第三章圓

3垂徑定理第三章圓第1課時(shí)

垂徑定理圖示1.

圓既是

對(duì)稱圖形，又是

對(duì)稱圖形.2.

垂徑定理：垂直于弦的直徑

?弦，并且平分弦所對(duì)的兩

條

?.幾何語言：∵

?，∴

，

，

?.軸

中心

平分

弧

CD⊥AB

AE＝BE

知識(shí)點(diǎn)1

垂徑定理【例1】如圖，AB是☉O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點(diǎn)E，則下列結(jié)

論中不成立的是(

C

)A.

＝

B.

＝

C.

OE＝BED.

CE＝DEC【變式1】如圖，在☉O中，半徑OC⊥AB于點(diǎn)E，則下列結(jié)論正確的是

(

D

)A.

OE＝ECB.

OE＝AEC.

AB垂直平分OCD.

OC垂直平分ABD知識(shí)點(diǎn)2

利用垂徑定理的直接計(jì)算【例2】如圖，AB是☉O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，若OE＝3，CD＝

8，求☉O的半徑.解：∵CD⊥AB，

在Rt△DOE中，

∴☉O的半徑是5.【變式2】(北師教材九下P76習(xí)題T2)如圖，已知☉O的半徑為30

mm，弦

AB＝36

mm，求點(diǎn)O到AB的距離及∠OAB的余弦值.解：如圖，過點(diǎn)O作OC⊥AB.

∵OC⊥AB，∴點(diǎn)C是AB的中點(diǎn).

∵CO2＝AO2－AC2＝576

mm2，∴CO＝24

mm.

知識(shí)點(diǎn)3

垂徑定理與方程思想【例3】如圖，AB是☉O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，若BE＝CD

＝8，求☉O的半徑的長(zhǎng).解得R＝5.即☉O的半徑長(zhǎng)是5.解：如圖，連接OC.

設(shè)☉O的半徑為R，則OE＝8－R.

∵CD⊥AB，AB過圓心O，CD＝8，∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4.在Rt△OCE中，OC2＝CE2＋OE2，即R2＝42＋(8－R)2，解得R＝5.即☉O的半徑長(zhǎng)是5.【變式3】如圖，AB為☉O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，已知CD＝12，

BE＝2，求☉O的直徑.解：如圖，連接OD.

∵AB為☉O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，CD＝12，

設(shè)OD＝r，則OE＝r－2.在Rt△ODE中，∵OE2＋DE2＝OD2，即(r－2)2＋62＝r2，解得r＝10.∴AB＝2r＝20.∴☉O的直徑為20.知識(shí)點(diǎn)4

利用垂徑定理證明【例4】(北師教材九下P77T3改編)如圖，兩個(gè)圓都是以點(diǎn)O為圓心，大圓

的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn).求證：AC＝BD.

證明：如圖，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H.∴AH＝BH，CH＝DH，即AH－CH＝BH－DH.

∴AC＝BD.

【變式4】如圖，AB是☉O的弦，半徑OC，OD分別交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，

OE＝OF.

求證：AE＝BF.

證明：如圖，連接OA，OB.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.

∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE.

∴∠OEF－∠OAB＝∠OFE－∠OBF.

∴∠AOE＝∠BOF.

在△OAE和△OBF中，

∴△OAE≌△OBF(SAS).∴AE＝BF.

課堂總結(jié)：1.

垂徑定理的解題思路：構(gòu)造由

?、半弦、弦心距組成的直角三

角形，用

定理求解.2.

常作的輔助線：(1)連接半徑；(2)過圓心作弦的垂線.半徑

勾股

1.

已知☉O的半徑長(zhǎng)為5

cm，圓心O到弦AB的距離為4

cm，則弦AB的

長(zhǎng)為

cm.2.

如圖，CD是☉O的直徑，AB是弦，CD⊥AB，若OB＝5，AB＝8，

則AC的長(zhǎng)為

?.6

3.

