條件概率與全概率公式1條件概率①定義一般地，設A,B為兩個事件,且P(A)>0,稱P(B|A)=P(AB)P(A)為在事件A發(fā)生的條件下,事件BPS(1)求“事件A已發(fā)生，事件B發(fā)生的概率”，可理解：如圖，事件A已發(fā)生，則A為樣本空間，此時事件B發(fā)生的概率是AB包含的樣本點數(shù)與A包含的樣本點數(shù)的比值，即P(B|A)=(通俗些理解，條件概率只是縮小了樣本空間，P(B|A)就是以A為樣本空間計算AB的概率)Eg:某地7月份吹南風(事件A)的概率是13，下雨(事件B)的概率是14，即吹南風又下雨的概率是15，那在吹南風的條件下下雨的概率是PBA(2)當P(A)>0時，當且僅當事件A與B相互獨立時，有P(B|A)=P(B)；②概率的乘法公式對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則P設P(A)>0，則(1)PΩ(2)如果B和C互斥，那么P[(B∪C)|A]=P(B|A)+P(C|A)；(3)設B和B互為對立事件，則P(B2全概率公式一般地，設A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件，AP我們稱它為全概率公式.貝葉斯公式：設A且P【題型一】求條件概率【典題1】某校從學生文藝部6名成員(4男2女)中，挑選2人參加學校舉辦的文藝匯演活動．(1)求男生甲被選中的概率；(2)在已知男生甲被選中的條件下，女生乙被選中的概率；(3)在要求被選中的兩人中必須一男一女的條件下，求女生乙被選中的概率．【解析】(1)從6名成員中挑選2名成員，共有C62=15種情況，記“男生甲被選中”為事件A，事件A所包含的基本事件數(shù)為5種，故P(A)=1(2)記“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，則P(AB)=1由(1)知P(A)=13，故(3)記“挑選的2人一男一女”為事件C，則PC“女生乙被選中”為事件B，P(BC)=C41C【點撥】①第一問是古典概型；②第二、問是條件概率P(B|A)=P(AB)【典題2】已知箱中共有6個球，其中紅球、黃球、藍球各2個．每次從該箱中取1個球(有放回，每球取到的機會均等)，共取三次．設事件A：“第一次取到的球和第二次取到的球顏色相同”，事件B：“三次取到的球顏色都相同”，則P(B|A)=（）A．16 B．13 C．23 【解析】方法一由題意P(AB)=則P(B|A)=PAB方法二P(B|A)=(事件A分為①第一，二次摸球同色，與第三次球不同色，②三次顏色一樣)點評：求條件概率，可以使用P(B|A)=nABnA)或鞏固練習1(★)[多選題]下列說法有可能成立的是()A．P(B|A)<P(AB) B．P(B)=P(A)P(B|A) C．P(AB)=P(A)?P(B) D．P(A|B)=P(B|A)【答案】BCD【解析】根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，P(B|A)=P(AB)P(A)，變形可得P(AB)=P(B|A)P(而P(A)≤1，則P(B|A)≥P(AB)，A錯誤，對于B，P(B|A)=P(AB)P(A)，變形可得P(AB)=P(B|A)P(當P(A)=1時，有P(B)=P(A)P(B|A)，B正確，對于C，當A、B是相互獨立事件時，P(AB)=P(A)?P(B)，C正確，對于D，當A、B是互斥事件時，P(A|B)=P(B|A)=0，D正確，故選：BCD．2(★)某種疾病的患病率為0.5%，已知在患該種疾病的條件下血檢呈陽性的概率為99%，則患該種疾病且血檢呈陽性的概率為()A．0.495% B．0.9405% C．0.9995% D．0.99%【答案】A【解析】設事件A表示“患某種疾病”，設事件B表示“血檢呈陽性”，則P(A)=0.5%，P(B|A)=99%，∴患該種疾病且血檢呈陽性的概率為：P(AB)=0.5%×99%=0.495%．故選：A．3(★)將四顆骰子各擲一次，記事件A=“四個點數(shù)互不相同”，B=“至少出現(xiàn)一個5點”，則概率P(B|A)等于()A．23 B．16 C．60671【答案】A【解析】根據(jù)題意，記事件A=“四個點數(shù)互不相同”，B=“至少出現(xiàn)一個5點”，則P(AB)=4?A536×6×6×6則P(B|A)=故選：A．4(★★)袋中有10個大小、材質(zhì)都相同的小球，其中紅球3個，白球7個．每次從袋中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回．求：(1)第一次摸到紅球的概率；(2)在第一次摸到紅球的條件下，第二次也摸到紅球的概率；(3)第二次摸到紅球的概率．【答案】（1）310（2）29（3【解析】根據(jù)題意，設事件A：第一次摸到紅球；事件B：第二次摸到紅球，則事件A：第一次摸到白球．(Ⅰ)袋中有10個球，第一次從10個球中摸一個共10種不同的結(jié)果，其中是紅球的結(jié)果共3種，所以P(A)=310(Ⅱ)由(Ⅰ)的結(jié)論，P(A)=310，前兩次都摸到紅球的概率P(AB則P(B|A)=P(AB)(Ⅲ)P(A)=310，則P(A)=1﹣P(A)=7則P(B)=P(AB)+P(AB)=所以第二次摸到紅球的概率P(B)=3【題型二】全概率公式、貝葉斯公式的運用【典題1】(1)在12件產(chǎn)品中有4件次品，在先取1件的情況下，求任取2件產(chǎn)品皆為正品的概率.