答案】(1)A(2)20(3)(4)10【知識點(diǎn)】最短路徑問題、圓柱的展開圖、求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了平面展開最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是掌握圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，此矩形的長等于圓柱底面周長，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側(cè)面展開成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．（1）由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點(diǎn)解題；（2）要求絲線的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長時(shí)，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（3）若將金屬絲從點(diǎn)B繞四圈到達(dá)點(diǎn)A，則所需金屬絲最短長度是以周長及的高為直角三角形的斜邊長的4倍；（4）如圖（見解析），將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長度即為所求，利用勾股定理求解即可得．【詳解】（1）解：因圓柱的側(cè)面展開面為長方形，展開應(yīng)該是兩線段，且有公共點(diǎn)．故選：A；（2）解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長最小為的長度．圓柱底面的周長，圓柱的高，該長度最短的金屬絲的長為；（3）解：若將金屬絲從點(diǎn)B繞四圈到達(dá)點(diǎn)A，則所需金屬絲最短長度是以周長及的高為直角三角形的斜邊長的4倍：．（4）解：如圖，將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，作，交延長線于點(diǎn)，連接，

由題意得：，，∵底面周長為，，，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為．題型二：長方體中的最短路徑模型例題：如圖，長方體的長為3，寬為2，高為4，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿長方體表面到點(diǎn)B處吃食物，那么它爬行的最短路程是．【答案】【知識點(diǎn)】求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用)、幾何體展開圖的認(rèn)識【分析】本題考查了平面展開—最短路徑問題，勾股定理，分三種情況，展開圖形，結(jié)合勾股定理計(jì)算并比較，即可得解．【詳解】解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個平面，則這個長方形的長和寬分別是6和3，則所走的最短路線是；第二種情況：把我們所看的左面與上面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是5和4，則所走的最短路線是；第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是7和2，則所走的最短路線是；∵，∴它爬行的最短路程是，故答案為：．【方法總結(jié)】長方體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟長方體有關(guān)的最短路徑問題時(shí)，要熟悉長方體的側(cè)面展開圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意長方體展開圖的多種情況和分類討論.注意：1）長方體展開圖分類討論時(shí)可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進(jìn)行討論；2）兩個端點(diǎn)中有一個不在定點(diǎn)時(shí)討論方法跟第一類相同.【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短.【變式訓(xùn)練】1．如圖，長方體中，，一只螞蟻從點(diǎn)A點(diǎn)出發(fā)沿長方體表面爬行到點(diǎn)，爬行的最短距離是．【答案】13【知識點(diǎn)】求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，將長方體沿著它的長、寬、高分別展開，利用勾股定理求出對應(yīng)的最短路徑，比較即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)沿著把長方體展開時(shí)，則，∴，∴此時(shí)從點(diǎn)A點(diǎn)出發(fā)沿長方體表面爬行到點(diǎn)，爬行的最短距離是；如圖所示，當(dāng)沿著把長方體展開時(shí)，則，∴，∴此時(shí)從點(diǎn)A點(diǎn)出發(fā)沿長方體表面爬行到點(diǎn)，爬行的最短距離是；如圖所示，當(dāng)沿著把長方體展開時(shí)，則，∴，∴此時(shí)從點(diǎn)A點(diǎn)出發(fā)沿長方體表面爬行到點(diǎn)，爬行的最短距離是；∵，∴從點(diǎn)A點(diǎn)出發(fā)沿長方體表面爬行到點(diǎn)，爬行的最短距離是；故答案為：13．2．如圖，長方體的長、寬、高分別為6，4，4，點(diǎn)A是長方體的頂點(diǎn)，點(diǎn)B是棱的中點(diǎn)，一只螞蟻由A處沿長方體表面爬到B處，最短路程為．【答案】【知識點(diǎn)】求展開圖上兩點(diǎn)折疊后的距離、求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用)【分析】根據(jù)展開圖的不同類型，利用勾股定理計(jì)算比較即可．本題考查了平面展開-最短路徑問題，勾股定理，此題的關(guān)鍵是明確兩點(diǎn)之間線段最短這一知識點(diǎn)，然后把立體的長方體放到一個平面內(nèi)，求出最短的線段．【詳解】解：如圖所示，根據(jù)題意，長方體的長，寬，高，，根據(jù)展開圖，得到解法如下：第一種展開圖，根據(jù)題意，得；第二種展開圖中，根據(jù)題意，得；第三種展開圖中，根據(jù)題意，得；故爬行的最短路程為，故答案為：．3．如圖是一個長方體盒子，其長、寬、高分別為4，1，7，用一根細(xì)線繞側(cè)面綁在點(diǎn)處，不計(jì)線頭，細(xì)線的最短長度為．【答案】【知識點(diǎn)】幾何體展開圖的認(rèn)識、求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用)、最短路徑問題【分析】本題主要考查勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短、幾何體的展開圖等知識點(diǎn)，掌握勾股定理“”是解題的關(guān)鍵．把長方體沿邊剪開，利用兩點(diǎn)之間線段最短，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，把長方體沿邊剪開，連接，根據(jù)題意：，，在中，由勾股定理得：.故答案為：．4．如圖，長方體的長為，寬為，高為，點(diǎn)B離點(diǎn)C，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是．【答案】25【知識點(diǎn)】求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用-最短路徑問題，分三種情況進(jìn)行討論，分別計(jì)算的長度，進(jìn)而比較即可求解．【詳解】解：展開前面和右面，如圖：；展開左面和上面，如圖：；展開上面和前面，如圖：；∵，∴，∴需要爬行的最短距離是25，故答案為：25．5．如圖所示，一只螞蟻在長方體木塊的頂點(diǎn)A處，食物在這個長方體上和螞蟻相對的頂點(diǎn)B處，螞蟻急于吃到食物，所以沿著長方體的表面向上爬，請你計(jì)算出它從A處爬到B處的最短路線長為多少．【答案】．【知識點(diǎn)】求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查最短路徑問題，勾股定理等．根據(jù)題意分兩種情況分析，針對兩種情況求出路徑長，再比較大小即可得到本題答案．【詳解】解：如圖①所示，，如圖②所示，，∵，，∴它從A處爬到B處的最短路線長為．6．（1）如圖1，長方體的長為，寬為，高為．求該長方體中能放入木棒的最大長度；（2）如圖2，長方體的長為，寬為，高為．現(xiàn)有一只螞蟻從點(diǎn)處沿長方體的表面爬到點(diǎn)G處，求它爬行的最短路程；（3）如圖3，若將題中的長方體換成透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離底部的點(diǎn)處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿與飯粒相對的點(diǎn)A處．求螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少？【答案】（1）

