第05講古典概型、概率的基本性質(zhì)(精講）目錄第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：古典概型題型二：概率基本性質(zhì)的應(yīng)用題型三：古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用第四部分：高考真題感悟第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識點(diǎn)一：古典概型試驗(yàn)具有如下共同特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．我們將具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．知識點(diǎn)二：古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件的概率.其中，和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．知識點(diǎn)三：概率的性質(zhì)1：概率的基本性質(zhì)（性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)5）性質(zhì)1：對任意的事件，都有；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即，；性質(zhì)5：如果，那么，由該性質(zhì)可得，對于任意事件，因?yàn)?，所?2：互斥事件的概率加法公式（性質(zhì)3）性質(zhì)3：如果事件與事件互斥，那么；注意：只有事件與事件互斥，才可以使用性質(zhì)3，否則不能使用該加法公式.3：對立事件的概率（性質(zhì)4）性質(zhì)4：如果事件與事件互為對立事件，那么，；4：概率的一般加法公式（性質(zhì)6）性質(zhì)6：設(shè)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有第二部分：課前自我評估測試第二部分：課前自我評估測試1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在，，，，路公共汽車都要停靠的一個(gè)站（假定這個(gè)站只能停靠一輛汽車），有一位乘客等候路或路汽車．假定當(dāng)時(shí)各路汽車首先到站的可能性都相等，則首先到站正好是這位乘客所要乘的汽車的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，樣本點(diǎn)分別是1，3，4，5，8路公共汽車首先到站，顯然共有5個(gè)，而這位乘客所要乘的汽車有4路和8路兩路，故所求概率．故選：D2．（2022·安徽滁州·高二期末）近幾年江蘇衛(wèi)視綜藝節(jié)目最強(qiáng)大腦收視火熱，其中在一次游戲比賽中，兩位選手要從人臉識別、聲音識別、數(shù)字華容道、排序算法、俄羅斯方塊、掃雷、九宮圖、沖出迷宮、數(shù)獨(dú)這種游戲中選擇一種作為自己的游戲項(xiàng)目，則兩位選手選擇不同游戲項(xiàng)目的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意得，兩位選手選擇不同游戲項(xiàng)目的概率是．故選：C．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為，和棋的概率為，則乙獲勝的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】記“甲獲勝”為事件，“和棋”為事件，“乙獲勝”為事件，則，，所以．故選：D4．（2022·福建廈門·高一期末）已知，，，則（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1【答案】B【詳解】解：因?yàn)椋?，則，所以事件與事件不相互獨(dú)立，．故選：B5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個(gè)，其中標(biāo)號為的小球個(gè)，標(biāo)號為的小球個(gè)，標(biāo)號為的小球個(gè)．已知從袋子中隨機(jī)抽取個(gè)小球，取到標(biāo)號是的小球的概率是，則的值為____________．【答案】【詳解】由題意可知，解得．故答案為：2.6．（2022·河北承德·高一階段練習(xí)）對于一個(gè)古典概型的樣本空間和事件A，B，其中，，則___________.【答案】【詳解】由題意得：，所以.故答案為：第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：古典概型典型例題例題1．（2022·全國·高一單元測試）已知某運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為80%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射擊4次，至少擊中3次的概率.先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1表示沒有擊中目標(biāo)，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標(biāo)，以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次，至少擊中3次的概率為（

