2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽問(wèn)題解決試卷一試（80分鐘滿分120分）一、填空題（共8小題，每題8分，滿分64分）已知集合(A={x\midx^2-5x+6\leq0})，(B={x\mid\log_2(x-1)<2})，則(A\capB=)__________。函數(shù)(f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx)在區(qū)間([0,\frac{\pi}{2}])上的最大值為_(kāi)_________。已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_1=2)，(S_3=14)，則公比(q=)__________。若復(fù)數(shù)(z)滿足(|z-2i|=1)，則(|z+1|)的最小值為_(kāi)_________。某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為_(kāi)_________(\text{cm}^3)。（注：此處默認(rèn)考生能根據(jù)常見(jiàn)三視圖還原幾何體，例如一個(gè)底面半徑為1、高為3的圓柱與一個(gè)同底等高的圓錐組合體）從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)建模比賽，要求至少有1名女生，不同的選法共有__________種。已知拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過(guò)點(diǎn)(F)的直線交拋物線于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AF|=3)，則(|BF|=)__________。若不等式(x^2-ax+1\geq0)對(duì)任意(x\in[1,2])恒成立，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍為_(kāi)_________。二、解答題（共3小題，滿分56分）9.（16分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\geq0)對(duì)任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求(a)的值。10.（20分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，且滿足(b\cosC=(2a-c)\cosB)。（1）求角(B)的大??；（2）若(b=2\sqrt{3})，求(\triangleABC)面積的最大值。11.（20分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過(guò)點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(M,N)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(k_{OM}\cdotk_{ON}=-\frac{1}{4})，求(\triangleOMN)面積的取值范圍。二試（170分鐘滿分180分）一、（40分）平面幾何如圖，在銳角(\triangleABC)中，(AB=AC)，(D)為(BC)的中點(diǎn)，以(AD)為直徑作圓(O)，交(AB)于點(diǎn)(E)，交(AC)于點(diǎn)(F)，過(guò)點(diǎn)(E)作圓(O)的切線，交(BC)于點(diǎn)(G)。證明：(GF\perpAC)。（注：可使用梅涅勞斯定理、塞瓦定理等工具，輔助線可構(gòu)造中位線或利用切線性質(zhì)）二、（40分）代數(shù)已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+\sqrt{3a_n^2+1})（(n\in\mathbb{N}^*)）。（1）證明：數(shù)列({a_n})單調(diào)遞增；（2）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式。三、（50分?jǐn)?shù)論設(shè)(p)是奇素?cái)?shù)，證明：（1）(1^2\cdot3^2\cdot\cdots\cdot(p-2)^2\equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}\pmod{p})；（2）若(p\equiv1\pmod{4})，則存在整數(shù)(x)，使得(x^2\equiv-1\pmod{p})。四、（50分）組合數(shù)學(xué)在一個(gè)(8\times8)的方格表中，每個(gè)格子染上紅色或藍(lán)色。證明：（1）至少存在一個(gè)(2\times2)的子方格表，其四個(gè)角的格子顏色相同；（2）若每