函數(shù)的本質(zhì)探討及教學(xué)建議目錄TOC\o"1-3"\h\u10632摘要 II26961第一章引言 11915第二章函數(shù)本質(zhì)理解現(xiàn)狀 132202第三章從圖形了解函數(shù)的本質(zhì) 252873.1圖形起形對(duì)函數(shù)本質(zhì)了解的實(shí)踐分析 3241023.1.1以導(dǎo)函數(shù)為規(guī)，繪導(dǎo)數(shù)圖為勾勒函數(shù)圖象作鋪墊 394893.1.2以極值點(diǎn)為矩，搭建導(dǎo)數(shù)圖象與函數(shù)圖象的橋梁 3156223.2定型及處理對(duì)函數(shù)本質(zhì)了解的實(shí)踐分析 4271923.3塑形對(duì)函數(shù)本質(zhì)了解的實(shí)踐分析 545763.3.1對(duì)正負(fù)無窮大附近圖象的“塑形” 686733.3.2對(duì)函數(shù)圖象凹凸性特征的“塑形” 724294第四章數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)本質(zhì)引導(dǎo)的建議 768924.1圖形在數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)本質(zhì)引導(dǎo)的建議 77945如圖4 8301644.2豐富函數(shù)的實(shí)例素材，促進(jìn)函數(shù)本質(zhì)理解 8258514.3改進(jìn)函數(shù)編排方式，降低概念理解難度 99758第三章結(jié)論 1115203參考文獻(xiàn) 12

摘要函數(shù)是中學(xué)階段最抽象的內(nèi)容．學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解往往停留在“淺層”的階段．本文從深度學(xué)習(xí)的理念出發(fā)，嘗試在函數(shù)應(yīng)用的教學(xué)過程中將知識(shí)充分下沉到學(xué)生能理解的層面，通過“起形”“定形”“塑形”三部曲去勾勒出較為完善的函數(shù)圖象，并利用圖像使學(xué)生對(duì)函數(shù)有更深刻的理解。關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí)；函數(shù)本質(zhì)；函數(shù)圖象第一章引言函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，不僅在整個(gè)中學(xué)階段，甚至在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中都有著舉足輕重的地位，而且函數(shù)還是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線。而運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)去求方程的近似解，從函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)不等式等，都是函數(shù)在解決數(shù)學(xué)的中的重要應(yīng)用。不僅如此，函數(shù)的應(yīng)用還體現(xiàn)在運(yùn)用函數(shù)解決實(shí)際問題。因此，如何讓學(xué)生更好地理解函數(shù)，從而培養(yǎng)學(xué)生從本質(zhì)上、通性通法上解決問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)就成了教師在教學(xué)過程中的首要工作。第二章函數(shù)本質(zhì)理解現(xiàn)狀函數(shù)作為一個(gè)極為抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，無論是在初中，還是在高中，都是學(xué)生最害怕的一個(gè)內(nèi)容。在筆者的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，由于這部分內(nèi)容比較抽象，學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的時(shí)候，對(duì)函數(shù)往往是“無感”的，因?yàn)樵谒麄兊哪X海中，根本想象不到函數(shù)的樣子。加上部分教師在教學(xué)過程中也沒有將知識(shí)充分下沉，因此不少學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的時(shí)候，理解變得異常困難。不少學(xué)生純粹是機(jī)械式的記憶，他們死記硬背下操作步驟，直接套用，有時(shí)靈，有時(shí)不靈，這些都是不明白事物的本質(zhì)，屬于淺層的學(xué)習(xí)的表現(xiàn)．