2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽無窮遞降法試卷一、選擇題（每題5分，共30分）無窮遞降法的核心思想是通過構(gòu)造（）來證明命題的否定不成立A.嚴(yán)格遞增序列B.嚴(yán)格遞減序列C.周期序列D.常值序列在證明方程(x^3+2y^3=4z^3)無正整數(shù)解時，無窮遞降法的第一步是假設(shè)存在最小正整數(shù)解((x_0,y_0,z_0))，則下列推理正確的是（）A.(x_0)必為偶數(shù)，設(shè)(x_0=2x_1)代入方程B.(y_0)必為奇數(shù)，設(shè)(y_0=2y_1+1)代入方程C.(z_0)必為3的倍數(shù)，設(shè)(z_0=3z_1)代入方程D.方程兩邊模5可得矛盾利用無窮遞降法證明(\sqrt{2})是無理數(shù)時，關(guān)鍵步驟是假設(shè)(\sqrt{2}=\frac{p}{q})（既約分?jǐn)?shù)）后證明（）A.(p)和(q)都是偶數(shù)B.(p)是偶數(shù)而(q)是奇數(shù)C.(q)是偶數(shù)而(p)是奇數(shù)D.(p)和(q)都是3的倍數(shù)下列方程中，適合用無窮遞降法證明無正整數(shù)解的是（）A.(x+y=z)B.(x^2-y^2=z^2)C.(x^4+y^4=z^4)D.(x^2+2y^2=3z^2)無窮遞降法的邏輯基礎(chǔ)是（）A.數(shù)學(xué)歸納法B.最小數(shù)原理C.抽屜原理D.反證法在使用無窮遞降法時，構(gòu)造的遞降序列必須滿足（）A.有下界且非負(fù)B.有上界且非正C.單調(diào)遞增且有界D.周期變化且收斂二、填空題（每題6分，共30分）證明方程(x^2+y^2=3(z^2+w^2))無正整數(shù)解時，若假設(shè)最小解((x_0,y_0,z_0,w_0))，則(x_0)和(y_0)必須滿足的同余條件是________。用無窮遞降法證明不存在邊長為整數(shù)的等腰直角三角形時，可假設(shè)最小直角邊長為(a)，則可構(gòu)造出更小的直角邊長為________（用含(a)的代數(shù)式表示）。方程(x^3-3y^3-9z^3=0)的正整數(shù)解個數(shù)為________。在證明過程中，若構(gòu)造的遞降序列為(a_1>a_2>a_3>\dots)，且(a_i\in\mathbb{N}^*)，則該序列必然會終止，其依據(jù)是________。無窮遞降法最早由法國數(shù)學(xué)家________系統(tǒng)應(yīng)用于數(shù)論研究。三、解答題（共40分）（10分）證明：方程(x^2+y^2+z^2=2xyz)沒有正整數(shù)解。證明思路：假設(shè)存在正整數(shù)解((x,y,z))，不妨設(shè)(x\leqy\leqz)，則原方程可化為(x^2+y^2=z(2xy-z))。由于(z>0)，可得(2xy-z>0\Rightarrowz<2xy)。構(gòu)造新解((x,y,z'))，其中(z'=2xy-z)，證明(z'<z)且(z'\in\mathbb{N}^*)，形成遞降序列。（12分）證明：方程(x^4-4y^4=z^2)無正整數(shù)解。證明步驟：（1）假設(shè)最小解((x_0,y_0,z_0))，則(x_0)為奇數(shù)，且((x_0^2,2y_0^2,z_0))構(gòu)成勾股數(shù)組；（2）設(shè)(x_0^2=m^2-n^2)，(2y_0^2=2mn)，(z_0=m^2+n^2)（(m>n>0)，互質(zhì)，一奇一偶）；（3）由(y_0^2=mn)得(m=a^2)，(n=b^2)，代入(x_0^2=a^4-b^4)；（4）構(gòu)造新解((a,b,x_0))，與(x_0)最小性矛盾。（18分）綜合應(yīng)用題（1）證明：不存在正整數(shù)(a,b,c)滿足(a^2+b^2=5c^2)且(\gcd(a,b,c)=1)；（2）利用（1）的結(jié)論證明方程(x^4+4y^4=z^2)無正整數(shù)解；（3）拓展：嘗試用無窮遞降法證明費馬大定理在(n=3)時的情形（(x^3+y^3=z^3)無正整數(shù)解）。四、拓展探究題（20分）設(shè)(p)是奇素數(shù)，考慮方程(x^p+y^p=z^p)。（1）證明：若存在正整數(shù)解，則可假設(shè)(x,y,z)兩兩互質(zhì)；（2）利用無窮遞降法思想，構(gòu)造關(guān)于(z)的遞降序列；（3）結(jié)合費馬小定理，分析(x^p+y^p\equivz^p\pmod{p})的同余性質(zhì)，說明遞降序列的構(gòu)造依據(jù)。五、解題策略歸納（20分）結(jié)合本次競賽試題，總結(jié)無窮遞降法的一般步驟：（1）________（2）________（3）________（4）________并舉例說明在不同類型方程（一次、二次、高次）中應(yīng)用時的差異與技巧。參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題1-6:BAACBA二、填空題(x_0\equivy_0\equiv0\pmod{3})(a(\sqrt{2}-1))（注：實際證明中取整數(shù)部分構(gòu)造遞降）0正整數(shù)集的良序性（最小數(shù)原理）費馬三、解答題（要點）關(guān)鍵步驟：證明(z'=2xy-z<z)，即(z>xy)。由(x^2+y^2=z(2xy-z))，若(z\leqxy)則(x^2+y^2\leqxy(2xy-z)\leqxy\cdotxy=x^2y^2)，對(x,y\geq1)不成立，故(z>xy)，從而(z'<z)形成遞降。通過勾股數(shù)組的本原性分析，將四次方程轉(zhuǎn)化為二次方程，反復(fù)提取平方因子構(gòu)造無窮遞降鏈。（1）模4分析可得(a,b)均為偶數(shù)，與(\gcd(a,b,c)=1)矛盾；（2）利用恒等式(x^4+4y^4=(x^2)^2+(2y^2)^2)，若為平方數(shù)則構(gòu)成（1）中方程；（3）需分奇素數(shù)情形討論，利用立方和公式分解。命題說明本試卷圍繞無窮遞降法的理論基礎(chǔ)、應(yīng)用技巧和經(jīng)典案例設(shè)計，覆蓋選擇、填空、解答、探究等多種題型。重點考查：無窮遞降法的邏輯結(jié)構(gòu)（與最小數(shù)原理、反證法的聯(lián)系）在不同方程中的應(yīng)用策略（模分析、因式分解、勾股數(shù)組）從二次到高次方程的遞降構(gòu)造技巧歷史背景與現(xiàn)代數(shù)論的銜接（費馬大定理特例）考生需具備較強的代數(shù)變形能力和邏輯推理能力，能通過構(gòu)造遞降序列將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單情形。試卷難度梯度分明，基礎(chǔ)題占60%，綜合題占30%，探究題占10%，適合高中數(shù)學(xué)競