第一篇熱點、難點突破篇專題20解析幾何中的范圍、最值和探索性問題（練）【對點演練】一、單選題1．（2023秋·江蘇揚州·高三揚州中學?？茧A段練習）在平面直角坐標系xOv中，M為雙曲線右支上的一個動點，若點M到直線的距離大于m恒成立，則實數(shù)m的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．2【答案】B【分析】先求出漸近線方程，利用平行線直接的距離公式即可求解.【詳解】由點M到直線的距離大于m恒成立，可得點M到直線的最近距離大于m.因為雙曲線的漸近線為，則與的距離即為最近距離，則，即.故選：B2．（2023·全國·高三專題練習）已知點P在拋物線上，且，則的最小值為（

）．A．2 B． C．3 D．4【答案】A【分析】設，利用兩點間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可【詳解】設，則有，又，所以因為，所以，所以，當且僅當時取等，所以的最小值為2，故選：A3．（2023秋·河南信陽·高三信陽高中?？计谀┮阎c是拋物線上任意一點，則點到拋物線的準線和直線的距離之和的最小值為（

）A． B．4 C． D．5【答案】C【分析】點到直線的距離為，到準線的距離為，利用拋物線的定義得，當，和共線時，點到直線和準線的距離之和的最小，由點到直線的距離公式求得答案．【詳解】解：由拋物線知，焦點，準線方程為，根據(jù)題意作圖如下；點到直線的距離為，點到的距離為；由拋物線的定義知：，所以點到直線和準線的距離之和為，且點到直線的距離為，所以點到直線和準線的距離之和最小值為．故選：C．4．（2022·全國·高三專題練習）已知圓，若拋物線上存在點，過點作圓的兩條切線，切點滿足，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可以求出，再利用兩點間的距離公式表示出，整理得到關(guān)于的一個一元二次方程，利用根的判別式列出關(guān)于的不等式，解不等式即可【詳解】，設點，則即有非負實根解得故選：A二、填空題5．（2023秋·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓，，是其左、右焦點，點在橢圓上且滿足.若到直線的距離為，則的最小值為______.【答案】【分析】由正弦定理可得，則，令，則問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，即右焦點到直線的距離，即可得解.【詳解】解：在中由正弦定理，又，所以，所以，令，要求的最小值，即求的最小值，則，當且僅當垂直直線且在與之間時取等號，所以.故答案為：．6.（2022秋·安徽·高三校聯(lián)考開學考試）已知拋物線的焦點為，圓，過的直線與交于兩點，與交于兩點，且在同一象限，則的最小值為_____．【答案】12【分析】設直線，聯(lián)立拋物線方程可得到，利用焦半徑公式化簡，結(jié)合基本不等式，即可求得答案.【詳解】拋物線的焦點為以為圓心以3為半徑，由題意可知直線l不與y軸垂直，設直線，聯(lián)立，得，．設，則，∴，當且僅當時，等號成立，即的最小值為12，故答案為：127．（2022·湖南·模擬預測）已知，點P滿足，動點M，N滿足，，則的最小值是____________．【答案】3【分析】以的中點O為坐標原點，的中垂線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，由雙曲線定義得點P的軌跡是以，為焦點，實軸長為6的雙曲線的左支，然后根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，數(shù)量積的運算律求解．【詳解】以的中點O為坐標原點，的中垂線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，則，由雙曲線定義可知，點P的軌跡是以，為焦點，實軸長為6的雙曲線的左支，即點P的軌跡方程為．，由，可得．因為的最小值為，所以的最小值是3．故答案為：3.三、解答題8．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左，右焦點分別為，上頂點為，且為等邊三角形．經(jīng)過焦點的直線與橢圓相交于兩點，的周長為8．(1)求橢圓的方程；(2)求的面積的最大值及此時直線的方程．【答案】(1)；(2)最大值3，此時直線的方程為.【分析】（1）由為等邊三角形，得到，由橢圓定義得到的周長為，求出，進而求出，得到橢圓方程；（2）推理出直線斜率不為0，設出直線，聯(lián)立橢圓方程，求出兩根之和，兩根之積，表達出的面積，換元后結(jié)合基本不等式求出最大值及此時直線的方程.【詳解】（1）由為等邊三角形，，，故，，的周長為，得．，橢圓的方程為；（2）由（1）知，且直線斜率不為0．