）A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75【答案】D【詳解】在20組隨機(jī)數(shù)中含中的數(shù)至少3個(gè)（含3個(gè)或4個(gè)），共有15組，即模擬結(jié)果中射擊4次，至少擊中3次的頻率為.據(jù)此估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次，至少擊中3次的概率為0.75.故選：D例題2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）奧林匹克標(biāo)志由5個(gè)奧林匹克環(huán)套接組成，五環(huán)象征五大洲的團(tuán)結(jié)以及全世界的運(yùn)動(dòng)員以公正、坦率的比賽和友好的精神在奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)上相見．如圖，5個(gè)奧林匹克環(huán)共有8個(gè)交點(diǎn)，從中任取3個(gè)點(diǎn)，則這3個(gè)點(diǎn)恰好位于同1個(gè)奧林匹克環(huán)上的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】從8個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，共有種情況，這3個(gè)點(diǎn)恰好位于同1個(gè)奧林匹克環(huán)上有種情況，故所求的概率．故選：A．例題3．（2022·貴州銅仁·高二期末（文））2022年全球文化創(chuàng)意產(chǎn)業(yè)合作與發(fā)展國際會(huì)議將于12月在上海舉行，上海交大兩位教授分別在“數(shù)字治理與城市文旅”“文創(chuàng)倫理與法規(guī)”“數(shù)字孿生與文化品牌”“數(shù)智文創(chuàng)與用戶行為研究”四個(gè)選題中選擇兩個(gè)提交提案，則他們選擇的不完全相同但都選擇了“文創(chuàng)倫理與法規(guī)”的概率是____________．【答案】【詳解】由題意，一人從4個(gè)選題中選擇2個(gè)選題，共種情況，故二人選擇共有種組合情況，其中滿足條件的有種，故他們選擇的不完全相同但都選擇了“文創(chuàng)倫理與法規(guī)”的概率是故答案為：例題4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）某校要從藝術(shù)節(jié)活動(dòng)中所產(chǎn)生的名書法比賽一等獎(jiǎng)的同學(xué)和名繪畫比賽一等獎(jiǎng)的同學(xué)中（每名同學(xué)只獲得一個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)）選出名志愿者，參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的服務(wù)工作．求：(1)選出的名志愿者都是獲得書法比賽一等獎(jiǎng)的同學(xué)的概率；(2)選出的名志愿者中，名是獲得書法比賽一等獎(jiǎng)，名是獲得繪畫比賽一等獎(jiǎng)的同學(xué)的概率．【答案】(1)(2)（1）把4名獲得書法比賽一等獎(jiǎng)的同學(xué)編號為1，2，3，4；2名獲得繪畫比賽一等獎(jiǎng)的同學(xué)編號為5，6．從6名同學(xué)中任選2名的所有可能結(jié)果有，共15個(gè)．從6名同學(xué)中任選2名，都是獲得書法比賽一等獎(jiǎng)的同學(xué)的所有可能結(jié)果有，共6個(gè)．所以選出的2名志愿者都是獲得書法比賽一等獎(jiǎng)的同學(xué)的概率．（2）從6名同學(xué)中任選2名，1名是獲得書法比賽一等獎(jiǎng)，另1名是獲得繪畫比賽一等獎(jiǎng)的同學(xué)的所有可能結(jié)果有，共8個(gè)．所以選出的2名志愿者中，1名是獲得書法比賽一等獎(jiǎng)，1名是獲得繪畫比賽一等獎(jiǎng)的同學(xué)的概率．例題5．（2022·全國·高一單元測試）某市于2022年舉行第一屆高中數(shù)學(xué)競賽，競賽結(jié)束后，為了了解該次競賽的成績情況，從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取1000名學(xué)生，得到他們的成績，將數(shù)據(jù)整理后分成五組：，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)請補(bǔ)全頻率分布直方圖并估計(jì)這1000名學(xué)生的平均成績；(2)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這1000名學(xué)生中抽取容量為40的樣本，再從該樣本中成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行問卷調(diào)查，求至少有1名學(xué)生成績不低于90分的概率；【答案】(1)頻率分布直方圖答案見解析，（分）(2)（1）成績落在的頻率為，補(bǔ)全的頻率分布直方圖如圖：這1000名學(xué)生的平均成績約為（分）.（2）抽取的40名學(xué)生中，成績在內(nèi)的有（人），分別記為，，，，成績在內(nèi)的有（人），分別記為，，從這6人中隨機(jī)抽取2人的樣本空間.共有15個(gè)樣本點(diǎn)，記事件“至少有1名學(xué)生成績不低于90分”，則，共有9個(gè)樣本點(diǎn).故所求概率為.同類題型歸類練1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們“向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過”的概率記為，“向上的點(diǎn)數(shù)之和大于”的概率記為，“向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”的概率記為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】把隨機(jī)擲兩枚骰子的所有可能結(jié)果列表如下：共有36種等可能的結(jié)果，其中“向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5”的有10種情況，“向上的點(diǎn)數(shù)之和大于5”的有26種情況，“向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”的有18種情況，所以“向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5”的概率，“向上的點(diǎn)數(shù)之和大于5”的概率，“向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”的概率．