第05講空間向量及其應(yīng)用(精練）A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知是空間一個基底，，，一定可以與向量，構(gòu)成空間另一個基底的是（

）A． B． C． D．【答案】C由題意和空間向量的共面定理，結(jié)合向量（）+（）＝2，得與是共面向量，同理與是共面向量，所以與不能與、構(gòu)成空間的一個基底；又與和不共面，所以與、構(gòu)成空間的一個基底．故選：C．2．（2022·重慶南開中學(xué)高一期末）如圖，在斜三棱柱中，M為BC的中點，N為靠近的三等分點，設(shè)，，，則用，，表示為（

）A． B． C． D．【答案】A故選：A3．（2022·湖南益陽·高二期末）已知向量，，若，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】D由，則，即，有，所以，所以，則故選：D4．（2022·四川省蒲江縣蒲江中學(xué)高二階段練習(xí)（理））設(shè)、，向量，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D因為，則，解得，則，因為，則，解得，即，所以，，因此，.故選：D.5．（2022·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知存在非零實數(shù)使得，且，則的最小值為（

）A． B．8 C． D．【答案】A由題意，存在非零實數(shù)使得，可得，即四點共面，因為，根據(jù)向量的共面定量，可得，即，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：A.6．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高二期末（理））如圖，下列正方體中，O為下底面的中心，M，N為正方體的頂點，P為所在棱的中點，則滿足直線的是（

）A． B．C． D．【答案】B在正方體中，對各選項建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，令正方體棱長為2，點，對于A，，，，與不垂直，A不是；對于B，，，，，B是；對于C，，，，與不垂直，C不是；對于D，，，，與不垂直，D不是.故選：B7．（2022·江蘇徐州·高二期中）如圖，正方體的棱長為6，點為的中點，點為底面上的動點，滿足的點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】B分別以，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，則，，由得，即，由于，所以，，所以點的軌跡為面上的直線：，，即圖中的線段，由圖知：，故選：B.8．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知是棱長為4的正方體內(nèi)切球的一條直徑，點在正方體表面上運動，則的最大值為(

)A．4 B．12 C．8 D．6【答案】C設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為，則，，∴＝，又點在正方體表面上運動，∴當(dāng)為正方體頂點時，最大，且最大值為正方體體對角線的一半，，∴的最大值為.故選：C.二、多選題9．（2022·福建·廈門外國語學(xué)校高二期末）如圖，在平行六面體中，，點分別是棱的中點，則下列說法中正確的有（

）A．B．向量共面C．D．若，則該平行六面體的高為【答案】ACD在平行六面體中，令，不妨令，依題意，，，因點M，N分別是棱的中點，則，，則有，A正確；，若向量共面，則存在唯一實數(shù)對使得，即，而不共面，則有，顯然不成立，B不正確；由,則，故C正確.連接，依題意，，即四面體是正四面體，因此，平行六面體的高等于點到平面的距離，即正四面體的高h，由知，由選項A知，，則平面，是平面的一個法向量，，，則，所以平行六面體的高為，D正確.故選：ACD10．（2022·全國·高一）在所有棱長都相等的正三棱柱中，點A是三棱柱的頂點，M，N、Q是所在棱的中點，則下列選項中直線AQ與直線MN垂直的是（