設直線．由消去，得，顯然，，由面積，而，設，則．在上單調(diào)遞增，當時，．即當時，取得最大值3，此時直線的方程為．9．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠流長.某些折紙活動蘊含豐富的數(shù)學內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）步驟1：設圓心是，在圓內(nèi)異于圓心處取一點，標記為；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點；步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；步驟4：不停重復步驟2和3，就能得到越來越多的折痕.已知這些折痕所圍成的圖形是一個橢圓.若取半徑為6的圓形紙片，設定點到圓心的距離為4，按上述方法折紙.(1)以點、所在的直線為軸，建立適當?shù)淖鴺讼?，求折痕圍成的橢圓的標準方程；(2)若過點且不與軸垂直的直線與橢圓交于，兩點，在軸的正半軸上是否存在定點，使得直線，斜率之積為定值？若存在，求出該定點和定值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在點，使得直線與斜率之積為定值.【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義對照折紙的方法求出；（2）設直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，再根據(jù)斜率的定義求解即可.【詳解】（1）如圖，以所在的直線為軸，的中點為原點建立平面直角坐標系設為橢圓上一點，由題意可知，，所以點軌跡是以，為焦點，長軸長的橢圓，因為，，所以，，則，所以橢圓的標準方程為；（2）由已知：直線過，設的方程為，由題意m必定是存在的，聯(lián)立兩個方程得，消去得，得，設，，則，（*），，將（*）代入上式，可得上式，要使為定值，則有，，又∵，∴，此時，∴存在點，使得直線與斜率之積為定值；綜上，橢圓的標準方程為，存在點，使得直線與斜率之積為定值.10．（江西省上饒市六校2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學（理）試題）已知點在橢圓上，且長軸長為4.(1)求橢圓C的方程：(2)過點的直線與橢圓C相交于、兩點，點關(guān)于軸的對稱點為，直線與軸相交于點.求的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由長軸長為4得，再將代入解方程可得；（2）設，利用兩點坐標表示出直線，解得利用直線方程和韋達定理化簡得，又，結(jié)合函數(shù)知識易得面積的取值范圍.【詳解】（1）因為長軸長為4，所以，將代入解方程得，解得，所以橢圓C的方程為；（2）易知直線斜率存在且不為0，設直線方程為：則，聯(lián)立得：，，直線的方程為：，令，得即,則化簡得令，易知在上單調(diào)遞增，則代回得，所以的面積的取值范圍為.【沖刺提升】一、單選題1．（2022秋·四川成都·高三石室中學?？茧A段練習）已知拋物線：的焦點為，圓：，過點的直線與拋物線交于，兩點，與圓交于，兩點，且點，在同一象限，則的最小值為（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【分析】確定拋物線焦點坐標和圓的圓心以及半徑，設，，聯(lián)立，求得，利用拋物線的焦半徑公式結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】由已知得．顯然，直線不與軸垂直．圓：的圓心為,半徑為3,設直線：．聯(lián)立，得，．設，，，則，得，所以，當且僅當，時等號成立，故的最小值為12，故選：B二、多選題2．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓：的左、右焦點為，，點，，為橢圓上一動點，過點的直線交橢圓于，兩點，則下列說法正確的有（

