8.6.2直線與平面垂直的判定

第二課時(shí)人教A版必修第二冊(cè)第八章課時(shí)訓(xùn)練1．理解直線和平面垂直的判定定理并能運(yùn)用其解決相關(guān)問(wèn)題.2．理解直線與平面所成角的概念，并會(huì)求一些簡(jiǎn)單的直線與平面所成角．3．理解直線和平面垂直的性質(zhì)定理并能運(yùn)用其解決相關(guān)問(wèn)題.4．通過(guò)對(duì)空間距離的理解和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的空間轉(zhuǎn)化能力和邏輯推理能力．自主預(yù)習(xí)，回答問(wèn)題閱讀課本149-152頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題1.直線與平面垂直的意義是什么？2.直線與平面垂直的判定定理是什么？用符號(hào)語(yǔ)言怎樣表示？3.什么是直線與平面所成角？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題.【情境與問(wèn)題】木工要檢查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）檢查兩次，如圖.如果兩次檢查時(shí)，曲尺的兩邊都分別與木棒和板面密合，便可以判定木棒與板面垂直.

【思考】（1）用“L”形木尺檢查一次能判定木棒與板面垂直嗎？生活中還有類似的問(wèn)題嗎？（2）上述問(wèn)題說(shuō)明了直線與平面垂直的條件是什么？創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題【問(wèn)題1】(1)陽(yáng)光下，豎直的旗桿與它地面的影子所成的角是多少度？(2)隨著時(shí)間的變化，旗桿的影子會(huì)移動(dòng)，此時(shí)旗桿與影子所成的角是否變化？一般地，旗桿與地平面上所有直線的位置關(guān)系如何？

1.線面垂直的判定定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直.記法l⊥α有關(guān)概念直線

l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線

l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足.圖示畫法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直.（1）線面垂直的概念垂足垂面垂線【追問(wèn)1】在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，將這一結(jié)論推廣到空間，過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有幾條？為什么？（2）點(diǎn)面距離

過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.①垂線段：過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段；②點(diǎn)面距離：垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.A?1.線面垂直的判定

1.線面垂直的判定（3）線面垂直的判定定理

如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.文字語(yǔ)言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直符號(hào)語(yǔ)言m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α圖形語(yǔ)言作用判定線面垂直說(shuō)明線線垂直?線面垂直1.線面垂直的判定2.三垂線定理（4）三垂線定理

如圖所示，直線OP⊥平面α于O，直線AP交平面α于A，直線a是平面α內(nèi)的一條直線.那么：(1)若a⊥OA，則a⊥PA；(2)若a⊥PA，則a⊥OA.題型1.線面垂直概念的理解【例1】(1)下列命題中正確的是

（填序號(hào)）.

①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒(méi)有與l垂直的直線；③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與l垂直；④過(guò)一點(diǎn)和已知平面垂直的直線有且只有一條.③④【例1】(2)設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（）A.若l⊥m，m⊥α，則l∥αB.若l⊥α，l∥m，則m⊥αC.若l∥α，m?α，則l∥mD.若l∥α，m∥α，則l∥mB題型1.線面垂直概念的理解【例2】(1)求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.

題型2.線面垂直的判定【例2】(2)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么，在這個(gè)空間圖形中必有()A.AG⊥△EFH所在平面B.AH⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面D.HG⊥△AEF所在平面B題型2.線面垂直的判定【例2】(3)如圖所示，Rt△ABC所在的平面外一點(diǎn)S，SA＝SB＝SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn).求證：直線SD⊥平面ABC.（變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)）在本例中，若AB＝BC，其他條件不變，則BD與平面SAC的位置關(guān)系是什么？題型2.線面垂直的判定證明線面垂直的方法（1）由線線垂直證明線面垂直：①定義法（不常用）；②判定定理（最常用），要著力尋找平面內(nèi)的兩條相交直線（有時(shí)需要作輔助線），使它們與所給直線垂直.（2）平行轉(zhuǎn)化法（利用推論）：①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β.題型2.線面垂直的判定【例2】(4)如圖，AB為☉O的直徑，PA垂直于☉O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足.

