2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)發(fā)展模型試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.經(jīng)濟(jì)增長模型中的指數(shù)函數(shù)應(yīng)用某地區(qū)2025年GDP為1000億元，若未來每年以5%的增長率增長，則2030年該地區(qū)GDP約為（）（參考數(shù)據(jù)：(1.05^5\approx1.276)）A.1250億元B.1276億元C.1300億元D.1325億元2.線性回歸與消費(fèi)函數(shù)某調(diào)研團(tuán)隊收集了10個家庭的可支配收入（(x)，單位：千元）與消費(fèi)支出（(y)，單位：千元）數(shù)據(jù)，計算得回歸方程為(\hat{y}=0.7x+0.5)。若某家庭可支配收入為50千元，則該家庭消費(fèi)支出的預(yù)測值為（）A.35千元B.35.5千元C.36千元D.36.5千元3.復(fù)利計算與投資決策小明將10000元存入銀行，年利率為4%，按復(fù)利計算，5年后的本息和為（）（公式：(A=P(1+r)^n)）A.(10000\times(1+0.04\times5))B.(10000\times(1+0.04)^5)C.(10000\timese^{0.04\times5})D.(10000\times(1-0.04)^5)4.邊際成本與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為(C(x)=x^2+2x+100)（(x)為產(chǎn)量，單位：萬件），則當(dāng)產(chǎn)量為10萬件時的邊際成本為（）A.20萬元/萬件B.22萬元/萬件C.120萬元D.100萬元5.概率與風(fēng)險評估某投資項(xiàng)目有A、B兩個方案，A方案盈利的概率為0.6，虧損的概率為0.4；B方案盈利的概率為0.7，虧損的概率為0.3。若以“盈利概率”為決策依據(jù)，應(yīng)選擇（）A.A方案B.B方案C.兩方案無差異D.無法判斷6.函數(shù)圖像與經(jīng)濟(jì)周期下圖為某行業(yè)近10年的銷售額變化曲線，其圖像最可能對應(yīng)的函數(shù)類型是（）（注：圖像呈現(xiàn)“增長-平穩(wěn)-增長”的階梯狀趨勢）A.一次函數(shù)B.二次函數(shù)C.分段函數(shù)D.指數(shù)函數(shù)7.線性規(guī)劃與資源分配某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品每件利潤30元，乙產(chǎn)品每件利潤50元。生產(chǎn)甲需2小時/件，生產(chǎn)乙需3小時/件，每周總工時不超過60小時。若設(shè)每周生產(chǎn)甲(x)件、乙(y)件，則利潤最大化的約束條件之一是（）A.(2x+3y\geq60)B.(2x+3y\leq60)C.(30x+50y\leq60)D.(x+y\leq60)8.統(tǒng)計圖表與數(shù)據(jù)分析某超市2025年各季度銷售額（單位：萬元）如下表所示：|季度|一季度|二季度|三季度|四季度||------|--------|--------|--------|--------||銷售額|200|250|180|320|則該超市銷售額的中位數(shù)為（）A.200萬元B.225萬元C.250萬元D.275萬元9.利率與現(xiàn)值計算某企業(yè)計劃5年后獲得100萬元資金，若年利率為6%，按單利計算，現(xiàn)在應(yīng)存入的本金為（）（公式：(P=\frac{F}{1+rt})）A.(\frac{100}{1+0.06\times5})B.(100\times(1+0.06)^5)C.(\frac{100}{(1+0.06)^5})D.(100\times(1-0.06)^5)10.博弈論與納什均衡甲、乙兩家企業(yè)競爭市場份額，若雙方均選擇“降價”，各獲利500萬元；若一方降價、另一方不降價，降價方獲利800萬元，不降價方獲利100萬元；若雙方均不降價，各獲利600萬元。則該博弈的納什均衡為（）A.（降價，降價）B.（降價，不降價）C.（不降價，降價）D.（不降價，不降價）二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）11.彈性系數(shù)與價格調(diào)整某商品的需求函數(shù)為(Q=100-2P)（(Q)為需求量，(P)為價格），當(dāng)價格(P=20)時，需求價格彈性(E_d=-\frac{P}{Q}\cdot\frac{dQ}{dP}=)________（結(jié)果保留一位小數(shù)）。12.統(tǒng)計方差與市場穩(wěn)定性某股票近5日的收盤價（單位：元）為：12、15、13、14、16，則收盤價的方差(\sigma^2=)________（方差公式：(\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2)）。13.導(dǎo)數(shù)與利潤最大化某產(chǎn)品的利潤函數(shù)為(L(x)=-x^2+20x-50)（(x)為銷量，單位：千件），則利潤最大化時的銷量(x=)________千件。14.矩陣與投入產(chǎn)出模型某經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)有兩個部門，投入產(chǎn)出矩陣(A=\begin{pmatrix}0.2&0.1\0.3&0.4\end{pmatrix})，若最終需求向量(Y=\begin{pmatrix}100\200\end{pmatrix})，則總產(chǎn)出向量(X=(I-A)^{-1}Y)，其中單位矩陣(I=)________。15.