另外，函數(shù)還經(jīng)常與不等式、方程等其他知識(shí)點(diǎn)等結(jié)合在一起，而且還需要相互的轉(zhuǎn)化，涉及的問題也是千變?nèi)f化，更是把學(xué)生搞得“云里霧里”。要改變這種狀況，在教學(xué)過程中，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生從深度學(xué)習(xí)的理念下去理解函數(shù)。在教學(xué)過程中，教師就需要將所授知識(shí)充分下沉，只有將知識(shí)下沉到學(xué)生能理解的層面，才能留住學(xué)生的“心”，也只有學(xué)生“靜下心”了，他們才有可能提起興趣去學(xué)習(xí)，然后才會(huì)有后面一系列的深刻的思考和收獲。否則，一味將知識(shí)掛在“高高在上”的位置，那樣除了將學(xué)生“嚇跑”以外，對(duì)他們的學(xué)習(xí)沒有任何幫助，更談不上核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力地培養(yǎng)了。第三章從圖形了解函數(shù)的本質(zhì)要提起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣關(guān)鍵在于消除學(xué)生對(duì)函數(shù)抽象的恐懼，而消除這個(gè)恐懼最直接有效的辦法就是將函數(shù)問題直觀化，借助圖像幫助理解函數(shù)。這樣做實(shí)際上就將“高高在上”的知識(shí)下沉到學(xué)生能夠理解的層面，有助于學(xué)生對(duì)問題本質(zhì)的深度理解。在實(shí)際的教學(xué)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧初中和高中的函數(shù)學(xué)習(xí)過程。讓學(xué)生體會(huì)到無論是初中的二次函數(shù)，還是高中的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等基本初等函數(shù)，如果是在已知圖像的前提下去理解函數(shù)會(huì)比不知道圖像的情況下更加深刻，眾多函數(shù)問題就變成了“看圖說話”。而且教師還可以給出幾個(gè)具體的實(shí)例（已經(jīng)給出了圖像的例題）讓學(xué)生再次感受函數(shù)圖象對(duì)理解函數(shù)的重要作用。通過教師上述的引導(dǎo)，學(xué)生頭腦中就會(huì)很自然產(chǎn)生這樣一個(gè)認(rèn)知：解決函數(shù)問題需要畫出函數(shù)的圖像。這也就達(dá)到了教學(xué)的初步目的，讓學(xué)生感悟理解問題的本質(zhì)、感悟解決問題的有效途徑。這個(gè)時(shí)候教師應(yīng)該“乘勝追擊”，抓住學(xué)生希望迫切解決問題的需求，引導(dǎo)并啟發(fā)學(xué)生去探索如何“勾勒”出另外一些比較復(fù)雜的函數(shù)的圖象，通過圖像去深刻理解函數(shù)問題。下面筆者以實(shí)際教學(xué)過程中的一道函數(shù)問題為例，談?wù)勅绾我徊揭徊健肮蠢铡眻D像，并逐步利用圖像撥開“層層迷霧”看清函數(shù)的本質(zhì)，使學(xué)生對(duì)函數(shù)有更深刻的認(rèn)識(shí)。例3已知，給出下列結(jié)論：=1\*GB3①是的單調(diào)遞減區(qū)間；=2\*GB3②函數(shù)沒有公共點(diǎn)；=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，直線與不同交點(diǎn)。其中正確結(jié)論的序號(hào)是。3.1圖形起形對(duì)函數(shù)本質(zhì)了解的實(shí)踐分析3.1.1以導(dǎo)函數(shù)為規(guī)，繪導(dǎo)數(shù)圖為勾勒函數(shù)圖象作鋪墊在研究函數(shù)的問題中，導(dǎo)數(shù)是一把利器，以導(dǎo)數(shù)為工具不僅可以解決函數(shù)的單調(diào)性的問題，而且還是繪制函數(shù)的重要工具。但是在筆者多年的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)作為繪制函數(shù)圖象的工具這一事實(shí)感受不深刻。體現(xiàn)在他們的考試和作業(yè)中，不少學(xué)生沒有養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣，往往只是憑著想象去判斷函數(shù)的單調(diào)性，題目簡單時(shí)或許可行，但只要問題稍微復(fù)雜一點(diǎn)，學(xué)生就束手無策。筆者認(rèn)為沒有長期的直觀的輸入和訓(xùn)練，很難讓學(xué)生自然而然地形成導(dǎo)數(shù)作為繪制函數(shù)這個(gè)工具性的認(rèn)識(shí)。因此，在實(shí)際教學(xué)中教師不僅要起到示范作用，還應(yīng)該多引導(dǎo)學(xué)生去繪制導(dǎo)數(shù)的圖像，使學(xué)生養(yǎng)成通過直觀圖象去理解抽象問題的習(xí)慣。