高考數(shù)學考點筆記大全1．高考數(shù)學重難點：重點：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何。難點：函數(shù)、數(shù)列、圓錐曲線。2．高考數(shù)學考點：（1）集合與命題：集合的概念與運算、命題、充要條件。（2）不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應用。（3）函數(shù)：函數(shù)的定義、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)的零點、函數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應用。（4）三角比與三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導公式、和、差、倍、半公式、萬能公式、輔助角公式、求值、化簡、證明、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應用、反三角函數(shù)、最簡三角方程。（5）平面向量：有關(guān)概念與初等運算、線性運算、三點共線、坐標運算、數(shù)量積、三角形“四心”及其應用。（6）數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、通項公式求法、數(shù)列求和、數(shù)列的應用、數(shù)學歸納法、數(shù)列的極限與運算、無窮等比數(shù)列。⑺直線和圓的方程：方向向量、法向量、直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系。（8）圓錐曲線方程：橢圓的方程、雙曲線的方程、拋物線的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題、中點弦問題、圓錐曲線的應用、參數(shù)方程。（9）立體幾何與空間向量：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球與球面距離、幾何體的三視圖與直觀圖、幾何體的表面積與體積、空間向量。（10）排列、組合：排列、組合應用題、二項式定理及其應用。（11）概率與統(tǒng)計：古典概型、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣、互斥事件、對立事件、獨立事件、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、頻率分布直方圖。（12）復數(shù)：復數(shù)的概念與運算、復數(shù)的平方根與立方根計算、實系數(shù)一元二次方程。（13）矩陣與行列式初步：二元線性方程組、矩陣的基本運算、二階行列式、三階行列式、對角線法則、余子式與代數(shù)余子式。（14）算法初步：流程圖、算法語句、條件語句、循環(huán)語句。第一章集合和命題1.集合及其表示法能夠確切指定的一些對象組成的整體叫做集合，簡稱集；集合中的各個對象叫做這個集合的元素；集合的元素具有確定性、互異性和無序性；集合常用大寫字母表示，集合中的元素用小寫字母表示；如果是集合的元素，就記作，讀作“屬于”；如果不是集合的元素，就記作，讀作“不屬于”；數(shù)的集合簡稱數(shù)集；全體自然數(shù)組成的集合，即自然數(shù)集，記作，不包括零的自然數(shù)組成的集合，記作；全體整數(shù)組成的集合即整數(shù)集，記作；全體有理數(shù)組成的集合即有理數(shù)集，記作；全體實數(shù)組成的集合即實數(shù)集，記作；另外正整數(shù)集、負整數(shù)集、正有理數(shù)集、負有理數(shù)集、正實數(shù)集、負實數(shù)集分別表示為；點的集合簡稱點集，即以直角坐標平面內(nèi)的點作為元素構(gòu)成的集合；含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集；規(guī)定空集不含元素，記作.集合的表示方法常用列舉法和描述法；將集合中的元素一一列出來，并且寫在大括號內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列舉法；在大括號內(nèi)先寫出這個集合的元素的一般形式，再劃一條豎線，在豎線后面寫上集合中元素所共同具有的特性，即滿足性質(zhì)，這種表示集合的方法叫做描述法.2.集合之間的關(guān)系對于兩個集合和，如果集合中任何一個元素都屬于集合，那么集合叫做集合的子集，記作或，讀作“包含于”或“包含”；空集包含于任何一個集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；所以若，不要遺漏的情況；對于一個含有個元素的集合，它的子集個數(shù)為，真子集個數(shù)為，非空子集個數(shù)為，非空真子集的個數(shù)為；用平面區(qū)域來表示集合之間關(guān)系的方法叫做集合的圖示法，所用圖叫做文氏圖；對于兩個集合和，如果且，那么叫做集合與集合相等，記作，讀作“集合等于集合”，因此，如果兩個集合所含的元素完全相等，那么這兩個集合相等；對于兩個集合和，如果，并且中至少有一個元素不屬于，那么集合叫做集合的真子集，記作或，讀作“真包含于”或“真包含”；對于數(shù)集來說，有；3.集合的運算一般地，由集合和集合的所有公共元素組成的集合叫做與的交集，記作，讀作“交”，即且；由所有屬于集合或者屬于集合的元素組成的集合叫做集合、的并集，記作，讀作“并”，即或；在研究集合與集合之間的關(guān)系時，這些集合往往是某個給定集合的子集，這個確定的集合叫做全集，常用符合表示；即全集含有我們所要研究的各個集合的全部元素；設為全集，是的子集，則由中所有不屬于的元素組成的集合叫做集合在全集中的補集，記作，讀作“補”，即；德摩根定律：；；容斥原理：用表示集合的元素個數(shù)，則；；4.命題可以判斷真假的語句叫做命題，命題通常用陳述句表述，正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題；如果命題成立可以推出命題也成立，那么就說由可以推出，記作，讀作“推出”，換言之，表示以為條件、為結(jié)論的命題是真命題；如果，并且，那么記作，叫做與等價；推出關(guān)系滿足傳遞性：，，那么；一個數(shù)學命題用條件，結(jié)論表示就是“如果，那么”，如果把結(jié)論和條件互相交換，就得到一個新命題“如果，那么”，這個命題叫做原命題的逆命題；一個命題的條件與結(jié)論分別是另一個命題的條件的否定與結(jié)論的否定，我們把這樣兩個命題叫做互否命題，如果其中一個叫原命題，那么另一個命題就叫做原命題的否命題；如果把、的否定分別記作、，那么命題“如果，那么”的否命題就是“如果，那么”；如果把原命題“如果，那么”結(jié)論的否定作條件，把條件的否定作結(jié)論，那么就可得到一個新命題，我們把它叫做原命題的逆否命題，即“如果，那么”；如果、是兩個命題，，，那么、叫做等價命題；原命題與逆否命題是等價命題；不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫做簡單命題，由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫做復合命題；復合命題有三類：或，且，非；非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假一些常用結(jié)論的否定形式：原結(jié)論反設詞原結(jié)論反設詞是不是至少有一個一個也沒有都是不都是至多有一個至少有兩個大于不大于至少有個至多有個小于不小于至多有個至少有個或非且非對所有成立存在某個不成立且非或非對任何不成立存在某個成立5.充要條件一般地，用、分別表示兩個命題，如果命題成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分條件，叫做的必要條件；一般地，用、分別表示兩個命題，如果既有，又有，即，那么既是的充分條件，又是的必要條件，這時我們就說，是的充分必要條件，簡稱充要條件；設具有性質(zhì)的對象組成集合，具有性質(zhì)的對象組成集合，則①若，則是的充分條件；②若，則是的充分非必要條件；③若，則是的必要條件；④若，則是的必要非充分條件；⑤若，則互為充要條件；等價關(guān)系：“”“”“”“”“”“”“”（注意考慮的情況）；第二章不等式1.不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果，那么；性質(zhì)2如果，那么；性質(zhì)3如果，，那么；如果，，那么；性質(zhì)4如果，那么；性質(zhì)5如果，那么；性質(zhì)6如果，那么；性質(zhì)7如果，那么；性質(zhì)8如果，那么；2.不等式的解法（1）一元二次不等式對于一個整式不等式，它只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次，這樣的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是或（）；一般地，設一元二次不等式為或（），當對應的一元二次方程的根的判別式時，先求出方程的兩個實數(shù)根（不妨設），于是不等式的解集為或，不等式的解集為；不等式的解集經(jīng)常用區(qū)間來表示，設都為實數(shù)，并且，我們規(guī)定：①集合叫做閉區(qū)間，表示為；②集合叫做開區(qū)間，表示為；③集合或叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為或；④實數(shù)集表示為，集合、、和分別用區(qū)間、、和表示；與也叫做區(qū)間的端點，“”讀作“正無窮大”，“”讀作“負無窮大”；前面討論的是判別式的情形，當時，拋物線與軸沒有交點，整個圖像都在軸的上方，于是不等式的解集為實數(shù)集，不等式的解集為空集；當時，拋物線與軸兩個交點重合，即，除了這一個點外，拋物線的其余部分都在軸的上方，于是不等式的解集為，不等式的解集為空集；（2）高次不等式高次不等式常用“數(shù)軸標根法”來解，其步驟是：①等價變形后的不等式一邊是零，一邊是各因式的積（未知數(shù)系數(shù)一定是正數(shù)）；②把各因式的根標在數(shù)軸上；③從右上角起，用曲線穿根（奇次根穿透，偶次根不穿透），看圖像寫出解集；如圖：（假設）的解為；（3）分式不等式型如（或）或（或）（其中、為整式且）的不等式稱為分式不等式；解分式不等式的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為整式不等式；，；（或）（或）且；（4）含絕對值不等式表示實數(shù)在數(shù)軸上所對應的點到原點的距離；所以，不等式的解集為，類似地，不等式的解集為；解絕對值不等式的關(guān)鍵在于去掉絕對值，一般有如下方法：①定義法；②零點分段法；③平方法；④數(shù)形結(jié)合法；絕對值不等式的性質(zhì)：（5）無理不等式只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)在根號中的不等式叫做無理不等式；解無理不等式，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為有理不等式；；或；（6）指數(shù)對數(shù)不等式解指數(shù)對數(shù)不等式的關(guān)鍵是化成相同的底數(shù)，然后同時去掉底數(shù)；①當時，，；②當時，，3.