2025-2026學年九年級上學期期中數(shù)學模擬卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：140分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：蘇科版九年級上冊第1~2章+九下第5章：二次函數(shù)。一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點在半徑為5的內(nèi)，那么點到圓心的距離不可能是（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】D【知識點】利用點與圓的位置關系求半徑【分析】本題考查的是點與圓的位置關系，掌握點P到圓心的距離，當時，點P在圓內(nèi)是解題的關鍵．根據(jù)點與圓的位置關系解答即可．【詳解】解：∵點P在半徑為5的內(nèi)，∴，∴點P到圓心O的距離不可能是6．故選：D．2．一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．實數(shù)根的個數(shù)與a的取值有關 D．沒有實數(shù)根【答案】A【知識點】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵；因此此題可根據(jù)進行排除選項即可．【詳解】解：由一元二次方程可知：，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；故選A．3．已知二次函數(shù)下列說法正確的是（

）A．對稱軸為：直線 B．當時，隨的增大而減小C．函數(shù)的最小值是 D．頂點坐標為【答案】B【知識點】y=a（x-h）2+k的圖象和性質(zhì)【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的頂點式解析式的圖像和性質(zhì)，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)．利用二次函數(shù)的頂點式解析式的圖像和性質(zhì)，逐項進行判斷即可．【詳解】解：由得，，∴對稱軸為直線，頂點坐標為，故選項A和D錯誤，不符合題意；∵，∴頂點坐標為最高點，頂點縱坐標為最大值，最大值為，故選項C錯誤，不符合題意；當時，隨的增大而減小，故選項B正確，符合題意；故選：B．4．如圖：QUOTE，則下列正確的是（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【知識點】利用弧、弦、圓心角的關系求證【分析】本題考查圓心角，弧，弦之間的關系，如圖，取的中點E，連接，．證明，再利用三角形的三邊關系解決問題．【詳解】解：如圖，取的中點E，連接，，則，∵，∴，∴，∵，∴．故選：B．5．某商品的進價為每件40元，當售價為每件80元時，每星期可賣出200件，現(xiàn)需降價處理，且經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價1元，每星期可多賣出8件，店里每周利潤要達到8450元．若設店主把該商品每件售價降低x元，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】營銷問題(一元二次方程的應用)【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，準確分析找出等量關系列出方程是解題的關鍵．先根據(jù)售價降低元，分別計算出每件商品的利潤和銷售量，再利用總利潤每件利潤銷售量列出方程，即可得解．【詳解】解：原來售價為每件元，進價為每件元，利潤為每件元，又每件售價降低元后，利潤為每件元；每降低1元，每星期可多賣出件，所以每件售價降低元，每星期可多賣出件，現(xiàn)在的銷量為件，根據(jù)題意得：．故選．6．如圖，已知的半徑為3，內(nèi)接于，，則的長為（

）A．3 B． C． D．4【答案】B【知識點】用勾股定理解三角形、圓周角定理【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，解答本題的關鍵是添加合適的輔助線，合理利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及圓周角定理解題．設點D為優(yōu)弧上一點，連接，，，，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得，再根據(jù)圓周角定理求出，最后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：設點D為優(yōu)弧上一點，連接，，，，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，，，，．故選：B．7．司南是中國發(fā)明的廣泛應用于古代軍事、航海的指南儀器，用正八邊形的八個頂點代表八個方位，如圖，與交于點，則點位于點的（

）A．南偏西方向 B．北偏東方向 C．南偏西方向 D．北偏東方向【答案】D【知識點】與方向角有關的計算題、圓周角定理、同弧或等弧所對的圓周角相等、正多邊形和圓的綜合【分析】本題考查方向角、圓周角以及正多邊形和圓，掌握正八邊形的性質(zhì)，方向角、圓周角的定義是正確解答的關鍵．根據(jù)正八邊形與圓的性質(zhì)以及圓周角、方向角的定義進行計算即可．【詳解】解：如圖，設正八邊形的中心為點，連接、、、，∴正八邊形的中心角為，∴，，∴，，∴，∴，∴點位于點的北偏東．故選：D．8．我們定義一種新函數(shù)：形如的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．某數(shù)學興趣小組畫出了“鵲橋”函數(shù)的圖象（如圖所示），并寫出了下列結論：①圖象與坐標軸的交點為，，；②當時，函數(shù)取得最大值；③當或時，函數(shù)值隨值的增大而增大；④若在函數(shù)圖象上，則也在函數(shù)圖象上；⑤當直線與函數(shù)的圖象有個交點時，則的取值范圍是．其中正確的結論有（

