《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》復(fù)習(xí)大綱

第一聿隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)試驗(yàn)E-…指試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行，試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性(每次試驗(yàn)有且僅有一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)，且

事先知道試驗(yàn)可能出現(xiàn)的一切結(jié)果，但不能預(yù)知每次試驗(yàn)的確切結(jié)果。

基

本樣本點(diǎn)⑴…隨機(jī)試驗(yàn)E的每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果

概樣本空間Q----隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本點(diǎn)的全體

念隨機(jī)事件-一山樣本空間中的若干個(gè)樣本點(diǎn)組成的柒合，即隨機(jī)事件是樣本空問的一個(gè)子集。

必然事件一每次試驗(yàn)中必定發(fā)生的事件。不可能事件每次試驗(yàn)中?定不發(fā)生的事件。

事包含AGB例1事件A,B互為對立事件等價(jià)于(D)

件相等A=BA.A,B互不相容B.A.B相互獨(dú)立C.AUB=。

之對立事件，也稱A的逆事件D.A,B構(gòu)成對樣本空間的一個(gè)剖分

間互斥事件AB=0也稱不用容事件例2設(shè)P(A)=0,B為任一事件,貝lj(C)

的A.B相互獨(dú)立P(AB)=P(A)P(B)A.A=(B、A(BC、A與B相互獨(dú)立D、A與B互不相容

關(guān)A,B相互獨(dú)立P(AB)=P(A)P(B)A、A=(B.A(BC、A與B相互獨(dú)立1)、A與B互不相容

系A(chǔ)、A=(B、A(BC.A與B相互獨(dú)立IKA與B互不相容

A、A=(B.A(BC、A與B相互獨(dú)立D.A與B互不相容

A>A=0B、AuBC、A與B相互獨(dú)立D、A與B互不相容

事事件的交AB或AGB例1設(shè)事件A.B滿足AD=(,由此推導(dǎo)不出(D)

件A.A(BB.(C.AUB=BD.ADB=B

事件的并AUB

之例2若事件B與A滿足B-A=B,則一定有(B)

事件的差A(yù)-B注意:A-B=

問A.A=(B、AB=(C、A=(D、B=

A=A-AB=(AUB)-B

的AsA=(B.AB=(C、A=(D、B=

運(yùn)A>A=(B、AB=(C.A=(D、B=

算A、A=(B、AB=(C、A=(D.B=

A、A=0B、AB=0C、AB=0D、B=A

A1,A2,…,An構(gòu)成(的一個(gè)完備事件組(或分斥)((指Al,A2,…,An兩兩互不相容，且Ai=(

交換律AUB=BUAACB=BGA

運(yùn)

結(jié)合律(AUB)UC=AU(BUC)(AAB)GC=AD(BnC)

算

分配律(AUB)DC=(AC)U(BC)(AnB)UC=(Auc)n(Buc)

法

對偶律AUB=AHBAPB=AUB

則

文氏圖

事件與集合論的對應(yīng)關(guān)系表

記號概率論集合論

Q樣本空間，必然事住全集

0不可能事件空集

0)基本事件元素

A事件全集中的一個(gè)子集

XA的對立事件八的補(bǔ)柒

AuB事件A發(fā)生導(dǎo)致事件B發(fā)生A是B的子集

A=B事件A與事件B相等A與B相等

AUB事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生A與B的并集

AB事件A與事件B同時(shí)發(fā)生A與B的交集

A-B事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生A與B的差集

AB=0事件A與事件B互不相容(互斥)A與B沒有相同的元素

占典概型的前提是(={(1,(2,(3,…，(nJn為有限正整數(shù),且每例1設(shè)3個(gè)球任意投到四個(gè)杯中去，問杯中球的個(gè)數(shù)最多為1

個(gè)樣本點(diǎn)(i出現(xiàn)的可能性相等。［解］:每個(gè)球有4種放入法,3個(gè)球共有43種放入法，所以|(|=4

(1)當(dāng)杯中球的個(gè)數(shù)最多為1個(gè)時(shí)，相當(dāng)于四個(gè)杯中取3個(gè)杯

當(dāng)杯中球的個(gè)數(shù)最多為2個(gè)時(shí)，相當(dāng)于四個(gè)杯中有1個(gè)