(2)在12件產(chǎn)品中有4件次品，在先取1件的情況下，任取2件產(chǎn)品皆為正品，求先取1件為次品的概率.【解析】令A={先取的1件是次品}，PA=1令B={后取的2件皆為正品}，則PBA(1)由全概率公式得PB(2)由貝葉斯公式得PA點評①若隨機試驗可以看成分兩個階段進行，且第一階段的各試驗結(jié)果具體結(jié)果未知，那么：(1)如果要求的是第二階段某一個結(jié)果發(fā)生的概率，則用全概率公式；(2)如果第二個階段的某一個結(jié)果是已知的，要求的是此結(jié)果為第一階段某一個結(jié)果所引起的概率，一般用貝葉斯公式，類似于求條件概率.?熟記這個特征，在遇到相關的題目時，可以準確地選擇方法進行計算，保證解題的正確高效.②本試驗視為分成兩個階段，第一階段是“先取1件”，結(jié)果未知；第二階段是“在剩下的11件中再取2件”，結(jié)果已知：都是正品.求“任取2件產(chǎn)品皆為正品的概率”，用全概率公式；求第一階段中“先取1件為次品的概率”，用貝葉斯公式.【典題2】用一門大炮對某目標進行三次獨立射擊,??第一、二、三次的命中率分別為0.4、0.5、0.7,?若命中此目標一、二、三彈,?該目標被摧毀的概率分別為0.2、0.6和0.8,??試求此目標被摧毀的概率.【解析】設事件Ai={第i次命中目標}(i=1,2,3)，事件B事件C={目標被摧毀}，依題意得PP由由于三次射擊時相互獨立的，所以PBPPPB由全概率公式可得PC【典題3】近年來，我國外賣業(yè)發(fā)展迅猛，外賣小哥穿梭在城市的大街小巷成為一道道亮麗的風景線．他們根據(jù)外賣平臺提供的信息到外賣店取單．某外賣小哥每天來往于r個外賣店(外賣店的編號分別為1,2,……,r，其中r≥3)，約定：每天他首先從1號外賣店取單，叫做第1次取單，之后，他等可能的前往其余r﹣1個外賣店中的任何一個店取單叫做第2次取單，依此類推．假設從第2次取單開始，他每次都是從上次取單的店之外的r﹣1個外賣店取單．設事件Ak={第k次取單恰好是從1號店取單}，P(Ak)是事件Ak發(fā)生的概率，顯然P(A1【解析】由于約定外賣小哥“首先從1號外賣店取單”，所以肯定有P(A根據(jù)“游戲規(guī)則”，第二次取單肯定不會1號店了，故P(A第二次是1號外的一家店取單，那第三次在剩下的r-1家店中隨機得到1號店取單的概率當然是1r-1，即第k+1次是否“從1號店取單”，取決于第kP=1-PA=[1-P(Ak(PAk+1Ak=1r-1在第k次不是從1號店取單條件下第k+1次從1號店取單的概率為1r-1，PAk+1故答案為：1r-1；P(鞏固練習1(★★)從1,?2,?3,…,?15中,甲、乙兩人各任取一數(shù)(不重復),已知甲取到的數(shù)是5的倍數(shù),求甲數(shù)大于乙數(shù)的概率.【答案】9【解析】設事件A={甲取到的數(shù)比乙的大},B={甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)}，則顯然所要求的概率為PAPB=3∴PAB2(★★)從數(shù)字1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為x，再從1,…,x中任取一個數(shù)，記為y，則Py=2=【答案】13【解析】由離散型隨機變量的概率分布有Px=1由題意得Py=2|x=1=0，Py=2|x=2Py=2|x=4則根據(jù)全概率公式得到Py=23(★★)盒中有a個紅球，b個黑球，今隨機地從中取出一個，觀察其顏色后放回，并加上同色球c個，再從盒中第二次抽取一球，第二次抽出的是黑球的概率為.【答案】b【解析】設A={第一次抽出的是黑球}，B={第二次抽出的是黑球}，由題意得PA=有分解B=AB∪A由全概率公式得 PB=P4(★★)設某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2:1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，該汽車是貨車的概率為.【答案】0.8【解析】設B={中途停車修理}，A1={經(jīng)過的是貨車}，A2={經(jīng)過的是客車PA15(★★)有三個同樣的箱子，甲箱中有2只紅球，6只白球，乙箱中有6只紅球，4只白球，丙箱中有3只紅球，5只白球．(1)隨機從甲、乙、丙三個箱子中各取一球，求三球都為紅球的概率；(2)從甲，乙、丙中隨機取一箱，再從該箱中任取一球，求該球為紅球的概率．【答案】（1）9160（2）【解析】(1)根據(jù)題意，記事件A1：從甲箱中取一球為紅球，事件A2：從乙箱中取一球為紅球，事件A3：從丙箱中取一球為紅球，記事件B：取得的三球都為紅球，且事件A1，A2，A3相互獨立，所以P(B)=P(A所以三球都為紅球的概率為9160．(2)記事件C：該球為紅球，事件D1：取甲箱，事件D2：取乙箱，事件D3：取丙箱因為P(C|D所以P(C)=P(D1)?P(C|D1)+P(D2)?P(C|D2)+P(D3)?P(C|D3)=所以該球為紅球的概率為49120．6(★★★)袋中裝有8只紅球?,?2只黑球,每次從中任取一球,?不放回地連續(xù)取兩次,?求下列