2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與人工智能試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）在機器學(xué)習(xí)中，線性回歸模型的損失函數(shù)通常采用（）A.交叉熵函數(shù)B.均方誤差函數(shù)C.對數(shù)似然函數(shù)D.hinge損失函數(shù)已知某神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有3個輸入神經(jīng)元、2個隱藏層（分別含5個和4個神經(jīng)元）、1個輸出神經(jīng)元，該網(wǎng)絡(luò)的連接權(quán)重總數(shù)為（）A.3×5+5×4+4×1=39B.3×5+5×4+4×1+5+4+1=49C.(3+1)×5+(5+1)×4+(4+1)×1=53D.3×5×4×1=60設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，使用最大似然估計法估計參數(shù)μ時，下列說法正確的是（）A.估計結(jié)果為樣本中位數(shù)B.估計結(jié)果為樣本均值C.估計結(jié)果與樣本方差相關(guān)D.估計結(jié)果隨樣本容量增大而趨近于0在圖像識別任務(wù)中，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）的卷積操作本質(zhì)上是對圖像進(jìn)行（）A.傅里葉變換B.線性加權(quán)求和C.特征降維D.概率分布估計已知某決策樹模型在訓(xùn)練集上的準(zhǔn)確率為98%，在測試集上的準(zhǔn)確率為72%，該現(xiàn)象最可能是（）A.欠擬合B.過擬合C.數(shù)據(jù)泄露D.類別不平衡設(shè)集合A={x|x為訓(xùn)練樣本}，集合B={x|x為測試樣本}，在機器學(xué)習(xí)模型評估中，正確的集合關(guān)系是（）A.A∩B=?B.A?BC.B?AD.A=B在梯度下降算法中，學(xué)習(xí)率（learningrate）過大可能導(dǎo)致（）A.收斂速度過慢B.陷入局部極小值C.無法收斂到最優(yōu)解D.梯度爆炸已知某二分類問題的混淆矩陣如下：預(yù)測正例預(yù)測負(fù)例實際正例6020實際負(fù)例10110該模型的精確率（Precision）為（）A.60/(60+20)=0.75B.60/(60+10)=0.857C.110/(20+110)=0.846D.(60+110)/(60+20+10+110)=0.85在強化學(xué)習(xí)中，Q-learning算法的核心更新公式為Q(s,a)←Q(s,a)+α[r+γmaxQ(s',a')-Q(s,a)]，其中γ的取值范圍是（）A.(-∞,0)B.[0,1]C.(1,+∞)D.[-1,1]設(shè)某神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)為σ(x)=1/(1+e^(-x))，則當(dāng)x→+∞時，該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)σ’(x)趨近于（）A.0B.1/4C.1/2D.1在主成分分析（PCA）中，協(xié)方差矩陣的特征值表示（）A.對應(yīng)主成分的方差B.特征向量的方向C.數(shù)據(jù)的中心化程度D.樣本間的相關(guān)性已知某支持向量機（SVM）模型的核函數(shù)為K(x,y)=(x·y+1)^3，該核函數(shù)對應(yīng)的特征空間維度為（）A.3B.4C.10D.無窮大二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知某深度學(xué)習(xí)模型包含100萬個參數(shù)，每個參數(shù)采用32位浮點數(shù)存儲，該模型的參數(shù)文件大小約為______MB（1MB=1024×1024字節(jié)）。在自然語言處理中，將文本序列轉(zhuǎn)換為數(shù)值向量的過程稱為______，常用方法包括Word2Vec和BERT等。設(shè)某隨機森林模型由100棵決策樹組成，當(dāng)輸入樣本x時，有72棵樹預(yù)測類別為1，28棵樹預(yù)測類別為0，則該模型的輸出結(jié)果為______。已知某神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層維度為10，輸出層維度為2，若使用softmax函數(shù)作為輸出層激活函數(shù)，則輸出向量(y?,y?)需滿足條件______。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）在監(jiān)督學(xué)習(xí)中，給定訓(xùn)練數(shù)據(jù)集{(x?,y?),(x?,y?),...,(x?,y?)