）A．若的垂直平分線過點，則B．的最小值為C．若，則的面積的最大值為D．若的面積取最大值時的直線不唯一，則【答案】BCD【分析】若的垂直平分線過點，可得，利用焦半徑公式可求得點坐標，即可算出，可判斷A錯誤；利用橢圓定義和三角形兩邊之和與差的關(guān)系可知當四點共線時取到最小值為，即B正確；設出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，寫出的面積表達式，再根據(jù)基本不等式即可得出面積最大值，可判斷C；若的面積取最大值時的直線不唯一，可知面積取最大值時的取值不唯一，利用基本不等式可得出，進而確定的取值范圍即可判斷D.【詳解】由題意可知，，橢圓離心率對于A，若的垂直平分線過點，則，設，由焦半徑公式可知，，可得，此時，所以A錯誤；對于B，由，，可知，三點共線，如下圖所示：利用橢圓定義可知，，即所以，當且僅當四點共線時等號成立；所以，即的最小值為，所以B正確；對于C，若，則即為右焦點，設直線的方程為，聯(lián)立整理得，所以的面積為由于，所以，當且僅當時等號成立，所以的面積，即的面積的最大值為，所以C正確；對于D，設直線的方程為聯(lián)立直線和橢圓方程整理得，，即此時的面積為而若的面積取最大值時的直線不唯一，所以取最大值時，滿足題意得不止一個，即等號成立當且僅當時，即成立而，時，直線唯一不合題意，所以，又，所以，即D正確.故選：BCD【點睛】方法點睛：解決圓錐曲線中三角形面積問題時，首先利用弦長公式或分割三角形寫出面積表達式，再合理變形利用基本不等式或?qū)?shù)求得面積最值，利用基本不等式時要注意等號成立的條件，即可將問題得到解決.三、填空題3．（2022·全國·高三專題練習）已知點為拋物線的焦點，過作直線與拋物線交于兩點，以為切點作兩條切線交于點，則的面積的最小值為___________.【答案】4【分析】設直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，得到關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系寫出，，再利用導數(shù)的幾何意義求出兩條切線的斜率和方程，聯(lián)立兩切線方程求出，利用平面向量的數(shù)量積為0判定，再利用三角形的面積公式進行求解.【詳解】由題意，得，設直線的方程為，，，且，聯(lián)立，得，則，，且，當時，由，得，，即在點處的切線斜率為，方程為；當時，由，得，，即在點處的切線斜率為，方程為；聯(lián)立、的方程，解得，即；因為，，所以，所以，則，，所以因為，，（當且僅當時取等號）所以的面積的最小值為4.故答案為：4.4．（2023秋·山東德州·高三統(tǒng)考期末）如圖所示，已知、分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于、兩點，則的取值范圍為______；記的內(nèi)切圓的面積為，的內(nèi)切圓的面積為，則的取值范圍是______．【答案】

【分析】分析可知直線與軸不重合，設直線的方程為，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合已知條件求出的取值范圍，可求得的取值范圍；設圓切、、分別于點、、，分析可知直線的傾斜角取值范圍為，推導出圓、圓的半徑、滿足，求得，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍.【詳解】設直線的傾斜角為，在雙曲線中，，，則，故點，若直線與軸重合，則直線與雙曲線交于該雙曲線的兩個實軸的端點，不合乎題意，所以，直線與軸不重合，設直線的方程為，設點、，聯(lián)立可得，由題意可得，解得，由韋達定理可得，，，可得，，可得，所以，，且當時，，此時，當時，軸，此時，當時，，此時，綜上，，不妨設點在第一象限，則；設圓切、、分別于點、、，過的直線與雙曲線的右支交于、兩點，可知直線的傾斜角取值范圍為，由切線長定理可得，，，所以，，則，所以點的橫坐標為.故點的橫坐標也為，同理可知點的橫坐標為，故軸，故圓和圓均與軸相切于，圓和圓兩圓外切.在中，，，，，所以，，所以，，則，所以，即，則，由直線的傾斜角取值范圍為，可知的取值范圍為，則，故，則，其中，令，其中，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.因為，，則當時，，故.故答案為：；.5．（2022秋·湖南株洲·高三校聯(lián)考階段練習）已知拋物線E：的焦點為F，過點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，與準線交于C點，為的中點，且，則_____________；設點是拋物線上的任意一點，拋物線的準線與軸交于點，在中，，則的最大值為_____________．【答案】

##1.5

