2025年高中物理知識競賽能力提升題（五）一、力學(xué)模塊題目1：非線性振動與混沌現(xiàn)象一輕質(zhì)彈簧（勁度系數(shù)k）一端固定，另一端連接質(zhì)量為m的小球，置于光滑水平面上。小球受到的阻尼力大小為f=-bv（b為阻尼系數(shù)），同時受到周期性驅(qū)動力F=F?cosωt的作用。（1）寫出系統(tǒng)的運動微分方程；（2）若驅(qū)動力頻率ω接近系統(tǒng)固有頻率ω?=√(k/m)，分析可能出現(xiàn)的物理現(xiàn)象；（3）當(dāng)驅(qū)動力幅值F?逐漸增大時，說明系統(tǒng)運動狀態(tài)的變化趨勢。解析：（1）根據(jù)牛頓第二定律，系統(tǒng)的運動微分方程為：m(d2x/dt2)+b(dx/dt)+kx=F?cosωt（2）當(dāng)ω≈ω?時，系統(tǒng)將發(fā)生共振現(xiàn)象，振幅達到最大值。此時需考慮阻尼的影響，共振頻率略低于固有頻率，振幅表達式為A=F?/√[(k-mω2)2+(bω)2]。（3）當(dāng)F?較小時，系統(tǒng)做穩(wěn)定的受迫振動，振幅與驅(qū)動力頻率呈單峰關(guān)系；隨著F?增大，振幅逐漸增加，當(dāng)超過臨界值后，系統(tǒng)可能出現(xiàn)倍周期分岔，最終進入混沌狀態(tài)，表現(xiàn)為運動軌跡對初始條件的敏感依賴性，無法長期預(yù)測。題目2：剛體定點轉(zhuǎn)動一勻質(zhì)細(xì)桿長為l、質(zhì)量為m，可繞通過其一端的水平軸在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。初始時桿靜止于水平位置，某時刻無初速釋放，桿下擺過程中：（1）求桿與豎直方向夾角為θ時的角速度；（2）此時軸對桿的作用力大小。解析：（1）根據(jù)機械能守恒定律，桿從水平位置下擺至θ角過程中，重力勢能轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)動動能：mg·(l/2)cosθ=(1/2)Iω2其中轉(zhuǎn)動慣量I=ml2/3，解得ω=√[3gcosθ/l]（2）對桿進行受力分析，軸對桿的作用力可分解為法向F?和切向F?。法向方向：F?-mgcosθ=m(l/2)ω2切向方向：mgsinθ-F?=m(l/2)α角加速度α=dω/dt=(3g/2l)sinθ，代入得F?=0聯(lián)立解得F?=(5/2)mgcosθ，故軸對桿的作用力大小為(5/2)mgcosθ。二、電磁學(xué)模塊題目3：時變電磁場與電磁波一無限長螺線管單位長度匝數(shù)為n，半徑為R，通有電流I(t)=I?sinωt。求：（1）螺線管內(nèi)的磁感應(yīng)強度B(t)；（2）螺線管內(nèi)的感生電場E(r)分布；（3）計算距離螺線管軸線r處的能流密度S的大小和方向。解析：（1）由安培環(huán)路定理，螺線管內(nèi)磁感應(yīng)強度B(t)=μ?nI?sinωt，方向沿軸向。（2）根據(jù)麥克斯韋方程組，變化的磁場產(chǎn)生感生電場：∮E·dl=-dΦ/dt對r≤R的區(qū)域，2πrE=-πr2dB/dt，解得E(r)=-μ?nωI?rcosωt/(2)，方向為逆時針（俯視時）；對r>R的區(qū)域，2πrE=-πR2dB/dt，解得E(r)=-μ?nωI?R2cosωt/(2r)。（3）能流密度S=E×B/μ?，方向沿徑向向外。大小為：當(dāng)r≤R時，S=μ?n2ωI?2rsinωtcosωt/(2)當(dāng)r>R時，S=μ?n2ωI?2R?sinωtcosωt/(4r2)題目4：電磁感應(yīng)與電路如圖所示，一U形導(dǎo)軌水平放置，間距為L，電阻不計。