古|A2|.CCCC=36；則P(A2)=36/6.=9/l.(

典例2從12…,9,這九個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，求：⑴三數(shù)之和為

A包含樣本總個(gè)數(shù)|A|

概P(A)-樣本點(diǎn)總數(shù)一0［解I：pl==,p2==(

型

4jC3C5+C33

［解］：P入/21，P2=c3-14

前提是如果在某一區(qū)域(任取一點(diǎn)，而所取的點(diǎn)落在(中任意兩例1把長度為a的棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成一個(gè)三角

個(gè)度量相等的子區(qū)域的可能性是一樣的。1解］:設(shè)折得的三段長度分別為x,y和那么，樣本空間,

若A((,的區(qū)域G應(yīng)滿足兩邊之和大于第三邊的原則，得到聯(lián)立方程叁

則叱讖1［解1：設(shè)折得的三段長度分別為和a-x.y,那么，樣本空間

應(yīng)的區(qū)域G應(yīng)滿足兩邊之和大于第三邊的原則，得到聯(lián)立方?

幾［解］：設(shè)折得的三段長度分別為x,y和a-x-y,那么，樣本空I'

何相應(yīng)的區(qū)域G應(yīng)滿足兩邊之和大于第三邊的原則，得到聯(lián)立7

概a-x-y<x+y

<x<a-x-y+y解得0<x<^,0<y<^,^<x+y<a0即G={(x.y)|

型ly<a-x-y+x

<x+y<a}

由圖中計(jì)算面積之比，可得到相應(yīng)的幾何概率P(A)=l/4o(

由圖中計(jì)算面積之比，可得到相應(yīng)的幾何概率P(A)=1/40：

古典概型基本(1)非負(fù)性，對于任一個(gè)事件A,WP(A)(O;

性質(zhì)⑵規(guī)范性:P(C)=1或P(0)=O;

(3)有限可加性:對兩兩互斥事件Al,A2,-,An有P(A1UA2U???UAn)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

(3)有限可加性:對兩兩互斥事件Ai,A2,...,An有P(A]UAzU…UAn)=P(Ai)+P(A?)+…+P(An)

概率的公理化要求函數(shù)P(A］滿足以下公理：

定義(1)非負(fù)性,有P(A)(O;

⑵規(guī)范性:P(C)=1;

(3)可列可加性:對兩兩互斥事件Al,A2,—,An有P(A1UA2U—UAn)=P(Al)+P(A2)+—+P(An)

(3)可列可加性:對兩兩互斥事件Ai.Az,…,An有P：A】UAzU…UAn)=P(Ai)+P(Az)+…+P(An)

求逆公式P(7j=l-P(A)

概加法公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

率P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

公求差公式：P(A-B)=P(A)-P：AB);當(dāng)A(B時(shí)，有P(A-B)=P(A)-P(B)

式注意：A-B=A=A-AB=(AUB)-B

注意：A-B=AB-=A-AB=(AUB)-B

條件概率公式：P(A|B)=;(P(B)>0)

P(A|B)表示事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率。

乘法公式：P(AB)-P(/\)P(B|A)-P(B)P(A|B)(其中P(A)>0,P(B)>0)

概

一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)(其中P(AB)>0)

率

全概率公式：P(B六P(B|Ai)P(Ai)其中A1,A2.-,An構(gòu)成的一個(gè)分斥。

公

貝葉斯公式：P(Ak|B)==

式

甑八/D/AP(B|Ak)P(A6P(B|Ak)P(A二

貝葉斯公式：P(Ak|B)-p(B)-

ZP(B|A.)P(Ai)

i=l

例l設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三個(gè)事件A,B和C滿足條件:ABC=(,P(A)=P(B)=P(C)<l/2,且已知

