2025年下學期高中數(shù)學前瞻性試卷一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）集合與復數(shù)已知集合(A={x|\log_2(x-1)<2})，集合(B={z|z=(1+i)(a-i),a\in\mathbb{R}})，若(A\capB)中恰有2個元素，則實數(shù)(a)的取值范圍是（）A.((1,3))B.((2,4])C.((3,5))D.([2,4))函數(shù)性質函數(shù)(f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2+1})的圖象大致為（）（選項略，需體現(xiàn)奇函數(shù)、定義域、單調性及極限趨勢）三角函數(shù)與導數(shù)若函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}))在區(qū)間([0,\frac{\pi}{2}])上單調遞增，且(f'(\frac{\pi}{4})=0)，則(\omega)的最大值為（）A.(\frac{1}{2})B.1C.2D.4立體幾何某3D打印模型的直觀圖如圖所示（圖略），其底面為正方形，側面為四個全等的等腰直角三角形，若該模型的體積為(\frac{16}{3})，則其表面積為（）A.(16+8\sqrt{2})B.(24)C.(12+8\sqrt{2})D.(20)概率統(tǒng)計某社區(qū)為評估疫苗接種效果，隨機抽取100人檢測抗體水平，數(shù)據(jù)如下表：|抗體水平|陰性|弱陽性|陽性|強陽性||----------|------|--------|------|--------||人數(shù)|5|25|40|30|若從“陽性”和“強陽性”人群中隨機選取2人，至少1人抗體為強陽性的概率是（）A.(\frac{3}{7})B.(\frac{4}{7})C.(\frac{5}{7})D.(\frac{6}{7})圓錐曲線已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的左焦點為(F)，過(F)且斜率為(\sqrt{3})的直線與(C)的兩條漸近線分別交于(A,B)兩點，若(\overrightarrow{FB}=2\overrightarrow{FA})，則(C)的離心率為（）A.(\sqrt{2})B.(\sqrt{3})C.2D.(2\sqrt{3})新定義題型定義“擬周期函數(shù)”：若存在非零常數(shù)(T)，對任意(x\in\mathbb{R})，有(f(x+T)=kf(x))（(k)為非零常數(shù)），則稱(f(x))為擬周期函數(shù)。下列函數(shù)中是擬周期函數(shù)的是（）A.(f(x)=\sinx)B.(f(x)=x^2)C.(f(x)=2^x)D.(f(x)=\lnx)跨學科應用某城市人口增長符合Logistic模型(P(t)=\frac{K}{1+e^{-r(t-t_0)}})，其中(K)為環(huán)境容量，(r)為增長率。若2020年（(t=0)）人口為50萬，2025年人口為80萬，且人口增長速率在2025年達到最大值，則該城市的環(huán)境容量(K)為（）A.130萬B.160萬C.200萬D.250萬二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）向量運算在(\triangleABC)中，(D)為(BC)中點，(E)為(AD)上一點，且(\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{ED})，若(\overrightarrow{AB}=\vec{a})，(\overrightarrow{AC}=\vec)，則(\overrightarrow{CE}=)________（用(\vec{a},\vec)表示）。數(shù)列與不等式已知正項等比數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(a_3=4)，(S_3=7)，則不等式(S_n>1000)的最小正整數(shù)解為________。立體幾何體積已知球(O)的表面積為(16\pi)，三棱錐(P-ABC)內接于球(O)，且(PA=PB=PC=2\sqrt{3})，(\angleACB=90^\circ)，則三棱錐(P-ABC)體積的最大值為________。開放性問題已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x+m)，若存在(x_1,x_2\in[0,2])，使得(|f(x_1)-f(x_2)|\geq4)，則(m)的取值范圍是________（寫出一個滿足條件的范圍即可）。三、解答題（共6小題，共70分）三角函數(shù)與解三角形（10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)的對邊分別為(a,b,c)，已知(\cosA=\frac{3}{5})，(\cosB=\frac{5}{13})。（1）求(\sinC)的值；（2）若(c=14)，求(\triangleABC)的面積。數(shù)列與數(shù)學歸納法（12分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+n)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）設(b_n=\frac{a_n+n+1}{2^n})，求證：(b_1+b_2+\cdots+b_n<3)。立體幾何（12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D,E)分別為(BC,B_1C_1)的中點。（1）證明：(A_1D\perp)平面(BDE)；（2）求二面角(A_1-BE-D)的余弦值。概率統(tǒng)計與數(shù)學建模（12分）某工廠生產一種電子元件，其壽命(X)（單位：小時）服從正態(tài)分布(N(\mu,\sigma^2))，現(xiàn)隨機抽取100件產品進行檢測，得到樣本均值(\bar{x}=1000)，樣本標準差(s=50)。（1）若(P(X>1100)=0.023)，求(\mu,\sigma)的值（精確到整數(shù)）；（2）工廠規(guī)定壽命低于900小時的元件為次品，若該元件的生產成本為50元/件，售價為100元/件，次品可回收殘值10元/件，求每件元件的平均利潤。圓錐曲線與導數(shù)綜合（12分）已知橢圓(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(E)的方程；（2）過點(P(0,2))的直線(l)與橢圓(E)交于(A,B)兩點，設(M)為線段(AB)的中點，若存在定點(Q)，使得無論直線(l)如何轉動，都有(QM\perpAB)，求點(Q)的坐標。函數(shù)與導數(shù)壓軸題（12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax^2-bx-1)，其中(a,b\in\mathbb{R})。（1）若(a=0)，(b=1)，證明：(f(x)\geq0)對任意(x\in\mathbb{R})恒成立；（2）若(f(x))在(x=0)處取得極小值，且存在(x_0>0)，使得(f(x_0)<0)，求(a)的取值范圍。試卷設計說明核心考點覆蓋：嚴格依據(jù)2025年教學大綱，涵蓋函數(shù)與導數(shù)（32分）、幾何（27分）、概率統(tǒng)計（17分）、代數(shù)（34分）四大模塊，突出“實踐能力與創(chuàng)新意識”培養(yǎng)目標。命題趨勢體現(xiàn)：跨學科融合：如第