質(zhì)量為m、電阻為R的導(dǎo)體棒ab垂直置于導(dǎo)軌上，整個裝置處于豎直向下的勻強磁場B中。現(xiàn)用水平外力F拉導(dǎo)體棒，使其以速度v?做勻速運動，某時刻突然撤去外力，棒最終靜止。求：（1）撤去外力瞬間棒中的電流大小和方向；（2）棒從撤去外力到靜止過程中滑行的距離x；（3）此過程中回路產(chǎn)生的焦耳熱Q。解析：（1）撤去外力瞬間，棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E=BLv?，電流I=E/R=BLv?/R，方向由b→a（右手定則）。（2）撤去外力后，棒在安培力作用下做減速運動，加速度a=-F安/m=-B2L2v/(mR)由vdv/dx=a，分離變量積分：∫???vdv=-(B2L2/mR)∫??dx解得x=mRv?/(B2L2)（3）由能量守恒定律，回路產(chǎn)生的焦耳熱等于棒的初動能：Q=(1/2)mv?2三、熱學(xué)模塊題目5：非平衡態(tài)統(tǒng)計與熵變1mol單原子理想氣體經(jīng)歷如圖所示的循環(huán)過程，其中ab為等溫過程（T=400K），bc為等壓過程，ca為等容過程。已知p?=2atm，V?=10L，V?=20L。求：（1）各過程的熱量變化；（2）循環(huán)效率η。解析：（1）狀態(tài)參數(shù)計算：a→b等溫過程：p?V?=p?V?，得p?=1atmb→c等壓過程：V?/T?=Vc/Tc，Vc=V?=10L，得Tc=200K各過程熱量：ab過程：Q?=RTln(V?/V?)=8.31×400×ln2≈2305Jbc過程：Q?=Cp(Tc-T?)=(5/2)R×(-200)≈-4155Jca過程：Q?=Cv(T?-Tc)=(3/2)R×200≈2493J（2）循環(huán)凈功W=Q?+Q?+Q?≈643J，效率η=W/Q?≈28%題目6：表面張力與熱輻射一半徑為r的肥皂泡內(nèi)外壓強差為Δp，表面張力系數(shù)為σ。（1）導(dǎo)出Δp與r、σ的關(guān)系；（2）若肥皂泡溫度為T，求單位時間內(nèi)從其表面輻射的能量（設(shè)表面發(fā)射率為ε）。解析：（1）肥皂泡有內(nèi)外兩個表面，由表面張力產(chǎn)生的附加壓強為Δp=4σ/r（2）根據(jù)斯特藩-玻爾茲曼定律，單位時間內(nèi)輻射的能量（輻出度）M=εσT?（此處σ為斯特藩常量），肥皂泡表面積S=4πr2，故總輻射功率P=4πεσT?r2四、光學(xué)模塊題目7：光的干涉與衍射用波長λ=500nm的單色光垂直照射雙縫干涉裝置，雙縫間距d=0.2mm，縫到屏的距離D=1m。（1）求相鄰明紋間距；（2）若在一縫后放置厚度t=6μm的透明薄片（折射率n=1.5），求中央明紋移動的方向和距離。解析：（1）相鄰明紋間距Δx=Dλ/d=1×500×10??/(0.2×10?3)=2.5×10?3m=2.5mm（2）放置薄片后，兩縫光程差改變Δ=(n-1)t，中央明紋將向放置薄片的縫一側(cè)移動。移動距離x=DΔ/d=D(n-1)t/d=1×(1.5-1)×6×10??/(0.2×10?3)=0.015m=15mm題目8：幾何光學(xué)與光的偏振一折射率為n的等腰直角三棱鏡，一束自然光垂直入射其一直角邊。（1）欲使光在斜邊發(fā)生全反射，n應(yīng)滿足什么條件？（2）此時從另一直角邊出射的光的偏振狀態(tài)。解析：（1）光在斜邊的入射角i=45°，發(fā)生全反射的臨界角C滿足sinC=1/n，故需i>C，即sin45°>1/n，解得n>√2≈1.414（2）自然光垂直入射直角邊后不發(fā)生折射，在斜邊發(fā)生全反射時，反射光為線偏振光，振動方向垂直于入射面。