P(AUBUC)=9/I6,則P(A)=°

［解］:P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(CHP(AB)+P(AC)+P(BC)］+P(ABC),

令P(A)=x,則3x-3x2=9/16=>16X2-I6X+3=0=>x=l/4或3/4(舍去)則P(A)=l/4

例2某射擊隊(duì)共有20個(gè)射手，其中一級射手4人，二級射手8人，三級射手7人，四級射手1人，一、二、三、四級射手能夠

正式比賽的概率。

應(yīng)［解］：設(shè)Ak=選中第k級選手.k=l,2,3,4,B=

用P(Al)=l/5.P(A2)=2/5.P(A3)=7/20.P(A4)=l/20.P(B|Al)=0.9.P(B|A2)=0.7.P(B|A3)=0^.P(B|A4)=0.2.P(B)=P(Al)P(B|Al).P(A2)P(Bh

題

例3某物品成箱出售，每箱20件,假設(shè)各箱中含0、1件次品的概率分別為0.8和0.2,一顧客在購買時(shí),他可以開箱，從箱中4

試求：(1)顧客買下該箱的概率(;

(2)顧客買下該箱物品.問該箱確無次品的概率(。

［解］：設(shè)事件A0—箱中。件次品,A1一箱中1件次品，事件B一買下該箱。由已知P(A0)=0.8,P(Al)=0.2,

P(B|AO)=I,P(B|AI)=I9/20X18/19x17/18=17/20.

(1)a=P(B)=P(Ao)P(B|Ao)+P(Ai)P(B|A))=0.8x1+0.2x7/20=0.97;

(2)p=P(Ao|B)=P(AoB)/P(B)=P(Ao)P(B|Ao)/P(B>O.8/O.97=0.8247

如果事件A與事件B滿足P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。

事

結(jié)論：1.如果P(A?0,則事件A與B獨(dú)立.P(B|A)=P(B)

件

2.事件A與事件B獨(dú)立(事件A與事件獨(dú)立

的

=事件X與事件B獨(dú)立=事件X與事件后獨(dú)立

獨(dú)

事件Ai,A2,…,An相互獨(dú)立一指任意k個(gè)事件An,Ai2,…,Aik滿足P(AiQAi2n…CIAik)

立

=P(Ail)P(Ai2)…P(Aik),其中k=2,3,…,n。

性

=P(Ail)P(Ai2)...P(Aik),其中k=2,3，…,n。

可元件的可靠性P(A)=r

靠系統(tǒng)的可靠性：串聯(lián)方式P(AInA2n…AAn)=m

n

性并聯(lián)方式P(AiUA2U...UAn)=l-(l-r)>

指在相同條件卜進(jìn)行n次式驗(yàn)；每次試驗(yàn)的結(jié)果有且僅有兩種A與X：各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立；每次試驗(yàn)的結(jié)果發(fā)生的概率相

貝

努

里二項(xiàng)概率…在n重獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為b(k;n,p),則

概

b(k:n.p)=C?pk(l-p)nk(k=0,l,2,3,...,n)。

型

第二章隨機(jī)變量與概率分布

分布函數(shù)定義：例1.設(shè)隨機(jī)變量(的分布函數(shù)為F(x)=,貝ijP{(W(/4}=()(選C,

F(x)=P{^x},-oo<x<+oo因?yàn)镻{(W(/4}=F((/4)=sin(/4)

分布函數(shù)(x)實(shí)質(zhì)上表示隨機(jī)事件A.OB.l/2C./2D.l

Wx}發(fā)生的概率。例2.設(shè)隨機(jī)變量(1和(2的分布函數(shù)分別為Fl(x)和F2(x),為使

分布函數(shù)F(x)的性質(zhì)F(x)=aFl(X)-bF2(x)是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則在下列給定的各組數(shù)值中

(l)OWF(x)Wl;應(yīng)取()

隨

A.a=3/5,b=-2/5B、a=3/5,b=2/5

⑵xNF(x)=O，

機(jī)