基本不等式基本不等式1對任意實數(shù)和，有，當且僅當時等號成立；基本不等式2對任意正數(shù)和，有，當且僅當時等號成立；推論1若，則，當且僅當時等號成立；推論2若，則，當且僅當時等號成立；推論3，；均值不等式，；柯西不等式；注意：一正二定三相等；和定積最大，積定和最??；4.不等式的證明（1）比較法要證明，只要證明，同樣，要證明，只要證明，這種證明不等式的方法叫做比較法；用比較法證明不等式的一般步驟是：先作出要求證的不等式兩邊的差，通過對這個差的變形，確定其值是正的還是負的，從而證明不等式成立；（2）分析法從要求證的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過適當?shù)淖冃?，分析出使這個結(jié)論成立的條件，把證明結(jié)論轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否成立的問題，如果能夠判定這些條件都成立，那么就可以斷定原結(jié)論成立，這種證明方法叫做分析法；（3）綜合法從已知條件出發(fā)，利用各種已知的命題和運算性質(zhì)作為依據(jù)，推導出要求證的結(jié)論，這種方法叫做綜合法；（4）放縮法在證明過程中，根據(jù)不等式傳遞性，常采用舍去（或添加）一些項而使不等式的各項之和變?。ɑ蜃兇螅虬涯承╉棑Q成較大（或較?。┑臄?shù)，或在分式中擴大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福瑥亩_到證明的目的，這種證明不等式的方法叫做放縮法；（5）換元法根據(jù)證明需要進行一些等量代換，選擇適當?shù)妮o助參數(shù)簡化問題的一種方法；（6）判別式法根據(jù)證明需要，通過構(gòu)造一元二次方程，利用關(guān)于某一變量的二次三項式有實根時的判別式的取值范圍來證明不等式；（7）分解法按照一定的法則，把一個數(shù)（或式）分解為幾個數(shù)（或式），使復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單易解的基本問題，然后各個擊破，從而證明不等式的一種方法；（8）反證法（9）數(shù)學歸納法5.線性規(guī)劃在線性規(guī)劃問題中，所應滿足的條件叫做線性約束條件，要求最值的函數(shù)叫做線性目標函數(shù)，把在線性約束條件下尋求線性目標函數(shù)的最大（?。┲档膯栴}叫做線性規(guī)劃問題；建立線性規(guī)劃模型的一般步驟如下：①根據(jù)題意設未知量等；②建立線性目標函數(shù)；③找出未知量滿足的不等式，得未知量的線性約束條件；在線性規(guī)劃問題中，滿足線性約束條件的解叫做可行解，所有可行解構(gòu)成的區(qū)域叫做可行域；它是二元一次不等式組的解集所表示的一個平面區(qū)域；在線性規(guī)劃問題中，使目標函數(shù)達到最大（小）值的可行解叫做最優(yōu)解；例求滿足下列約束條件的目標函數(shù)的最小值：⑴二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：法一：取點定域法：由于直線的同一側(cè)的所有點的坐標代入后所得的實數(shù)的符號相同.所以，在實際判斷時，往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點（如原點），由的正負即可判斷出或表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.即：直線定邊界，分清虛實；選點定區(qū)域，常選原點.法二：根據(jù)或，觀察的符號與不等式開口的符號，若同號，或表示直線上方的區(qū)域；若異號，則表示直線上方的區(qū)域.即：同號上方，異號下方.⑵二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.⑶利用線性規(guī)劃求目標函數(shù)為常數(shù)）的最值：法一：角點法：如果目標函數(shù)（即為公共區(qū)域中點的橫坐標和縱坐標）的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點處取得，將這些角點的坐標代入目標函數(shù)，得到一組對應值，最大的那個數(shù)為目標函數(shù)的最大值，最小的那個數(shù)為目標函數(shù)的最小值法二：畫——移——定——求：第一步，在平面直角坐標系中畫出可行域；第二步，作直線，平移直線（據(jù)可行域，將直線平行移動）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解；第四步，將最優(yōu)解代入目標函數(shù)即可求出最大值或最小值.第二步中最優(yōu)解的確定方法：利用的幾何意義：,為直線的縱截距.①若則使目標函數(shù)所表示直線的縱截距最大的角點處，取得最大值，使直線的縱截距最小的角點處，取得最小值；②若則使目標函數(shù)所表示直線的縱截距最大的角點處，取得最小值，使直線的縱截距最小的角點處，取得最大值.⑷常見的目標函數(shù)的類型：①“截距”型：②“斜率”型：或③“距離”型：或或在求該“三型”的目標函數(shù)的最值時，可結(jié)合線性規(guī)劃與代數(shù)式的幾何意義求解，從而使問題簡單化.第三章函數(shù)的基本性質(zhì)1.函數(shù)概念與運算（1）函數(shù)概念在某個變化過程中有兩個變量，如果對于在某個實數(shù)集合內(nèi)的每一個確定的值，按照某個對應法則，都有唯一確定的實數(shù)值與它對應，那么就是的函數(shù)，記作，，叫做自變量，叫做因變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，和的值相對應的的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域；求函數(shù)定義域時，主要考慮以下因素：分母不為零；②偶次方根號內(nèi)大于等于零；③真數(shù)大于零；④實際意義；求定義域時，遵循“括號內(nèi)范圍一致”原則；當我們要用數(shù)學方法解決實際問題時，首先要把問題中的有關(guān)變量及其關(guān)系用數(shù)學的形式表示出來，通常這個過程叫做建模；（2）函數(shù)的和與積一般地，已知兩個函數(shù)，，設，并且，那么當時，與都有意義，于是把函數(shù)叫做函數(shù)與的和；類似于求兩個函數(shù)的和，我們也可以求兩個函數(shù)的積，同樣考慮兩函數(shù)的公共定義域后，可以定義兩個函數(shù)的積；2.函數(shù)的基本性質(zhì)（1）奇偶性一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意實數(shù)，都有，那么就把函數(shù)叫做偶函數(shù)；如果函數(shù)是偶函數(shù)，那么的圖像關(guān)于軸成軸對稱圖形，反過來，如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于軸成軸對稱圖形，那么這個函數(shù)必是偶函數(shù)；如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意實數(shù)，都有，那么就把函數(shù)叫做奇函數(shù)；如果函數(shù)是奇函數(shù)，那么的圖像關(guān)于原點成中心對稱圖形，反過來，如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于原點成中心對稱圖形，那么這個函數(shù)必是奇函數(shù)；由上可知，函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是這個函數(shù)有奇偶性的必要非充分條件；奇偶性分類：①奇函數(shù)；②偶函數(shù)；③既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；④非奇非偶函數(shù)；奇偶性常用性質(zhì)結(jié)論：①奇函數(shù)在處有意義；②奇函數(shù)關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)關(guān)于軸對稱；③對于多項式函數(shù)；若是奇函數(shù)偶次項的系數(shù)全為零；若是偶函數(shù)奇次項的系數(shù)全為零；④為奇函數(shù)；為偶函數(shù)；⑤為奇函數(shù)；為偶函數(shù)；⑥任意一個定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)都可以表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和；即：；復合函數(shù)奇偶性：①對于，同奇則奇，有偶則偶；②奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；奇÷奇＝偶；偶×偶＝偶；偶÷偶＝偶；奇×偶＝奇；奇÷偶＝奇；（2）單調(diào)性一般地，對于給定區(qū)間上的函數(shù)：如果對于屬于這個區(qū)間的自變量的任意兩個值，當時，都有，那么就說函數(shù)在這個區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，簡稱增函數(shù)；如果對于屬于這個區(qū)間的自變量的任意兩個值，當時，都有，那么就說函數(shù)在這個區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，簡稱減函數(shù)；如果函數(shù)在某個區(qū)間上是增（減）函數(shù)，那么說函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；證明單調(diào)性步驟：①在定義域上任?。