3.1.2以極值點(diǎn)為矩，搭建導(dǎo)數(shù)圖像與函數(shù)圖象的橋梁導(dǎo)數(shù)作為工具的最終目的是解決函數(shù)的問題。因此，在教學(xué)過程中，教師也要引導(dǎo)學(xué)生將導(dǎo)數(shù)和函數(shù)聯(lián)系起來。如何將導(dǎo)數(shù)和函數(shù)聯(lián)系起來，體現(xiàn)在圖像中，就是將兩個(gè)圖像放置在一起，而且通過“極值點(diǎn)”這個(gè)紐帶將它們聯(lián)系起來。上述例題3中，兩個(gè)圖像通過“”這個(gè)“極值點(diǎn)”架起了聯(lián)系的橋梁（如圖3.1.2所示）。如圖3.1.2當(dāng)然，并非所有函數(shù)都存在極值點(diǎn)，面對(duì)這一類問題時(shí)，教師不需要急著告知方法，可以先從導(dǎo)數(shù)圖像和函數(shù)圖像間的關(guān)系出發(fā)，逐步對(duì)學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)，讓學(xué)生對(duì)這一類問題的解決方法進(jìn)行充分思考，從而找到解決策略，這樣也可以讓學(xué)生體會(huì)分類討論的思想。利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)圖像與函數(shù)圖象的關(guān)系，對(duì)函數(shù)圖象進(jìn)行“起形”，可以初步描繪出函數(shù)的輪廓，通過函數(shù)圖象整體趨勢(shì)的雛形，學(xué)生可以比較輕松地解決類似例3第1個(gè)選項(xiàng)這一類求函數(shù)單調(diào)性、極值點(diǎn)等與函數(shù)自變量相關(guān)的簡單問題，使學(xué)生對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣，從而為后續(xù)函數(shù)理解奠定基礎(chǔ)。3.2定型及處理對(duì)函數(shù)本質(zhì)了解的實(shí)踐分析在進(jìn)一步的學(xué)習(xí)中學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，通過“起形”，函數(shù)有了初步的輪廓，但只有輪廓還是不夠的，比如對(duì)于例3的第2個(gè)選項(xiàng)中涉及兩個(gè)函數(shù)圖象是否有公共點(diǎn)的問題，函數(shù)圖象是“漂浮不定”的，此時(shí)需要進(jìn)一步對(duì)函數(shù)的圖象進(jìn)行“定形”（如圖3.2.1所示）。如圖3.2.1有了明確的目標(biāo)，學(xué)生也就很自然地想到要“定形”就需要對(duì)圖像細(xì)節(jié)進(jìn)行處理，而函數(shù)極值附近的圖像則是這個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行細(xì)節(jié)處理得主要對(duì)象。因此，接下來的教學(xué)，教師主要是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)極值附近的函數(shù)值進(jìn)行分析，并引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)極值附近的圖像勾勒出來（如圖3.2.2所示）。如圖3.2.2經(jīng)過“定形”后，函數(shù)圖象得到進(jìn)一步完善，這樣的圖像，可以幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)，借助圖像可以解決函數(shù)極值、部分最值的問題以及一些與函數(shù)值相關(guān)的問題。至此，學(xué)生借助前面經(jīng)過“起形”“定形”兩個(gè)步驟完善后的函數(shù)圖象，可以解決函數(shù)問題中的一部分要求不太苛刻的問題。學(xué)生有了成就感，才能比較容易建立起學(xué)習(xí)函數(shù)的自信心。3.3塑形對(duì)函數(shù)本質(zhì)了解的實(shí)踐分析隨著思考的逐步深入，學(xué)生還會(huì)發(fā)現(xiàn)如果只是將圖像“起形”和“定形”還是不夠的，因?yàn)樵诿鎸?duì)類似例3的第3個(gè)選項(xiàng)時(shí)，函數(shù)圖象還需要更進(jìn)一步地完善，否則對(duì)選項(xiàng)的判斷還是會(huì)有比較大的影響（如圖3.3所示）．因此，需要對(duì)圖像進(jìn)行“塑形”就很自然地成了學(xué)生們的共識(shí)。如圖3.33.3.1對(duì)正負(fù)無窮大附近圖像的“塑形”引導(dǎo)學(xué)生采用“極限的思想”，對(duì)函數(shù)圖象兩端的趨勢(shì)進(jìn)行逐步完善。分別對(duì)函數(shù)自變量趨向于負(fù)無窮大（如圖3.3.1.1所示）和趨向正無窮大（如圖3.3.1.2所示）的變化趨勢(shì)進(jìn)行“塑形”。