概率分布與期望收益某投資的收益（單位：萬元）服從正態(tài)分布(N(10,4))，則該投資的期望收益為________萬元，收益落在區(qū)間([8,12])內(nèi)的概率約為________%（參考：正態(tài)分布(N(\mu,\sigma^2))中，(P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx68.3%)）。三、解答題（本大題共5小題，共70分）16.指數(shù)函數(shù)與經(jīng)濟(jì)增長預(yù)測（12分）某國2020年人口為1億，若人口年增長率為1%，且GDP年增長率為4%，試回答：（1）寫出2025年該國人口(P)（億）與GDP總量(G)（萬億元）的函數(shù)表達(dá)式（假設(shè)2020年GDP為10萬億元）；（2）計算2025年人均GDP（(\frac{G}{P})），并與2020年的人均GDP（10萬元/人）比較，增長率為多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）17.線性回歸與消費(fèi)趨勢分析（14分）某研究機(jī)構(gòu)對某城市居民的“人均可支配收入”與“人均消費(fèi)支出”進(jìn)行調(diào)研，得到如下數(shù)據(jù)（單位：萬元）：年份20202021202220232024收入（(x)）4.24.54.85.15.4支出（(y)）2.83.03.23.53.6（1）計算收入與支出的相關(guān)系數(shù)(r)（保留兩位小數(shù)，參考公式：(r=\frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2\sum(y_i-\bar{y})^2}})）；（2）若(r)接近1，說明兩者存在________關(guān)系；（3）建立支出對收入的線性回歸方程(\hat{y}=\hat{a}+\hatx)，并預(yù)測2025年當(dāng)收入為5.7萬元時的支出。18.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與成本控制（14分）某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為100萬元，可變成本為(x^2)（(x)為產(chǎn)量，單位：萬件），銷售單價為(p=20-2x)（單位：萬元/萬件）。（1）寫出總成本函數(shù)(C(x))、總收入函數(shù)(R(x))和利潤函數(shù)(L(x))；（2）求利潤最大化時的產(chǎn)量(x)及最大利潤；（3）若政府對該產(chǎn)品征收每噸2萬元的稅，求稅后利潤最大化時的產(chǎn)量（提示：稅后成本函數(shù)(C'(x)=C(x)+2x)）。19.概率統(tǒng)計與風(fēng)險決策（15分）某投資者有100萬元資金，可選擇投資股票或債券：股票：盈利50萬元的概率為0.4，虧損20萬元的概率為0.6；債券：盈利10萬元的概率為0.8，虧損5萬元的概率為0.2。（1）分別計算股票和債券的期望收益(E)和方差(\sigma^2)（方差公式：(\sigma^2=E[(X-E(X))^2])）；（2）若投資者為“風(fēng)險厭惡型”（優(yōu)先選擇方差小的方案），應(yīng)選擇哪種投資？若為“風(fēng)險偏好型”（優(yōu)先選擇期望收益高的方案），應(yīng)選擇哪種投資？（3）若將資金按比例(a)投資股票、(1-a)投資債券，寫出總期望收益(E_{總}(a))的表達(dá)式（無需計算結(jié)果）。20.線性規(guī)劃與生產(chǎn)優(yōu)化（15分）某工廠生產(chǎn)A、B兩種設(shè)備，相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：設(shè)備材料消耗（噸/臺）工時消耗（小時/臺）利潤（萬元/臺）A235B324每周材料總量不超過120噸，工時總量不超過100小時。設(shè)每周生產(chǎn)A設(shè)備(x)臺、B設(shè)備(y)臺，利潤為(Z)萬元。（1）寫出利潤函數(shù)(Z=)________，并列出所有約束條件；（2）在坐標(biāo)系中畫出可行域，求出利潤最大化時的((x,y))及最大利潤(Z)；（3）若材料價格上漲導(dǎo)致材料消耗成本增加，應(yīng)優(yōu)先增加哪種設(shè)備的產(chǎn)量？簡述理由。四、附加題（共20分，不計入總分，供學(xué)有余力的學(xué)生選做）21.微分方程與經(jīng)濟(jì)增長模型索洛增長模型的基本方程為(\frac{dk}{dt}=s\cdotf(k)-(\delta+n)k)，其中(k)為人均資本，(s)為儲蓄率，(f(k))為生產(chǎn)函數(shù)，(\delta)為折舊率，(n)為人口增長率。若生產(chǎn)函數(shù)為(f(k)=k^\alpha)（(0<\alpha<1)），且當(dāng)經(jīng)濟(jì)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(\frac{dk}{dt}=0)，求穩(wěn)態(tài)人均資本(k^*)的表達(dá)式（用(s,\delta,n,\alpha)表示）。22.博弈論與寡頭市場雙寡頭市場中，企業(yè)1和企業(yè)2的利潤函數(shù)分別為(\pi_1=q_1(100-q_1-q_2))，(\pi_2=q_2(100-q_1-q_2))（(q_1,q_2)為產(chǎn)量）。若兩企業(yè)同時決策，求納什均衡時的產(chǎn)量(q_1^,q_2^)及利潤(\pi_1^,\pi_2^)。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題B2.B3.B4.B5.B6.C7.B8.B9.A10.A二、填空題11.1.312.213.1014.(\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix})15.10；68.3三、解答題（示例）16.（1）(P=1\times(1+0.01)^5\approx1.051)億，(G=10\times(1+0.04)^5\ap