虎谧鞑?；③變形判斷；單調(diào)性常用性質(zhì)結(jié)論：①在對稱的兩個區(qū)間上，奇函數(shù)單調(diào)性相同，偶函數(shù)單調(diào)性相反；②互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有相同的單調(diào)性復合函數(shù)單調(diào)性：①對于，同增異減；②增＋增＝增；減＋減＝減；增－減＝增；減－增＝減；注意：單調(diào)性是函數(shù)局部的性質(zhì)，奇偶性是整體的性質(zhì)；（3）最值一般地，設函數(shù)在處的函數(shù)值是，如果對于定義域內(nèi)任意，不等式都成立，那么叫做函數(shù)的最小值，記作；如果對于定義域內(nèi)任意，不等式都成立，那么叫做函數(shù)的最大值，記作；求函數(shù)最值的方法：①利用基本初等函數(shù)的值域：反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪指對函數(shù)等；②配方法：主要用于二次函數(shù)求最值；③換元法：無理函數(shù)，復合函數(shù)等，包括三角換元，注意新變量的取值范圍；④數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖像求最值，或根據(jù)幾何意義（斜率、距離等）；⑤單調(diào)性法：結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求最值；⑥不等式法：利用常見的基本不等式，注意一正二定三相等；⑦分離常數(shù)法：分式函數(shù)；⑧判別式法：定義域為，有二次項的分式方程，⑨轉(zhuǎn)化法：利用某些式子的有界性進行轉(zhuǎn)化求最值；或轉(zhuǎn)化成求反函數(shù)的定義域；⑩其他法：包括向量法、構(gòu)造法、平方法、導數(shù)法等；（4）零點一般地，對于函數(shù)，如果存在實數(shù)，當時，，那么就把叫做函數(shù)的零點；實際上，函數(shù)的零點就是方程的解，也就是函數(shù)的圖像與軸的交點的橫坐標；通過每次把的零點所在的小區(qū)間收縮一半的方法，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近函數(shù)的零點，以求得零點的近似值，這種方法叫做二分法；零點定理：若，則方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個實根；（5）周期性一般地，對于函數(shù)，如果存在一個常數(shù)，使得當取定義域內(nèi)的任意值時，都有成立，那么函數(shù)叫做周期函數(shù)，常數(shù)叫做函數(shù)的周期，對于一個周期函數(shù)來說，如果在所有的周期中存在一個最小正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做函數(shù)的最小正周期；周期性的判斷：①，；，；②，，，；③或，；④，，；⑤，；，；，；（6）對稱性①一個函數(shù)的對稱性對于函數(shù)，若或恒成立，則函數(shù)對稱軸是；若恒成立，則函數(shù)對稱軸是；若或恒成立，則函數(shù)對稱中心是；若，則函數(shù)的對稱中心是；注意：括號內(nèi)相減得常數(shù)，一般有周期性；括號內(nèi)相加得常數(shù)，一般有對稱性；②兩個函數(shù)的對稱性函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱；3.函數(shù)的圖像變換（1）平移變換①左加右減；；②上加下減；；（2）伸縮變換①；②；（3）翻折變換①；函數(shù)圖像在軸上方的部分保持不變，將函數(shù)圖像在軸下方的部分對稱翻折到軸上方；②；保留圖像在軸右邊的部分，并將軸右邊的部分沿軸對稱翻折到軸左邊，替代原有的軸左邊圖像；（4）對稱變換函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱；第四章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)1.冪函數(shù)一般地，函數(shù)（為常數(shù)，）叫做冪函數(shù)；冪函數(shù)（）的性質(zhì)：①冪函數(shù)的圖像最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限，且不經(jīng)過第四象限；如果與坐標軸相交，則交點一定是原點；②所有冪函數(shù)在上都有定義，并且圖像都經(jīng)過點；③若，冪函數(shù)圖像都經(jīng)過點和，在第一象限內(nèi)遞增；若，冪函數(shù)圖像只經(jīng)過點，在第一象限內(nèi)遞減；注意：畫冪函數(shù)圖像時，先畫第一象限的部分，再根據(jù)奇偶性完成整個圖像；2.指數(shù)函數(shù)一般地，函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)，自變量叫做指數(shù)，叫做底數(shù)，函數(shù)的定義域是；指數(shù)運算法則：；；；一般地，指數(shù)函數(shù)在底數(shù)及這兩種情況下的圖像如圖所示：指數(shù)函數(shù)有下列性質(zhì)：性質(zhì)1指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值恒大于零，定義域為，值域；性質(zhì)2指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點；性質(zhì)3函數(shù)在上遞增，函數(shù)在上遞減；3.對數(shù)及其運算一般地，如果的次冪等于，即，那么叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)；根據(jù)對數(shù)定義，可知：①零和負數(shù)沒有對數(shù)，真數(shù)大于零；②1的對數(shù)為0，即；③底的對數(shù)等于1，即；④對數(shù)恒等式：成立；通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，常用對數(shù)簡記作；以無理數(shù)為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，自然對數(shù)簡記作；對數(shù)運算性質(zhì)：如果，那么：；；；對數(shù)換底公式：（其中）；常用恒等式：①；②；③；④；⑤；4.反函數(shù)一般地，對于函數(shù)，設它的定義域為，值域為，如果對中任意一個值，在中總有唯一確定的值與它對應，且滿足，這樣得到的關(guān)于的函數(shù)叫做的反函數(shù)，記作，在習慣上，自變量常用表示，而函數(shù)用表示，所以把它改寫為；反函數(shù)的判定：①反函數(shù)存在的條件是原函數(shù)為一一對應函數(shù)；定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)；②周期函數(shù)不存在反函數(shù)；定義域為非單元素的偶函數(shù)不存在反函數(shù)；反函數(shù)的性質(zhì)：原函數(shù)和反函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；若點在原函數(shù)上，則點必在其反函數(shù)上；函數(shù)與互為反函數(shù)；原函數(shù)的定義域是它反函數(shù)的值域；原函數(shù)的值域是它反函數(shù)的定義域；③原函數(shù)與反函數(shù)具有對應相同的單調(diào)性；奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)；求反函數(shù)步驟：①用表示，即求出；②互換，即寫出；③確定反函數(shù)定義域；注意事項：若函數(shù)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為，而不是，函數(shù)是的反函數(shù)；5.對數(shù)函數(shù)一般地，對數(shù)函數(shù)且就是指數(shù)函數(shù)且的反函數(shù)；因為的值域是，所以，函數(shù)的定義域是；對數(shù)函數(shù)且在及兩種情形下的圖像如圖所示：對數(shù)函數(shù)且的性質(zhì)：性質(zhì)1對數(shù)函數(shù)的圖像都在軸的右方，定義域，值域為；性質(zhì)2對數(shù)函數(shù)的圖像都經(jīng)過點；性質(zhì)3對數(shù)函數(shù)，當時，；當時，；對數(shù)函數(shù)，當時，；當時，；性質(zhì)4對數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；6.指數(shù)對數(shù)方程我們把指數(shù)里含有未知數(shù)的方程叫做指數(shù)方程；在解指數(shù)方程時，常利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：，其中且，將指數(shù)方程化為整式方程求解；在對數(shù)符號后面含有未知數(shù)的方程叫做對數(shù)方程；解對數(shù)方程時，必須對求得的解進行檢驗，因為在利用對數(shù)的性質(zhì)將對數(shù)方程變形過程中，如果未知數(shù)的允許值范圍擴大，那么可能產(chǎn)生增解；解指數(shù)對數(shù)方程的基本思路是通過“化成相同底數(shù)”“換元”等方法轉(zhuǎn)化成整式方程；7.抽象函數(shù)抽象函數(shù)的解法：①賦值法；如賦值、、、等；②結(jié)構(gòu)變換法；如、等；抽象函數(shù)特征可能對應函數(shù)或，正比例函數(shù)或，指數(shù)函數(shù)且或，對數(shù)函數(shù)且，冪函數(shù)第五章三角比1.