2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)模塊八試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-3)的定義域是（）A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-1,3)C.(-∞,-1]∪[3,+∞)D.[-1,3]已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，則m的值為（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.y=x3B.y=sinxC.y=log?xD.y=2?已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3+a5=10，S7=49，則公差d=（）A.1B.2C.3D.4函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和振幅分別是（）A.π，1B.2π，1C.π，2D.2π，2已知直線l1:ax+2y+6=0，l2:x+(a-1)y+a2-1=0，若l1∥l2，則a的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競賽，要求至少有1名女生，不同的選法共有（）A.80種B.74種C.40種D.34種已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則函數(shù)f(x)的極大值點是（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，則該雙曲線的漸近線方程為（）A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±(√2/2)xD.y=±(√3/3)x已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，若存在x∈[0,3]，使得f(x)≤m成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A.[2,+∞)B.[3,+∞)C.[6,+∞)D.[8,+∞)在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=90°，PA=3，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（）A.13πB.25πC.36πD.49π二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）計算：log?8+2?-(1/2)?1=______。已知tanα=2，則sin2α=______。若曲線y=x3-2x2+1在點(1,0)處的切線方程為______。已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F的直線與拋物線交于A，B兩點，若|AF|=3，則|BF|=______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a=2，b=3，cosC=1/3。（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求sinA的值。（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2an-1。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)bn=log?an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，D是AB的中點。（Ⅰ）求證：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求三棱錐C1-CDB1的體積。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從高二年級隨機抽取了100名學(xué)生進行數(shù)學(xué)成績調(diào)查，得到如下頻率分布直方圖：（注：此處應(yīng)有頻率分布直方圖，因格式限制無法顯示）（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a的值；（Ⅱ）估計這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和中位數(shù)；（Ⅲ）若從成績在[80,90)和[90,100]的學(xué)生中隨機抽取2人，求這2人成績都在[90,100]的概率。（本小題滿分12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(2,1)。（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，若OA⊥OB，求m2的取值范圍。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x(a∈R)。（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）若對任意x∈(0,+∞)，f(x)≤0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。參考答案及評分標準一、選擇題C2.A3.A4.A5.B6.A7.A8.B9.A10.A11.A12.B二、填空題214.4/515.y=-x+116.3/2三、解答題解：（Ⅰ）由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=22+32-2×2×3×(1/3)=4+9-4=9所以c=3。（5分）（Ⅱ）由cosC=1/3，得sinC=√(1-cos2C)=√(1-1/9)=2√2/3由正弦定理得：a/sinA=c/sinC所以sinA=asinC/c=2×(2√2/3)/3=4√2/9。（10分）解：（Ⅰ）當n=1時，S1=2a1-1，即a1=2a1-1，解得a1=1當n≥2時，Sn=2an-1，Sn-1=2an-1-1兩式相減得：an=2an-2an-1，即an=2an-1所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列所以an=2??1。（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=log?an=log?2??1=n-1所以數(shù)列{bn}是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列所以Tn=n(b1+bn)/2=n(0+n-1)/2=n(n-1)/2。