）A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④【答案】D【知識點】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結合的思想是解題的關鍵．對于①，求出函數(shù)與坐標軸的交點坐標即可判斷；對于②和③，根據(jù)函數(shù)圖象判斷即可；對于④，根據(jù)函數(shù)的對稱軸即可判斷；對于⑤，由圖可知，當直線與函數(shù)在之間的圖象相切時，恰好有三個交點，當直線過點時，直線與函數(shù)圖象恰好有三個交點，解得此時的值，再結合圖象即可判斷．【詳解】解：對于①，，由，得，函數(shù)的圖象與軸的交點為，由，得，即，因式分解，得，或，解得，，函數(shù)的圖象與軸的交點為，，函數(shù)的圖象與坐標軸的交點為，，，故①正確；對于②，由圖可知，函數(shù)無最大值，故②錯誤；對于③，函數(shù)的圖象與軸的交點為，，結合圖象可知，函數(shù)圖象的對稱軸為，當或時，函數(shù)值隨值的增大而增大，故③正確；對于④：函數(shù)圖象的對稱軸為，，若在函數(shù)圖象上，則也在函數(shù)圖象上，故④正確；對于⑤：如圖，當直線過點時，直線與函數(shù)的圖象恰好有三個交點，，解得：，當直線過點時，直線與函數(shù)的圖象恰好有一個交點，，解得：，當時，，當直線與函數(shù)的圖象相切時，恰好有三個交點，令，整理得，，，解得，，結合圖象可知，當直線與函數(shù)的圖象有個交點時，的取值范圍為或，故⑤錯誤．綜上所述，正確的結論有①③④．故選：D．二、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分。9．方程的解為．【答案】，【知識點】因式分解法解一元二次方程【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握直接開平方法，因式分解法，配方法和公式法是解題的關鍵．利用因式分解法求解．【詳解】解：或，∴，．10．已知方程的兩根分別為和，則代數(shù)式的值為．【答案】【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關系、由一元二次方程的解求參數(shù)【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，根據(jù)方程的兩根分別為和，可得：，，把整理為，再利用整體代入法求值即可．【詳解】解：方程的兩根分別為和，，，，．故答案為：．11．如圖，在中，，用一個圓面去覆蓋，能夠完全覆蓋這個三角形的最小圓面的半徑是．【答案】【知識點】用勾股定理解三角形、已知外心的位置判斷三角形的形狀【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．找一個三角形的外心，就是找一個三角形的兩條邊的垂直平分線的交點．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理．求出的外接圓半徑即可．【詳解】解：作于D，如圖，∵，∴，∴，∵垂直平分，∴的外心O在上，連接，設的外接圓的半徑為r，則在中，，解得，∵能夠完全覆蓋這個三角形的最小圓為的外接圓，∴能夠完全覆蓋這個三角形的最小圓面的半徑為．故答案為：．12．如圖是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個大正方形ABCD．以點F為圓心，F(xiàn)E長為半徑畫弧，恰好經(jīng)過小正方形的頂點G．若AB＝5，且每個直角三角形的兩直角邊之和為7，則的長為．【答案】【知識點】用勾股定理解三角形、以弦圖為背景的計算題、求弧長【分析】此題考查了勾股定理、弧長公式等知識．設，則，根據(jù)勾股定理求出或，根據(jù)小正方形的邊長即為每個直角三角形的兩直角邊之差，得到正方形的邊長為，利用弧長公式即可求出答案．【詳解】解：∵每個直角三角形的兩直角邊之和為7，∴設，則．在中，由勾股定理可得到，，解得或．由題圖可知，小正方形的邊長即為每個直角三角形的兩直角邊之差，∴正方形的邊長為，∴的長為故答案為：13．年月日，中國（瑞昌）國際羽毛球大師賽世界羽聯(lián)巡回賽超級賽迎來決賽日．若在某次練習中羽毛球的運動路線可以看作拋物線的一部分（如圖），若甲選手發(fā)球過網(wǎng)后，羽毛球飛行到離地面的高度為的處時（點在拋物線對稱軸右側），乙選手在處扣球成功，則點到軸的水平距離是．【答案】【知識點】因式分解法解一元二次方程、投球問題(實際問題與二次函數(shù))【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，令即，然后解一元二次方程即可求解，掌握二次函數(shù)的應用是解題的關鍵．【詳解】解：令，∴，整理得：，解得：，（不合題意，舍去），∴點到軸的水平距離是，故答案為：．14．一次綜合實踐的主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測量一次性紙杯杯口的直徑？