C.a=3/5,b=-3/5D.a=2/5,b=2/5

變

(選A,因?yàn)镕(+°°)=l=aFl(+0°)-bF2(+0°)=a-b)

x梟F(x)=l

量

例3.連續(xù)型隨機(jī)變且&的分布函數(shù)為F(x)=A+Barclanx,-oo<x<x

的

(3)單調(diào)非減，當(dāng)xl<x2時(shí)，F(xiàn)(xl)W求:(1)常數(shù)A.B：(2)(落入(-1.1)的概率。

分

F(x2)［解］:因?yàn)镕(+8尸尸0,所以A+B(/2=1,A-B(/2=O,

布

解.A=I/2.B=1/.WF：x..…arctan..

(4)右連續(xù)x%,+F(X)=F(XO)

函

A~~AAV學(xué)?落入(口??口)的概率為P{Xn??F0J??F&U??

數(shù)

一些概率可用分布函數(shù)來表示11.11?11

=2+-arctan1-(］+,arctan(-l))=1m=5

P{a<&《b}=F(b)-F(a),

P(^=a}=F(a)-F(a-O),Pl^<a}=F(a-O),

P{g>a}=l-F(a),

P{^^a}=l-F(a-O),

定義：隨機(jī)變量只能取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)孤立的值離散型隨機(jī)變量的概率分布簡稱為分布列：

島...…；二]其中每一個(gè)田。且%引

1=1

離散型隨機(jī)變量的分相函數(shù)是非降的階梯函數(shù)。

離散型隨機(jī)變量常見分布：

1)兩點(diǎn)分布X?(0,1)；X的取值只有0或1,其概率為P{X=0}=p,P{X=l}=l-p

離

散2)二項(xiàng)分布X~B(n,p)；分布律為b(k;n,p)=P[X=k}=C%a-p尸k(k=0J23，…,n)其中0<p<l

型

泊松分布?(九)：分布律為卷/(』,。

隨3)XPP{X=k}=k=02,3,..)

機(jī)

4)幾何分布:X~Ge(p)；分布列為P{X=k}=(l-p)k-lp(k=04,2,3,…)。

變

在伯努利試驗(yàn)序列中，記每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p.如果X為事件A首次出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)，則X的可能

量

取值為12…，稱X服從幾何分布。

5)超幾何分布:X-h(n,N,M)：分布列為P{X=k}=(k=O,l,2,3?,,\r,其中r=min{M,n})?

設(shè)有N個(gè)產(chǎn)品,其中有M個(gè)不合格品,若從中不放回地隨機(jī)抽取n個(gè),則其中含有的不合格品個(gè)數(shù)X服從超幾何分

布。

設(shè)有N個(gè)產(chǎn)品，其中有M個(gè)不合格品，若從中不放回地隨機(jī)抽取n個(gè)，則其中含有的不合格品個(gè)數(shù)X服從超幾何

分布。

例1設(shè)隨機(jī)變量(的分布列為P{(=k)=,k=l,2,…，則常數(shù)［解］:(的分布列為

C=()112345

A.1/4B、1/2C、1D、2就率p0.90.090.0090.00C90.0001

8,例3設(shè)離散型隨機(jī)變量g的匕012

離(因?yàn)閆P{5k}=l,即2*=1,所以c=l)概率分布為p0.30.50.2

散

k=，其分布函數(shù)為F(x).則F(3)=()

型

例2某射手有5發(fā)子彈，射一次命中的概率為0.9,如果A.OB、0.3C、0.8D、1

例

命中了就停止射擊，否貝!一直射到子彈用僅。求耗用子彈(選D,因?yàn)镻(3)=p(0)+p(l)+p(2)=l)

題

數(shù)(的分布列。(選D,因?yàn)镕(3尸p(0)+p(l)+p(2)=l)

例2某射手有5發(fā)子彈，射一次命中的概率為0.9,如果

命中了就停止射擊，否則一直射到子彈用僅。求耗用子

彈數(shù)g的分布列。

定義：-隨機(jī)變量可能取的值連續(xù)地充滿一個(gè)范圍，如果對于隨機(jī)連續(xù)型型隨機(jī)變量的性質(zhì)：

變量(的分布函數(shù)F(x),存在非負(fù)可積函數(shù)p(x),使得對于任意實(shí)1分.布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)：