（12分）（Ⅰ）證明：連接BC1，交B1C于點O，連接OD因為ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以四邊形BCC1B1是矩形所以O(shè)是BC1的中點又因為D是AB的中點，所以O(shè)D是△ABC1的中位線所以O(shè)D∥AC1因為OD?平面CDB1，AC1?平面CDB1所以AC1∥平面CDB1。（6分）（Ⅱ）解：因為AC=BC=2，∠ACB=90°，所以S△ABC=2×2/2=2因為ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC所以三棱錐C1-CDB1的體積等于三棱錐B1-CDC1的體積因為D是AB的中點，所以S△CDB=S△ABC/2=1又因為CC1=AA1=2，所以VB1-CDC1=S△CDB×CC1/3=1×2/3=2/3所以三棱錐C1-CDB1的體積為2/3。（12分）解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)得：(0.005+0.015+a+0.03+0.025+0.015)×10=1解得a=0.01。（3分）（Ⅱ）平均數(shù)：45×0.05+55×0.15+65×0.1+75×0.3+85×0.25+95×0.15=74.5中位數(shù)：設(shè)中位數(shù)為x，則0.05+0.15+0.1+(x-70)×0.03=0.5解得x=73.33。（7分）（Ⅲ）成績在[80,90)的學(xué)生人數(shù)為0.025×10×100=25成績在[90,100]的學(xué)生人數(shù)為0.015×10×100=15從這40名學(xué)生中隨機抽取2人，共有C402=780種不同的抽法其中2人成績都在[90,100]的抽法有C152=105種所以所求概率P=105/780=7/52。（12分）解：（Ⅰ）由題意得：e=c/a=√3/2，所以c=√3a/2又因為a2=b2+c2，所以a2=b2+3a2/4，即b2=a2/4因為橢圓過點(2,1)，所以4/a2+1/b2=1將b2=a2/4代入得：4/a2+4/a2=1，解得a2=8，所以b2=2所以橢圓C的方程為x2/8+y2/2=1。（6分）（Ⅱ）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)聯(lián)立方程組：x2/8+y2/2=1，y=kx+m消去y得：(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0所以x1+x2=-8km/(1+4k2)，x1x2=(4m2-8)/(1+4k2)因為OA⊥OB，所以O(shè)A·OB=0，即x1x2+y1y2=0因為y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2所以x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0代入得：(1+k2)(4m2-8)/(1+4k2)-8k2m2/(1+4k2)+m2=0化簡得：5m2=8(1+k2)，即m2=8(1+k2)/5因為直線l與橢圓C有兩個交點，所以△>0即(8km)2-4(1+4k2)(4m2-8)>0化簡得：m2<2+8k2將m2=8(1+k2)/5代入得：8(1+k2)/5<2+8k2解得：k2>1/4所以m2=8(1+k2)/5>8(1+1/4)/5=2又因為m2=8(1+k2)/5≥8/5所以m2的取值范圍是(2,+∞)。（12分）解：（Ⅰ）當a=1時，f(x)=xlnx-x2+x所以f'(x)=lnx+1-2x+1=lnx-2x+2令g(x)=lnx-2x+2，則g'(x)=1/x-2當x∈(0,1/2)時，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增當x∈(1/2,+∞)時，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減所以g(x)≤g(1/2)=ln(1/2)-1+2=1-ln2>0所以f'(x)>0，即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間。（4分）（Ⅱ）f'(x)=lnx+1-2ax+2a-1=lnx-2ax+2a因為函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值，所以f'(1)=0，且f'(x)在x=1處左正右負f'(1)=ln1-2a+2a=0，滿足條件f''(x)=1/x-2a當a≤0時，f''(x)>0，所以f'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增所以當x∈(0,1)時，f'(x)<f'(1)=0；當x∈(1,+∞)時，f'(x)>f'(1)=0所以f(x)在x=1處取得極小值，不符合題意當a>0時，令f''(x)=0，得x=1/(2a)當x∈(0,1/(2a))時，f''(x)>0，f'(x)單調(diào)遞增當x∈(1/(2a),+∞)時，f''(x)<0，f'(x)單調(diào)遞減所以f'(x)≤f'(1/(2a))=ln(1/(2a))-2a×(1/(2a))+2a=-ln(2a)+2a-1要使f'(x)在x=1處左正右負，需1/(2a)>1，即0<a<1/2此時f'(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減所以當x∈(0,1)時，f'(x)<f'(1)=0；當x∈(1,+∞)時，f'(x)<f'(1)=0，不符合題意綜上，實數(shù)a的取值范圍是?。（8分）（Ⅲ）因為f(1)=0-a+2a-1=a-1≤0，所以a≤1當a≤0時，由（Ⅰ）知f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增又因為f(1)=a-1≤-1<0，所以f(x)≤0恒成立當0<a≤1時，令f'(x)=0，得lnx=2a(x-1)設(shè)h(x)=lnx-2a(x-1)，則h'(x)=1/x-2a當x∈(0,1/(2a))時，h'(x)>0，h(x)單調(diào)遞增當x∈(1/(2a),+∞)時，h'(x)<0，h(x)單調(diào)遞減所以h(x)≤h(1/(2a))=ln(1/(2a))-2a×(1/(2a)-1)=-ln(2a)+2a-1令φ(a)=-ln(2a)+2a-1，則φ'(a)=-1/a+2當a∈(0,1/2)時，φ'(a)<0，φ(a)單調(diào)遞減當a∈(1/2,1]時，φ'(a)>0，φ(a)單調(diào)遞增所以φ(a)≥φ(1/2)=-ln1+1-1=0所以h(x)≤0，即f'(x)≤0所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減又因為f