【分析】(1)根據(jù)三角形中位線定理即可求解；(2)根據(jù)拋物線的定義取最大值即最小，此時直線與拋物線：相切，利用導數(shù)即可求解.【詳解】過點作準線的垂線，垂足為，因為為的中點，且，則在中，所以，在中，，即，過點作準線的垂線，垂足為，則可得，若取到最大值即最小，此時直線與拋物線：相切，，即，則，設，則切線斜率，切線方程為，切線過，代入得，解得，即，則，，即，則的最大值為，所以的最大值為，故答案為：，．四、解答題4．（2023·貴州·校聯(lián)考一模）已知橢圓過點，且離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線與橢圓交于不同的兩點P，Q，那么在x軸上是否存在點M，使且，若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)詳見解析【分析】（1）根據(jù)條件得到關(guān)于的方程組，即可求得橢圓方程；（2）首先直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理表示線段中點坐標，再根據(jù),以及，轉(zhuǎn)化為坐標表示，代入韋達定理后，即可求【詳解】（1）由條件可知，，解得：，，所以橢圓C的方程是；（2）假設在軸上存在點，使且，聯(lián)立，設，，方程整理為，，解得：或，，，則線段的中點的橫坐標是，中點縱坐標，即中點坐標，，則，即，化簡為，①又,則，，整理為，，化簡為②由①得，即，代入②得，整理得③，又由①得，代入③得，即，整理得，即.當時，，當時，，滿足，所以存在定點,此時直線方程是，當定點,此時直線方程是.5．（2023·福建·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，其左焦點為．(1)求的方程；(2)如圖，過的上頂點作動圓的切線分別交于兩點，是否存在圓使得是以為斜邊的直角三角形？若存在，求出圓的半徑；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求橢圓標準方程即可；（2）假設存在圓滿足題意，當圓過原點時，直線與軸重合，直線的斜率為0，不合題意；不妨設為：，：，，，圓的半徑為，得圓心到直線的距離為，得，聯(lián)立直線與橢圓方程得，進而得，由得，即可解決.【詳解】（1）由題意設焦距為，則，由離心率為，所以，則，的方程為．（2）不存在，證明如下：假設存在圓滿足題意，當圓過原點時，直線與軸重合，直線的斜率為0，不合題意．依題意不妨設為：，：，，，圓的半徑為，則圓心到直線的距離為，即是關(guān)于的方程的兩異根，此時，再聯(lián)立直線與橢圓方程得，所以，即，得所以，同理由，得，由題意，，即，此時，所以，因為，所以方程無解，命題得證．6．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線：的焦點為F，過點的直線與相交于A，B兩點.當直線經(jīng)過點時，點A恰好為線段PF的中點.(1)求的方程；(2)是否存在定點T，使得為常數(shù)?若存在，求出點T的坐標及該常數(shù)﹔若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)存在，，.【分析】（1）根據(jù)中點坐標公式求出點的坐標，代入拋物線方程即可得出的值；（2）假設存在，設，.聯(lián)立直線與拋物線的方程，得到，根據(jù)韋達定理求出，.進而整理得到，解，得出，即可得出定點坐標以及常數(shù)的值.【詳解】（1）解：因為，，且點A恰好為線段PF中點，所以，又因為A在C上，所以，即，解得，所以C的方程為.（2）解：存在定點，使得.假設存在定點T，使得為常數(shù).設，由題意可知直線斜率存在.設直線的斜率為，則的方程為，設，.聯(lián)立直線的方程以及拋物線的方程，可得.，所以且.由韋達定理可得，.又，，，.所以.由可得，.所以存在定點，使得為常數(shù)，此時.7．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為，記的軌跡為曲線.(1)求的方程，并說明是什么曲線；(2)過坐標原點的直線交C于A，B兩點，點A在第一象限，軸，垂足為，連接并延長交于點.（i）證明：直線與的斜率之積為定值；（ii）求面積的最大值.【答案】(1)的方程為：，是一個長軸長為6，短軸長為且的橢圓(2)（i）證明見解析（ii）【分析】（1）直接利用斜率公式即可求解；（2）（i）設，根據(jù)坐標之間的聯(lián)系，設直線的方程為，與聯(lián)立消，運用韋達定理求出的坐標，再利用斜率公式求出，，然后代入化簡即可證明；（ii）將點代入，利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）依題知，，，，所以，又直線與的斜率之積為，即，整理得：，因此是一個長軸長為6，短軸長為且的橢圓.（2）（i）如圖所示：設，，因為兩點關(guān)于原點中心對稱，所以，因為軸，垂足為，所以，所以直線的斜率，設直線的斜率為，則直線的方程為：，由消整理得：，因為點，是直線與的交點，所以，整理得：，由韋達定理得：，解得：，代入，解得：，即，所以直線的斜率所以，所以直線與的斜率之積為定值，其值為：.（ii）由（i）知，因為在上，所以，整理得：，當且僅當時，等號成立，所以面積的最大值為：.【點睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．