第07講利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題(精講+精練）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：分離雙參，構(gòu)造函數(shù)高頻考點(diǎn)二：糅合雙參（比值糅合）高頻考點(diǎn)三：糅合雙參（差值糅合）高頻考點(diǎn)四：變更主元法高頻考點(diǎn)五：指定主元法高頻考點(diǎn)六：利用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)單變量高頻考點(diǎn)七：利用對(duì)數(shù)平均不等式解決雙變量問題第四部分：高考真題感悟第五部分：第07講利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題（精練）第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶1、導(dǎo)數(shù)中求解雙變量問題的一般步驟：（1）先根據(jù)已知條件確定出變量滿足的條件；（2）將待求的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問題，同時(shí)注意將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，具體有兩種可行的方法：①通過將所有涉及的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量（亦可）的函數(shù)問題；②通過的乘積關(guān)系，用表示（用表示亦可），將雙變量問題替換為（或）的單變量問題；（3）構(gòu)造關(guān)于或的新函數(shù)，同時(shí)根據(jù)已知條件確定出或的范圍即為新函數(shù)定義域，借助新函數(shù)的單調(diào)性和值域完成問題的分析求解.2、破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試1．（2022·重慶市第七中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A解：設(shè)，因?yàn)閷?duì)，當(dāng)時(shí)都有恒成立，等價(jià)于，即，令，則，所以在上為減函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，且，所以，所以，解得，故選：A.2．（2022·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，若且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C由題意時(shí)，是減函數(shù)，且，時(shí)，是減函數(shù)，且，由且得，，，，，所以，，設(shè)，，時(shí)，，是增函數(shù)，所以，即，所以．故選：C．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y，使得等式2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）＝0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C由2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）＝0得2x+a（y﹣2ex）ln0，即2+a（2e）ln0，即設(shè)t，則t＞0，則條件等價(jià)為2+a（t﹣2e）lnt＝0，即（t﹣2e）lnt有解，設(shè)g（t）＝（t﹣2e）lnt，g′（t）＝lnt+1為增函數(shù)，∵g′（e）＝lne+11+1﹣2＝0，∴當(dāng)t＞e時(shí)，g′（t）＞0，當(dāng)0＜t＜e時(shí)，g′（t）＜0，即當(dāng)t＝e時(shí)，函數(shù)g（t）取得極小值，為g（e）＝（e﹣2e）lne＝﹣e，即g（t）≥g（e）＝﹣e，若（t﹣2e）lnt有解，則e，即e，則a＜0或a，故選：C．4．（2022·全國(guó)·高二）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，（），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D根據(jù)題意，是有兩解，所以，所以，，，由可得，，由可得，，則，故選：D.第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：分離雙參，構(gòu)造函數(shù)1．（2022·全國(guó)·高二）設(shè)函數(shù)，.若對(duì)任何，，恒成立，求的取值范圍______.【答案】14,+∞##k|k≥14因?yàn)閷?duì)任何，，所以對(duì)任何，，所以在上為減函數(shù).，，所以恒成立，即對(duì)恒成立，所以，所以.即的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】恒（能）成立問題求參數(shù)的取值范圍：①參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的最值問題；②不能參變分離，直接對(duì)參數(shù)討論，研究的單調(diào)性及最值；③特別地，個(gè)別情況下恒成立，可轉(zhuǎn)換為（二者在同一處取得最值）.2．（2021·重慶巴蜀中學(xué)高三開學(xué)考試），均有成立，則的取值范圍為___________.【答案】不妨設(shè)，則，由可得，所以，即，所以，令，則，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，所以對(duì)于恒成立，所以對(duì)于恒成立，可得對(duì)于恒成立，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以，故答案為：3．（2021·湖南省邵東市第一中學(xué)高二期中）已知函數(shù)，若為區(qū)間上的任意實(shí)數(shù)，且對(duì)任意，總有成立，則實(shí)數(shù)的最小值為______________．【答案】3由題得，∴，故在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則且，原不等式即為．令，依題意，應(yīng)滿足在上單調(diào)遞減，即在上恒成立．即在上恒成立，令，則（i）若，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，故此時(shí)（ii）若，時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；故此時(shí)∴，故對(duì)于任意，滿足題設(shè)條件的最小值為3．故答案為：34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，．(1)曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，求實(shí)數(shù)的值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)證明：若，則對(duì)任意，，，有．【答案】(1)(2)答案不唯一，具體見解析(3)證明見解析(1)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，在點(diǎn)處的切線斜率為，解得；(2)的定義域?yàn)?，，若即，則，故在單調(diào)遞增．若，而，故，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)及時(shí)，故在單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增．若，即，同理可得在單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增．