如圖，☉O的半徑為5，弦AB＝8，點(diǎn)P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OP

的長(zhǎng)度范圍是(

D

)A.8≤OP≤10B.5≤OP≤8C.4≤OP≤5D.3≤OP≤5D4.

☉O的半徑為13

cm，AB，CD是☉O的兩條弦，AB∥CD，AB＝24

cm，CD＝10

cm.則AB和CD之間的距離為(

C

)A.7B.17C.7或17D.5或12C5.

如圖，在☉O中，AB，AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB，

OE⊥AC，垂足分別為D，E.

求證：四邊形ADOE是正方形.證明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，

∵AB＝AC，∴AD＝AE.

∵AB⊥AC，∴∠A＝∠OEA＝∠ODA＝90°.∴四邊形ADOE是矩形.又∵AD＝AE，∴四邊形ADOE是正方形.第2課時(shí)垂徑定理的推論及應(yīng)用垂徑定理圖示垂徑定理的推論垂直于弦的直徑

?

弦，并且平分弦所對(duì)的兩

條

?.幾何語言：∵

?，∴

?

?.

平分弦(不是直徑)的直徑

?

于弦，并且

?弦

所對(duì)的兩條弧.幾何語言：∵

?

?，∴

?

?.平分

弧

CD⊥AB

垂

直

平分

CD是☉O的直徑，AE

＝BE

知識(shí)點(diǎn)1

垂徑定理的推論【例1】如圖，CD是☉O的弦，點(diǎn)B是CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

(

D

)A.

BC＝BDB.

OA⊥CDC.

＝

D.

OB＝ABD【變式1】如圖，在半徑為5

cm的☉O中，弦AB＝6

cm，點(diǎn)C為AB的中

點(diǎn)，則下列說法正確的是

.(填序號(hào))①OC⊥CB；②CA＝CB；③OC＝4

cm；④OC＝AC.

①②③

知識(shí)點(diǎn)2

垂徑定理的推論有關(guān)計(jì)算【例2】如圖，點(diǎn)D為弦AB的中點(diǎn)，OD＝8，AB＝12，求☉O的半徑.解：如圖，連接OA.

∵點(diǎn)D為弦AB的中點(diǎn)，OC是☉O的半徑，

即☉O的半徑為10.【變式2】如圖，點(diǎn)A，B，C在☉O上，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，若☉O的半

徑是6

cm，CD＝2

cm，求AB的長(zhǎng).

解：∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，OC是☉O的半徑，

∵☉O的半徑是6

cm，CD＝2

cm，∴OD＝OC－CD＝4

cm.

【例3】如圖，一圓弧形拱橋，跨度AB＝12

m，拱高(圓弧中點(diǎn)C到弦AB

的距離)為3

m，求半徑OA的長(zhǎng).

解：由題意，得OC⊥AB，CD＝3

m，

設(shè)OA為x

m，則OD為(x－3)m.在Rt△AOD中，AD2＋OD2＝AO2，

【變式3】如圖，AB為半圓直徑，點(diǎn)O為圓心，點(diǎn)C為半圓上的一點(diǎn)，

點(diǎn)E是弧AC的中點(diǎn)，OE交弦AC于點(diǎn)D，若AC＝8

cm，DE＝2

cm，求

OD的長(zhǎng).解：∵點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，∴OE⊥AC.

∵OD＝OE－DE＝(OE－2)cm，OA＝OE，∴在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，即OE2＝(OE－2)2＋42，解得OE＝5.∴OD＝OE－DE＝3

cm.知識(shí)點(diǎn)3

垂徑定理及其推論的應(yīng)用【例4】往直徑為52

cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所

示，若水面寬AB＝48

cm，則水的最大深度為(

C

)CA.8

cmB.10

cmC.16

cmD.20

cm【變式4】如圖，圓弧形橋拱的跨度AB＝6

m，拱高CD＝1

m，則拱橋的

半徑為

?.5

m

1.

如圖，∠A＝45°，點(diǎn)C為☉O的弦AB的中點(diǎn)，AB＝2，則☉O的面

積為

?.2π

2.

“圓