數(shù)x,有F(x)=(p(u)du,則稱(為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中p(x)2F(x)=p(x);

為的概率密度函數(shù).3P{&=a}=0,所以P{a<^<b}=P{底％b}=

密度函數(shù)必須滿足條件：b

P{a<4，<b}=P{a<^<b}=fp(x)dx

(1)P(X)>0,-8<X<+8a

+84P{x<^<x+Ax}?p(x)Ax

(2)1_8P(x)dx=F(+8)=］

連

續(xù)常見連續(xù)型型隨機(jī)變量的分布：

性?0x<a

隨1)均勻分布自?U［a,b］：密度函數(shù)p(x)=,b-aa-X~b分布函數(shù)F(x)=?*a<x<b

。其他1'x>b

機(jī)

變

2)指卻分布與?exp。、)：密度函數(shù)p(x)=1u。分布函數(shù)F(x)=^70

量

］。小尸

3)正態(tài)分布彳?Nlp.o2)：密度函數(shù)p(x)=點(diǎn)獲e-2W(-00<x<+00)

分布函數(shù)F(x)-小后2G2出

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,l),它的分布函數(shù)((x)可查表得到，一般F(x)=(()。

正態(tài)分布的密度函數(shù)的曲線是鐘形對稱曲線，對稱軸為直線x=(,y=0是它的水平漸近線。

正態(tài)分布的密度函數(shù)的由線是鐘形對稱曲線，對稱軸為直線X=Ry=0是它的水平漸近線。

例1設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則P{X=EX2}=.

［解］:因?yàn)閄服從參數(shù)為1的泊松分布,所以EX2=DX+(EX)2=1+12=2,

于是P{X=EX2}=P{X=2；=^e-1

連例2設(shè)一設(shè)備開機(jī)后無故障工作的時(shí)間X服從指數(shù)分布，平均無故障工作的時(shí)間EX為5小時(shí)。設(shè)備定時(shí)開機(jī)，出

續(xù)現(xiàn)故障時(shí)自動關(guān)機(jī)，而在無故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī)。試求該設(shè)備每次開機(jī)無故障的時(shí)間Y的分布

型函數(shù)F(y)?

例［解］:X?因?yàn)镋X=1/X=5n入=1/5,每次開機(jī)無故障的時(shí)間Y=inin{X,2},

題易見當(dāng)y<0時(shí),F(y)=O,當(dāng)y(2時(shí),F(y)=l,

當(dāng)0(y<2時(shí),F(y)=P{Y(y)=P{min{X,2}(y}=P{X(y)=l-e-y/5。

(0若y<0

所以丫的分布函數(shù)F(y)=\1-e”若/y<2

11若論2

1.離散型的求法

隨

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：，則X的函數(shù)Y=g(X)的分布律為：，當(dāng)g(xj)有相同情況時(shí)，概率為相應(yīng)之和。

機(jī)

變

2.連續(xù)型的公式法：

量

設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為fX(x).設(shè)g(x)是一嚴(yán)格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù).其值域((］,且g((x)(O,記x=h(y)為

的

y=g(x)的反函數(shù)，則Y=g：X)的密度函數(shù)為fY(y)=

函

數(shù)

3.連續(xù)型的直接變換法(分布函數(shù)法)：

的

FY(y)=P{Y(y}=P(g(x)(y|=P(X(S),其中S={x|g(x)(y},然后再把FY(y)對y求導(dǎo),即得fY(y)

概

_fdFv(y)/dy當(dāng)FY(Y)在y處可導(dǎo)時(shí)

率Y(y)-［o&FY(y)在y處不可導(dǎo)時(shí)

分

布

例1設(shè)X的分布律為：，求丫=(X.1)2的分布律。

［解］:先由X的值確定丫的值.得到，將丫的值相同的X的概率合在一起，得到丫的分布律。(

例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為FX(x),求隨機(jī)變量丫=3X+2的分布函數(shù)FY(y).

