2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與納米技術(shù)數(shù)學(xué)模型試卷一、選擇題（每題5分，共30分）納米材料表面原子分布模型中，若某種納米顆粒的原子數(shù)隨半徑(r)（單位：nm）的變化規(guī)律滿足(N(r)=4\pir^2\times5\times10^{14})，則當(dāng)半徑從2nm增加到3nm時(shí)，原子數(shù)的平均變化率為（）A.(10\pi\times10^{14})B.(20\pi\times10^{14})C.(25\pi\times10^{14})D.(30\pi\times10^{14})量子點(diǎn)熒光強(qiáng)度模型顯示，熒光強(qiáng)度(I)與量子點(diǎn)尺寸(d)（單位：nm）的關(guān)系為(I(d)=\frac{120}{d^2}+5)，則當(dāng)(d=5)nm時(shí)，熒光強(qiáng)度對(duì)尺寸的瞬時(shí)變化率為（）A.-1.92B.-2.4C.-4.8D.-9.6納米薄膜干涉模型中，雙光束干涉的光程差公式為(\Delta=2nd\cos\theta+\frac{\lambda}{2})（(n)為折射率，(d)為薄膜厚度，(\theta)為折射角，(\lambda)為光波長）。若(n=1.5)，(d=200)nm，(\theta=0^\circ)，則產(chǎn)生相消干涉的光波長(\lambda)可能為（）A.400nmB.500nmC.600nmD.700nm碳納米管生長動(dòng)力學(xué)模型中，長度(L(t))（單位：μm）隨時(shí)間(t)（單位：min）的變化滿足微分方程(\frac{dL}{dt}=0.8-0.02L)，且初始條件(L(0)=5)μm，則(t=10)min時(shí)的長度為（）A.10μmB.12μmC.15μmD.20μm納米顆粒布朗運(yùn)動(dòng)模型中，位移平方的平均值(\langlex^2\rangle=6Dt)（(D)為擴(kuò)散系數(shù)，(t)為時(shí)間）。若某顆粒在20s內(nèi)的平均位移為(\sqrt{120})μm，則擴(kuò)散系數(shù)(D)為（）A.0.5μm2/sB.1μm2/sC.2μm2/sD.5μm2/s納米傳感器信號(hào)模型中，輸出電壓(U)與檢測物濃度(c)（單位：mol/L）的關(guān)系為(U(c)=0.1c+0.05c^2)。當(dāng)(c=0.2)mol/L時(shí)，濃度對(duì)電壓的邊際貢獻(xiàn)（即(\frac{dc}{dU})）為（）A.2B.5C.10D.20二、填空題（每題5分，共30分）納米線電阻模型：某納米線的電阻(R)（單位：Ω）與直徑(d)（單位：nm）的關(guān)系為(R=\frac{2000}{d^2})，當(dāng)直徑從10nm減小到8nm時(shí)，電阻的增量為________Ω。分子自組裝模型：在二維平面上，分子數(shù)(M)隨時(shí)間(t)（單位：s）的變化滿足(M(t)=1000(1-e^{-0.02t}))，則(t=50)s時(shí)的組裝速率為________個(gè)/s。納米催化劑反應(yīng)速率模型：某反應(yīng)的速率(v)（單位：mol/(L·min)）與催化劑粒徑(r)（單位：nm）的關(guān)系為(v(r)=0.5r+\frac{10}{r})，則最優(yōu)粒徑（使速率最大）為________nm。量子隧穿效應(yīng)模型：粒子隧穿概率(P=e^{-2kd})，其中(k=\sqrt{\frac{2m(U-E)}{\hbar^2}})（(m)為粒子質(zhì)量，(U)為勢壘高度，(E)為粒子能量，(\hbar)為約化普朗克常數(shù)）。若(k=0.5)nm?1，勢壘寬度(d=2)nm，則隧穿概率(P=)________（保留3位小數(shù)）。納米多孔材料吸附模型：吸附量(Q)（單位：mg/g）與壓力(p)（單位：kPa）的關(guān)系符合朗繆爾方程(Q(p)=\frac{10p}{0.5+p})，則當(dāng)(p=2)kPa時(shí)的吸附平衡常數(shù)為________（提示：朗繆爾方程形式為(Q=\frac{Q_mbp}{1+bp})，其中(b)為平衡常數(shù)）。納米復(fù)合材料熱傳導(dǎo)模型：有效熱導(dǎo)率(k_{eff}=k_m(1+3\phi\frac{k_p-k_m}{k_p+2k_m}))（(k_m)為基體熱導(dǎo)率，(k_p)為顆粒熱導(dǎo)率，(\phi)為體積分?jǐn)?shù)）。若(k_m=0.5)W/(m·K)，(k_p=50)W/(m·K)，(\phi=0.1)，則(k_{eff}=)________W/(m·K)。