（3）強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．8．（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習）已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓右焦點作兩條互相垂直的弦AB與CD，求的取值范圍.【答案】(1)(2).【分析】（1）根據(jù)題意，由離心率可得的關(guān)系，再將點的坐標代入即可得到橢圓方程；（2）根據(jù)題意，先討論兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，再討論兩條弦斜率均存在且不為0，此時設直線的方程為，則直線的方程為，聯(lián)立橢圓與直線方程，結(jié)合韋達定理與弦長公式分別表示出弦長與弦長，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）∵，所以.設橢圓方程為，將代入，得.故橢圓方程為.（2）①當兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，易得其中一條弦為長軸，另一條弦長為橢圓的通徑為，即；②當兩條弦斜率均存在且不為0時，設，，設直線的方程為，則直線的方程為，將直線的方程代入橢圓方程中，并整理得：，∴，，∴，同理，，∴，令，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴.綜合②可知，的取值范圍為.9．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左焦點為F，C上任意一點M到F的距離最大值和最小值之積為3，離心率為.(1)求C的方程；(2)若過點的直線l交C于A，B兩點，且點A關(guān)于x軸的對稱點落在直線上，求n的值及面積的最大值.【答案】(1)；(2)，面積的最大值為.【分析】（1）由已知，根據(jù)，可得，.根據(jù)已知得到，，根據(jù)離心率值即可求出的值；（2）設，，由已知可得，即.聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)，得到.根據(jù)韋達定理求出，.根據(jù)坐標表示出弦長以及點到直線l的距離，即可得出.進而根據(jù)基本不等式，結(jié)合的范圍換元即可求出面積的最小值.【詳解】（1）解：由題意可得，，，.又因為，，，由已知可得，即，又橢圓C的離心率，所以，則，解得，所以，所以橢圓C的方程為.（2）解：設，，又，因為，所以，所以，化簡整理得①.設直線，聯(lián)立直線與橢圓方程化簡整理可得，，可得②，由韋達定理，可得，③，將，代入①，可得④，再將③代入④，可得，解得，所以直線l的方程為，且由②可得，，即，由點到直線l的距離，，.令，則，當且僅當時，即，等號成立，所以面積S最大值為.11．（2023秋·河北石家莊·高三石家莊精英中學校考階段練習）已知點在雙曲線：上，右焦點坐標為.(1)求雙曲線E的方程；(2)點，，在雙曲線E上，滿足為等腰直角三角形，求的面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】(1)將點的坐標代入橢圓方程，再利用即可求解；(2)不妨設等腰直角三角形的定點，，逆時針排列，為直角頂點.且在第三象限.將直線的方程分別與曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理將的面積用表示出來，令，則面積可表示為，然后利用導數(shù)求出面積的最小值即可.【詳解】（1）因為點在雙曲線：上，將點代入雙曲線方程可得：①，又因為雙曲線的右焦點坐標為，所以，則，將其代入①式，解得：，所以雙曲線E的方程為.（2）不妨設等腰直角三角形的定點，，逆時針排列，為直角頂點.且在第三象限.若直線斜率不存在，易知不符合題意.設，，，設直線的方程為，（不妨設）.則直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立得，消去得.于是.解得：，同理可得：，由可得整理可得：，因為，所以.再次聯(lián)立得，解得，，則，所以所以.設，，則，.則.當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；所以當，即時，取得最小值.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．11．（2022秋·湖南長沙·高三雅禮中學校考階段練習）如圖，已知橢圓與等軸雙曲線共頂點，過橢圓上一點P（2，－1）作兩直線與橢圓相交于相異的兩點A，B，直線PA、PB的傾斜角互補，直線AB與x，y軸正半軸相交，分別記交點為M，N.(1)求直線AB的斜率；(2)若直線AB與雙