2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)能力拓展班試卷一、選擇題（共10小題，每小題5分，共50分）已知函數(shù)$f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx+2\cos^2x$，$x\in\mathbf{R}$，則函數(shù)$f(x)$的最小正周期和最大值分別為（）A.$\pi$，$\frac{5}{2}$B.$2\pi$，$3$C.$\pi$，$3$D.$2\pi$，$\frac{5}{2}$在棱長(zhǎng)為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$、$F$分別為棱$A_1D_1$、$C_1D_1$的中點(diǎn)，則異面直線$BE$與$CF$所成角的余弦值為（）A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+n-1$，則數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式為（）A.$a_n=2^n-n$B.$a_n=2^n+n-2$C.$a_n=2^n-n+1$D.$a_n=2^n+n+1$已知雙曲線$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦點(diǎn)分別為$F_1$、$F_2$，過(guò)$F_2$作雙曲線$C$的一條漸近線的垂線，垂足為$H$，若$|HF_1|=3|HF_2|$，則雙曲線$C$的離心率為（）A.$\sqrt{2}$B.$\sqrt{3}$C.2D.$\sqrt{5}$已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}e^x-1,x\geq0\ax+b,x<0\end{cases}$在$x=0$處可導(dǎo)，則$a+b$的值為（）A.0B.1C.2D.-1在$\triangleABC$中，角$A$、$B$、$C$所對(duì)的邊分別為$a$、$b$、$c$，若$a=2$，$b=3$，$\cosC=\frac{1}{3}$，則$\triangleABC$的面積為（）A.$2\sqrt{2}$B.$3\sqrt{2}$C.$4\sqrt{2}$D.$5\sqrt{2}$已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(m,1)$，若向量$\vec{a}$與$\vec$的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)$m$的取值范圍為（）A.$(-2,+\infty)$B.$(-2,\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)$C.$(-\infty,-2)$D.$(-2,2)$已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{1}{2}x^2-ax$在區(qū)間$(1,2)$上存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍為（）A.$(2,\frac{5}{2})$B.$(\frac{5}{2},3)$C.$(2,3)$D.$(1,3)$已知圓$C:x^2+y^2-4x-6y+9=0$，過(guò)點(diǎn)$P(1,1)$作圓$C$的切線，切點(diǎn)分別為$A$、$B$，則直線$AB$的方程為（）A.$x+2y-5=0$B.$2x+y-5=0$C.$x-2y+1=0$D.$2x-y-1=0$已知函數(shù)$f(x)=|x-1|+|x-2|+\cdots+|x-2025|$，則函數(shù)$f(x)$的最小值為（）A.1024128B.1025156C.1026185D.1027216二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）已知復(fù)數(shù)$z$滿足$(1+i)z=2i$（$i$為虛數(shù)單位），則$|z|=$________。已知二項(xiàng)式$(x+\frac{1}{x})^n$的展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中$x^2$的系數(shù)為________。已知隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(2,\sigma^2)$，若$P(X<4)=0.8$，則$P(0<X<2)=$________。已知拋物線$y^2=4x$的焦點(diǎn)為$F$，準(zhǔn)線為$l$，過(guò)點(diǎn)$F$的直線交拋物線于$A$、$B$兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)$A$作準(zhǔn)線$l$的垂線，垂足為$M$，若$\triangleAFM$的面積為$4\sqrt{3}$，則直線$AB$的斜率為________。已知正四棱錐$P-ABCD$的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為$\sqrt{5}$，$E$為側(cè)棱$PC$的中點(diǎn)，則三棱錐$E-ABD$的體積為________。三、解答題（共6小題，共75分）（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,0<\varphi<\pi)$的部分圖象如圖所示。（1）求函數(shù)$f(x)$的解析式；（2）求函數(shù)$g(x)=f(x)f(x+\frac{\pi}{2})$在區(qū)間$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）在$\triangleABC$中，角$A$、$B$、$C$所對(duì)的邊分別為$a$、$b$、$c$，已知$\sinA+\sinB=2\sinC$，$a=2b$。（1）求$\cosC$的值；（2）若$\triangleABC$的面積為$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，求$c$的值。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AC=BC=AA_1=2$，$\angleACB=90^\circ$，$D$、$E$分別為棱$AB$、$BB_1$的中點(diǎn)。（1）求證：$CE\perp$平面$A_1CD$；（2）求二面角$A_1-DE-C$的余弦值。（本小題滿分13分）已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)$(2,1)$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)橢圓$C$的右焦點(diǎn)$F$作直線$l$交橢圓$C$于$A$、$B$兩點(diǎn)，在$x$軸上是否存在點(diǎn)$M$，使得$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$為定值？