2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽自主招生試卷考試時間：150分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分）設(shè)非零實數(shù)(a,b,c)滿足(a+b+c=0)，則(\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab})的值為（）A.2B.1C.-2D.(\frac{1}{2})已知直線(l_1:y=kx+1)與(l_2:y=(k+1)x-1)（(k)為正整數(shù)），兩條直線與(x)軸所圍成三角形的面積為(S_k)，則(S_1+S_2+\cdots+S_{100})的值為（）A.(\frac{50}{101})B.(\frac{100}{101})C.(\frac{101}{102})D.(\frac{99}{100})正方體六個面上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5,6，三人從不同角度觀察的結(jié)果如圖所示（示意圖）。若6的對面數(shù)字為(m)，2的對面數(shù)字為(n)，則(m+n)的值為（）A.2B.7C.4D.6已知(\triangleABC)的面積為36，點(D)在線段(AC)上，(AD=\frac{1}{3}AC)，點(F)在線段(BC)的延長線上，且(CF=\frac{1}{2}BC)，四邊形(DCFE)是平行四邊形，則陰影部分（(\triangleADE)）的面積為（）A.8B.6C.9D.12定義(\max{a,b})表示(a,b)中的最大值，例如(\max{1,2}=2)，則函數(shù)(f(x)=\max{|x-1|,|x+2|})的最小值為（）A.(\frac{3}{2})B.2C.(\frac{5}{2})D.3在平面直角坐標(biāo)系中，(\triangleOMN)的頂點分別為(O(0,0))，(M(1,1))，(N(x,y))，其中(x,y)均為整數(shù)，則(\triangleOMN)不是直角三角形的概率為（）A.(\frac{1}{3})B.(\frac{2}{5})C.(\frac{3}{7})D.(\frac{4}{9})以半圓的一條弦（非直徑）為對稱軸將弧折疊后與直徑交于點(M)，若直徑長為10，且(AM:MB=1:4)，則弦(AB)的長度為（）A.(2\sqrt{5})B.(4\sqrt{3})C.(4\sqrt{5})D.(6\sqrt{2})已知函數(shù)(f(x)=\sin^2x+\sinx\cosx+\cos^2x)，則下列說法正確的是（）A.(f(x))的最小正周期為(\pi)，最大值為(\frac{3}{2})B.(f(x))的最小正周期為(2\pi)，最大值為(\frac{3}{2})C.(f(x))的最小正周期為(\pi)，最大值為(\frac{\sqrt{2}}{2}+1)D.(f(x))的最小正周期為(2\pi)，最大值為(\frac{\sqrt{2}}{2}+1)二、填空題（本大題共6小題，每題6分，共36分）已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|x^2-(a+1)x+a=0})，若(B\subseteqA)，則實數(shù)(a)的取值集合為_________。若復(fù)數(shù)(z)滿足(z^2+2z+5=0)，則(|z|)的值為_________。在等差數(shù)列({a_n})中，若(a_1+a_4+a_7=39)，(a_3+a_6+a_9=27)，則數(shù)列({a_n})的前9項和(S_9=)_________。已知正四棱錐(P-ABCD)的底面邊長為2，側(cè)棱長為(\sqrt{5})，則該棱錐的體積為_________。設(shè)(x,y)為正實數(shù)，且(x+2y=1)，則(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})的最小值為_________。滿足方程(x^2-2y^2=1)的最小正整數(shù)解((x,y))為_________。三、解答題（本大題共5小題，共74分）15.（14分）已知函數(shù)(f(x)=\log_a(x+1))，(g(x)=\log_a(1-x))（(a>0)且(a\neq1)）。（1）求函數(shù)(h(x)=f(x)+g(x))的定義域；（2）判斷(h(x))的奇偶性，并說明理由；（3）若(f(3)=2)，求使(h(x)>0)成立的(x)的取值范圍。16.（15分）如圖，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，以(AB)為直徑的圓(O)交(BC)于點(D)，交(AC)于點(E)，過點(D)作(DF\perpAC)于點(F)。（1）求證：(DF)是圓(O)的切線；（2）若(CD=2)，(AF=3)，求圓(O)的半徑。17.（15分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+n-1)（(n\in\mathbb{N}^*)）。（1）證明：數(shù)列({a_n+n})是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（3）求數(shù)列({a_n})的前(n)項和(S_n)。18.（15分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(P(2,1))。（1）求橢圓(C)的方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點，(O)為坐標(biāo)原點，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4})，求證：(\triangleAOB)的面積為定值。19.（15分）設(shè)(p)是質(zhì)數(shù)，且(p\equiv3\pmod{4})，數(shù)列({a_n})滿足(a_1=2)，(a_{n+1}=\frac{a_n^2-1}{a_{n-1}})（(n\geq2)）。（1）計算(a_2,a_3,a_4)的值；（2）猜想數(shù)列({a_n})的通項公式，并證明；（3）求證：對任意正整數(shù)(n)，(a_n\equiv2\pmod{p})。（全卷完）注：本試卷嚴格依據(jù)2025年高中數(shù)學(xué)競賽