2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與社會(huì)福利優(yōu)化試卷一、選擇題（每題5分，共60分）某社區(qū)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)老活動(dòng)中心，周長(zhǎng)固定為80米。若要使活動(dòng)中心面積最大，矩形的長(zhǎng)應(yīng)為（）A.15米B.20米C.25米D.30米某市為優(yōu)化醫(yī)療資源配置，對(duì)社區(qū)衛(wèi)生服務(wù)中心的覆蓋范圍進(jìn)行建模。設(shè)居民點(diǎn)到服務(wù)中心的平均距離為(d(x)=0.1x^2-2x+15)（(x)為服務(wù)中心數(shù)量，(5\leqx\leq20)），則當(dāng)服務(wù)中心數(shù)量為（）時(shí)，平均距離最小。A.8B.10C.12D.15某公益組織開展助農(nóng)項(xiàng)目，銷售農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)函數(shù)為(L(x)=-0.02x^2+5x-100)（(x)為銷售量，單位：百件），則最大利潤(rùn)為（）A.250元B.312.5元C.562.5元D.625元為緩解交通擁堵，某市對(duì)地鐵票價(jià)進(jìn)行優(yōu)化。已知票價(jià)(p)（元）與日均客流量(q)（萬人次）的關(guān)系為(q=50-5p)，地鐵運(yùn)營(yíng)成本為(C=100+5q)（萬元），則當(dāng)票價(jià)為（）時(shí)，日均利潤(rùn)最大。A.4元B.5元C.6元D.7元某養(yǎng)老院采用光伏發(fā)電系統(tǒng)，其發(fā)電量(f(t)=-t^3+6t^2+15t)（(t)為日照時(shí)間，單位：小時(shí)，(0\leqt\leq8)），則發(fā)電量最大的時(shí)刻為（）A.(t=3)B.(t=5)C.(t=6)D.(t=8)在社會(huì)救助資源分配中，某地區(qū)貧困人口數(shù)(N(x)=\frac{1000}{x+1}+50x)（(x)為救助站數(shù)量，(x\geq1)），則救助站數(shù)量為（）時(shí)，貧困人口數(shù)最少。A.3B.4C.5D.6某社區(qū)圖書館采購圖書，每本書的采購成本與采購量(x)的關(guān)系為(C(x)=2000+15x+\frac{10000}{x})（(x>0)），則最小平均成本為（）A.25元/本B.30元/本C.35元/本D.40元/本某環(huán)保組織開展垃圾分類項(xiàng)目，投入(x)（萬元）與垃圾回收率(r(x)=1-e^{-0.2x})的關(guān)系滿足(r(x))，則當(dāng)投入為（）時(shí)，邊際回收率（回收率對(duì)投入的導(dǎo)數(shù)）最大。A.3萬元B.4萬元C.5萬元D.6萬元某城市規(guī)劃保障性住房，已知單套面積(s)（平方米）與建設(shè)成本(c(s)=2000s+\frac{100000}{s})，則當(dāng)單套面積為（）時(shí)，單位面積成本最低。A.50平方米B.60平方米C.70平方米D.80平方米某公益基金會(huì)投資教育項(xiàng)目，年化收益率(r(x)=0.05x-0.001x^2)（(x)為投資比例，(0\leqx\leq50)），則最優(yōu)投資比例為（）A.20%B.25%C.30%D.35%某醫(yī)院優(yōu)化急診資源配置，接診效率(E(t)=-t^2+8t+12)（(t)為醫(yī)護(hù)人員數(shù)量），則當(dāng)醫(yī)護(hù)人員數(shù)量為（）時(shí)，接診效率最高。A.3B.4C.5D.6某地區(qū)通過補(bǔ)貼政策鼓勵(lì)企業(yè)參與養(yǎng)老服務(wù)，補(bǔ)貼金額(S(x)=0.1x^2-2x+20)（(x)為參與企業(yè)數(shù)），則當(dāng)參與企業(yè)數(shù)為（）時(shí)，補(bǔ)貼總金額最低。A.8B.10C.12D.15二、填空題（每題6分，共30分）某社區(qū)食堂每天的食材浪費(fèi)量(W(x)=0.5x^2-10x+60)（(x)為就餐人數(shù)，單位：百人），則當(dāng)就餐人數(shù)為______時(shí)，浪費(fèi)量最小，最小浪費(fèi)量為______。某公益平臺(tái)的捐款人數(shù)(n(p)=1000-50p)（(p)為人均捐款額，單位：元），則當(dāng)人均捐款額為______元時(shí)，捐款總額最大，最大總額為______元。