小聰同學所在的學習小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直緊貼杯口上，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A，B，C，D四點，利用刻度尺量得該紙條寬為，，．則紙杯的直徑為．【答案】【知識點】用勾股定理解三角形、垂徑定理的實際應用、利用垂徑定理求值【分析】本題考查垂徑定理的應用，勾股定理，由垂徑定理求出，的長，設，由勾股定理得到，求出x的值，得到的長，由勾股定理求出長，即可求出紙杯的直徑長．【詳解】解：如圖，設杯口所在圓的圓心為O，的中點為M，的中點為N，連接，，則，，且過圓心O，∴，，由題意，得，設，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴紙杯的直徑為．故答案為：．15．如圖，，點是射線上一點，，以點為圓心，為半徑作，若與射線只有個公共點，則半徑的取值范圍是．

【答案】或【知識點】已知直線和圓的位置關系求半徑的取值【分析】此題重點考查直線與圓的位置關系，正確地作出輔助線是解題的關鍵．作于點D，由，得，由勾股定理求出，若與射線只有個公共點，則或，即可得半徑r的取值范圍．【詳解】解：作于點D，則，

∵，∴，∴，∴，∴，∵當時，與射線相切，此時與射線只有一個公共點；當時，與射線有兩個公共點，∴若與射線只有個公共點，則或，∴半徑r的取值范圍是或，故答案為：或．16．若二次函數(shù)有最大值為4，則的最小值是．【答案】【知識點】二次函數(shù)圖象的平移、y=a（x-h）2+k的圖象和性質(zhì)、y=ax2+bx+c的最值【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像的平移，關于坐標軸對稱的點的坐標特征；利用頂點坐標變換是解題的關鍵．根據(jù)題意設二次函數(shù)的頂點坐標為，且開口向下，根據(jù)平移可知的頂點坐標為，根據(jù)關于軸對稱可知的頂點坐標為，且開口向上，有最小值．【詳解】解：∵二次函數(shù)有最大值為4，∴設二次函數(shù)的頂點坐標為，∵向左平移1個單位得到，∴的頂點坐標為，∵與關于軸對稱，∴的頂點坐標為，且開口向上，此時頂點坐標為，則最小值為；故答案為：．17．已知拋物線的頂點在第一象限，與軸一個交點的橫坐標為，若，則的取值范圍是．【答案】【知識點】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、拋物線與x軸的交點問題【分析】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，首先根據(jù)題意得到拋物線開口向下，得到，對稱軸為直線，然后得到，代入得到，進而求解即可．【詳解】解：∵拋物線的頂點在第一象限，與軸一個交點的橫坐標為，∴拋物線開口向下，∴，對稱軸為直線，∴，∵與軸一個交點的橫坐標為，∴∴∴∴∵∴∴∴．故答案為：．18．如圖，兩個同心圓O，小圓的半徑為1，大圓的半徑為，點A為小圓上的動點，P、Q是大圓上的兩個動點，且，則的長的最大值是．【答案】4【知識點】用勾股定理解三角形、切線的性質(zhì)定理、點與圓上一點的最值問題【詳解】解：如圖，取中點，連接，，，，則，，，∴，∴，∴，∴當最小時，最大，∵，中點，∴，∵，∴，∴當、、三點共線時，最小，此時最大，∴，解得或（舍去），故答案為：4．三、解答題：本題共8小題，共86分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。19．（本題12分）解下列方程：(1)； (2)【答案】(1)，(2)，【知識點】因式分解法解一元二次方程【分析】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）把方程化為，再化為兩個一次方程，進而解方程即可；（2）把方程化為，再化為兩個一次方程，進而解方程即可．【詳解】（1）解：，，或∴，；（2）解：，或，∴，．20．（本題10分）已知關于x的一元二次方程．(1)求證：無論m取何值時，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根．(2)若該方程的一個根為，且m為負數(shù)，求m的值．【答案】(1)詳見解析．(2)．【知識點】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【分析】本題考查了一元二次方程跟的判別式，已知方程的解求參數(shù)．（1），當時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）將代入方程中解關于m的一元二次方程即可．【詳解】（1）解：，，恒成立，無論m取何值時，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根．（2）把代入得，解得或，m為負數(shù)，．21．（本題8分）已知二次函數(shù)．(1)該二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標是、，頂點坐標是；(2)在平面直角坐標系中，畫出二次函數(shù)的圖像；（要求至少描出5個格點）(3)當時，結合函數(shù)圖像，直接寫出y的取值范圍．【答案】(1)；；(2)見解析(3)【知識點】把y=ax2+bx+c化成頂點式、畫y=ax2+bx+c的圖象、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、求拋物線與x軸的交點坐標【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，畫二次函數(shù)圖像．