七年級數(shù)學(xué)（上）知識點總結(jié)

第一章數(shù)學(xué)與我們同行

知識點1數(shù)字與生活

生活中我們所遇到的很多數(shù)字都蘊含著很多的數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)已成為人們表達與交流的工具。

例如，身份證號碼、學(xué)生的學(xué)籍號、火車的列次等。

知識點2圖形與生活

生活中充滿了圖形，多姿多彩的圖形不僅美化了我們的生活，還包含著豐富的信息和數(shù)學(xué)知

識。

知識點3動手操作

動手操作主要是讓學(xué)生在實際操作的基礎(chǔ)上設(shè)計相關(guān)的圖形及制作相關(guān)圖案。這類題病根是

培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和實踐能力。動手操作包括折疊、裁剪、拼圖等各種活動。

知識點4找規(guī)律

這類問題主要是通過一些數(shù)字或圖形信息，尋求其內(nèi)在的共同之處，也就是具有規(guī)律性的問

題。

知識點5統(tǒng)計知識

在進行生產(chǎn)、生活和科學(xué)研究時，往往需要收集數(shù)據(jù)，并把數(shù)據(jù)加以分類、整理，需要求出

數(shù)據(jù)的平均數(shù)，或者制成統(tǒng)計表、統(tǒng)計圖，用來反應(yīng)所了解的情況，這樣的工作就是統(tǒng)計。

第二章有理數(shù)

2.1正數(shù)與負數(shù)

正數(shù)：大于零的數(shù)，正數(shù)前面可以放“+”來表示（通常省略不寫）。正數(shù)可分為正整數(shù)和正

分數(shù)。

負數(shù)：小于零的數(shù)，負數(shù)前面放上“一”來表示。負數(shù)可分為負整數(shù)和負分數(shù)。

注意：0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。同時，0屬于偶數(shù)、整數(shù)、非正數(shù)、非負數(shù)、非正整數(shù)、

非負整數(shù)。

我們把正整數(shù)、零和負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù),正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù)。

2.2有理數(shù)與無理數(shù)

整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

我們把能夠?qū)懗煞謹?shù)形式:（m、n是整數(shù)，nWO）的數(shù)叫做有理數(shù)。

實際上，有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)都可以化為分數(shù)，它們都是有理數(shù)。

無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。

（正整數(shù)

.自然數(shù)

，整數(shù)零?

有理數(shù)<負整數(shù)

（正分數(shù)

I分數(shù)〈

I負分數(shù)

有理數(shù)知識點提示：

（1）有理數(shù)可按不同標(biāo)準(zhǔn)分類，標(biāo)準(zhǔn)不同，分類也不同。

（2）在分類時，要注意。的地位和意義。

（3）有理數(shù)的分類方法有很多，不論采取哪種分類方法，在對有理數(shù)分類時，都要做到不重

不漏。

（4）習(xí)慣上，把正整數(shù)、（）統(tǒng)稱為非負整數(shù)（也叫自然數(shù)）:把負整數(shù)、（）統(tǒng)稱為非正整數(shù)，

正有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非負有理數(shù)，負有理數(shù)、0統(tǒng)稱為韭正有理數(shù)。

無理數(shù)知識點提示

（1）只有滿足“無限”和“不循環(huán)”這兩個條件，才是無理數(shù)。

（2）圓周率兀是無理...

（3）無理數(shù)與有理數(shù)的和差一定是無理數(shù)。

（4）無理數(shù)乘或除以一個不為0的有理數(shù)一定是無理數(shù)。

（5）無理數(shù)分為正無理數(shù)和負無理數(shù)。

注意：

（1）容易出錯的原因是不按標(biāo)準(zhǔn)分類，即分類標(biāo)準(zhǔn)混亂；（2）易將0忽略，0既不是正數(shù)，

也不是負數(shù)：（3）如有分數(shù)線，但它不是分數(shù)，是無理數(shù)。

2.3數(shù)軸

單位長度：I___I

-4-3-2-101234

像這樣規(guī)定了原點、單位長度和正方向的直線叫做數(shù)軸。

數(shù)軸定義包含三層含義：①數(shù)軸是一條可以向端無限延伸的直線；②數(shù)軸有三要素：原點、

正方向、單位長度；③注意“規(guī)定”二字，是說原點的位置、正方向的選取、單位長度的大

小都是根據(jù)實際需要來確定。

畫數(shù)軸時，通常按以下步驟進行；

①畫一水平直線；②在這條直線上任取點，作為原點；③確定正方向（一般規(guī)定向右為正），

從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次標(biāo)上1,2,3,…，從原點向左，依次標(biāo)上

-2,-3,…，同一條數(shù)軸上的長度作為單位長度必須統(tǒng)一，不能出現(xiàn)同樣的長度表示不同的數(shù)

量的情況。

有理數(shù)和無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反過來，數(shù)軸上的任意一點都可以表示一個有理

數(shù)或無理數(shù)。

在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

正數(shù)都大于0,負數(shù)都小天0,正數(shù)大于負數(shù)。

2.4絕對值與相反數(shù)

數(shù)軸.上表示一個數(shù)的點與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值。表示方法時。

符號不同、絕對值相同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的相反數(shù)，（0的相反

數(shù)是0）

正數(shù)的絕對值是它本身。

負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。

0的絕對值是0.