函數(shù)的圖象基本成形，利用圖像可以解決絕大部分函數(shù)的相關(guān)問題。而且還可以解決不等式、方程相結(jié)合的較復(fù)雜的問題（如圖3.3.1.2所示）。如圖3.3.1.1如圖3.3.1.23.3.2對(duì)函數(shù)圖象凹凸性特征的“塑形”有些函數(shù)問題需要考慮到增長快慢的問題情況，這時(shí)就需要將導(dǎo)函數(shù)的圖象再次“拾起”，再次和函數(shù)圖象結(jié)合起來考慮。利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率的關(guān)系，對(duì)函數(shù)圖象的凹凸特征進(jìn)行“塑形”。第四章數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)本質(zhì)引導(dǎo)的建議4.1圖形在數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)本質(zhì)引導(dǎo)的建議經(jīng)過“起形”“定形”“塑形”三部曲后的函數(shù)圖象已經(jīng)基本完善，借助它不僅可以解決函數(shù)大部分問題，而且還可以解決函數(shù)、不等式、方程相結(jié)合的綜合問題。例如，如果將例3的函數(shù)換成“”，將問題換成“證明：當(dāng)時(shí)，”。題目就變成了2018年全國文數(shù)=1\*ROMANI卷的第21題了，學(xué)生如果能夠很好地理解和掌握上述的方法，那么，解決這個(gè)問題就不是一件遙不可及的事情了。具體的做法是，首先利用不等式的性質(zhì)將條件“”擴(kuò)充為“”，即，然后構(gòu)造新函數(shù)，亦即，最后解題的關(guān)鍵轉(zhuǎn)化為只需要畫出函數(shù)，證明函數(shù)圖象在軸上方或和軸最多只有一個(gè)交點(diǎn)即可（如圖4所示）。如圖4因此，在函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)中，教師要讓學(xué)生充分思考和體驗(yàn)過程，也要讓他們明白，無論題目如何變化，只有抓住函數(shù)理解的本質(zhì)，以函數(shù)圖象“作伴”，方能做到任亂云飛渡仍從容。4.2豐富函數(shù)的實(shí)例素材，促進(jìn)函數(shù)本質(zhì)理解張奠宙先生表示，在數(shù)學(xué)教育方面，東西方一大差異在于：西方人重視理解，而華人多半偏向“練習(xí)”本研究也從另一個(gè)角度說明了這一點(diǎn)。一味地練習(xí)不能讓學(xué)生理解函數(shù)的概念。心理學(xué)家奧蘇貝爾也指出：理解就是將新的事物置于原有的知識(shí)體系中，不斷地內(nèi)化吸收，最終達(dá)到理解的目的。理解就是在舊知的基礎(chǔ)上建構(gòu)起新的知識(shí)。函數(shù)概念極為抽象，學(xué)習(xí)時(shí)的主要難點(diǎn)在于：函數(shù)的概念往往是學(xué)習(xí)函數(shù)的第一課，學(xué)生在學(xué)習(xí)這一概念之前并沒有相關(guān)的知識(shí)。以北師大版初中數(shù)學(xué)教材為例，雖然課本上在學(xué)習(xí)這一概念前，設(shè)計(jì)了三個(gè)例子來引出函數(shù)的概念，但是即使如此，學(xué)生也很難通過這樣三個(gè)例子感悟理解函數(shù)概念。從數(shù)學(xué)史的角度看，函數(shù)概念的形成可以看成是一系列弱抽象的過程，在概念形成的過程中不斷摒棄函數(shù)的表層屬性，探索本質(zhì)屬性——對(duì)應(yīng)的過程。教材中給出的三個(gè)例子是不足以幫助學(xué)生做到舍棄函數(shù)的表層屬性，感悟本質(zhì)屬性。教師對(duì)函數(shù)概念的教學(xué)可以借鑒歷史上函數(shù)概念形成的抽象過程，給出更多的典型的例子，豐富函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景，比如在課本的閱讀材料中給出狄利克雷函數(shù)的例子。在豐富的素材的基礎(chǔ)上建立正確的函數(shù)觀，促進(jìn)學(xué)生理解函數(shù)的本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué)概念是具有發(fā)展性的，在實(shí)踐學(xué)習(xí)中，會(huì)不斷地完善，學(xué)生如果在學(xué)習(xí)函數(shù)沒有正確理解概念，那么后續(xù)學(xué)生所接觸的例子（一次函數(shù)、二次函數(shù)等）便構(gòu)成心目中的錯(cuò)誤的函數(shù)理解。因?yàn)楹罄m(xù)學(xué)習(xí)例子因?yàn)槎际腔境醯群瘮?shù)，所以難以讓學(xué)生做到真正擺脫函數(shù)概念錯(cuò)誤認(rèn)知。