某城市共享單車投放量(x)（萬輛）與日均調(diào)度成本(C(x)=0.5x^2-10x+80)（萬元），則當(dāng)投放量為______萬輛時(shí)，調(diào)度成本最低。某養(yǎng)老院的護(hù)理人員配置中，每位老人的平均護(hù)理時(shí)間(T(x)=\frac{60}{x}+0.5x)（(x)為護(hù)理人員數(shù)），則最優(yōu)護(hù)理人員數(shù)為______。某環(huán)保項(xiàng)目中，污染物處理量(Q(t)=t^3-6t^2+12t)（(t)為處理時(shí)間，單位：小時(shí)），則在(t=2)時(shí)的處理效率（導(dǎo)數(shù)）為______噸/小時(shí)。三、解答題（共60分）（12分）某社會(huì)福利機(jī)構(gòu)計(jì)劃建造一個(gè)矩形兒童活動(dòng)區(qū)，周長(zhǎng)為120米，靠墻一側(cè)不需要圍欄，如圖所示。設(shè)垂直于墻的邊長(zhǎng)為(x)米，活動(dòng)區(qū)面積為(S)平方米。（1）寫出面積(S)關(guān)于(x)的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域；（2）求活動(dòng)區(qū)面積的最大值及對(duì)應(yīng)的(x)值。（12分）某公益組織為貧困地區(qū)學(xué)生捐贈(zèng)書包，生產(chǎn)成本與產(chǎn)量的關(guān)系為(C(x)=2000+10x+0.01x^2)（元），售價(jià)為每個(gè)50元。（1）求利潤(rùn)函數(shù)(L(x))；（2）求最大利潤(rùn)及對(duì)應(yīng)的產(chǎn)量。（14分）某市為優(yōu)化公共交通，對(duì)公交車發(fā)車頻率進(jìn)行調(diào)整。已知發(fā)車間隔(t)（分鐘）與載客量(Q(t)=\frac{100t}{t+2})（人/輛），運(yùn)營(yíng)成本為(C(t)=50+10t)（元/輛），車票價(jià)格為2元/人。（1）求單輛公交車的收入函數(shù)(R(t))和利潤(rùn)函數(shù)(P(t))；（2）求最優(yōu)發(fā)車間隔(t)，使單輛公交車的利潤(rùn)最大。（12分）某社區(qū)開展老年人智能設(shè)備培訓(xùn)，參與人數(shù)(N(x)=100-5x)（(x)為培訓(xùn)費(fèi)用，單位：元/人），培訓(xùn)成本(C(x)=500+10N(x))（元）。（1）求利潤(rùn)函數(shù)(L(x))；（2）為保證公益屬性，培訓(xùn)費(fèi)用不超過20元，求最大利潤(rùn)及對(duì)應(yīng)的培訓(xùn)費(fèi)用。（10分）某地區(qū)通過數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)養(yǎng)老床位需求，需求函數(shù)(D(t)=0.5t^2+10t+500)（(t)為年份，(t=0)對(duì)應(yīng)2025年），床位供給函數(shù)(S(t)=20t+600)。（1）求供需缺口函數(shù)(G(t)=D(t)-S(t))；（2）求未來10年內(nèi)（(0\leqt\leq10)）供需缺口的最小值及對(duì)應(yīng)年份。四、建模與探究題（20分）某公益基金會(huì)計(jì)劃在貧困縣建設(shè)飲水工程，需考慮管道鋪設(shè)成本與供水覆蓋范圍的優(yōu)化。已知管道總長(zhǎng)(L)（公里）與覆蓋村莊數(shù)(n)的關(guān)系為(L=2n+\frac{30}{n})，每公里管道成本為5萬元，每個(gè)村莊的維護(hù)費(fèi)用為2萬元。（1）建立總費(fèi)用(C(n))關(guān)于覆蓋村莊數(shù)(n)的函數(shù)模型；（2）求最優(yōu)覆蓋村莊數(shù)(n)，使總費(fèi)用最低，并計(jì)算最低總費(fèi)用。（3）若政府補(bǔ)貼后，每公里管道成本降低1萬元，重新計(jì)算最優(yōu)覆蓋村莊數(shù)及最低總費(fèi)用，并分析補(bǔ)貼政策的效果。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（注：實(shí)際試卷中需提供詳細(xì)解題步驟及評(píng)分細(xì)則，此處略）試卷設(shè)計(jì)說明核心素養(yǎng)導(dǎo)向：以導(dǎo)數(shù)應(yīng)用為工具，結(jié)合社會(huì)福利場(chǎng)景（如養(yǎng)老、教育、環(huán)保、公共交通等），考查數(shù)學(xué)建模、邏輯推理與應(yīng)用能力。真實(shí)問題情境：題目素材