2025年下學期高中數(shù)學與風險管理數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，若P(X≤2)=0.3，P(X≥6)=0.2，則μ的值為（）A.3B.4C.5D.6某投資項目有A、B兩個方案，其收益分布如下表（單位：萬元）：|市場狀態(tài)|概率|方案A收益|方案B收益||----------|------|-----------|-----------||繁榮|0.3|200|300||平穩(wěn)|0.5|100|100||衰退|0.2|-50|-100|則下列說法正確的是（）A.E(A)=110，E(B)=120，應選A方案B.E(A)=110，E(B)=120，應選B方案C.E(A)=105，E(B)=110，應選B方案D.E(A)=105，E(B)=110，應選A方案某保險公司推出一款健康險，保費每年1000元，若被保險人在一年內(nèi)發(fā)生重大疾病，保險公司賠付5萬元。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，該年齡段人群一年內(nèi)發(fā)生重大疾病的概率為0.002。則該保險產(chǎn)品的期望收益（保險公司視角）為（）A.-100元B.0元C.100元D.200元決策樹中，“機會節(jié)點”的輸出結(jié)果是（）A.決策方案B.自然狀態(tài)概率C.期望收益值D.風險損失值某股票價格波動服從馬爾可夫鏈，其轉(zhuǎn)移矩陣如下表（當前狀態(tài)→下一狀態(tài)）：|當前狀態(tài)/下一狀態(tài)|上漲（0.6）|持平（0.3）|下跌（0.1）||-------------------|-------------|-------------|-------------||上漲|0.4|0.4|0.2||持平|0.3|0.5|0.2||下跌|0.2|0.3|0.5|若當前股價為“持平”狀態(tài)，則下一期股價“下跌”的概率是（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5下列關(guān)于風險型決策的敏感性分析說法正確的是（）A.敏感性分析用于檢驗決策結(jié)果對概率變化的依賴程度B.敏感性分析僅適用于單變量決策問題C.概率變動幅度越小，方案越敏感D.敏感性分析結(jié)果可直接作為最終決策依據(jù)已知向量a=(1,2)，b=(m,3)，若a與b的夾角為銳角，則m的取值范圍是（）A.(-6,+∞)B.(-6,3/2)∪(3/2,+∞)C.(-∞,-6)D.(-6,3/2)某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品甲、乙，需消耗A、B兩種原料，原料限額及利潤如下表：|原料|甲產(chǎn)品（單位消耗）|乙產(chǎn)品（單位消耗）|原料限額||------|-------------------|-------------------|----------||A|2|3|12||B|1|2|8||利潤（元/件）|5|7|-|則最優(yōu)生產(chǎn)方案（甲、乙產(chǎn)量）及最大利潤為（）A.甲0件、乙4件，利潤28元B.甲3件、乙2件，利潤29元C.甲4件、乙2件，利潤34元D.甲6件、乙0件，利潤30元函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值為（）A.2B.0C.-4D.5某地區(qū)未來三天降雨概率分別為0.4、0.5、0.3，且各天降雨相互獨立。則至少有一天降雨的概率為（）A.0.79B.0.86C.0.94D.0.96若隨機變量X~B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=4.2，則p的值為（）A.0.3B.0.5C.0.7D.0.9某投資組合包含A、B兩支股票，權(quán)重分別為60%和40%，其收益率標準差分別為15%和20%，相關(guān)系數(shù)為0.3。則該組合的收益率標準差為（）A.12.6%B.14.8%C.16.5%D.18.2%二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）某項目有三個決策方案，其在不同自然狀態(tài)下的收益矩陣如下表（單位：萬元）：|方案/狀態(tài)|高需求（0.5）|中需求（0.3）|低需求（0.2）||-----------|---------------|---------------|---------------||方案甲|200|100|-50||方案乙|150|120|20||方案丙|100|80|60|則按“期望收益準則”選擇的最優(yōu)方案為______，其期望收益值為______萬元。某產(chǎn)品合格率為0.95，采用放回抽樣方式抽取10件，記不合格品數(shù)為X，則P(X≤1)=______（精確到0.01）。函數(shù)f(x)=e^x-x2在x=1處的切線方程為______。某銀行貸款違約率為5%，若隨機抽查20筆貸款，則恰有2筆違約的概率為______（保留三位小數(shù)）。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）某超市計劃采購一批季節(jié)性水果，進貨價2元/斤，售價5元/斤，若當天售不完，剩余水果將以1元/斤處理。根據(jù)歷史銷售數(shù)據(jù)，每日需求量X（單位：斤）的分布如下：|X|100|200|300|400||------|------|------|------|------||P(X)|0.2|0.3|0.4|0.1|（1）分別計算進貨量為200斤和300斤時的期望利潤；（2）根據(jù)期望利潤準則，確定最優(yōu)進貨量。（12分）某企業(yè)擬開發(fā)新產(chǎn)品，有A、B兩種技術(shù)方案，其收益與市場需求的關(guān)系如下：方案A：投資100萬元，若市場成功（概率0.6），收益300萬元；若失?。ǜ怕?.4），收益50萬元。方案B：投資50萬元，若市場成功（概率0.7），收益200萬元；若失?。ǜ怕?.3），收益80萬元。（1）繪制決策樹并計算各方案的期望凈收益；（2）若企業(yè)決策者的效用函數(shù)為U(w)=ln(w)（w為凈收益，單位：萬元），分別計算兩方案的期望效用值，并比較選擇。（12分）某快遞公司分揀中心使用自動化設備，分揀錯誤率為0.01，現(xiàn)隨機抽查1000件包裹：（1）求分揀錯誤件數(shù)X的期望與方差；（2）用正態(tài)分布近似計算P(X≤15)（Φ(1.65)=0.95，Φ(1.75)=0.96）。（12分）某股票當前價格為100元，未來一年可能出現(xiàn)三種狀態(tài)：上漲20%（概率0.3）、持平（概率0.5）、下跌10%（概率0.2）。（1）計算該股票的期望收益率和收益率方差；（2）若投資者以當前價格買入1000股，求一年后投資組合的期望價值和風險（以方差衡量）。（12分）某農(nóng)場計劃種植某種作物，有三種施肥方案：甲（有機肥）、乙（化肥）、丙（混合肥），其成本及產(chǎn)量受天氣影響如下表（單位：元/畝，公斤/畝）：|方案|成本|豐收（0.4）|平收（0.5）|歉收（0.1）||------|------|-------------|-------------|-------------||甲|500|800|600|400||乙|300|900|650|300||丙|400|850|620|450|已知作物售價為2元/公斤，計算：（1）各方案的期望收益（總收益-成本）；（2）若天氣“歉收”概率從0.1上升至0.3（平收概率降為0.3），分析最優(yōu)方案是否發(fā)生變化（需計算說明）。（12分）某工廠生產(chǎn)過程中，產(chǎn)品尺寸誤差X~N(0,σ2)，規(guī)定誤差|X|≤3mm為合格品，否則為不合格品。（1）若σ=1mm，求產(chǎn)品合格率；（2）若要求合格率達到99.7%，求σ的最大值（參考數(shù)據(jù)：Φ(3)=0.9987，Φ(2.8)=0.9974）。四、附加題（本大題共2小題，共20分，不計入總分，供學有余力的學生選做）某投資機構(gòu)采用VaR（ValueatRisk）模型評估風險，在95%置信水平下，某資產(chǎn)組合10日VaR為100萬元，試解釋該指標的含義，并計算其日VaR值（假設交易日收益率獨立同分布，10日VaR=日VaR×√10）。