}，其中x?∈R?為特征向量，y?∈{0,1}為類別標(biāo)簽。（1）寫出邏輯回歸模型的預(yù)測函數(shù)表達(dá)式；（2）推導(dǎo)該模型的對數(shù)似然函數(shù)。（12分）某在線購物平臺使用協(xié)同過濾算法推薦商品，已知用戶A和用戶B的商品評分向量分別為：A=[4,5,0,3,0]B=[5,4,3,0,2]其中0表示未評分。（1）計算兩用戶的余弦相似度；（2）若用戶A對第3個商品的預(yù)測評分采用加權(quán)平均法計算，權(quán)重為用戶相似度，已知用戶C（與A的相似度為0.8）對第3個商品的評分為4，用戶D（與A的相似度為0.6）對第3個商品的評分為5，求用戶A對該商品的預(yù)測評分。（12分）考慮一個簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：輸入層1個神經(jīng)元x，隱藏層2個神經(jīng)元（激活函數(shù)為ReLU），輸出層1個神經(jīng)元（激活函數(shù)為恒等函數(shù)）。網(wǎng)絡(luò)參數(shù)為：隱藏層權(quán)重W?=[[2],[-1]]，偏置b?=[-1,2]輸出層權(quán)重W?=[1,3]，偏置b?=0（1）當(dāng)輸入x=3時，計算網(wǎng)絡(luò)的輸出值；（2）若損失函數(shù)L=(y_pred-y_true)2，當(dāng)y_true=5時，計算損失函數(shù)對W?的梯度。（12分）在聚類任務(wù)中，給定樣本點集{(1,2),(2,1),(4,5),(5,4)}，使用K-means算法（K=2）進(jìn)行聚類。（1）若初始聚類中心為(1,2)和(4,5)，計算第一次迭代后的聚類中心；（2）說明K-means算法可能陷入局部最優(yōu)解的原因，并提出一種改進(jìn)方法。（12分）某工廠使用機器學(xué)習(xí)模型預(yù)測產(chǎn)品合格率，收集到1000個樣本，其中合格產(chǎn)品800個。使用邏輯回歸模型訓(xùn)練后，得到概率閾值為0.5時的混淆矩陣如下：預(yù)測合格預(yù)測不合格實際合格72080實際不合格40160（1）計算模型的召回率（Recall）和F1分?jǐn)?shù)；（2）若工廠希望盡可能減少不合格產(chǎn)品流出（即降低假陰性率），應(yīng)提高還是降低概率閾值？說明理由。（12分）在強化學(xué)習(xí)的迷宮問題中，智能體從起點S出發(fā)，目標(biāo)是到達(dá)終點G，中間有陷阱T。狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)則如下：從S向東有50%概率到G，50%概率到A從A向東有100%概率到G，向南有100%概率到T到達(dá)G獲得獎勵+10，到達(dá)T獲得獎勵-10，其他狀態(tài)獎勵為0（1）若使用價值迭代算法（γ=0.9），初始化所有狀態(tài)價值V(S)=V(A)=0，計算第一次迭代后的V(S)和V(A)；（2）說明折扣因子γ在強化學(xué)習(xí)中的作用。四、建模題（本大題共1小題，共20分）某中學(xué)為優(yōu)化課程安排，計劃基于學(xué)生歷史成績數(shù)據(jù)構(gòu)建學(xué)習(xí)效果預(yù)測模型?，F(xiàn)有數(shù)據(jù)集包含以下字段：學(xué)生ID（唯一標(biāo)識）數(shù)學(xué)課前測成績（滿分100）每周學(xué)習(xí)時長（小時）課堂互動次數(shù)（次/周）作業(yè)完成度（百分比）數(shù)學(xué)期末成績（滿分100，作為目標(biāo)變量）請完成以下任務(wù)：（1）設(shè)計數(shù)據(jù)預(yù)處理方案，包括缺失值處理、異常值檢測和特征工程；（2）選擇合適的機器學(xué)習(xí)模型，并說明選擇理由；（3）設(shè)計模型評估方案，包括評價指標(biāo)和交叉驗證方法；（4）若模型部署后發(fā)現(xiàn)預(yù)測誤差較大，分析可能的原因并提出改進(jìn)措施。五、證明題（本大題共1小題，共10分）證明在邏輯回歸模型中，當(dāng)使用梯度下降法最小化交叉熵?fù)p失函數(shù)時，參數(shù)更新公式為：θ=θ-α·(1/n)·Σ(x?(y_pred?-y?))其中θ為模型參數(shù)，α為學(xué)習(xí)率，n為樣本數(shù)量，x?為第i個樣本的特征向量，y_pred?為模型預(yù)測概率，y?為真實標(biāo)簽。（全卷共計210分）本文通過模擬試卷形式，系統(tǒng)考察了高中數(shù)學(xué)與人工智能的交叉知識，涵蓋機器學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理、數(shù)據(jù)