(3)欲證成立，即證明，設(shè)函數(shù)則，由于，故，即在單調(diào)增加，從而當(dāng)時(shí)有，即，故成立．5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；(2)證明：若，則對(duì)于任意的，，，有．【答案】(1)，(2)證明見解析(1)由題意知，，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不等的正根，即有兩個(gè)不等的正根，所以，解得，所以的取值范圍是，．(2)構(gòu)造函數(shù)，則．由于，，故，即在上單調(diào)遞增，從而當(dāng)時(shí)，有，即，故；當(dāng)時(shí)，同理可證．綜上，對(duì)于任意的，，，有6．（2021·山東·高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的極小值；（2）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）極小值為；（2）.【詳解】（1）因?yàn)?，則.曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，此切線的斜率為，即，解得，則，，由，得，由，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極小值，故的極小值為；（2）對(duì)任意，恒成立等價(jià)于：對(duì)任意，恒成立，設(shè)，則對(duì)任意，，即，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上恒成立，在上恒成立，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.高頻考點(diǎn)二：糅合雙參（比值糅合）1．（2022·貴州·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求a的取值范圍.(2)記兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1，x2，證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.(1)∵∴，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，不合題意，當(dāng)時(shí)，令，得，令，得.所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，.令，即，得，因?yàn)?，所以函?shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，，設(shè)，，易知函數(shù)在上遞減，，即，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn).綜上，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.(2)由（1）知，設(shè)，，由，得，，，.設(shè)，，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，，即當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，則，，即，∴所以，∴.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問題；（3）利用導(dǎo)數(shù)硏究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)硏究.2．（2022·陜西·二模（理））已知函數(shù)．(1)當(dāng)，求函數(shù)在的單調(diào)性；(2)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證：．【答案】(1)單調(diào)遞增(2)證明見解析(1)由題意，函數(shù)，則，又∵，∴，，∴，∴在（0，1）上單調(diào)遞增．(2)根據(jù)題意，，∵，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，∴，．兩式相減，可得，即，∴，則，．令，，則．記，，則．又∵，∴恒成立，∴在上單調(diào)遞增，故，即，即．因?yàn)?，可得，∴．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)雙變量的處理，通過對(duì)，作差，化簡(jiǎn)得到，分別得到后，換元令，這樣就轉(zhuǎn)換為1個(gè)變量，再求導(dǎo)確定單調(diào)性即可求解．3．（2022·寧夏·銀川二中一模（理））已知函數(shù)，.(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，且，證明：.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間(2)證明見解析(1)解：依題意，.令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.(2)證明：要證，即證.依題意，、是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，不妨令，因?yàn)椋?，兩式相加可得，兩式相減可得，消去，整理得，故，令，故只需證明，即證明，設(shè)，故，故在上單調(diào)遞增，從而，因此.故原不等式得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).4．（2022·黑龍江·鶴崗一中高三期末（理））已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，且，證明：.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.(1)函數(shù)定義域?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，在上恒成立，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為②當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，綜上可知：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)依題意，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)椋?，，不等式，，所證不等式即設(shè)，令，則，在上是增函數(shù)，且，所以在上是增函數(shù)，且，即，從而所證不等式成立.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是換元，結(jié)合已知條件可將雙變量轉(zhuǎn)換為單變量問題求解.5．（2022·山西長(zhǎng)治·高二階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(2)若是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：．【答案】(1)；(2)詳見解析(1)，，在上單調(diào)遞減，在上恒成立，即，即在，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值是，所以；(2)若是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即又2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，且，，得，即，所以，不妨設(shè)，則，要證明，只需證明，即證明，即證明，令，，令函數(shù)，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，即，即得【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，以及證明不等式，屬于難題，導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題，往往采用分析法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與不等式的關(guān)系，通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可證明.