角的概念與度量一條射線繞端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角為正角，其度量值是正的；按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角為負角，其度量值是負的；特別地，當一條射線沒有旋轉(zhuǎn)時，我們也認為形成了一個角，這個角叫做零角；在平面直角坐標系中，把角的頂點置于坐標原點，角的始邊與軸的正半軸重合，此時角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角，或者說這個角屬于第幾象限；當角的終邊在坐標軸上時，就認為這個角不屬于任何象限；我們把所有與角有重合終邊的角（包括角本身）的集合表示為；在平面幾何里，我們把周角分成360等份，每一份叫做1度的角，這種用“度”作為單位來度量角的單位制叫做角度制；我們也可以用圓弧的長與圓半徑的比值來表示這個圓弧或圓弧所對的圓心角的大小；把弧長等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號表示，讀作弧度；用“弧度”作為單位來度量角的單位制叫做弧度制；如果一個半徑為的圓的圓心角所對的弧長為，那么比值就是角的弧度數(shù)的絕對值，即，這里的正負由它的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定；零角的弧度數(shù)為零；弧度制與角度制的換算關(guān)系：1弧度；弧度；在弧度制下，角的集合與實數(shù)集之間建立起一一對應的關(guān)系；例如，與角終邊相同的角可以表示為，與角終邊共線的角可以表示為；弧長公式：；扇形面積公式：；附表：由的象限判斷、、、的象限：一二三四一、二三、四一、二三、四一、二、三一、二、四一、三、四二、三、四一、三一、三二、四二、四一、二、三一、二、四一、三、四二、三、四2.任意角的三角比在任意角的終邊上任取一點，設的坐標為，，則，我們規(guī)定：；；；；；；根據(jù)三角比的定義，各三角比的正負值如下所示：在平面直角坐標系中，稱以原點為圓心，以1為半徑的圓為單位圓，把點看作角的終邊與單位圓的交點，如圖，過點作軸的垂線，垂足為，過點作單位圓的切線，這條切線必然平行于軸，設它與角的終邊或其反向延長線相交于點；于是，，，；所以點坐標總可以表示成；我們把、、這三條線段分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，這些線段通稱為三角函數(shù)線；由三角函數(shù)線得出的常用三角不等式：①，，；②若，則；附表：特殊角的三角比不存在不存在3.同角三角比關(guān)系與誘導公式（1）同角三角比關(guān)系倒數(shù)關(guān)系：，，；商數(shù)關(guān)系：，；平方關(guān)系：，，；利用同角三角比的關(guān)系，可以實現(xiàn)“弦”、“切”、“割”之間的互化：①切割化弦，“切”通過商數(shù)關(guān)系化為“弦”，“割”通過倒數(shù)關(guān)系化為“弦”；②弦化切，一般和“齊次式”有關(guān)，通過分式上下同時除以或得到“切”；③1的代換，通過平方關(guān)系，將1代換成所需的三角比；（2）誘導公式：奇變偶不變，符號看象限；第一組：；；；第二組：；；；第三組：；；；第四組：；；；第五組：；；；第六組：；；；4.三角恒等變換（1）和與差公式；；；；；；（2）輔助角公式：，通常取，由，（或）確定；常見類型：；；；（3）倍角公式；；；（4）半角公式；；；（5）其他公式及恒等變換①萬能公式：；；；②常見公式變形：；；；；；⑥常見角的變換：；；；；；；；5.解三角形（1）三角形面積公式（其中是三角形外接圓半徑，是內(nèi)切圓半徑，）；；；（2）正弦定理：，其中是三角形外接圓半徑；（3）余弦定理：，即；，即；，即；（4）三角形中常見結(jié)論①；②或；；③成等差數(shù)列；④成等差數(shù)列，成等比數(shù)列△為等邊三角形；（5）三角形中的恒等式①，，；②，，；第六章三角函數(shù)1.正弦函數(shù)圖像對任意一個實數(shù)都有唯一確定的值與它對應，按照這個對應法則所建立的函數(shù)，表示為，它叫做正弦函數(shù)，它的定義域是實數(shù)集；（1）值域和最值：正弦函數(shù)的值域是，，此時的集合是，，此時的集合是；（2）周期性：正弦函數(shù)是周期函數(shù)，是它的周期，是的最小正周期；的周期是；（3）奇偶性：是奇函數(shù)；（4）單調(diào)性：在閉區(qū)間上都是增函數(shù)；在閉區(qū)間上都是減函數(shù)；（5）對稱性：正弦函數(shù)既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，對稱軸是，對稱中心；2.余弦函數(shù)圖像對任意一個實數(shù)都有唯一確定的值與它對應，按照這個對應法則所建立的函數(shù)，表示為，它叫做余弦函數(shù)，它的定義域是實數(shù)集；（1）值域和最值：余弦函數(shù)的值域是，，此時的集合是，，此時的集合是；（2）周期性：余弦函數(shù)是周期函數(shù)，是它的周期，是它的最小正周期；的周期是；（3）奇偶性：是偶函數(shù)；（4）單調(diào)性：余弦函數(shù)在閉區(qū)間上是增函數(shù)；在閉區(qū)間上是減函數(shù)；（5）對稱性：余弦函數(shù)既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，對稱軸是；對稱中心；3.正切函數(shù)圖像對任意一個實數(shù)都有唯一確定的值與它對應，按照這個對應法則所建立的函數(shù)，表示為，叫做正切函數(shù)；（1）值域和最值：由的定義可以得到它的值域是實數(shù)集，無最值；（2）周期性：由可知正切函數(shù)是周期函數(shù)，是它的最小正周期；（3）奇偶性：由可知正切函數(shù)是奇函數(shù)；（4）單調(diào)性：正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)；（5）對稱性：正切函數(shù)是中心對稱圖形，對稱中心是；4.函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)中的常數(shù)對其圖像有如下影響：正數(shù)決定了函數(shù)的值域為，叫做該正弦曲線的振幅；如圖，與的圖像對比，橫坐標不變，縱坐標變成原來的2倍；正數(shù)決定了函數(shù)的周期，，在單位時間里曲線振動的次數(shù)；叫做該正弦曲線的頻率；的周期為；如圖，與的圖像對比，縱坐標不變，橫坐標變成原來的；決定了在時所對應的角，也決定了該正弦曲線的左右位置，我們把叫做初相；如圖，與的圖像對比，圖像整體往左平移個單位；三角函數(shù)的圖像變換：；5.反三角函數(shù)函數(shù)的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作；函數(shù)的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作；函數(shù)的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作；（1）值域：；；；（2）奇偶性：與為奇函數(shù)；為非奇非偶函數(shù)；（3）單調(diào)性：與為增函數(shù)；為減函數(shù)；（4）對稱性：與關(guān)于原點成中心對稱，關(guān)于點成中心對稱；由反三角函數(shù)的定義有以下恒等式：；；；；；；；；6.最簡三角方程含有未知數(shù)的三角函數(shù)的方程叫做三角方程；滿足三角方程的所有的集合叫做三角方程的解集；在三角方程中，形如的方程叫做最簡三角方程；最簡三角方程的解集：（1）的解集為；（2）的解集為；（3）的解集為.第七章數(shù)列與數(shù)學歸納法1.數(shù)列概念按一定順序排列起來的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項；數(shù)列的一般形式可以寫成，其中是數(shù)列的第項，是的序數(shù)，上面的數(shù)列可以簡單記作；項數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，項數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列；從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞減數(shù)列；各項相等的數(shù)列叫做常數(shù)列；若存在正常數(shù)，使得數(shù)列每一項的絕對值都不大于，這樣的數(shù)列叫做有界數(shù)列，否則叫做無界數(shù)列；如果數(shù)列的第項與項的序數(shù)之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式；如果已知數(shù)列的任一項與它的前一項（或前幾項）之間的關(guān)系可用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式；一般地，我們稱為數(shù)列的前項和，用表示；根據(jù)數(shù)列前項和的定義；2.等差數(shù)列一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用小寫字母表示；等差中項：如果，那么叫做與的等差中項；如果三個數(shù)成等差數(shù)列，那么等差中項等于另兩項的算術(shù)平均數(shù)；等差數(shù)列的通項公式：；等差數(shù)列的遞推公式：；等差數(shù)列的前項和公式：；等差數(shù)列的性質(zhì)：①；②若，則；③，，，……，成等差數(shù)列，公差為；④，，，，……，成等差數(shù)列，公差為；⑤數(shù)列成等差數(shù)列，，；⑥若數(shù)列是等差數(shù)列，則為等比數(shù)列，；⑦是前項和，表示奇數(shù)項的和，表示偶數(shù)項的和，則；當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，，，；⑧設和分別表示等差數(shù)列、的前項和，則；⑨若，，，則，；若，，，則；若，，則；3.