（2）

（3）【知識點(diǎn)】求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了平面展開—最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）利用勾股定理直接求出木棒的最大長度即可．（2）將長方體展開，利用勾股定理解答即可；（3）將容器側(cè)面展開，建立關(guān)于的對稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長度即為所求．【詳解】解：（1）由題意得：如圖，該長方體中能放入木棒的最大長度是：；（2）①如圖，，②如圖，，③如圖，，，∴最短路程為；（3）∵高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點(diǎn)處有一飯粒，此時(shí)螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿與飯粒相對的點(diǎn)處，將容器沿側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，，連接，則即為最短距離，∴題型三：階梯中的最短路徑模型例題：如圖，一個三級臺階，它的每一級長、寬和高分別為、、，則它爬行的最短路程為．【答案】/13分米【分析】本題考查勾股定理解決最短距離問題，將樓梯拉伸，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，結(jié)合勾股定理求解即可得到答案；【詳解】解：將三級臺階展開為平面圖形如圖所示，則的長即為它爬行的最短路程，由勾股定理得，，∴它爬行的最短路程為，故答案為：．【方法總結(jié)】階梯中最短路徑基本模型如下：注意：展開—定點(diǎn)—連線—勾股定理【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短.【變式訓(xùn)練】1．將矩形紙片折疊，如圖所示，已知，，，則螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程是．【答案】26【分析】本題考查平面展開—最短路徑問題，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理，要注意培養(yǎng)空間想象能力，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩點(diǎn)之間線段最短．根據(jù)題意畫出矩形紙片的平面展開圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短連接即可．【詳解】如圖，根據(jù)題意可得：展開圖中的，．在中，由勾股定理可得：，即螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程是．故答案為：26．2．如圖，這是一個三級臺階，它的每一級的長．寬、高分別為，A和B是這個臺階兩個相對的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想爬到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到點(diǎn)B處的最短路徑是，確定最短路徑的依據(jù)是．【答案】25兩點(diǎn)之間，線段最短【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，兩點(diǎn)之間，線段最短，把臺階展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可知，線段的長即為螞蟻所爬的最短路徑，利用勾股定理求出線段的長即可．【詳解】解：把臺階展開如下：由題意得，，∴，∴螞蟻沿著臺階面爬到點(diǎn)B處的最短路徑是，依據(jù)是兩點(diǎn)之間，線段最短，故答案為：25；兩點(diǎn)之間，線段最短．3．如圖，教室的墻面與地面垂直，點(diǎn)在墻面上，若，點(diǎn)到的距離是，有一只螞蟻要從點(diǎn)爬行到點(diǎn)，則它的最短行程是m．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，平面展開-最短路徑問題．可將教室的墻面與地面展開，連接P、B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，將教室的墻面與地面展成一個平面，過P作于G，連接，∵，，∴，∴，∴．故這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是．故答案為：．4．如圖，在一張長方形紙板上放著一根長方體木塊．已知米，米．該木塊的長與平行，橫截面是邊長為1米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)爬過木塊到達(dá)點(diǎn)需要走的最短路程是米．【答案】【分析】本題主要考查兩點(diǎn)之間線段最短，解答此題要將木塊展開，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解答．【詳解】解：由題意可知，將木塊展開，相當(dāng)于是個正方形的寬，∴長為米；寬為米．于是最短路徑為：米．故答案為：．5．問題情境：如圖①，一只螞蟻在一個長為，寬為的長方形地毯上爬行，地毯上堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱平行且等于寬，木塊從正面看是一個邊長為的等邊三角形，求一只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程．(1)數(shù)學(xué)抽象：將螞蟻爬行過的木塊的側(cè)面“拉直”“鋪平”，“化曲為直”，請?jiān)趫D②中用虛線補(bǔ)全木塊的側(cè)面展開圖，并用實(shí)線連接；(2)線段的長即螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程，依據(jù)是_________；(3)問題解決：求出這只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程．【答案】(1)圖形見解析(2)兩點(diǎn)之間線段最短.(3)這只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程為．【分析】本題考查平面展開—最短路徑問題，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理，要注意培養(yǎng)空間想象能力，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩點(diǎn)之間線段最短．（1）根據(jù)題意畫出三棱柱木塊的平面展開圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短連接即可；（2）根據(jù)題（1）結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短即可求解；（3）根據(jù)題意可得，展開圖中等于長方形地毛毯的長和三角形一條邊長之和，展開圖中等于長方形地毛毯的寬，根據(jù)勾股定理計(jì)算的長即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求：（2）解：線段的長即螞蟻從點(diǎn)處到達(dá)點(diǎn)處需要走的最短路程，依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短，故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短；（3）根據(jù)題意可得：展開圖中的，．在中，由勾股定理可得：，即這只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程為．6．綜合與實(shí)踐【問題情境】數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動課上，老師提出如下問題：一個三級臺階，它每一級的長、寬、高分別為20、3、2，A和B是一個臺階兩個相對的端點(diǎn)．【探究實(shí)踐】老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到B點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺階爬到B點(diǎn)的最短路程是多少？（1）同學(xué)們經(jīng)過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級臺階展開成平面圖形，可得到長為20，寬為15的長方形，連接，經(jīng)過計(jì)算得到長度為______，就是最短路程．【變式探究】（2）如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長是30cm，高是8cm，若螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)B，則螞蟻爬行的最短距離為______．【拓展應(yīng)用】（3）如圖④，圓柱形玻璃杯的高9cm，底面周長為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不計(jì)）【答案】（1）25；（2）17cm；（3）B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是10cm【知識點(diǎn)】根據(jù)成軸對稱圖形的特征進(jìn)行求解、求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查勾股定理最短路徑問題：（1）直接利用勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）將圓柱體展開，利用勾股定理求解即可；（3）將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長度即為所求，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：（1）由勾股定理，得：；故答案為：25；（2）將圓柱體展開，如圖，由題意，得：，，由勾股定理得：；故答案為：17cm．（3）如圖，將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，作，交延長線于點(diǎn)，連接，