因?yàn)?，所以，故選：C．2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）為防控新冠疫情，很多公共場所要求進(jìn)人的人必須佩戴口罩．現(xiàn)有人在一次外出時(shí)需要從藍(lán)、白、紅、黑、綠種顏色各只的口罩中隨機(jī)選只不同顏色的口罩，則藍(lán)、白口罩同時(shí)被選中的概率為____________．【答案】##【詳解】從藍(lán)、白、紅、黑、綠5種顏色各1只的口罩中選3只不同顏色的口罩，樣本點(diǎn)列舉如下：（藍(lán)，白，紅），（藍(lán)，白，黑），（藍(lán)，白，綠），（藍(lán)，紅，黑），（藍(lán)，紅，綠），（藍(lán)，黑，綠），（白，紅，黑），（白，紅，綠），（白，黑，綠），（紅，黑，綠），共有10個(gè)樣本點(diǎn)，其中藍(lán)、白色口罩同時(shí)被選中的樣本點(diǎn)有（藍(lán)，白，紅），（藍(lán)，白，黑），（藍(lán)，白，綠），共3個(gè)樣本點(diǎn)，所以藍(lán)、白色口罩同時(shí)被選中的概率為．故答案為：．3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）某人計(jì)劃從3個(gè)亞洲國家和3個(gè)歐洲國家中選擇2個(gè)國家去旅游．若他從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個(gè)，則這2個(gè)國家包括A，但不包括B，的概率為_______．【答案】【詳解】從3個(gè)亞洲國家和3個(gè)歐洲國家中各任選1個(gè)，所有樣本點(diǎn)為：，共9種．其中包括但不包括的事件所包含的樣本點(diǎn)有：，共2種，所以所求事件的概率.故答案為：.4．（2022·陜西西安·高一期末）某校近幾年加大了對學(xué)生手工技能的培訓(xùn)，為了增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手意識和動(dòng)手能力，今年5月，該校進(jìn)行一次手工技能比賽，從參加比賽的學(xué)生中，選取50名學(xué)生將其成績（百分制，均為整數(shù)）分成六組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)比賽成績不低于71分的人數(shù)所占的百分比；(2)已知學(xué)生成績評定等級有優(yōu)秀?良好?一般三個(gè)等級，其中成績不小于90分時(shí)為優(yōu)秀，若從第5組和第6組兩組學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成績優(yōu)秀的概率.【答案】(1)(2)（1）前3組頻率之和為，70-71分頻率為.低于71分的頻率之和為，則不低于71分的頻率為，故比賽成績不低于71分的人數(shù)所占的百分比約為.（2）第五組與第六組學(xué)生總?cè)藬?shù)為，其中第五組有4人，記為，第六組有3人，記為，從中隨機(jī)抽取2人的情況有共有21種，其中至少1人成績優(yōu)秀的情況有共15種，抽取的2人中至少1人成績優(yōu)秀的概率為.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）十三屆全國人大四次會(huì)議表決通過了關(guān)于“十四五”規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要的決議，綱要指出：“加強(qiáng)原創(chuàng)性引領(lǐng)性科技攻關(guān)”.某企業(yè)集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技術(shù)，該企業(yè)使用新技術(shù)對某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn)，該款芯片的性能以某項(xiàng)指標(biāo)值為衡量標(biāo)準(zhǔn)，性能指標(biāo)的等級劃分如表：性能指標(biāo)值k等級ABCDE為了解該款芯片的生產(chǎn)效益，該企業(yè)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽樣并測量了每件產(chǎn)品的指標(biāo)值，若以組距為5畫頻率分布直方圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)Y（設(shè)“”）滿足：，，.(1)試確定n的所有取值，并求a；(2)從樣本性能指標(biāo)值不小于85的產(chǎn)品中采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5件產(chǎn)品，求樣本中A等級產(chǎn)品與B等級產(chǎn)品的件數(shù).然后從這5件產(chǎn)品中一次性隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，并求出2件都是A等級的概率.【答案】(1)n的取值集合為，(2)A等級產(chǎn)品的件數(shù)為4，B等級產(chǎn)品的件數(shù)為1，概率為（1）根據(jù)題意，，按組距為5可分成6個(gè)區(qū)間，分別是，，，，，，因?yàn)?，且，，所以n的取值集合為.每個(gè)小區(qū)間對應(yīng)的頻率值為.