等比數(shù)列一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用小寫字母表示；等比中項：如果，那么叫做與的等比中項；如果三個數(shù)成等比數(shù)列，那么等比中項的平方等于另兩項的積；等比數(shù)列的通項公式：；等比數(shù)列的遞推公式：；等比數(shù)列的前項和公式：；；等比數(shù)列的性質(zhì)：①；②若，則；③，，，……，成等比數(shù)列，公比為；④，，，，……，成等比數(shù)列，公比為；⑤數(shù)列成等比數(shù)列，，；⑥若數(shù)列是等比數(shù)列，則為等差數(shù)列，；⑦是前項和，表示奇數(shù)項的和，表示偶數(shù)項的和，則；當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，；⑧設是前項積，表示奇數(shù)項的積，表示偶數(shù)項的積，則；當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，；4.求數(shù)列通項方法（1）公式法：等差數(shù)列通項，等比數(shù)列通項；（2）累加法（累乘法）：，，；（3）作差法（作商法）：若，則，；若，則，；（4）構(gòu)造法：；；；；；，其他類型；（5）不動點法：適用于分式遞推數(shù)列；（6）特征根法：適用于；（7）數(shù)學歸納法：對數(shù)列通項進行歸納猜想，然后按數(shù)學歸納法步驟進行證明；5.數(shù)列求和方法（1）求和公式法：等差數(shù)列前項和公式：；等比數(shù)列前項和公式：；；；（2）倒序相加法：首尾距離相等的兩項有共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)；（3）錯位相減法：數(shù)列通項由等差數(shù)列與等比數(shù)列相乘構(gòu)成；（4）裂項相消法：將數(shù)列中的每項進行分解，然后重新組合，達到消項的目的；；；；；；；；（5）分組求和法：將通項中有共同規(guī)律的部分進行分組，分別求和；（6）數(shù)學歸納法：對數(shù)列前項和進行歸納猜想，然后按數(shù)學歸納法步驟進行證明；6.數(shù)學歸納法由特殊到一般的推理方法，叫做歸納法；數(shù)學家通過對正整數(shù)的深入研究，找到了一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題的簡單有效的方法，它的步驟是：（1）證明當取第一個值例如或時，命題成立；（2）假設當時命題成立，證明當時命題也成立；在完成了上面兩個步驟后，我們就可以斷定這個命題對于從開始的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法叫做數(shù)學歸納法；在數(shù)學問題的探索中，為了尋求一般規(guī)律，往往先考察一些特例，進行歸納，形成猜想，然后再去證明這些猜想正確與否，一些與正整數(shù)有關(guān)的等式也可以通過這樣的途徑得到；數(shù)學歸納法的形式;第一數(shù)學歸納法：教材上的數(shù)學歸納法，稱之為第一數(shù)學歸納法，是歸納法的基本形式；第二數(shù)學歸納法：①當時，成立；②假設當時，成立，由此推出，也成立，那么命題成立；跳躍數(shù)學歸納法：①當時，成立；②假設當時，成立，由此推出時，也成立，那么對一切正整數(shù)，命題成立；反向數(shù)學歸納法：①對無窮多個正整數(shù)成立；②假設當時，命題成立，由此推出時也成立，那么對一切正整數(shù)，命題成立；7.數(shù)列極限一般地，在無限增大的變化過程中，如果無窮數(shù)列中的無限趨近于一個常數(shù)，那么叫做數(shù)列的極限，或叫做數(shù)列收斂于，記作，讀作“趨向于無窮大時，的極限等于”；三個常用極限：①（為常數(shù)）；②；③當時，；在數(shù)列極限的描述中，我們可以用是否無限趨近于零來判斷是否有極限；如果，，那么（1）；（2）；（3）；我們把的無窮等比數(shù)列的前項和當時的極限叫做無窮等比數(shù)列各項的和，并用符號表示，即；8、非等差、等比數(shù)列通項公式的求法類型Ⅰ觀察法：已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項。類型Ⅱ公式法：若已知數(shù)列的前項和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式構(gòu)造兩式作差求解。用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）。類型Ⅲ累加法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;=2\*GB3②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;=3\*GB3③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和;=4\*GB3④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項求和.類型Ⅳ累乘法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個式子兩邊分別相乘，可得：有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。類型Ⅴ構(gòu)造數(shù)列法：㈠形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時，數(shù)列{}為等差數(shù)列;（2）若時，數(shù)列{}為等比數(shù)列;（3）若且時，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求.方法有如下兩種：法一：設,展開移項整理得,與題設比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得,即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列.再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列.求出的通項再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出㈡形如型的遞推式：⑴當為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：法一：設，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：當?shù)墓顬闀r，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出⑵當為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：法一：設，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：當?shù)墓葹闀r，由遞推式得：——①，，兩邊同時乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠便可求出法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q,r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應用類型Ⅴ㈠的方法解決。⑶當為任意數(shù)列時，可用通法：在兩邊同時除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法），求出之后得.類型Ⅵ對數(shù)變換法：形如型的遞推式：在原遞推式兩邊取對數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）。類型Ⅶ倒數(shù)變換法：形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達式，再求.類型Ⅷ形如型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解。方法為：設，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型。總之，求數(shù)列通項公式可根據(jù)數(shù)列特點采用以上不同方法求解，對不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項公式9、非等差、等比數(shù)列前項和公式的求法⑴錯位相減法①若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列的求和就要采用此法.②將數(shù)列的每一項分別乘以的公比，然后在錯位相減，進而可得到數(shù)列的前項和.此法是在推導等比數(shù)列的前項和公式時所用的方法.⑵裂項相消法一般地，當數(shù)列的通項時，往往可將變成兩項的差，采用裂項相消法求和.可用待定系數(shù)法進行裂項：設，通分整理后與原式相比較，根據(jù)對應項系數(shù)相等得，從而可得常見的拆項公式有：②③④⑤⑶分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.一般分兩步：=1\*GB3①找通向項公式=2\*GB3②由通項公式確定如何分組.⑷倒序相加法如果一個數(shù)列，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到了一個常數(shù)列的和，這種求和方法稱為倒序相加法。特征：⑸記住常見數(shù)列的前項和：①②③第八章平面向量的坐標表示1.向量的坐標表示及其運算在平面直角坐標系內(nèi)，方向分別與軸和軸正方向相同的兩個單位向量叫做基本單位向量，分別記為和；將向量的起點置于坐標原點，作，我們將叫做位置向量，平面上任一向量都有與它相等的位置向量；如果點的坐標為，它在軸、軸上的投影分別為，那么由向量加法的平行四邊形法則可知，由向量與實數(shù)相乘的意義，，，于是，向量能表示成兩個相互垂直的向量、分別乘以實數(shù)、后組成的和式，該和式稱為、的線性組合，這種向量的表示方法叫做向量的正交分解；平面上任一向量都有與它相等的位置向量，所以，它們的系數(shù)、是與向量相等的位置向量的終點的坐標，通常我們用有序?qū)崝?shù)對表示向量，并稱為向量的坐標，記作；有了向量的坐標表示后，向量的運算可轉(zhuǎn)化為其坐標的相應運算；設是一個實數(shù)，，，則：；；2.