該線偏振光垂直入射另一直角邊后出射，偏振狀態(tài)不變，仍為線偏振光，振動方向垂直于入射面。五、近代物理模塊題目9：量子力學(xué)基礎(chǔ)與原子物理氫原子從n=3的激發(fā)態(tài)向低能級躍遷。（1）可能輻射幾種頻率的光子？（2）計算其中波長最長的光子能量；（3）若該光子照射到逸出功為2.25eV的鈉表面，求光電子的最大初動能。解析：（1）可能的躍遷方式：3→2、3→1、2→1，共3種頻率的光子（2）波長最長的光子對應(yīng)能量最小的躍遷（3→2），由氫原子能級公式E?=-13.6eV/n2ΔE=E?-E?=(-1.51eV)-(-3.40eV)=1.89eV（3）根據(jù)愛因斯坦光電效應(yīng)方程，光電子最大初動能E?=ΔE-W?=1.89eV-2.25eV=-0.36eV因ΔE<W?，無法產(chǎn)生光電效應(yīng)，故E?=0題目10：相對論動力學(xué)一靜止質(zhì)量為m?的粒子以速度v=0.6c運動（c為真空中光速）。（1）計算其相對論總能量E；（2）若該粒子與另一靜止的同類粒子發(fā)生完全非彈性碰撞，求碰撞后復(fù)合粒子的靜止質(zhì)量M?。解析：（1）相對論總能量E=γm?c2，其中γ=1/√(1-v2/c2)=1/0.8=1.25，故E=1.25m?c2（2）碰撞過程動量和能量守恒：動量守恒：γm?v=γ'MV（V為復(fù)合粒子速度，γ'=1/√(1-V2/c2)）能量守恒：γm?c2+m?c2=γ'Mc2聯(lián)立解得M?=√(2m?2(1+γ))=√(2m?2(1+1.25))=√4.5m?≈2.12m?六、綜合應(yīng)用題題目11：力學(xué)與電磁學(xué)綜合如圖所示，質(zhì)量為m、電荷量為q的小球用長為l的絕緣細(xì)線懸掛于O點，整個裝置處于水平向右的勻強電場E和垂直紙面向外的勻強磁場B中。小球從最低位置以初速度v?向右擺動，擺動過程中速度方向始終垂直于磁場。（1）求小球能到達的最大擺角θ；（2）若v?足夠大，小球可能在某位置脫離圓周運動，求此時細(xì)線的張力。解析：（1）小球在復(fù)合場中運動，電場力F?=qE，洛倫茲力F?=qvB（方向始終沿徑向）。根據(jù)動能定理，小球從最低位置擺至最大擺角θ過程中：-qElsinθ+mgl(1-cosθ)=0-(1/2)mv?2解得θ=2arcsin[v?2/(4gl-4qEl/m)]（需滿足v?2≤4gl-4qEl/m）（2）當(dāng)小球速度過大時，在最高點可能脫離軌道，此時細(xì)線張力T=0。最高點速度v滿足：mg+qE=mv2/l+qvB從最低點到最高點過程中，由動能定理：-2mgl-2qEl=(1/2)mv2-(1/2)mv?2聯(lián)立解得v?=√[2l(3mg+3qE+qvB)/m]，此時細(xì)線張力T=0。題目12：熱學(xué)與光學(xué)綜合一密閉容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的理想氣體，初始溫度為T?，體積為V??，F(xiàn)通過活塞緩慢壓縮氣體，使其體積變?yōu)閂?=V?/2，此過程中氣體吸收熱量Q。已知氣體定容比熱容C?=3R/2，求：（1）氣體的最終溫度T?；（2）若將此氣體視為理想黑體，其熱輻射出射度是原來的多少倍。解析：（1）緩慢壓縮過程可視為準(zhǔn)靜態(tài)過程，由熱力學(xué)第一定律ΔU=Q+W其中ΔU=nC?(T?-T?)，W=-∫pdV=-nRTln(V?/V?)=nRT?ln2（等溫過程近似）解得T?=T?+(2Q)/(3nR)-(2T?ln2)/3（2）根據(jù)斯特藩-玻爾茲曼定律，黑體輻出度M∝T?，故M?/M?