所以，解得.（2）A等級產(chǎn)品的頻率為.B等級產(chǎn)品的頻率為，所以A等級產(chǎn)品和B等級產(chǎn)品的頻率之比為，所以從樣本性能指標(biāo)值不小于85的產(chǎn)品中采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5件產(chǎn)品，A等級產(chǎn)品的件數(shù)為4，分別記為，，，，B等級產(chǎn)品的件數(shù)為1，記為b.從這5件產(chǎn)品中任意抽取2件產(chǎn)品，所有的可能情況有，，，，，，，，，，共10種.事件“抽取的2件產(chǎn)品都是A等級”包含的可能情況有，，，，，，共6種，故所求概率為.題型二：概率基本性質(zhì)的應(yīng)用典型例題例題1．（2022·浙江·太湖高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知事件相互獨(dú)立，，則（

）A．0.58 B．0.9 C．0.7 D．0.72【答案】A【詳解】由題意故故選：A例題2．（2022·全國·高一）下列四個(gè)命題：①對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件；②若為兩個(gè)事件，則；③若事件兩兩互斥；④若滿足且，則是對立事件.其中錯(cuò)誤的命題個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】對于①：對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件；故①正確；對于②：若為兩個(gè)事件，則；故②不正確；對于③：若事件兩兩互斥，若，則，故③不正確；對于④：對于幾何概型而言，若事件滿足，，則不一定是對立事件，故④錯(cuò)誤.所以錯(cuò)誤的命題有個(gè)，故選：D例題3．（2022·全國·高二）若隨機(jī)事件互斥，發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【詳解】由題意，，即，解得．故答案為：例題4．（2022·湖南·長沙縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）從1~30這30個(gè)整數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)，設(shè)事件表示選到的數(shù)能被2整除，事件表示選到的數(shù)能被3整除．求下列事件的概率：(1)這個(gè)數(shù)既能被2整除也能被3整除；(2)這個(gè)數(shù)能被2整除或能被3整除；(3)這個(gè)數(shù)既不能被2整除也不能被3整除．【答案】(1)(2)(3)(1)1~30這30個(gè)整數(shù)中既能被2整除也能被3整除的有5個(gè)，∴；(2)1~30這30個(gè)整數(shù)中能被2整除的有15個(gè)，能被3整除的有10個(gè)，所以，，；(3)由于事件“這個(gè)數(shù)既不能被2整除也不能被3整除”與事件“這個(gè)數(shù)能被2整除或能被3整除”互為對立事件，則．同類題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“向上的點(diǎn)數(shù)不超過3”，則P(A∪B)=（

）A． B． C． D．1【答案】B【詳解】A包含向上的點(diǎn)數(shù)是1，3，5的情況，B包含向上的點(diǎn)數(shù)是1，2，3的情況，所以A∪B包含了向上的點(diǎn)數(shù)是1，2，3，5的情況.故P(A∪B)=.故選：B．2.（2022·湖南·長沙一中高一階段練習(xí)）假設(shè)，且事件A與B相互獨(dú)立，則________.【答案】##【詳解】，則.故答案為：0.8.3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）某班要選一名學(xué)生做代表，每個(gè)學(xué)生當(dāng)選是等可能的，若“選出代表是男生”的概率是“選出代表是女生”的概率的，則這個(gè)班的女生人數(shù)占全班人數(shù)的百分比是_____．【答案】75%【詳解】設(shè)“選出代表是女生”的概率為,則“選出代表是男生”的概率為,因?yàn)?所以,所以這個(gè)班的女生人數(shù)占全班人數(shù)的百分比為,故答案為:4．（2022·全國·高一學(xué)業(yè)考試）從甲地到乙地沿某條公路行駛一共200公里，遇到紅燈個(gè)數(shù)的概率如下表所示：紅燈個(gè)數(shù)0123456個(gè)及6個(gè)以上概率0.020.10.350.20.10.03(1)求表中字母的值；(2)求至少遇到4個(gè)紅燈的概率；(3)求至多遇到5個(gè)紅燈的概率.【答案】(1)0.2；(2)0.33；(3)0.97.【詳解】(1)由題意可得，解得.(2)設(shè)事件為遇到紅燈的個(gè)數(shù)為4，事件為遇到紅燈的個(gè)數(shù)為5，事件為遇到紅燈的個(gè)數(shù)為6個(gè)及以上，則事件“至少遇到4個(gè)紅燈”為，因?yàn)槭录コ?，所以，即至少遇?個(gè)紅燈的概率為0.33.(3)設(shè)事件為遇到6個(gè)及6個(gè)以上紅燈，則至多遇到5個(gè)紅燈為事件.則.題型三：古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用典型例題例題1．（2022·全國·高一單元測試）某商場舉行購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)箱中放有編號分別為1，2，3，4，5的五個(gè)小球.小球除編號不同外，其余均相同.活動(dòng)規(guī)則如下：從抽獎(jiǎng)箱中隨機(jī)抽取一球，若抽到的小球編號為3，則獲得獎(jiǎng)金100元；若抽到的小球編號為偶數(shù)，則獲得獎(jiǎng)金50元；若抽到其余編號的小球，則不中獎(jiǎng).