高頻考點(diǎn)三：糅合雙參（差值糅合）1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，令，則的最小值屬于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，則，，，令，，易知單增，且，，則存在，使，即，，單減；，，單增；又，則，易知在單減，即故選：C2．（2021·內(nèi)蒙古·赤峰二中高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，．其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）若，討論的單調(diào)性；（2）已知，函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，證明：．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）證明見解析．解：（1），，（i）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減；（ii）當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得，函數(shù)在遞減，在遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）證明：，依題意，不妨設(shè)，則，兩式相減得，，因?yàn)椋C，即證，即證，兩邊同除以，即證.令，即證，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，，在上遞減，，即，故．3．（2022·天津?yàn)I海新·高三階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)、，且，求證：.【答案】(1)(2)答案見解析；(3)證明見解析.(1)解：當(dāng)時(shí)，，，則，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.(2)解：當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?.當(dāng)時(shí)，由可得或.（i）當(dāng)時(shí)，，由，可得，由，可得或，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；（ii）當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意的，且不恒為零，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；（iii）當(dāng)時(shí)，，由，可得，由，可得或，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.綜上所述當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.(3)證明：，則，令，則.當(dāng)時(shí)，由可得.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，解得.下面證明不等式，其中，即證，令，即證對(duì)任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，其中，則對(duì)任意的恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，由已知可得，兩式作差可得，則，即，故原不等式得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).高頻考點(diǎn)四：變更主元法在處理導(dǎo)數(shù)試題的過程中，我們經(jīng)常會(huì)遇到涉及兩個(gè)變量的不等式問題，比如一個(gè)變量為，另個(gè)一變量（也可以是參數(shù)）為.在這種情況下，我們潛意識(shí)里總會(huì)把函數(shù)看作是關(guān)于變量的函數(shù)，希望通過利用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)，從而得出結(jié)論.如果說與具有一定的關(guān)聯(lián)，這種思維定勢(shì)會(huì)為我們的解決問題帶來方便.但在絕大多數(shù)情況下，與是沒有關(guān)聯(lián)的，這個(gè)時(shí)候這種思維定勢(shì)就會(huì)給我們的解題帶來障礙.此時(shí)，我們不妨轉(zhuǎn)換一下視角，將字母作為主要未知數(shù)，然后來解決問題.這種選擇主要未知數(shù)（簡(jiǎn)稱主元）的方法，我們稱之為變更主元法.1．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】．解：由題意不等式對(duì)恒成立，可設(shè)，，則是關(guān)于的一次函數(shù)，要使題意成立只需，即，解，即得，解，即得，所以原不等式的解集為，所以的取值范圍是．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足，且的圖象經(jīng)過點(diǎn).（1）求的解析式：（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.【答案】（1）；（2）.（1）設(shè)，則，因?yàn)椋?，得，，又因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，，則，故；（2）設(shè)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立，，即，解得.故的取值范圍是3．（2022·廣東·高州市長(zhǎng)坡中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)的圖象與直線恰有三個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)已知不等式對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)的極大值為，極小值為；(2)(3)(1)的定義域?yàn)镽，，因?yàn)?，所以令得：或，令得：，故在處取得極大值，在處取得極小值，又，，故的極大值為，極小值為；(2)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由（1）可知，要想函數(shù)的圖象與直線恰有三個(gè)交點(diǎn)，則要滿足，解得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍是(3)即，整理得：，因?yàn)椋詫?duì)任意恒成立，令由于，所以，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，故，實(shí)數(shù)的取值范圍是.4、(武漢市2021屆高中畢業(yè)生三月質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求的最小值;(2)證明:當(dāng)時(shí),恒成立.解析(1)時(shí),.設(shè),因?yàn)?所以在單調(diào)遞增.又,故當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.故在處取得最小值.(2)(定主元)設(shè),設(shè),所以在單調(diào)遞椷,.設(shè),所以在單調(diào)遞減,.故時(shí),.即在單調(diào)遞減.