［解］:FY(y)=P{Y(y}=P{3X+2(y}=P{X(}=FX()(

隨例3設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fx(x)=［產(chǎn)"4",求隨機(jī)變量丫=3X+2的密度函數(shù)fy(y).

機(jī)Io其它

變

［解］:用公式法：設(shè)y=g(x)=3x+2,y=g(x)的反函數(shù)為x=h(y)=,-1<<1(-l<y<5,|h((y)|=

里.fa.

則Y=g(X)的密度函數(shù)為

的

函fY(y)=|呼叫悝a<y<P=4-】<y<5折由-55口

數(shù)1°」、匕〔0其它〔0其它

的

例4設(shè)X在區(qū)間［0,2］上服從均勻分布，試求丫=X3的概率密度。

概

［解］:因X?U［0,2］,所以fX(x)=o用分布函數(shù)法分段討論：當(dāng)y<0時(shí)，

率

FY(y)=P{Y(y}.P{X3(y}.0,當(dāng)0<y<8時(shí).FY(y)=P{Y(y}.P{X3(y}.P{X(}=(dx,fY(y).F(Y(y).(y).，當(dāng)y(8時(shí).

分

FY(y)=P{Y(y}.P{X3(y).P{X()=(d.=l,fY(y).F(Y(y).O.fY(y).(

布

FY(y)=P{Y(y}=P{X3(y)=0,當(dāng)0<y<8時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{Y(y}=P(X3(y}=P{X(}=(dx,fY(y)=F(Y(y)=(y)=,

的

當(dāng)y(8時(shí).FY(y)-P{Y(y}-P{X3(y}-P{X(}-(dx-1,fY(y)-F(Y(y)-0.fY(y)-(

例

題擊2

33-

FY(y)=P{Y<y}=P{X<y}=0,當(dāng)(Xy<8時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{Y<y}=P{X<y}=P{X<^/y}=fn|dx,fY(y>F\(y)=||(y)3

1320<y<8

5

-，當(dāng)戶8時(shí)，F(xiàn)y(y)-P{Y<y}-P{X<y}-P{X<S/y)-jo9dx-1,fy(y)-FY(y)-0.fy(y)-,6后

0其它

第三章多維隨機(jī)變量及其概堊分布

二維隨機(jī)向量(On)的聯(lián)合分布函數(shù)指F(x,y)=P(^x，n<y)

維0<F(x,y)<l;F(-oo,+oo)=F(x,-°°)=F(-°°,y)=i);F(+00,+00)=l;

隨P{x14<xz,yi<r|<y2}=F(X2,y2)-F(x：,yi)-F(xi.y2)+F(xuyi)

機(jī)二維隨機(jī)向量(On)的邊緣分布函數(shù)

變F<x)=P{5x}=R：x,+8),Fn(y)=P{r)4y}=F(+8,y)

量

二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布例1設(shè)二維隨機(jī)向量(0月)的聯(lián)合分布律為

N12

P{4=xi，n=yj}=pij.其中Z￡pij=i且pij>o11/61/3

維i=lj=l

21/4a

離

可用一個(gè)分布列表或分布列矩陣(Pij)來表示則常數(shù)a=()

散

A.l/6B.l/4C.1/3D.1/2

隨

&的邊緣分布列為P低=Xi}=Zpij=pi?［答案］:pij=.所.(=1/..義

機(jī)j=l

［答案］:pij=l所以(=1/4,選B.(

變

量

n的邊緣分布列為P{n=yj}=Zpij=p?j［答案］:ZZpi,i=l所以a=l/4,選B.

i=li=lj=l

xy

二維連續(xù)型隨機(jī)句量&r|)的分布函數(shù)F(x,y)=8P(u，v)dudv

維

+8+8

連p(x,y)稱為隨機(jī)阿史&n)的聯(lián)合密度由數(shù)p(x,y)演)，ffp(x.yklxdy-l,<^1-p(x,y)

-3.3oxoy

續(xù)

隨利用密度函數(shù)求概率P{)eD}=gp(x,y)dxdy

機(jī)

二維連續(xù)型隨機(jī)向量((.()的邊緣分布.p((x).p((y)稱為邊緣密度函數(shù)

變

4-00+8

量pq(x)一18PS，y)dyPnGAJ_8P(x,y)dx

離散型：在條件Y=yj下隨機(jī)變量X的條件概率分布為

D)YlvP{X=x「丫=力}也

P{X-Xi|Y-yj}-p{Y=yj}-pfj,1-1,2,...