）A． B． C． D．【答案】AC所有棱長都相等的正三棱柱中，點A是三棱柱的頂點，M，N、Q是所在棱的中點,故可設(shè)棱長為2，在正三棱柱中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：對于A，,故,則，故，即，故A正確；對于B，,故,則，故不垂直，故B不正確；對于C，,故,則，故，即，故C正確；對于D，,故,則，故不垂直，故D不正確；故選：AC三、填空題11．（2022·廣東·清遠市博愛學(xué)校高一階段練習(xí)）已知與夾角為60°且，，則在方向上的投影向量是______．【答案】在方向投影向量.故答案為：.12．（2022·浙江嘉興·高一期末）如圖，在三棱錐中，，平面ABC，于點E，M是AC的中點，，則的最小值為______．【答案】##-0.125連接，如圖，因平面ABC，平面ABC，則，而，，平面PAB，則平面PAB，又平面PAB，即有，因M是AC的中點，則，又，，當(dāng)且僅當(dāng)取“=”，所以的最小值為.故答案為：四、解答題13．（2022·湖北恩施·高二期末）在三棱臺ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=C1C=2A1B1，O為AC的中點，P是C1C的中點.(1)證明：平面A1BC⊥平面POB；【答案】(1)證明見解析證明：連接A1O設(shè)A1B1=1，則AB=BC=C1C=2，AC=，A1C1=因為C1C⊥平面ABC，O為AC的中點，所以A1O⊥平面ABC,因為AB=BC，所以BO⊥AC.以O(shè)為坐標(biāo)原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－，則A(0，－，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，(0，0，2)，(，，2)，(0，，2)，P(0，，1).因為，所以，所以A1C⊥OB，A1C⊥OP.因為，所以A1C⊥平面POB..因為平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面POB.14．（2022·廣西南寧·高二期末（理））已知在正方體中，E，F(xiàn)，G分別是棱的中點．(1)證明：與平面不平行；【答案】(1)證明見解析以D為坐標(biāo)原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，所以．設(shè)平面的法向量為，則，令，得．因為，所以與平面不平行．B能力提升1．（多選）（2022·遼寧·本溪市第二高級中學(xué)高二期末）下列命題中正確的是（

）A．若∥，則∥B．是共線的必要條件C．三點不共線，對空間任一點，若，則四點共面D．若為空間四點，且有（不共線），則是三點共線的充要條件【答案】ACD對于A,由∥，則一定有∥，故A正確；對于B，由反向共線，可得，故B不正確；對于C，由三點不共線，對空間任一點，若，則，即，所以四點共面，故C正確；對于D,若為空間四點，且有（不共線），當(dāng)，即時，可得，即，所以三點共線，反之也成立，即是三點共線的充要條件，故D正確.故選：ACD.2．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知，，且，，，.取BC的中點O，過點O作于點Q，則（

）A． B．四棱錐的體積為40C．平面 D．【答案】ACD如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則,則,,設(shè),則,故，,，解得，即,,,，故A正確；因為直角梯形的面積，,可得面BCE四棱錐高，所以四棱錐體積，故B不正確；,,,又,平面,故C正確；,,即，故D正確.故選：ACD3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在棱長為2的正四面體中，點滿足，點滿足，則點與平面的位置關(guān)系是______；當(dāng)最小且最小時，______．【答案】

平面

解：由四點共面定理及三點共線定理可知：平面，直線，當(dāng)最小且最小時，則是等邊的中心，是邊中點.所以，,又因為是邊中點，所以故.故答案為：平面，4．（2022·重慶市萬州第二高級中學(xué)高二期末）如圖所示的平行六面體中，已知，，，為上一點，且．若，則的值為__；若為棱的中點，平面，則的值為__．【答案】

利用平行線的性質(zhì)即可得出．【詳解】解：①，不妨取，．②連接，與交于點．連接，交于點，連接．平面，．點為的中點，點為的中點．延長交線段的延長線于點．，．．，．則．故答案為：，．C綜合素養(yǎng)1．（2022·福建廈門·高二期末）如圖，在正方體中，為的中點，點在棱上．(1)若，證明：與平面不垂直；【答案】(1)證明見解析證明：以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、，由得點的坐標(biāo)為，，，因為，所以與不垂直，所以與平面不垂直．2．（2022·廣東·汕頭市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E為棱PD的中點，（為常數(shù)，且）．(1)若直線BF∥平面ACE，求實數(shù)的值；【答案】(1)因為底面，，平面，所以，．由題意可知，，，兩兩垂直，建立如