2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)試卷一、選擇題（每題5分，共60分）已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|log?(x-1)≥1}，則A∩B=（）A.[1,2]B.[2,3]C.[1,3]D.[2,+∞)函數(shù)f(x)=ln(x2-4x+5)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(1,2)D.(2,5)已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則tan(α-π/4)=（）A.1/7B.-1/7C.7D.-7在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，C=60°，則c=（）A.√7B.√19C.√13D.3已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1=1，a5=9，則數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和S10=（）A.100B.110C.120D.130等比數(shù)列{an}中，a2=2，a5=16，則公比q=（）A.2B.-2C.1/2D.-1/2已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，則向量a在向量b方向上的投影為（）A.11/5B.11√5/5C.10/√13D.10/13若直線l：ax+y-2=0與圓C：x2+y2-4x+2y+1=0相切，則a=（）A.0B.1C.2D.3已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為√3，則該三棱錐的體積為（）A.1B.√3/3C.√3/2D.√3某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A.12πB.16πC.20πD.24π從1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字，則這兩個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是（）A.2/5B.3/5C.1/2D.3/10某校高一年級(jí)有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，為了解學(xué)生的身高情況，采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，則樣本中女生的人數(shù)為（）A.20B.25C.30D.35二、填空題（每題5分，共30分）函數(shù)f(x)=√(x+1)+1/(x-2)的定義域?yàn)開_____。已知tanα=2，則sin2α=______。已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，則a5=______。已知直線l1：2x+y-4=0與直線l2：x-y+1=0的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為______。已知球的表面積為16π，則該球的體積為______。某射手射擊一次命中目標(biāo)的概率為0.8，若該射手連續(xù)射擊3次，則恰有2次命中目標(biāo)的概率為______。三、解答題（共60分）（10分）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1。（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。（12分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a3=7，a5=11。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令bn=2^an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。（12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°。（1）求證：A1B⊥AC1；（2）求三棱錐A1-BCC1的體積。（12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(diǎn)(2,1)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求m2的取值范圍。（14分）某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)1件A產(chǎn)品需要甲材料3kg，乙材料2kg，生產(chǎn)1件B產(chǎn)品需要甲材料1kg，乙材料3kg，且該廠每月甲材料的供應(yīng)量不超過120kg，乙材料的供應(yīng)量不超過150kg。已知A產(chǎn)品每件利潤為50元，B產(chǎn)品每件利潤為40元。（1）設(shè)每月生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，寫出x、y滿足的約束條件；（2）如何安排生產(chǎn)才能使每月的利潤最大？最大利潤是多少？四、附加題（共20分）（10分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+b在x=1處取得極值-1。（1）求a、b的值；（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。（10分）已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|。（1）求函數(shù)f(x)的最小值；（2）若不等式f(x)≥a2-2a對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每題5分，共60分）B2.B3.C4.A5.A6.A7.A8.B9.A10.C11.A12.A二、填空題（每題5分，共30分）[-1,2)∪(2,+∞)14.4/515.3116.√517.32π/318.0.384三、解答題（共60分）解：（1）f(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)，所以最小正周期T=π。（5分）（2）因?yàn)閤∈[0,π/2]，所以2x+π/4∈[π/4,5π/4]，當(dāng)2x+π/4=π/2，即x=π/8時(shí)，f(x)取得最大值√2；當(dāng)2x+π/4=5π/4，即x=π/2時(shí)，f(x)取得最小值-1。（5分）解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a5-a3=2d=4，解得d=2，所以a1=a3-2d=3，因此an=3+2(n-1)=2n+1。（6分）（2）bn=2^(2n+1)=2×4^n，所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為8，公比為4的等比數(shù)列，因此Sn=8(4^n-1)/(4-1)=8(4^n-1)/3。（6分）（1）證明：連接AC1，BC1，因?yàn)锳A1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC，又AC⊥BC，AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥AC1，又AC1⊥A1C，BC∩A1C=C，所以AC1⊥平面A1BC，所以AC1⊥A1B。（6分）（2）解：因?yàn)锳A1⊥底面ABC，所以三棱錐A1-BCC1的高為AA1=2，底面BCC1的面積S=1/2×2×2=2，所以體積V=1/3×2×2=4/3。（6分）解：（1）由題意得e=c/a=√3/2，且4/a2+1/b2=1，又a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/8+y2/2=1。（6分）（2）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立方程組x2/8+y2/2=1和y=kx+m，消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0，所以x1+x2=-8km/(1+4k2)，x1x2=(4m2-8)/(1+4k2)，因?yàn)镺A⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0，整理得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，代入得(1+k2)(4m2-8)/(1+4k2)-8k2m2/(1+4k2)+m2=0，化簡(jiǎn)得5m2=8(1+k2)，所以m2=8(1+k2)/5≥8/5，又Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-8)=32(8k2-m2+2)=32(8k2-8(1+k2)/5+2)=32(32k2/5+2/5)>0恒成立，所以m2的取值范圍是[8/5,+∞)。（6分）解：（1）約束條件為：3x+y≤120，2x+3y≤150，x≥0，y≥0，x,y∈N。（6分）（2）目標(biāo)函數(shù)z=50x+40y，作出可行域，由3x+y=120和2x+3y=150解得x=30，y=30，所以當(dāng)x=30，y=30時(shí)，z取得最大值2700元，即每月生產(chǎn)A產(chǎn)品30件，B產(chǎn)品30件時(shí)，利潤最大，最大利潤為2700元。（8分）四、附加題（共20分）解：（1）f'(x)=3x2-6x+a，由題意得f'(1)=3-6+a=0，解得a=3，又f(1)=1-3+3+b=-1，解得b=-2。（5分）（2）f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間。（5分）解：（1）f(x)=|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3，當(dāng)且僅當(dāng)-2≤x≤1時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)f(x)的最小值為3。（5分）（2）由題意得a2-2a≤3，即a2-2a-3≤0，解得-1≤a≤3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1,3]。（5分）試卷設(shè)計(jì)說明本試卷依據(jù)2025年高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱要求，結(jié)合興趣小組活動(dòng)特點(diǎn)，注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和實(shí)際應(yīng)用能力。試卷內(nèi)容涵蓋集合與函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、概率統(tǒng)計(jì)等高中數(shù)學(xué)核心知識(shí)模塊，題型包括選擇題、填空題、解答題和附加題，全面考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和綜合能力。在試題設(shè)計(jì)上，注重以下幾個(gè)方面：基礎(chǔ)與提高并重：既有基礎(chǔ)題考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，也有綜合題和附加題考查學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力。理論與應(yīng)用結(jié)合：在解答題中設(shè)置實(shí)際應(yīng)用問題，如線性規(guī)劃在生產(chǎn)安排中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。知識(shí)與能力兼顧：