（1）求證：AN⊥平面PBM；（2）若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.題型2.線面垂直的判定【例3】(1)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中.求證：A1C⊥平面BC1D.題型3.三垂線定理的應(yīng)用【例3】(2)如圖，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E為棱AC的中點(diǎn)，AB＝BB′＝2.求證：BE⊥AC′.題型3.三垂線定理的應(yīng)用【思考】設(shè)P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足為O.則：(1)若PA=PB=PC，則O為△ABC的

心，若再加上∠B=90°，則O為AC的

；(2)若PA，PB，PC兩兩垂直，則O為△ABC的

心；(3)若PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，則O為△ABC的

心；(4)若P到AB，BC，AC三邊的距離相等，則O為△ABC的

心.外垂內(nèi)垂中點(diǎn)題型3.三垂線定理的應(yīng)用【練習(xí)1】在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，邊BC上是否存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD？為什么？課堂練習(xí)【練習(xí)2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)．證明：PC⊥平面BEF.課堂練習(xí)APBCN【練習(xí)3】在斜邊為AB的直角三角形ABC中，過(guò)點(diǎn)A作PA⊥面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.求證：BC⊥PC；

PB⊥MN.課堂練習(xí)【練習(xí)4】如圖所示，Rt△ABC所在平面外有一點(diǎn)S，且SA＝SB＝SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)．(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC．課堂練習(xí)【練習(xí)5】如圖：在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)M，N分別為BC，PA的中點(diǎn)，且PA＝AB＝2.(1)證明：BC⊥平面AMN；(2)求三棱錐N—AMC的體積；(3)在線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使得MN∥平面ACE；若存在，求出PE的長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由．課堂練習(xí)3.線面角【問(wèn)題2】一條直線與平面相交時(shí)，直線與平面位置關(guān)系千變?nèi)f化？那么如何來(lái)刻畫這些位置關(guān)系的變化呢？

有關(guān)概念對(duì)應(yīng)圖形斜線一條直線l與一個(gè)平面α相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線.斜足斜線和平面的交點(diǎn)A

叫做斜足.射影過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO

，過(guò)垂足O

和斜足A

的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.線面角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是

90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說(shuō)它們所成的角是0°.

取值范圍

0°≤θ≤90°

（1）線面角的概念斜線斜足射影3.線面角3.線面角【追問(wèn)】?jī)蓷l直線與一個(gè)平面所成的角相等，這兩條直線一定平行嗎？否則它們有那些可能的位置關(guān)系？平行、相交、異面題型4.求線面角【例4.1】在正方體ABCD--A1B1C1D1中，(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角.【變式】在本例正方體中，若E為棱AB的中點(diǎn)，求直線B1E與平面BB1D1D所成角的正切值．求斜線與平面所成角的步驟（1）作圖：作（或找）出斜線在平面內(nèi)的射影，作射影要過(guò)斜線上一點(diǎn)作平面的垂線，再過(guò)垂足和斜足作直線，注意斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問(wèn)題中已知量有關(guān)，才能便于計(jì)算；（2）證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角；（3）計(jì)算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計(jì)算.題型4.求線面角【例4.2】如圖，在四棱錐PABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分別為PC、PB的中點(diǎn)．(1)求證：PB⊥DM；(2)求CD與平面ADMN所成的角的正弦值．題型4.求線面角【練習(xí)】如圖所示，已知正四面體(各棱長(zhǎng)都相等的三棱錐)ABCD的棱長(zhǎng)為a，E為AD的中點(diǎn)，連接CE.(1)求證：頂點(diǎn)A在底面BCD內(nèi)的射影是△BCD的外心；(2)求AD與底面BCD所成角的余弦值；(3)求CE與底面BCD所成角的正弦值．題型4.求線面角【最小角定理(三余弦定理)】如圖：直線OP⊥平面α于O，直線AP交平面α于A，直線AB是平面α內(nèi)的一條直線.記∠PAO=θ1，∠OAB=θ2，∠PAB=θ3.求證：cosθ3=cosθ1·cosθ2.4.最小角定理PAOαB題型5.最小角定理的應(yīng)用【例5.1】在正方體ABCD--A1B1C1D1中，求直線BC與平面BDC1所成的角的余弦值.PACBODE

題型5.最小角定理的應(yīng)用

課堂練習(xí)通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲呢？課堂小結(jié)知識(shí)總結(jié)學(xué)生反思（1）通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？（2）在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？（3）方法歸納：轉(zhuǎn)化思想.（4）常見(jiàn)誤區(qū)：判定定理理解“平面內(nèi)找兩條相交直線”與該直線垂直.空間問(wèn)題平面問(wèn)題作業(yè)布置1.