連續(xù)型：在條件Y=y下隨機(jī)變量X的條件分布函數(shù)FX|Y(x|y)與條件概率密度函數(shù)fX|Y(x|y)分別為：

FxMxly尸二端dufxMxly)=符

例1：設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布，在X=x(0<x<l)的條件下，隨機(jī)變量Y在區(qū)間(0,x)上

服從均勻分布，求：隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度；

條

1解hX的概率密度為fX(x)=，在X=x(Ovxvl)的條件下，

件

分Y的條件概率密度為fYix(y(x)=滬

布

當(dāng)0<y<x<l時(shí)，隨機(jī)變量X和丫的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=fX(x)fY|X(y|x)=l/x

在其它點(diǎn)(x,y)處，有f(x,y)=0,即X和丫的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=

例2:設(shè)隨機(jī)變量X與丫相互獨(dú)立,X概率分布為P{X=i}=l/3(i=-l,01),

概率密度為fY(y)=，記Z=X+Y,求P{Z(1/2|X=O}。

［解卜(l.P(Z(|X=O).P(X+Y(|X=O).P{Y(}=(Idy...(

［解］:(1)P{Z(|X=0|=P(X+Y(|X=0)=P{Y(}=(ldy=.(

1］］1/2］

［解⑴P億%|X=O}=P{X+Y笠|X=O)=P{Y笠曰0ldy=%

:元正態(tài)分布N(陽ueRsLp)的密度函數(shù)

元,、],1.(x-閨尸2P(x-ui)(y-A2)(y-U2)2..

P(X-y)=干exp%中)[-

正

態(tài):元正態(tài)分布N(|1|,RQF,62.P)的邊緣密度分布仍是正態(tài)分布《?N(陽。|2),H-N(1.12,CT22)

分1(X-R)21(y-R).

邊緣概率密度為fx(x)=晨反e-，「Y(y)=/歷e-262

布

(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布(設(shè)D是xOy面上的有界區(qū)域，其面積為A。如果二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度

f(x,y)-，則稱(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布。

元例1:設(shè)(X,Y)服從區(qū)域D：{(x,y)：a&Wb,c0Wd}上的均勻分布，求

均(1)(X.Y)的聯(lián)合概率密度p(x,y)；(2)X,Y的邊際概率密度px(x),pY(y);

勻[解]:(1)f(x,y)=;

分4-oo],?44-oo(]qa

⑵px(x)=fp(x,y)dy='b-aa^x,p(y)=jp(x,y)dx=<d-c

布Y

-Io其他-I0其他

例1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)=A(B+a「clan)(C+arctan)。試求：(1)常數(shù)A,B,C；⑵(X,Y)的概率密度。|解］:

由分布函數(shù)性質(zhì)，得到F(+8,+8)=A(B+)(C+),F(x,-?>)=A(B+arctan)(C-)=0,

F(-8?)=A(B-)(C+arcian)=0.解.A=.B=C=..即F(x,y).(+arcian)(+arcian)。

(2.f(x,y……(

例2:設(shè)隨機(jī)變量X與丫相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間［0,3］上的均勻分布，求P{max{X,Y}(l}。.

［解］:P{max{X,Y}(l)=P{X(l且丫⑴,因?yàn)閄與丫相互獨(dú)立，所以

P(X<1且Y4}=P{X<1}P{Y<I)=!x|=|。(這里P{X<i}=J01dx=|)□

例3:設(shè)二維隨機(jī)變量(X.Y)的概率密度為j(x,y)=t\°<y<2X

求:⑴(X.Y)的邊緣概率密度fX(x),fY(y)；(2)Z=2X-Y的概率密度fZ(z).