向量的數(shù)量積由兩點間距離公式，可求得向量的模；對于兩個非零向量和，如果以為起點，作，，那么射線的夾角叫做向量與向量的夾角，的取值范圍是；當時，表示向量與向量方向相同；當時，表示向量與向量方向相反；夾角或的兩個向量是相互平行的，夾角的兩個向量是相互垂直的，記作；如果兩個非零向量和的夾角為，那么把叫做向量與向量的數(shù)量積，記作，即；特別地，，；的幾何意義：兩個向量和的數(shù)量積是其中的一個向量的模與另一個向量在向量方向上的投影的乘積；向量數(shù)量積運算滿足下列性質(zhì)：①，當時，；②；③；④；對于用坐標表示的向量，，有，即兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積之和；兩個向量與垂直的充要條件是，即；兩個向量與平行的充要條件是，即；兩個向量與的夾角公式；3.平面向量相關(guān)公式定理（1）平面向量分解定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不平行向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)，使；我們把不平行的向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基；（2）三點共線定理：已知平面上三點共線，點在直線外存在實數(shù)，使，其中；（3）定比分點公式：已知平面上兩點、，存在點，滿足，則點坐標為；中點坐標公式：平面上兩點、的中點坐標為；以為頂點的三角形重心為；（4）三角形四心與向量設為△所在平面上的一點，角所對的邊分別為；①為△外心；②為△外心；③為△重心；④為△垂心；⑤為△內(nèi)心；⑥為△內(nèi)心；設為△所在平面上的一動點，實數(shù)；①動點的軌跡經(jīng)過△重心；②動點的軌跡經(jīng)過△重心；③動點的軌跡經(jīng)過△內(nèi)心；④動點的軌跡經(jīng)過△垂心；⑤的軌跡經(jīng)過△外心；第九章矩陣與行列式初步1.矩陣（1）矩陣的定義我們把矩形數(shù)表叫做矩陣，矩陣中的每個數(shù)叫做矩陣的元素；對于二元一次方程組，矩陣叫做方程組的系數(shù)矩陣，它是2行2列的矩陣，可記作；矩陣叫做方程組的增廣矩陣，它是2行3列的矩陣，可記作；1行2列的矩陣、叫做系數(shù)矩陣的兩個行向量；2行1列的矩陣、叫做系數(shù)矩陣的兩個列向量；當行數(shù)與列數(shù)相等時，該矩陣稱為方矩陣，簡稱方陣，如是2階方矩陣；我們把主對角線元素為1，其余元素均為0的方矩陣叫做單位矩陣，如；元素全為零的矩陣稱為零矩陣；我們把行列矩陣的第行第列的元素用圓括號括起來表示矩陣，為；若、是兩個行數(shù)與行數(shù)相等、列數(shù)與列數(shù)相等的矩陣，當且僅當它們對應位置的元素都相等時，即，稱兩矩陣相等，記作；（2）矩陣的變換解方程的過程就是通過某些矩陣變換，使方程組的系數(shù)矩陣變?yōu)閱挝痪仃嚨倪^程；矩陣變換有下列三種：①互換矩陣的兩行；②把某一行同乘以一個非零的數(shù)；③某一行乘以一個數(shù)加到另一行；若對矩陣實行有限次初等變換變成矩陣，則稱矩陣與等價，記作，經(jīng)初等變換得到的矩陣與變換前的矩陣不能用等號聯(lián)結(jié)，它們是不相等的；（3）矩陣的運算①矩陣的加減法及運算性質(zhì)若，都是行列矩陣，則矩陣叫做矩陣與的和，記作；求矩陣和的運算叫做矩陣的加法；矩陣的加法運算性質(zhì)：交換律結(jié)合律我們把記為，叫做兩矩陣與的差；求矩陣差的運算叫做矩陣的減法；矩陣的加法和矩陣的減法只有在兩矩陣的行數(shù)、列數(shù)都相同時才可以進行，兩矩陣相加減歸結(jié)為其對應元素相加減；②數(shù)乘矩陣及其運算性質(zhì)以實數(shù)乘矩陣的每個元素所得的矩陣叫做實數(shù)與矩陣的乘積，記作；求數(shù)乘矩陣的運算叫做數(shù)與矩陣的乘法；數(shù)與矩陣的乘法運算性質(zhì)：；；；③矩陣的乘法設，，，如果它們元素間的關(guān)系可以用下列等式表示：，那么矩陣叫做矩陣和的乘積，記作；由上面的定義可知，是的第行的行向量與的第列的列向量的數(shù)量積，這個定義可以推廣到任意行列的矩陣與行列的矩陣的乘積；由此定義可知，只有當矩陣的列數(shù)等于矩陣的行數(shù)時，矩陣乘積才有意義；2.行列式（1）二階行列式我們用記號表示算式，即；該記號叫做行列式，并且因為它只有兩行兩列，所以把它叫做二階行列式，算式叫做行列式的展開式，其計算結(jié)果叫做行列式的值，都叫做行列式的元素；如上圖，我們把用實線表示的對角線稱之為主對角線，用虛線表示的對角線稱之為副對角線；不難發(fā)現(xiàn)，二階行列式的值等于主對角線上的元素的乘積減去副對角線上的元素乘積；這種展開二階行列式的方法叫做二階行列式展開的對角線法則；設二元一次方程組，當時，方程組有唯一解：，令，，，即；其中行列式叫做方程組的系數(shù)行列式；對于二元一次方程組，令，，；①當時，方程組有唯一解，；②當且中至少有一個不為零，方程組無解；③當，方程組無窮多解；是方程組有唯一解的充分必要條件，叫做方程組解的判別式；（2）三階行列式我們用記號表示算式；該記號叫做三階行列式，算式叫做三階行列式的展開式，都叫做行列式的元素；①三階行列式按對角線展開:如上圖，三階行列式展開后的值為，等于每一條主對角線上的元素乘積的和減去每一條副對角線上的元素乘積的和，這種方法叫做三階行列式展開的對角線法則；②三階行列式按一行（或一列）展開:，其中、、分別叫做元素的余子式，即把三階行列式中某個元素所在的行和列劃去，將剩下的元素按原來的位置關(guān)系組成的二階行列式叫做該元素的余子式；把余子式添上相應的符號，如、、分別叫做元素的代數(shù)余子式；一個元素的代數(shù)余子式的符號決定于這個元素在行列式中的位置，如果下標之和是偶數(shù)，代數(shù)余子式取正號，如果是奇數(shù)，代數(shù)余子式取負號；三階行列式可以按其任意一行（或一列）展開成該行（或該列）元素與其對應的代數(shù)余子式的乘積之和；三階行列式的某一行（或列）的各元素分別和另一行（或列）對應元素的代數(shù)余子式的乘積的和等于零；對于三元一次方程組，設，，，，叫做方程組解的判別式；①當時，方程組有唯一解，，；②當且中至少有一個不為零，則方程組無解；③當，方程組有無窮多解；（3）行列式的相關(guān)性質(zhì)結(jié)論性質(zhì)1把行列式的某一行的所有元素乘以一個實數(shù)，等于用乘以這個行列式；推論1行列式中某一行所有元素的公因數(shù)可以提到行列式記號的外邊；推論2如果行列式中某一行的元素全為零，那么這個行列式的值為零；性質(zhì)2交換行列式的任意兩行，行列式的值變成原來的相反數(shù)；推論3如果行列式有兩行的對應元素相同，那么這個行列式的值為零；推論4如果行列式的某兩行的對應元素成比例，那么這個行列式的值為零；性質(zhì)3如果行列式的某一行的元素都是二項式，那么這個行列式等于把這些二項式各取一項組成相應的行，而其余行不變的兩個行列式的和；性質(zhì)4把行列式的某一行所有元素乘以同一個數(shù)，加到另一行的各個對應元素上，行列式的值不變；性質(zhì)5行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等；由性質(zhì)5可知，前面的性質(zhì)及推論中，將“行”換成“列”，結(jié)果同樣成立；三角形面積公式：如果△的三個頂點的坐標分別為，，，那么△的面積；特別地，直角坐標平面上的三點，，共線.第十章算法初步1.算法概念一般地，對于一類有待求解的問題，如果建立了一套通用的解題方法，按部就班地實施這套方法就能使該類問題得以解決，那么這套解題方法是求解該類問題的一種算法；算法是由一些操作步驟組成的有序系列，這個系列具有以下特點：①操作步驟數(shù)必須是有限的，必須在有限步驟后獲得結(jié)論；②每一步操作都有確定的意義；③每一步操作都是可行的（或由基本的可行的操作組成）；④每個算法必須有已知信息的輸入和運算結(jié)果的輸出；順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)是算法中最常用的語句結(jié)構(gòu)；順序結(jié)構(gòu)：算法各步驟的前后順序一般不能交換，否則會產(chǎn)生不一樣的效果；條件結(jié)構(gòu)：如果條件成立，那么執(zhí)行指令，如果條件不成立，那么執(zhí)行指令；循環(huán)結(jié)構(gòu)：重復執(zhí)行同樣指令；其中變量的數(shù)值決定了循環(huán)的“繼續(xù)”還是“結(jié)束”，故稱為循環(huán)變量，稱重復執(zhí)行的指令組為循環(huán)體；2.程序框圖為了使算法的表述更簡練，結(jié)構(gòu)更清晰，人們常用含有算法內(nèi)容的框和箭頭構(gòu)成的圖來表示算法，這種圖叫做算法的程序框圖；在程序框圖中常用的框如表所示：程序框名稱功能起止框表示算法的開始和結(jié)束，一個算法只有一個開始，至少有一個結(jié)束輸入、輸出框表示數(shù)據(jù)的輸入和輸出處理（執(zhí)行）框表示算法中的賦值、計算等指令，一個處理框只有一個入口、一個出口判斷框判斷框內(nèi)是一個條件，它有一個入口和兩個出口（分別標“是”和“否”）順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖：順序結(jié)構(gòu)條件結(jié)構(gòu)循環(huán)結(jié)構(gòu)有了順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，我們就可以比較完整地構(gòu)建算法的程序框圖，一般來說，一個完整的程序框圖應該包含起始框、結(jié)束框、輸入輸出框.第十一章坐標平面上的直線1.直線傾斜角和斜率設直線與軸相交于點，將軸繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至與直線重合時所成的最小正角叫做直線的傾斜角；傾斜角的范圍是；當時，把的正切值叫做直線的斜率；當時，直線的斜率不存在；一般地，如果直線經(jīng)過和，其中，那么是直線的一個方向向量，直線的斜率；從圖像上觀察，直線越陡，斜率的絕對值越大；2.