現(xiàn)某顧客依次有放回地抽獎(jiǎng)兩次，則該顧客兩次抽獎(jiǎng)后獲得獎(jiǎng)金之和為100元的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意得，該顧客有放回地抽獎(jiǎng)兩次的樣本空間，共25個(gè)樣本點(diǎn).兩次抽獎(jiǎng)獎(jiǎng)金之和為100元包括三種情況：①第一次獎(jiǎng)金為100元，第二次沒有中獎(jiǎng)，其包含的情況為，，概率為；②第一次沒中獎(jiǎng)，第二次獎(jiǎng)金為100元，其包含的情況為，，概率為；③兩次各獲獎(jiǎng)金50元，包含的情況有，，，，概率為.根據(jù)互斥事件的加法公式得該顧客兩次抽獎(jiǎng)后獲得獎(jiǎng)金之和為100元的概率為.故選：D.例題2．（2022·江蘇·常州市第一中學(xué)高二期中）第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省張家口市舉行．現(xiàn)要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國家高山滑雪館、國家速滑館、首鋼滑雪大跳臺三個(gè)場館參加活動(dòng)，要求每個(gè)場館都有人去，且這四人都在這三個(gè)場館，則甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的概率為__________．【答案】【詳解】由題可知安排甲、乙、丙、丁四名志愿者三個(gè)場館參加活動(dòng)，要求每個(gè)場館都有人去，且這四人都在這三個(gè)場館，共有種，其中甲和乙都沒去首鋼滑雪大跳臺，有兩類辦法：若有兩個(gè)人去首鋼滑雪大跳臺，則肯定是丙、丁，即甲、乙分別去國家高山滑雪館與國家速滑館，有種；若有一個(gè)人去首鋼滑雪大跳臺，從丙、丁中選，有種，然后剩下的一個(gè)人和甲、乙被安排去國家高山滑雪館與國家速滑館，有種，則共有種，綜上可得，甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數(shù)為；所以甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的概率為.故答案為：.例題3．（2022·福建·福州四中高一期末）某區(qū)政府組織了以“不忘初心，牢記使命”為主題的教育活動(dòng)，為統(tǒng)計(jì)全區(qū)黨員干部一周參與主題教育活動(dòng)的時(shí)間，從全區(qū)的黨員干部中隨機(jī)抽取200名，獲得了他們一周參與主題教育活動(dòng)時(shí)間（單位：）的頻率分布直方圖如圖所示，(1)以每組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值作為本組的代表，估算這些黨員干部參與主題教育活動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）.(2)如果計(jì)劃對參與主題教育活動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的黨員干部給予獎(jiǎng)勵(lì)，且在，內(nèi)的分別評為二等獎(jiǎng)和一等獎(jiǎng)，那么按照分層抽樣的方法從獲得一?二等獎(jiǎng)的黨員干部中選取5人參加社區(qū)義務(wù)宣講活動(dòng)，再從這5人中隨機(jī)抽取2人作為主宣講人，求這2人均是二等獎(jiǎng)的概率.（需寫出該事件的樣本空間）【答案】(1)(2)（1）由已知可得，．設(shè)中位數(shù)為，因?yàn)?，，?則，得．（2）按照分層抽樣的方法從內(nèi)選取的人數(shù)為，從內(nèi)選取的人數(shù)為．記二等獎(jiǎng)的4人分別為，，，，一等獎(jiǎng)的1人為，事件為“從這5人中抽取2人作為主宣講人，且這2人均是二等獎(jiǎng)”．從這5人中隨機(jī)抽取2人的基本事件為，，，，，，，，，，共10種，其中2人均是二等獎(jiǎng)的情況有，，，，，，共6種，由古典概型的概率計(jì)算公式得．例題4．（2022·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高一期末）某校高一年級500名學(xué)生全部參加了體育達(dá)標(biāo)測試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測試成績，整理并按分?jǐn)?shù)段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則得到體育成績的折線圖如圖：(1)估計(jì)該校高一年級中體育成績大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)；(2)現(xiàn)從體育成績在[60,70)和[80,90)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求2人體育成績都在[80,90)的概率.【答案】(1)(2)（1）根據(jù)折線圖可以得到體育成績大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)為，所以該校高一年級中體育成績大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)估計(jì)為：.（2）體育成績在[60,70)和[80,90)的人數(shù)分別為2、3，分別記為,若隨機(jī)抽取2人，則所有的基本事件為：，故基本事件的總數(shù)為10,其中2人體育成績都在[80,90)的基本事件的個(gè)數(shù)有共3個(gè)，設(shè)A為：“2人體育成績都在[80,90)”，則.同類題型歸類練1．（2022·江西·豐城九中高二期末（理））2022年北京冬奧會(huì)的順利召開，引起了大家對冰雪運(yùn)動(dòng)的關(guān)注．