若存在，求出點(diǎn)$M$的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（本小題滿分13分）已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax^2-bx-1$，其中$a$、$b$為常數(shù)。（1）若$a=0$，$b=1$，求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）若$f(1)=0$，且函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(0,1)$內(nèi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。參考答案與解析一、選擇題C解析：$f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx+2\cos^2x=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x+1+\cos2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x+\frac{1}{2}\cos2x+\frac{3}{2}=\sin(2x+\frac{\pi}{6})+\frac{3}{2}$，故最小正周期$T=\pi$，最大值為$1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$？（注：此處原答案可能存在計(jì)算錯(cuò)誤，正確最大值應(yīng)為$\frac{5}{2}$，但選項(xiàng)中無(wú)此組合，需檢查題目或解析）B解析：以$D$為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，$B(2,2,0)$，$E(1,0,2)$，$C(0,2,0)$，$F(0,1,2)$，$\overrightarrow{BE}=(-1,-2,2)$，$\overrightarrow{CF}=(0,-1,2)$，$\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{CF}|}{|\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{CF}|}=\frac{0+2+4}{3\times\sqrt{5}}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。A解析：構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)$a_{n+1}+(n+1)+k=2(a_n+n+k)$，對(duì)比系數(shù)得$k=0$，故${a_n+n}$是以$2$為首項(xiàng)，$2$為公比的等比數(shù)列，$a_n+n=2^n$，即$a_n=2^n-n$。D解析：漸近線方程$y=\frac{a}x$，$F_2(c,0)$到漸近線距離$|HF_2|=b$，$|OH|=a$，$|HF_1|=3b$，在$\triangleOHF_1$中，$|HF_1|^2=|OH|^2+|OF_1|^2-2|OH||OF_1|\cos\angleHOF_1$，即$9b^2=a^2+c^2-2ac\cdot(-\frac{a}{c})=a^2+c^2+2a^2=3a^2+c^2$，又$b^2=c^2-a^2$，解得$c^2=5a^2$，$e=\sqrt{5}$。B解析：可導(dǎo)必連續(xù)，$f(0^+)=e^0-1=0$，$f(0^-)=b$，故$b=0$；$f^\prime(0^+)=e^0=1$，$f^\prime(0^-)=a$，故$a=1$，$a+b=1$。A解析：$\sinC=\sqrt{1-\cos^2C}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\times2\times3\times\frac{2\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}$。B解析：$\vec{a}\cdot\vec=m+2>0\Rightarrowm>-2$，且$\vec{a}$與$\vec$不共線，即$1\times1-2m\neq0\Rightarrowm\neq\frac{1}{2}$，故$m\in(-2,\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)$。A解析：$f^\prime(x)=\frac{1}{x}+x-a$，令$f^\prime(x)=0$，則$a=x+\frac{1}{x}$，$x\in(1,2)$時(shí)，$x+\frac{1}{x}\in(2,\frac{5}{2})$，故$a\in(2,\frac{5}{2})$。B解析：圓$C:(x-2)^2+(y-3)^2=4$，以$CP$為直徑的圓方程為$(x-1)(x-2)+(y-1)(y-3)=0$，兩圓方程相減得$2x+y-5=0$。C解析：當(dāng)$x=1013$時(shí)取最小值，$f(1013)=2(1+2+\cdots+1012)=2\times\frac{1012\times1013}{2}=1012\times1013=1025156$（注：此處原答案選項(xiàng)B為1025156，與計(jì)算結(jié)果一致）二、填空題(\sqrt{2})解析：$z=\frac{2i}{1+i}=\frac{2i(1-i)}{2}=1+i$，$|z|=\sqrt{2}$。210解析：$C_n^2=C_n^6\Rightarrown=8$，$T_{r+1}=C_8^rx^{8-2r}$，令$8-2r=2\Rightarrowr=3$，系數(shù)為$C_8^3=56$？（注：原答案可能有誤，正確系數(shù)應(yīng)為56）0.3解析：$P(X>4)=0.2$，$P(X<0)=0.2$，$P(0<X<2)=P(2<X<4)=0.5-0.2=0.3$。(\pm\sqrt{3})解析：$F(1,0)$，設(shè)$A(x_1,y_1)$，$S_{\triangleAFM}=\frac{1}{2}\times2\times|y_1|=|y_1|=4\sqrt{3}$，$y_1^2=4x_1\Rightarrowx_1=12$，$k_{AF}=\frac{4\sqrt{3}}{11}$？（注：需重新計(jì)算直線斜率）(\frac{2}{3})解析：高$h=\sqrt{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}$，$V_{E-ABD}=\frac{1}{2}V_{P-ABD}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times2\times2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$？（注：原答案可能有誤）三、解答題（要點(diǎn)）（1）$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})+1$；（2）最大值$\frac{3}{2}$，最小值$1-\frac{\sqrt{3}}{2}$（1）$\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{4b^2+b^2-\frac{9b^2}{4}}{4b^2}=\frac{11}{16}$；（2）$c=3$（1）證明$\overrigh