4.3改進(jìn)函數(shù)編排方式，降低概念理解難度函數(shù)概念理解的一大難點(diǎn)在于學(xué)生在第一堂課學(xué)習(xí)函數(shù)概念時(shí)，往往缺乏對(duì)函數(shù)相關(guān)背景的了解。因?yàn)楹罄m(xù)學(xué)習(xí)的都是基本初等函數(shù)，就更難以此為基礎(chǔ)建立起函數(shù)概念的正確認(rèn)知。分析美國的課程標(biāo)準(zhǔn)，可以發(fā)現(xiàn)，美國課程標(biāo)準(zhǔn)重視運(yùn)用函數(shù)的多種表示方法，幫助孩子理解函數(shù)的概念。所以筆者認(rèn)為在學(xué)習(xí)的不同階段，對(duì)學(xué)生而言應(yīng)有不同層次的要求，在初中階段第一堂課內(nèi)讓學(xué)生達(dá)成對(duì)函數(shù)概念的理解是不現(xiàn)實(shí)的目標(biāo)。對(duì)于教材中函數(shù)概念部分的編排，筆者想提出以下建議：（1）將課本中函數(shù)概念的學(xué)習(xí)順序適當(dāng)后移，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了一定量的函數(shù)例子后，再進(jìn)行函數(shù)概念的教學(xué)。目的在于，讓學(xué)生接觸更多函數(shù)的例子，這樣在形成函數(shù)概念時(shí)，有助于學(xué)生在概念形成時(shí)舍棄非本質(zhì)屬性，把握函數(shù)概念的本質(zhì)屬性。（2）初中生的年齡一般為12-15歲，雖然能夠進(jìn)行抽象及邏輯思維，但達(dá)到較高的抽象水平還是比較困難的。所以，在函數(shù)具體定義上，可以借鑒函數(shù)發(fā)展的歷史，將定義調(diào)整為歷史上曾經(jīng)出現(xiàn)過的“協(xié)變式定義”，比如以滬教版初中數(shù)學(xué)教材中的定義為例，下為具體定義：在北師大初中數(shù)學(xué)教材中，在函數(shù)概念學(xué)習(xí)之前，一共給出了三個(gè)例子：摩天樓某一點(diǎn)的高度與時(shí)間之間的關(guān)系、圓柱形物體總數(shù)與疊放層數(shù)之間的關(guān)系、熱力學(xué)溫度與攝氏溫度之間的數(shù)量關(guān)系。這三個(gè)例子分別對(duì)應(yīng)了函數(shù)的三種表示方式，學(xué)生很容易感受到兩個(gè)變量間依隨變化的數(shù)量關(guān)系。當(dāng)教師請(qǐng)學(xué)生總結(jié)函數(shù)的概念時(shí)，有許多學(xué)生都將函數(shù)描述為：“高度隨時(shí)間的改變而改變”“數(shù)量隨著層數(shù)的增加而增加”“當(dāng)熱力學(xué)溫度升高時(shí)，攝氏溫度也隨之而升高”，所以函數(shù)是“一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化的過程”。這些回答都呈現(xiàn)了學(xué)生更多的是將函數(shù)看成是依隨變化的關(guān)系，“協(xié)變式”的函數(shù)定義方式更加符合學(xué)生心中對(duì)于函數(shù)的認(rèn)知，更利于學(xué)生達(dá)成理解。并且學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解是不斷發(fā)展的，在學(xué)習(xí)了更多典型的函數(shù)例子后，再更新函數(shù)的定義方式。如此下來，遵循歷史發(fā)展的軌跡，將函數(shù)發(fā)展的歷史融入到數(shù)學(xué)課堂之中。

第五章結(jié)論在實(shí)際的教學(xué)過程中，教師需要站在學(xué)生的立場(chǎng)去思考所授內(nèi)容，只有將知識(shí)充分下沉到學(xué)生能理解的層面，才能把學(xué)生從“淺層學(xué)習(xí)”的泥潭里拉出來。尤其是對(duì)于函數(shù)這類抽象的內(nèi)容，教師更應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和感悟函數(shù)圖像作為深刻理解函數(shù)的重要工具和有效手段，讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”這個(gè)數(shù)學(xué)思想在解決數(shù)學(xué)問題中的重要性和必要性。讓學(xué)生親身感受從問題產(chǎn)生、提出、分析到解決的全過程，從而讓學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到有效的有效的培養(yǎng)。參考文獻(xiàn)[1]張金良,高玉良.緊扣教材·突出本質(zhì)·彰顯素養(yǎng)——2022年高考“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”專題解題分析[J].中國數(shù)學(xué)教育,2022(