（1）把一般式配成頂點式得到拋物線的頂點坐標，分別令求得與坐標軸的交點坐標即可；（2）先確定拋物線與坐標軸的交點坐標，然后利用描點法畫出二次函數(shù)圖像；（3）結合二次函數(shù)圖像，寫出當時對應的y的取值范圍．【詳解】（1）解：令，則，解得：，∴二次函數(shù)圖像與軸的交點坐標是，，∵，∴該二次函數(shù)圖像頂點坐標為．（2）解：列表：描點，連線，如圖：．（3）解：由圖像可知，當時，．22．（本題7分）如圖，A、B、C、D是上的四點，．求證：．【答案】見解析【知識點】利用弧、弦、圓心角的關系求證【分析】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關系，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵．根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關系得出，從而得到，再根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關系推出答案即可．【詳解】證明：∵，∴，∴，∴．23．（本題9分）圖①、圖②、圖③中每個小正方形的頂點稱為格點，圖中點A、B、C、D、E、F、G分別是圓上的格點，僅用無刻度直尺，分別確定圖①、圖②、圖③中的圓心O（保留適當?shù)淖鲌D痕跡）【答案】見解析【知識點】90度的圓周角所對的弦是直徑、確定圓心(尺規(guī)作圖)【分析】本題考查了直角所對的弦是直徑，根據(jù)圓周角定理確定兩條直徑，進而即可求解．【詳解】解：如圖所示，24．（本題12分）如圖，利用一面墻（墻長米），用總長度米的柵欄（圖中實線部分）圍成一個矩形圍欄，且中間共留兩個米的小門，設柵欄長為米．(1)若矩形圍欄面積為平方米，求柵欄的長；(2)矩形圍欄面積是否存在最大面積？若存在，求出矩形圍欄的長；不存在，請說明理由．【答案】(1)柵欄的長為米(2)矩形圍欄面積存在最大值，的長為米【知識點】與圖形有關的問題(一元二次方程的應用)、圖形問題(實際問題與二次函數(shù))【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，一元二次方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，列出二次函數(shù)解析式．（1）先表示出的長，再根據(jù)矩形圍欄面積為平方米，即可得出關于的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結論；（2）設矩形圍欄面積為，首先得到，然后表示出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：設柵欄長為米，米，依題意，得：，整理，得：，解得：．當時，，不合題意，舍去，當時，，符合題意，答：柵欄的長為米；（2）解：矩形圍欄面積存在最大面積；理由如下：設矩形圍欄面積為，根據(jù)題意得，，，，，當時，即米時，有最大值．25．（本題14分）圓內(nèi)接四邊形若有一組鄰邊相等，則稱之為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形．(1)如圖1，四邊形為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形，，，則________；(2)如圖2，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，，，若四邊形為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形，求的長；(3)如圖3，四邊形為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形，，為的直徑，且．設，四邊形的周長為，試確定與的函數(shù)關系式，并求出的最大值．【答案】(1)(2)或(3)，【知識點】y=a（x-h）2+k的圖象和性質(zhì)、與三角形中位線有關的求解問題、半圓（直徑）所對的圓周角是直角、圓與四邊形的綜合(圓的綜合問題)【分析】（1）利用圓周角定理可得，再根據(jù)圓心角、弧、弦的關系可得答案；（2）首先利用勾股定理求出和、的長，再分類討論，第一種情況是，第二種情況是，結合三角函數(shù)以及勾股定理進行列式作答即可；（3）連接、交于點H，過點O作于G，利用三角函數(shù)表示出的長，進而得出，再根據(jù)三角形中位線定理可得的長，即可解決問題．【詳解】（1）解：∵，∴，∴又∵，∴，∴；（2）解：∵為的直徑，，，∴，①當時，連接，如圖：∵，為的直徑，∴，∴，垂直平分．∴∴；②當時，連接，過點作，交于點．如圖：此時為等腰直角三角形，．在中，∵，，∴在中，∵，，∴，∴．綜上可知，或；（3）如圖，連接，．∵，，∴垂直平分∵為中點，∴為的中位線，有，．設，則，，，在中，在中，于是有：整理得，，∴當時，【點睛】本題是圓的綜合題，涉及勾股定理、圓周角定理、圓心角、弧、弦的關系、三角函數(shù)、三角形中位線定理等知識，綜合性較強，難度較大，熟練掌握圓的性質(zhì)是解題的關鍵．26．（本題14分）我們規(guī)定：一次函數(shù)叫做二次函數(shù)的“子函數(shù)”，反過來二次函數(shù)叫做一次函數(shù)的“母函數(shù)”．(1)已知二次函數(shù)的“子函數(shù)”經(jīng)過點，，求，，的值；(2)若一次函數(shù)的“母函數(shù)”為，且“母函數(shù)”的圖象始終在一次函數(shù)的圖象的上方，求的取值范圍；(3)如圖，“母函數(shù)”二次函數(shù)與