若A，B，C，D，E五人可在自由式滑雪、花樣滑冰和跳臺滑雪這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中任選一項(xiàng)進(jìn)行體驗(yàn)，則每項(xiàng)運(yùn)動(dòng)至少有一人參加的概率（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】5人在自由式滑雪、花樣滑冰和跳臺滑雪這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中任選一項(xiàng)共有種；每項(xiàng)運(yùn)動(dòng)至少有一人參加可分為：自由式滑雪3人、花樣滑冰1人、跳臺滑雪1人，此時(shí)有種;自由式滑雪2人、花樣滑冰2人、跳臺滑雪1人，此時(shí)有種;自由式滑雪2人、花樣滑冰1人、跳臺滑雪2人，此時(shí)有種;自由式滑雪1人、花樣滑冰3人、跳臺滑雪1人，此時(shí)有種;自由式滑雪1人、花樣滑冰2人、跳臺滑雪2人，此時(shí)有種;自由式滑雪1人、花樣滑冰1人、跳臺滑雪3人，此時(shí)有種;共有種.則每項(xiàng)運(yùn)動(dòng)至少有一人參加的概率為.故選：C.2．（2022·河北保定·高二階段練習(xí)）哥德巴赫猜想是指“每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，例如，，在不超過32的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)數(shù)，其和等于32的概率為___________.【答案】【詳解】由題意可知，不超過32的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共11個(gè)，在不超過32的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)數(shù)，基本事件總數(shù)為個(gè)，其和等于32包含的基本事件有，，共個(gè)，所以其和等于32的概率為.故答案為：.3．（2022·全國·高一單元測試）在①高一或高二學(xué)生的概率為；②高二或高三學(xué)生的概率為；③高三學(xué)生的概率為這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答.已知某高中的高一有學(xué)生600人，高二有學(xué)生500人，高三有學(xué)生a人，若從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到___________.(1)求a的值；(2)若按照高一和高三學(xué)生人數(shù)的比例情況，從高一和高三的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人是高三學(xué)生的概率.【答案】(1)300(2)（1）選①.依題意，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到高一或高二學(xué)生的概率為，解得，所以a的值為300.選②.依題意，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到高一或高三學(xué)生的概率為，解得，所以a的值為300.選③.依題意，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到高三學(xué)生的概率為，解得，所以a的值為300.（2）第一步：求出抽取的6人中高一?高三學(xué)生的人數(shù)由（1）知，高一?高三學(xué)生人數(shù)比為2：1，所以抽取的6人中，高一有4人，高三有2人.第二步：列出從抽取的6人中任取2人的所有情況高一的4人記為a，b，c，d，高三的2人記為A，B，則從這6人中任取2人的所有情況為{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，A}，{a，B}，{b，c}，{b，d}，{b，A}，{b，B}，{c，d}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共15種.第三步：列出至少有1人是高三學(xué)生的情況抽取的2人中至少有1人是高三學(xué)生的情況有{a，A}，{a，B}，{b，A}，{b，B}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共9種.第四步：根據(jù)古典概型的概率公式得解至少有1人是高三學(xué)生的概率為.4．（2022·河南省葉縣高級中學(xué)高三階段練習(xí)（文））某新能源汽車制造公司，為鼓勵(lì)消費(fèi)者購買其生產(chǎn)的新能源汽車，約定從今年元月開始，凡購買一輛該品牌汽車，在行駛?cè)旰?，公司將給予適當(dāng)金額的購車補(bǔ)貼．某調(diào)研機(jī)構(gòu)對已購買該品牌汽車的消費(fèi)者，就購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得其樣本頻率分布直方圖如圖所示．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)估計(jì)已購買該品牌汽車的消費(fèi)群體對購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù)；（精確到0.01）(3)現(xiàn)在要從購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在間用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查，求抽到2人中購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在間的概率．【答案】(1)；(2)平均數(shù)的估計(jì)值