直線方程直線的點方向式方程：我們把與直線平行的向量叫做直線的方向向量；如果直線經(jīng)過點，方向向量，那么直線的方程可寫作；直線的點法向式方程：我們把與直線垂直的向量叫做直線的法向量；如果直線經(jīng)過點，法向量，那么直線的方程可寫作；直線的點斜式方程：如果直線經(jīng)過點，斜率為，那么直線的方程可寫作；直線的斜截式方程：如果直線經(jīng)過軸上的點，且斜率為，那么直線的方程可寫作；直線的截距式方程：如果直線與軸和軸分別交于點、，、分別叫做直線在坐標軸上的橫截距和縱截距，那么直線的方程可寫作；直線的一般式方程：（不同時為零），是直線的一個法向量，是直線的一個方向向量；直線方程方向向量法向量斜率3.兩條直線的位置關(guān)系設直角坐標平面上兩條直線方程分別為和，如果直線的公共點是，那么點的坐標必是兩條直線方程構(gòu)成的二元一次方程組的解；方程組解的個數(shù)即對應兩條直線的位置情況；方程組系數(shù)構(gòu)成的行列式的值：，，；當，即時，方程組有唯一解，兩直線相交于一點；當且或時，方程組無解，兩直線沒有公共點，即平行；當時，方程組有無窮多解，即兩直線重合；具體應用中，當直線方程形式為一般式時，即兩條直線分別為和，可以用以下形式判斷直線的位置關(guān)系：①當時，兩直線相交；特殊地，當時，兩直線垂直；②當時，兩直線平行；③當時，兩直線重合；當直線方程形式為斜截式時，即兩條直線分別為和，可以用以下形式判斷直線的位置關(guān)系：①當時，兩直線相交；特殊地，當時，兩直線垂直；②當且時，兩直線平行；③當且時，兩直線重合；我們規(guī)定兩條相交直線所成的銳角或直角為兩條相交直線的夾角；如果兩條直線平行或重合，我們規(guī)定它們的夾角為零；如果已知兩條直線的方程分別為和，它們的方向向量分別取和，由兩向量的夾角計算公式，可得兩條直線的夾角公式為；；如果已知兩條直線的方程分別為和，根據(jù)傾斜角的定義，可得兩條直線的夾角公式為；當與相互垂直時，，；4.點到直線的距離點到直線的距離公式：；兩平行線間距離公式：設兩條平行直線為和，，它們之間的距離；已知點和直線（不同時為零），的符號確定了點關(guān)于直線的相對位置，在直線同側(cè)的所有點，的符號是SHAPE相同的，在直線異側(cè)的點，的符號是SHAPE相反的；5.與直線相關(guān)的幾類問題（1）常用直線系①定點直線系方程：經(jīng)過定點的直線系方程為，其中是待定系數(shù)；或者，其中是待定系數(shù)；②共點直線系方程：經(jīng)過兩直線和的交點的直線系方程為，其中是待定系數(shù)；③平行直線系方程：與直線平行的直線系方程為，其中是待定系數(shù)，與直線平行的直線系方程為，其中是待定系數(shù)；④垂直直線系方程：與直線垂直的直線系方程為，其中是待定系數(shù)；（2）對稱問題①點關(guān)于點對稱：若、兩點關(guān)于點對稱，則的對稱點的坐標為；②點關(guān)于直線對稱：若、兩點關(guān)于直線對稱，則的對稱點的坐標為；③直線關(guān)于點對稱：若、兩直線關(guān)于點對稱，則直線的對稱直線的方程為；④直線關(guān)于直線對稱：若、兩直線關(guān)于直線對稱，則的對稱直線的方程為；（3）距離最值問題①在直線上求一點，使到兩定點的距離之和最??；②在直線上求一點，使到兩定點的距離之差的絕對值最大；第十二章圓錐曲線1.曲線和方程（1）曲線和方程的概念借助于平面坐標系用代數(shù)方法研究平面上圖形性質(zhì)的學科稱為平面解析幾何；一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個關(guān)系：①曲線上的點的坐標都是方程的解；②以方程的解為坐標的點都是曲線上的點；此時，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線；平面解析幾何研究的兩個基本問題是：①根據(jù)條件，求出表示平面曲線的方程；②通過方程，研究平面曲線的方程；如果曲線的方程分別為和，那么曲線的交點坐標即方程組的解，方程組解的情況即曲線的相交情況；如果曲線的方程分別為和，那么過曲線的交點的曲線系方程是；（2）求曲線方程常用方法：①直接法；②定義法；③代入法；④消參法；⑤交軌法；⑥其他法；2.圓的方程（1）圓的方程形式圓的標準方程：，表示以為圓心，以為半徑的圓；圓的一般方程：，即；圓的參數(shù)方程：，表示以為圓心，以為半徑的圓；圓的直徑式方程：，其中、分別為直徑的兩個端點；（2）點和圓的位置關(guān)系對于點和圓，有：點在圓外；點在圓上；點在圓內(nèi)；（3）直線和圓的位置關(guān)系判定圓和直線位置關(guān)系的方法有兩種：①比較圓心到直線的距離和圓半徑的大??；相交；相切；相離；②聯(lián)立方程組，得到關(guān)于的二次方程，考察根的判別式；相交；相切；相離；（4）圓和圓的位置關(guān)系若圓的半徑是，圓的半徑是，則：兩圓外離；兩圓外切；兩圓相交；兩圓內(nèi)切；兩圓內(nèi)含；（5）與圓相關(guān)的公式切線公式一：對于圓，若直線和圓的切點為，則切線方程為；若點在圓外，則方程表示過兩個切點的切點弦方程；切線公式二：對于圓，斜率為的切線方程為；兩圓公共弦公式：若兩圓和相交，則它們公共弦的方程為；3.橢圓方程我們把平面內(nèi)到兩個定點的距離和等于常數(shù)的點的軌跡叫做橢圓；這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩個焦點的距離叫做焦距；橢圓的標準方程：或，如圖所示；其中之間的關(guān)系；從橢圓的標準方程中，我們可以得到下列性質(zhì)和結(jié)論：①對稱性：橢圓既是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，又是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心；②頂點：和，這四個點叫做橢圓的頂點；若，表示橢圓長軸的長，表示橢圓短軸的長，橢圓的兩個焦點都在它的長軸上；③范圍：，；④準線：準線方程；⑤離心率：；；⑥焦半徑公式：；⑦焦點三角形面積公式：；⑧切線方程：若為切點，則切線方程為；⑨參數(shù)方程：，.4.雙曲線方程我們把平面內(nèi)到兩個定點的距離之差的絕對值等于常數(shù)的點的軌跡叫做雙曲線；這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩個焦點的距離叫做焦距；雙曲線的標準方程：或，如圖所示；其中，之間的關(guān)系滿足；雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，它們互為共軛雙曲線；從雙曲線的標準方程中，我們可以得到下列性質(zhì)和結(jié)論：對稱性：雙曲線既是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，又是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心；頂點：和，這四個點叫做雙曲線的頂點；表示雙曲線實軸的長，表示雙曲線虛軸的長，雙曲線的兩個焦點都在它的實軸所在的直線上；范圍：或，；④漸近線：；⑤準線：準線方程；⑥離心率：；；⑦焦半徑公式：；⑧焦點三角形面積公式：⑨切線方程：若為切點，則切線方程為；⑩參數(shù)方程：，.5.拋物線方程平面上與一個定點和一條定直線（不在上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線；拋物線的標準方程：，，，；從拋物線的標準方程中，我們可以得到下列性質(zhì)和結(jié)論：①對稱性：關(guān)于軸對稱；②頂點：原點；③范圍：，；④準線：；⑤離心率：；⑥焦半徑公式：⑦切線方程：若為切點，則切線方程為⑧參數(shù)方程：；6.圓錐曲線綜合應用（1）弦中點問題：點差法與弦的中點有關(guān)的問題，主要有三種類型：①平行弦的中點軌跡；②過定點的弦中點軌跡；③過定點且被定點平分的弦所在的直線方程；弦中點問題的常見結(jié)論：①若直線與橢圓相交于兩點，的中點為，連結(jié)，設的斜率為，則；②若直線與雙曲線相交于兩點，的中點為，連結(jié)，設的斜率為，則；注意：斜率不存在的情況要單獨考慮；（2）拋物線焦點弦性質(zhì)①，，；②，；；③，，共線，，，共線；④，，，；（3）韋達定理的應用：聯(lián)立方程，韋達定理韋達定理：，；弦長公式：；；（4）數(shù)形結(jié)合思想7.圓錐曲線的表格匯總（1）橢圓的方程：焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程定義到兩定點的距離之和等于常數(shù)2，即（）范圍且且頂點、、、、軸長長軸的長短軸的長對稱性關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點中心對稱焦點、、焦距離心率焦半徑左焦半徑：右焦半徑：下焦半徑：上焦半徑：焦點三角形面積通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：（焦點）弦長公式，（2）雙曲線的方程：焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程定義到兩定點的距離之差的絕對值等于常數(shù)，即（）范圍或，或，頂點、、軸長實軸的長虛軸的長對稱性關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點中心對稱焦點、、焦距離心率漸近線方程焦半徑在右支在左支在上支在下支焦點三角形面積通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：（3）拋物線的方程：第十三章復數(shù)1.復數(shù)的概念為解決負數(shù)的開方問題，引入虛數(shù)單位，規(guī)定，即是的一個平方根；我們把形如的數(shù)叫做復數(shù)，復數(shù)全體所組成的集合叫做復數(shù)集，用字母表示；單個復數(shù)常常用字母表示，即，該形式叫做復數(shù)的代數(shù)形式，其中與分別叫做復數(shù)的實部與虛部，記作和；當時，復數(shù)是實數(shù)；當時，復數(shù)叫做虛數(shù)；當且時，復數(shù)叫做純虛數(shù)；實數(shù)集是復數(shù)集的真子集；如果兩個復數(shù)和的實部與虛部分別相等，即且，那么這兩個復數(shù)相等，記作；如果兩個復數(shù)都是實數(shù)，那么這兩個復數(shù)具有大小關(guān)系；如果兩個復數(shù)不都是實數(shù)，那么這兩個復數(shù)只有相等和不相等兩種關(guān)系，而不能比較大小；2.