課件練習(xí)（做在作業(yè)本上）；2.三維設(shè)計(jì)：課時(shí)訓(xùn)練.

8.6.2直線與平面垂直的性質(zhì)第三課時(shí)人教A版必修第二冊(cè)第八章自主預(yù)習(xí)，回答問(wèn)題閱讀課本153-155頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題1.垂直與同一條直線的兩條直線有什么位置關(guān)系？2.與線面垂直有關(guān)的結(jié)論有哪些？3.怎樣定義直線與平面的距離、平面與平面的距離？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題.

①

②1.線面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語(yǔ)言?a∥b

圖形語(yǔ)言作用①線面垂直?線線平行；②作平行線.說(shuō)明線面垂直?線線平行（1）線面垂直的性質(zhì)1.線面垂直的性質(zhì)定理【追問(wèn)1】目前為止，證明兩條直線平行的常見(jiàn)方法有哪些？①平行公理：平行于同一條直線的兩條直線平行；②線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行；③面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行；④線面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.1.線面垂直的性質(zhì)定理【追問(wèn)2】垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行嗎？若是，用符號(hào)表示.圖像語(yǔ)言mnahk符號(hào)語(yǔ)言線面垂直?面面平行1.線面垂直的性質(zhì)定理2.線面、面面的距離【問(wèn)題2】我們知道，兩個(gè)點(diǎn)之間是有距離的，兩條平行直線間也是有距離的，那么直線與平面平行時(shí)，距離如何定義？平面與平面平行呢？(2)線面、面面的距離①直線與平面的距離：一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.②平面與平面的距離：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等.題型1.線面垂直有關(guān)性質(zhì)的理解【例1】（1）已知直線m，n和平面α，若n⊥α，則“m?α”是“n⊥m”的（）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件A1.線面垂直的性質(zhì)定理揭示了“垂直”與“平行”這兩種特殊位置關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化.2.常用的線面垂直的性質(zhì)還有：①b⊥α，a?α?b⊥a；②a⊥α，b∥a?b⊥α；③a⊥α，a⊥β?α∥β.【例1】（2）（多選）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.AD1與平面A1DC相交B.AD1⊥平面A1DCC.AD1與MN異面D.AD1∥MNABD題型1.線面垂直有關(guān)性質(zhì)的理解題型2.直線與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用【例2】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC.求證：EF∥BD1.證明線線平行常用的方法（1）利用線線平行定義：證共面且無(wú)公共點(diǎn)；（2）利用三線平行基本事實(shí)：證兩線同時(shí)平行于第三條直線；（3）利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行；（4）利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直；（5）利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.題型3.空間中的距離問(wèn)題【例3.1】如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中求出下列距離：（1）點(diǎn)A到平面BB1D1D的距離；（2）點(diǎn)C到平面BDC1的距離.求點(diǎn)到平面的距離的兩種方法（1）構(gòu)造法：根據(jù)定義構(gòu)造垂直于平面的直線，確定垂足位置，將所求線段化歸到三角形中求解；（2）等積變換法：將所求距離看作某個(gè)幾何體（多為棱錐）的高，利用體積相等建立方程求解.無(wú)論是求直線與平面的距離還是求平面與平面的距離，最終都轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.

題型3.空間中的距離問(wèn)題

【例4.1】如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，求證：PB⊥EF.類型4.直線與平面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用[證明]因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC在平面ABC上，所以PA⊥BC.又AB是圓O的直徑，所以AC⊥BC.又AC，PA在平面PAC中交于A，所以BC⊥平面PAC.又AF?平面PAC，所以BC⊥AF.因?yàn)锳F⊥PC，BC，PC在平面PBC中交于C，所以AF⊥平面PB