三、解答題（共40分）納米薄膜厚度測量模型（12分）某納米薄膜的反射光譜數(shù)據(jù)顯示，相消干涉對(duì)應(yīng)的波數(shù)(\nu)（單位：cm?1）滿足方程：[2d\sqrt{n^2-\sin^2\theta}=\frac{m}{\nu}]其中(d)為薄膜厚度，(n=1.45)（折射率），(\theta=10^\circ)（入射角），(m)為整數(shù)。（1）若實(shí)測波數(shù)(\nu=20000)cm?1（對(duì)應(yīng)波長500nm）時(shí)出現(xiàn)第1級(jí)相消干涉（(m=1)），計(jì)算薄膜厚度(d)（結(jié)果保留1位小數(shù)）；（2）若入射角增加到(15^\circ)，同一級(jí)次相消干涉對(duì)應(yīng)的波數(shù)如何變化？說明理由。碳納米管生長模型（14分）碳納米管的長度(L(t))（單位：μm）隨時(shí)間(t)（單位：min）的生長過程滿足微分方程：[\frac{dL}{dt}=k(L_{max}-L)]其中(k=0.1)min?1，(L_{max}=50)μm（最大長度），初始條件(L(0)=2)μm。（1）求解該微分方程，得到(L(t))的表達(dá)式；（2）計(jì)算生長至最大長度90%所需的時(shí)間（結(jié)果保留整數(shù)）；（3）若溫度升高導(dǎo)致(k)變?yōu)?.15min?1，求此時(shí)達(dá)到相同長度所需時(shí)間的變化率（即時(shí)間對(duì)(k)的導(dǎo)數(shù)）。納米顆粒擴(kuò)散模型（14分）納米顆粒在液體中的擴(kuò)散系數(shù)(D)（單位：cm2/s）與溫度(T)（單位：K）的關(guān)系為(D(T)=1.2\times10^{-8}\frac{T}{\eta})，其中(\eta)為液體黏度（單位：Pa·s）。在某實(shí)驗(yàn)中，黏度(\eta)與溫度的關(guān)系為(\eta(T)=0.1e^{-0.02T})。（1）推導(dǎo)(D(T))關(guān)于溫度(T)的函數(shù)表達(dá)式；（2）計(jì)算(T=300)K時(shí)的擴(kuò)散系數(shù)(D)；（3）當(dāng)(T=300)K時(shí)，溫度每升高1K，擴(kuò)散系數(shù)增加多少？（保留2位有效數(shù)字）四、建模應(yīng)用題（共50分）納米傳感器動(dòng)態(tài)響應(yīng)模型（25分）某納米傳感器的輸出電壓(U(t))（單位：V）與時(shí)間(t)（單位：s）的關(guān)系通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合為：[U(t)=0.5t+0.01t^3-0.0002t^5]（1）求傳感器在(t=5)s時(shí)的輸出電壓及變化速率；（2）求電壓達(dá)到最大值的時(shí)間及最大電壓；（3）若傳感器的靈敏度定義為(S=\frac{dU}{dt})，求靈敏度的最大值及對(duì)應(yīng)的時(shí)間。納米藥物釋放模型（25分）納米載藥系統(tǒng)的藥物釋放量(M(t))（單位：μg）隨時(shí)間(t)（單位：h）的變化滿足：[M(t)=M_0\left(1-\frac{6}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}e^{-\left(\frac{n\pi}{R}\right)^2Dt}\right)]其中(M_0=1000)μg（初始藥量），(R=50)nm（納米顆粒半徑），(D=2\times10^{-12})cm2/s（擴(kuò)散系數(shù)）。（1）當(dāng)(t)足夠大時(shí)，釋放量(M(t))的極限值是多少？（2）取級(jí)數(shù)的前1項(xiàng)近似（即僅保留(n=1)），計(jì)算釋放50%藥量所需的時(shí)間（結(jié)果保留1位小數(shù)）；（3）若半徑減小到40nm，釋放50%藥量的時(shí)間如何變化？通過計(jì)算說明。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（簡要提示）一、選擇題C2.A3.C4.B5.A6.B二、填空題458.13.539.(2\sqrt{10})（或6.32）10.0.13511.212.0.8三、解答題（1）(d\approx172.6)nm；（2）波數(shù)增大，因(\sin\theta)增大導(dǎo)致分母減小。（1）(L(t)=50-48e^{-0.1t})；（2）29min；（3）-193min2?1。（1）(D(T)=1.2\times10^{-7}Te^{0.02T})；（2）(3.6\times10^{-6})cm2/s；（3）(2.9\times10^{-7})cm2/(s·K)。四、建模應(yīng)用題（1）(U(5)