復數(shù)的坐標形式一個復數(shù)對應了一個有序?qū)崝?shù)對；而有序?qū)崝?shù)對與平面直角坐標系內(nèi)的點是一一對應的，因此可以用平面直角坐標系內(nèi)的點來表示復數(shù)，也可以用復數(shù)來描述平面直角坐標系內(nèi)的點；建立直角坐標系用來表示復數(shù)的平面叫做復平面，在這里軸叫做實軸，軸叫做虛軸，表示實數(shù)的點都在實軸上，表示純虛數(shù)的點都在虛軸上，原點表示實數(shù)0；復數(shù)集中的元素和復平面上所有的點是一一對應的；復數(shù)集中的元素與復平面上以原點為起始點的向量是一一對應的（實數(shù)0與零向量對應）；我們把復數(shù)看作點或看作向量；復數(shù)所對應的點到坐標原點的距離叫做復數(shù)的模（或絕對值），記作，由模的定義可知；復數(shù)的模的概念是實數(shù)的絕對值的概念的延伸；復數(shù)的模與表示的向量的模是一致的，所以復數(shù)的模也可以說成是其對應向量的模；3.復數(shù)的運算（1）復數(shù)的加減法設復數(shù)，，則復數(shù)的加法：；兩個復數(shù)的和依然是一個復數(shù)，它的實部是原來兩個復數(shù)實部的和，它的虛部是原來兩個復數(shù)虛部的和；復數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，即，；形如和這樣實部相等而虛部互為相反數(shù)的兩個復數(shù)，叫做共軛復數(shù)，也稱這兩個復數(shù)互相共軛，共軛復數(shù)用表示，即當時，；由復數(shù)模的定義，可知互相共軛的兩個復數(shù)的模相等，即；設復數(shù)，，則復數(shù)的減法：；兩個復數(shù)的差依然是一個復數(shù)，它的實部是原來兩個復數(shù)實部的差，它的虛部是原來兩個復數(shù)虛部的差；設復數(shù)、分別對應復平面上的點、，則；由此可見，表示兩點之間的距離，也等于向量的模；（2）復數(shù)的乘除法設復數(shù)，，則復數(shù)的乘法：；兩個復數(shù)的乘積依然是一個復數(shù)，復數(shù)的乘法與多項式的乘法相類似；特殊地，；復數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律，即對于任何復數(shù)，有：，，；設復數(shù)，，則復數(shù)的除法：；要求幾個復數(shù)積的?；騼蓚€復數(shù)商的模，可以先分別計算這幾個復數(shù)的模，然后把各個復數(shù)的模相乘或相除；即，，；共軛復數(shù)的運算性質(zhì)：，，，；（3）復數(shù)的乘方與開方復數(shù)的乘方運算是指幾個相同復數(shù)相乘，對任何復數(shù)及正整數(shù)，滿足：，，；一般地，對，滿足：，，，；如果復數(shù)和滿足：；則稱是的一個平方根；因為，即是的平方根；類似地，若復數(shù)滿足，則稱是的立方根；的立方根有三個，分別是，，；設，則滿足，，；同理，的立方根也有三個，分別是，，；設，則滿足，，；4.實系數(shù)一元二次方程設一元二次方程且；當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個不相等的共軛虛根；韋達定理同樣適用于的情況：，；對于實系數(shù)一元次方程，有：①如果虛數(shù)是方程的根，那么也是方程的根；②方程在復數(shù)集中一定有個根，即；5.復平面內(nèi)的曲線方程（1）圓的定義:平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)；設以為圓心，為半徑的圓上任意一點,則（1）該圓向量形式的方程是什么?（2）該圓復數(shù)形式的方程是什么?（3）該圓代數(shù)形式的方程是什么?（2）橢圓的定義:平面內(nèi)與兩定點Z1，Z2的距離的和等于常數(shù)(大于)的點的集合(軌跡)；設是以為焦點，2a為長軸長的橢圓的上任意一點,則（1）該橢圓向量形式的方程是什么?（2）該橢圓復數(shù)形式的方程是什么?變式:以為端點的線段（1）向量形式的方程是什么?（2）復數(shù)形式的方程是什么?第十四章空間直線與平面1.平面及其相關(guān)性質(zhì)平面具有“平”的特征，無厚度，無邊界，在空間延伸至無限；平面可以用大寫的英文字母或小寫的希臘字母表示；空間的直線和平面都可以看作點的集合，點與它們的關(guān)系可以用集合的語言表示；例如，點在直線上，或直線經(jīng)過點，記作；點不在直線上，記作；點在平面上，或平面經(jīng)過點，記作；點不在平面上，記作；如果直線上的所有點都在平面上，那么稱直線在平面上（或平面經(jīng)過直線），記作；公理1如果直線上有兩個點在平面上，那么直線在平面上；公理1用集合語言表述如下：若，，且，，則；公理2如果不同的兩個平面有一個公共點，那么的交集是過點的直線；公理2用集合語言表述如下：若存在，則，且；公理3不在同一直線上的三點確定一個平面；推論1一條直線和直線外的一點確定一個平面；推論2兩條相交的直線確定一個平面；推論3兩條平行的直線確定一個平面；2.空間直線與直線的位置關(guān)系公理4平行于同一直線的兩條直線相互平行；等角定理如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補；在同一平面中，兩條直線的位置關(guān)系包括相交和平行；如果空間的兩條直線既不平行，也不相交，這時不可能存在一個平面，使它既經(jīng)過直線，又經(jīng)過直線，我們把不能置于同一平面的兩條直線叫做異面直線；對于異面直線和，在空間任取一點，過分別作和的平行線和，我們把和所成的銳角或直角叫做異面直線和所成的角；當空間兩直線所成的角為直角時，和垂直，記作；當和所成的角為零角時，和平行或重合；異面直線之間距離：設直線與直線是異面直線，當點分別在上，且直線既垂直于直線，又垂直于直線時，我們把直線叫做異面直線的公垂線，垂足之間的距離叫做異面直線和的距離；3.空間直線與平面的位置關(guān)系如果直線與平面只有一個公共點，那么稱直線與平面相交于點，或稱是直線與平面的交點，記作；如果直線與平面沒有公共點，那么稱直線與平面平行，記作或∥；直線與平面平行的判定定理如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行；直線與平面平行的性質(zhì)定理如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行；一般地，如果一條直線與平面上的任何直線都垂直，那么直線與平面垂直，記作，直線叫做平面的垂線，與的交點叫做垂足；直線與平面垂直的判定定理如果直線與平面上的兩條相交直線都垂直，那么直線與平面垂直；推論如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面；直線與平面垂直的性質(zhì)定理如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線；推論如果兩條直線同時垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行；點到平面的距離：設是平面外一點，過點作平面的垂線，垂足為，我們把點到垂足之間的距離叫做點和平面的距離；直線到平面的距離：設直線平行于平面，在直線上任取一點，我們把點到平面的距離叫做直線和平面的距離；當直線與平面相交且不垂直時，叫做直線與平面斜交，直線叫做平面的斜線；設直線與平面斜交于點，過上任意點，作平面的垂線，垂足為，我們把點叫做點在平面上的射影，直線叫做直線在平面上的射影，并規(guī)定直線與其在平面上的射影所成的銳角叫做直線與平面所成的角；當直線與平面垂直時，它們所成的角為90°；當直線與平面平行或直線在平面上時，它們所成的角為0°；最小角定理直線和平面所成的角是這條直線和平面內(nèi)任一直線所成的角中最小的角；三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和平面的一條斜線的射影垂直，那么這條直線也和這條斜線垂直；三垂線逆定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也和這條斜線的射影垂直；4.空間平面與平面的位置關(guān)系對于空間不同的兩個平面，如果它們有公共點，即，那么稱平面與平面相交；如果兩個平面沒有公共點，那么稱平面與平面平行，記作∥；平面與平面平行的判定定理如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；推論如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線，分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面平行；推論垂直于同一條直線的兩個平面平行；平面與平面平行的性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么得到的兩條交線互相平行；推論若一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，則它也垂直于另一個平面；平面到平面的距離：設平面平行于平面，在平面上任取一點，我們把點到平面的距離叫做平面和平面的距離；設兩個平面相交于直線，將分別分割成兩個半平面，由的半平面及其交線所組成的空間圖形叫做二面角，記作；交線叫做二面角的棱，兩個半平面叫做二面角的面；在二面角的棱上任取一點，過分別在平面和上作棱的垂線和，射線和所成的角叫做二面角的平面角；若射線和所成的角為90°，則兩個平面垂直，記作；平面與平面垂直的判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直；平面與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面；5.空間角與距離的計算（1）異面直線所成角異面直線所成角的范圍；求異面直線所成的角，主要有兩種方法：①平移，將異面直線平移至相交，常用“作平行”和“取中點”的方法；②補形，延長異面直線，或者將題中幾何體進行添補，然后再平移至相交；（2）直線與平面所成角直線與平面所成角的范圍；求直線與平面所成的角，主