［解］:(l)fX(x)=(f(x,y)dy(idy=2x,所以邊緣概率密度fX(x)=

,+80<y<2JIr1-v/20<v<2

fy(y)=\f(x.y)dx====fY，7ldx=l-p\所以邊緣概率密度fy(y)=其它

0<z/2<112x-z1.2

(2)Fz(z)=P{2x-y4z}=fff(x,y)dxdy====1JJldxdy=l2dx10Idy=1Jz/2(2x-z)dx=z-

2x-y<zDi

得到FZ(z)=，所以Z的概率密度fZ(z尸F(xiàn)Z((z)=(

代z<°

得到Fz(z)=1z-z2/404z<2,所以Z的概率密度攵(z尸F(xiàn)z'(z)=其它

例4設(shè)二維隨機(jī)變量(X.Y)的概率密度為綜上所好

/x2+cxy04x41.04y42r0x<0或y<0

收》)=|0其他

斗+號-OWxl及OWy<2

求(1)常數(shù)C:(2)P{X+Y>1};(3)聯(lián)合分布函數(shù)F(x.y).<^-+y04x1及yN2

F(x.y)=

［解］:(1)由的概率密度性質(zhì)得到

+8+8］22|1+石xNl及04y<2

2

1=J_8f(x,y)dxdy=yo(x+cxyXlxdy=j+cnc=j;I1x之1及"2

(2)

P{X+Y>1}=fJf(x.y)dxdy=lff(x.y)dxdy

x+yNlD

22

Modxflx(x+f)dy=J0(1x^1x?)dx=墨

⑶當(dāng)x<0或y<0時(shí)，L

xy(x.y：

F(x,y)=J.oof.ooP(u,v)dudv=0;

當(dāng)0(xl,0(y<2時(shí),

1X

Kyxyuvx3yx2y2

F(x,y)_J/8P(u，v)dudv_Jf於+于川心勺+右：

0J

L

當(dāng)0(xl,y(2時(shí)，r(x,y)

x丫x2uv2x3x2

F(x，y)=J_818P(u.v)dudv=J0f0(/+丁)小1小，1+?；

|(x,y)

當(dāng)x(1.0(y<2時(shí),5

xy1ya

F(x，y)=1),—P(u,v)dudv=JJo(u2+y)dudv=1+-^;-t

當(dāng)x(l,y(2時(shí)，

xy

F(x,y)=joof_oop(u,v)dudv=l

若F(x,y)=F((x)F((y),則稱隨機(jī)變量例：袋中有2只白球，3只黑球.現(xiàn)進(jìn)［解］的聯(lián)合分布與邊際分布為

(與(相互獨(dú)立。行無放回地摸球，定義：

兒個(gè)充要條件：“(1第一次摸由白球目n1)1

口―lo第一次摸出黑球

連續(xù)型隨機(jī)變量自與n相互獨(dú)立=03/103/106/10

P(x.y)=P4(x)Pn(y)f1第二次摸出白球13/101/104/10

n-lo第二次摸出黑球

離散型隨機(jī)變量4與n相互獨(dú)立OP'l6/104/10

獨(dú)

pij=Pipi水：(i)?,()削聯(lián)臺外伸：因?yàn)?/p>

立

:元正態(tài)分布N(pi,or,p2,G22,p)隨機(jī)⑵(,(的邊際分F：p(0,0)=3/10*p4(C)p,^0)=9725

性

變量「與T|相互獨(dú)立=p=0。⑶(,(是否相互獨(dú)立？所以嶼“不獨(dú)立?！?/p>

X與丫相互獨(dú)立=>f(X)與g(Y)也相互(3)(,(是否相互獨(dú)立？

獨(dú)立。(3)自，n是否相互獨(dú)立？

例2:設(shè)A,B是二隨機(jī)事件；隨機(jī)變量