由題意得：，，∵底面周長為，，，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為，題型四：將軍飲馬與最短路徑模型例題：如圖，透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離容器底部的處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在與點(diǎn)處相對的玻璃杯外壁，且距離容器頂部的點(diǎn)處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑長度是．【答案】【知識點(diǎn)】根據(jù)成軸對稱圖形的特征進(jìn)行求解、求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了平面展開-最短路徑問題、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出螞蟻?zhàn)叩淖疃搪窂?，?gòu)造直角三角形，、利用勾股定理求出結(jié)果．【詳解】解：如下圖所示，將圓柱的側(cè)面展開，則有，，，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，作交的延長線于點(diǎn)，則，，，故答案為：．【方法總結(jié)】將軍飲馬與最短路徑基本模型如下：解決線段之和最小值問題：對稱+連線，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決.注意：立體圖形中從外側(cè)到內(nèi)側(cè)最短路徑問題需要先作對稱，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短的原理結(jié)合勾股定理求解.【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短.【變式訓(xùn)練】1．如圖，長方體魚缸（無蓋）的長，寬，高分別為，，，一只壁虎從外表面頂點(diǎn)出發(fā)，沿長方體表面爬到內(nèi)側(cè)點(diǎn)處，點(diǎn)在上且距離上沿（即），壁虎爬行的最短路程是（

）（魚缸厚度忽略不計(jì)）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了最短路徑問題，勾股定理．延長到點(diǎn)，使，連接，交于點(diǎn)P，連接．則．的最小值為的長．利用勾股定理求出的長度即為壁虎爬行最短路程．【詳解】解：如圖，延長到點(diǎn)，使，連接，交于點(diǎn)P，連接．則．的最小值為的長．∵，∴，∵，∴，故選：D．2．如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，假設(shè)其長，高，水深．在水面上緊貼內(nèi)壁的處有一塊面包屑，且．一只螞蟻想從魚缸外的點(diǎn)沿魚缸壁爬進(jìn)魚缸內(nèi)的處吃面包屑，則螞蟻爬行的最短路線的長為．【答案】100【知識點(diǎn)】求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查平面展開?最短路徑問題，關(guān)鍵知道兩點(diǎn)之間線段最短，從而可找到路徑求出解．作出A關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)Q，此時(shí)最短；為直角的斜邊，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示作出A關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)Q，螞蟻沿著的路線爬行時(shí)路程最短．則，根據(jù)題意：，，∴，∴，∴最短路線長為，故答案為：．3．如圖，一個牧童在小河的南4k