華東師大版·八年級(jí)上冊(cè)13.1勾股定理及其逆定理13.1.2直角三角形的判定復(fù)習(xí)回顧思考：如何判定一個(gè)三角形是直角三角形？如果∠A+∠B=90°，那么△ABC就是一個(gè)直角三角形，∠C為直角.兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.除了根據(jù)角的關(guān)系判定，還能根據(jù)其他的關(guān)系判定嗎？探究新知在古埃及，沒(méi)有三角板、圓規(guī)、量角器等作圖工具，人們是怎樣得到一個(gè)直角的呢？古埃及人曾經(jīng)用下面的方法畫直角：

將一根長(zhǎng)繩打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后如圖那樣用樁釘釘成一個(gè)三角形，他們認(rèn)為其中一個(gè)角便是直角.你知道這是什么道理嗎？請(qǐng)同學(xué)們觀察，這個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別為多少？345這個(gè)三角形的三條邊有什么關(guān)系嗎？32+42=52試作出三邊長(zhǎng)分別為如下數(shù)據(jù)的三角形，看看它們是一些什么樣的三角形：(1)a=3，b=4，c=5；(2)a=4，b=6，c=8；(3)a=6，b=8，c=10.可以發(fā)現(xiàn)，按(1)、(3)所畫的三角形都是直角三角形，最長(zhǎng)邊所對(duì)的角是直角；按(2)所畫的三角形不是直角三角形.a2+b2=c2猜想：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.驗(yàn)證猜想：已知：如圖，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2.

求證：∠C=90°.CAB∠C是直角△ABC是直角三角形構(gòu)造兩直角邊分別為a，b的Rt△A′B′C′證明△ABC≌△A′B′C′CAB證明：如圖所示，作△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，則A′B′2=a2+b2=c2，即A′B′=c.C′A′B′在△ABC和△A′B′C′中，∵BC=a=B′C′，

AC=b=A′C′，

AB=c=A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′.∴∠C=∠C′=90°.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，且邊c所對(duì)的角為直角.CABacb幾何語(yǔ)言∵a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，∠C=90°.注：兩條較小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方的三角形是直角三角形，最長(zhǎng)邊所對(duì)的角為直角.既學(xué)既練判斷由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形？(1)a=7，b=25，c=24；(2)a=13，b=11，c=9.分析：根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，只要看兩條較短邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方.解：(1)最長(zhǎng)邊為25，∵a2+c2=72+242=49+576=625，b2=252=625，∴a2+c2=b2.∴以7，25，24為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形.既學(xué)既練判斷由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形？(1)a=7，b=25，c=24；(2)a=13，b=11，c=9.分析：根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，只要看兩條較短邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方.解：(2)最長(zhǎng)邊為13，∵b2+c2=112+92=121+81=202，a2=132=169，∴b2+c2≠a2.∴以13，11，9為邊長(zhǎng)的三角形不是直角三角形.例4在△ABC中，AB=n2?1，BC=2n，AC=n2+1（n為大于1的正整數(shù)）.問(wèn)：△ABC是直角三角形嗎？若是，哪一條邊所對(duì)的角是直角？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：∵AB2+BC2=(n2?1)2+(2n)2=n4?2n2+1+4n4=n4+2n2+1=(n2+1)2∴△ABC是直角三角形，邊AC所對(duì)的角是直角.想一想，為什么選擇AB2+BC2？AB、BC、CA的大小關(guān)系是怎樣的？能夠成為直角三角形三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).勾股數(shù)常見(jiàn)勾股數(shù)：①3，4，5；②6，8，10；③5，12，13；④8，15，17；⑤7，24，25.

勾股數(shù)拓展性質(zhì)：一組勾股數(shù)，都擴(kuò)大相同倍數(shù)k（k為正整數(shù)），得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù).如：3，4，5擴(kuò)大2倍

6，8，10練習(xí)1.設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別等于下列各組數(shù)，試判斷各三角形是不是直角三角形.若是，指出哪一條邊所對(duì)的角是直角.(1)12，16，20； (2)1.5，2，2.5.解：(1)因?yàn)?22+162=400=202，所以是直角三角形，且邊長(zhǎng)為20的邊所對(duì)的角為直角.(2)因?yàn)?.52+22=2.52，所以是直角三角形，且邊長(zhǎng)為2.5的邊所對(duì)的角為直角.2.若一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)a、b、c滿足

，則這個(gè)三角形是直角三角形嗎？解：∵，∴a2=c2?b2.∴a2+b2=c2.∴這個(gè)三角形是以a、b為直角邊，c為斜邊的直角三角形.3.想一想，你現(xiàn)在有多少種方法可以判定一個(gè)三角形是直角三角形.解：有3種方法，分別是：（1）直角三角形的定義；（2）勾股定理的逆定理；（3）一個(gè)三角形中有兩個(gè)角的和為90°.拓展提升如圖，在△ABC中，AB=3，AC=5，AD是邊BC上的中線，AD=2，求△ABC的面積.解：如圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連結(jié)BE.∵D為BC的中點(diǎn)，∴CD=BD.在△ADC和△EDB中，∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴S△ADC=S△EDB，BE=AC=5.又∵AE=2AD=4，AB=3，∴AB2+AE2=32+42=25=BE2，∴△ABE是直角三角形，∠EAB=90°，即AB⊥AE.拓展提升如圖，在△ABC中，AB=3，AC=5，AD是邊BC上的中線，AD=2，求△ABC的面積.∴S△ABC=S△ADC+S△ADB=S△EDB+S△ADB

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