故.由(1)知,.故時(shí),,即恒成立.在上述問題(2)中,如果以為主元求解較為繁瑣.此時(shí)重新確定為主元,要證,只要證,即證.只需對(duì)進(jìn)行求導(dǎo),結(jié)合問題(1)的結(jié)論就可以得到,這使得解題過程大大簡(jiǎn)化.高頻考點(diǎn)五：指定主元法1、已知，試比較與的大小，并證明.證明：本題涉及兩個(gè)變量，這里不妨把當(dāng)成常數(shù)，指定為主元，構(gòu)造函數(shù)：，則，所以在上單調(diào)遞增時(shí)，高頻考點(diǎn)六：利用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)單變量1．（2022·安徽合肥·高三期末（文））已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：．【答案】(1)當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．(2)證明見解析(1)定義域?yàn)?，，．∵，，∴?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，即，解得，．所以，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．(2)由（1）知，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，，，．設(shè)，則．∵，∴．設(shè)，易知在單調(diào)遞減，且，∴在恒成立，在區(qū)間單調(diào)遞增，∴，∴．【點(diǎn)睛】對(duì)于多元問題，要結(jié)合題干條件化為單元問題，進(jìn)行解決，本題中要利用韋達(dá)定理化為單元問題.2．（2022·湖南常德·高三期末）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，且（為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，且），求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2).(1)解：由題知，函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，對(duì)任意的，且不恒為零，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，且不恒為零，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)解：由（1）知，當(dāng)時(shí)，有兩極值點(diǎn)、，且，，所以，設(shè)，，其中，所以，，又因?yàn)?，可知，所以在上單調(diào)遞減．∴，即，所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二小問考查的取值范圍，要注意、所滿足的關(guān)系式（即韋達(dá)定理），在化簡(jiǎn)時(shí)，要注意將參數(shù)與變量統(tǒng)一為同一變量，通過構(gòu)造函數(shù)，利用求解函數(shù)值域的方法來求解.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：【答案】(1)答案不唯一，具體見解析(2)證明見解析(1)，設(shè)．，，①當(dāng)時(shí)，，，則，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，，的零點(diǎn)為，，且，令，得，或，令，得，在，上單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增，③當(dāng)時(shí)，，的零點(diǎn)為，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．(2)證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，不妨設(shè)，則，要證：，只要證，只需要證，即證，設(shè)，，設(shè)函數(shù)，，，，，在上單調(diào)遞減，則，又，則，則，從而．【點(diǎn)睛】(1)含參的二次三項(xiàng)式再進(jìn)行分類討論的時(shí)候，如果二次項(xiàng)含參數(shù)，在討論有根無根的情況下要兼顧到開口方向以及兩根大小的比較；(2)如果函數(shù)在求導(dǎo)完以后，是一個(gè)分子上含有二次三項(xiàng)式，不含指數(shù)、對(duì)數(shù)的式子，那么函數(shù)的極值點(diǎn)關(guān)系，可以使用韋達(dá)定理來表示.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，若，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(1)由題意可知，，當(dāng)時(shí)，，則在是單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，即時(shí)，若，即時(shí)，和時(shí)，時(shí)，，綜上，時(shí)，在是單調(diào)遞增；時(shí)，在和遞增，在遞減(2)由題意可設(shè)，是的兩個(gè)根，則（用分別表示出和），整理，得，此時(shí)設(shè)，求導(dǎo)得恒成立，在上單調(diào)遞減，高頻考點(diǎn)七：利用對(duì)數(shù)平均不等式解決雙變量問題當(dāng)，時(shí)，有：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）1、已知函數(shù)，如果，且，證明證：因?yàn)椋矗?，，由?duì)數(shù)平均不等式：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）2、已知函數(shù)的圖象與直線交于不同的兩點(diǎn)，，求證.證明：對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)?，；令，令，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，如圖：又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與直線交于不同的兩點(diǎn)，，所以.由，所以：；，由對(duì)數(shù)平均不等式（當(dāng)，時(shí)，有：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立））得：，且所以.第四部分：高考真題感悟第四部分：高考真題感悟1．（2021·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.(1)的定義域?yàn)椋傻茫?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價(jià)轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因?yàn)?，所以．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對(duì)數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，即又因?yàn)?，所以，即．因?yàn)椋?，即．綜上，有結(jié)論得證．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對(duì)稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識(shí)和技能.方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)是最基本的極值點(diǎn)偏移問題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.2．（2011·湖南·高考真題（文））設(shè)函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)和，記過點(diǎn)的直線的斜率為，問：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）答案見解析：（2）不存在（1）定義域?yàn)?，，令，①?dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，，的兩根都小于零，在上，，故在上單調(diào)遞增，③當(dāng)時(shí)，，的兩根為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知，，因?yàn)?所以,又由（1）知，，于是，若存在，使得，則，即，亦即（）再由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以，這與（）式矛盾，故不存在，使得.第五部分：第07講利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題（精練）第五部分：第07講利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題（精練）一、單選題1．（2021·湖北·宜昌市夷陵中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若，t>0，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C由題意得，，，即，，易得f(x)在(-∞，-1)上單調(diào)遞減，在(-1，+∞)上單調(diào)遞增，又當(dāng)x∈(-∞，0)時(shí)，f(x)<0，x∈(0，+∞)時(shí)，f(x)>0，作函數(shù)的圖象如圖所示.由圖可知，當(dāng)t>0時(shí)，有唯一解，故，且，∴.設(shè)，則，令解得t=e，易得在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，+∞)上單調(diào)遞減，∴，即的最大值為.故選：C.2．（2021·安徽·屯溪一中高二期末（文））已知函數(shù)，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A解：的定義域，，令，則必有兩根，，所以，，，，當(dāng)時(shí)，，遞減，所以的最小值為故選：A.3．（2019·遼寧葫蘆島·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，，若，，，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D因?yàn)?，所以在上為增函?shù)，所以.令，，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，從而.依題意可得，即.故選：D4．（2021·山西運(yùn)城·高三期中（理））已知在函數(shù)，，若對(duì)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B由題意，令，則，恒成立，即恒成立，即令令，即在單調(diào)遞增；令，即在單調(diào)遞減.令令，即在單調(diào)遞增；令，即在單調(diào)遞減；故選：B5．（2021·黑龍江·雙鴨山一中高二階段練習(xí)（理））若對(duì)于任意的，都有，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C解：，，，，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，在上恒成立，由，解得，故的最大值是.故選：C．6．（2021·福建·莆田一中高二期末）已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若對(duì)任意，總存在唯一的，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B等式可化為，，構(gòu)造函數(shù)在單調(diào)遞減，最小值為，最大值為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，，的最小值為，因?yàn)閷?duì)任意，總存在唯一的，使得成立，則，即.故答案為B.二、填空題7．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知實(shí)數(shù)滿足，，則_______．【答案】根據(jù)題意，顯然是正數(shù).由，兩邊取對(duì)數(shù)得，，即，又，即，利用，于是，記，，故在上遞減，由，于是，.故答案為：8．（2021·江蘇·高二單元測(cè)試）已知函數(shù)，當(dāng)，恒成立，則的最大值為___________.【答案】1令，則，，當(dāng)，恒成立，則有，，由得，因?yàn)槿我獾?，都有，所以，，結(jié)合，得.當(dāng)時(shí)，，令，，則，由得，；由得，；所以在上遞減，在上遞增，的最小值為，由，得，對(duì)恒成立.所以，取，有恒成立.綜上可知，的最大值為1.故答案為：1.9．（2019·河南鄭州·高二期中（理））已知函數(shù)，，若，則的最小值為________.【答案】【解析】設(shè)，則．令，則，令g(t)＝，則，∴g(t)，即在上單調(diào)遞增，又，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．∴．故的最小值為．故答案為：.10．（2018·湖南省寧遠(yuǎn)縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））設(shè)，函數(shù)，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______.【答案】因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，即，由函數(shù)，可得，所以在上是增函數(shù)，所以，又由函數(shù)，可得，若時(shí)，可得，所以在上是增函數(shù)，，因?yàn)椋?，所以，解得；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，因?yàn)椋?，此時(shí)恒成立；若時(shí)，可得，單調(diào)遞減，所以，因?yàn)椋矗藭r(shí)恒成立，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.三、解答題11．（2022·河南·汝州市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)若的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，證明：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(1)令，則在上恒成立，所以在，上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立.當(dāng)時(shí)，要證，即證，又，所以只需證，即.令，則.令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故.所以.(2)由題意知，兩式相加得，兩式相減得，即.所以，即.顯然，記，令，則.所以在上單調(diào)遞增，則，所以，則，即.所以，所以，所以，即.令，則時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，故.所以，所以，則，即【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于利用，消去參數(shù)，得到，再通過構(gòu)造函數(shù)及，求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性進(jìn)而證明結(jié)論.12．（2022·新疆烏魯