表示一個數(shù)的相反數(shù)可以在這個數(shù)的前面添加一個“一”號。

數(shù)軸上表示兩個正數(shù)的點都在原點的右邊，其中表示絕對值較大的正數(shù)的點在另一個點的右

邊；數(shù)軸上表示兩個負數(shù)的點都在原點的左邊，其中表示絕對值較大的負數(shù)的點在另一個點

的左邊。

總結(jié)：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。正數(shù)都大于零，負數(shù)都小于零，

兩個正數(shù)，絕對值大的正數(shù)大；

兩個負數(shù)，絕對值大的負數(shù)小。

正數(shù)大于負數(shù)。

正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是它本身。

2.5有理數(shù)的加法與減法

加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。a+b=b+a

加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。

(a+b)+c=a+(b+c)

有理數(shù)的加法法則

同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

異號兩數(shù)相加，絕對值相等時，和為0;絕對值不等時，取絕對值較大的加數(shù)的

符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；一個數(shù)同。相加，仍得這個數(shù)。

根據(jù)有理數(shù)的加法運算律，在進行有理數(shù)的加法運算時，可以交換加數(shù)的位置，也可以把其

中的兒個數(shù)先相加。

有理數(shù)的減法法則：

減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

根據(jù)有理數(shù)的減法法則，有理數(shù)的加減混合去處可以統(tǒng)一為加法運算。如

2+5-8=2+5+(-8)=7+(-8)=-1

2.6有理數(shù)的乘法與除法

有理數(shù)的乘法法則

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。0與任何數(shù)相乘都得0.

有理數(shù)乘法運算律

交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變。aXb=bXa

結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積不變。

(aXb)義c=aX(bXc)

分配率：一個數(shù)與兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別與這兩個數(shù)相乘，再把積

相力口。aX(b+c)=aXb+aXc

11

-4與-

8-4..乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的倒數(shù),

提示：(1)由于0和任何數(shù)相乘都不等于1,因此0沒有倒數(shù)；

(2)有理數(shù)a(QWO)倒數(shù)是上

a

(3)求一個真分數(shù)的倒數(shù)，直接寫成以這個整數(shù)為分線，分子為1的分數(shù)即可，如一6的倒

數(shù)是一I;

(4)求一個真分數(shù)的倒數(shù)，只要把這個分數(shù)的分子與分母顛倒位置即可；求一個帶分數(shù)的的

倒數(shù)，要先化成假分數(shù)，再求其倒數(shù)；求一個小數(shù)的倒數(shù)，要先把小數(shù)化成分數(shù)，帶分數(shù)化

成分數(shù)，再就倒數(shù)；

(5)互為倒數(shù)的兩個數(shù)的符號相同，也就是說正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)。

有理數(shù)的除法法則

除以一個不等于0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。

兩個不等于0的數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除，。除以任何一

個不等于0的數(shù)，都得0。

2.7有理數(shù)的乘方

一般的，在數(shù)學(xué)上我們把n個相同的因數(shù)a相乘的積記做即

n個a

aXaX???a=a"

求相同因數(shù)的積的運算叫做乘方，乘方運算的結(jié)果叫嘉。

其中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。a"讀作a的n次方。

正數(shù)的任何次基都是正數(shù)；

年數(shù)的奇數(shù)次基是負數(shù),速數(shù)的偶數(shù)次累是正數(shù)。

例1、計算(-5)4

解：(一5)4=(-5)x(-5)x(-5)x(-5)=625

例2、計算一5，

解：一5，=—(5x5x5x5)=—625

注意不能混淆一54與(-5)4,—54表示54的相反數(shù)

而(-5)4表示(-5)X(—5)X(—5)X(—5)

特別地，一個數(shù)的二次方，也稱為這個數(shù)的平方；一個數(shù)的三次方，也稱為這個數(shù)的立方。

一般地，一個大于10的數(shù)可以寫成aXIOn的形式，其中iWa<10,n是正整數(shù)，這種記數(shù)法

稱為科學(xué)計數(shù)法。如1800000=1.8X1()6

2.8有理數(shù)的混合運算

法則：先算方，再乘除，最后算加減，如果有括號，先進行括號內(nèi)的運算。

有理數(shù)的運算技巧：

1、巧妙組合法（巧妙利用加法結(jié)合律，靈活“組合”，簡化計算）

例：計算：1-3-5+7+9-11-13+15+17-...-2011.

分析:本題可以看成1、?3、-5、+7、+9、?n、?13、分5、+17、...、?20H的和，根據(jù)加法結(jié)合律從前向

后四個數(shù)一個整體，分別相加，每個數(shù)之和均為0.

解：1?3?5+7+9-11?13+15+17-...-2011

=（1-3-5+7）4-（9-11-13+15）+1-3-5+7+9-11-13+15+17-...+（2001-2003-2005+2007）+2009-2011

=-2

2、運用乘法分配率

32

例：計算：（.|）3義（-1）3.*X(-1^)+)X(-,)3.

*?JLJ4

分析：根據(jù)加、減號將式子分成三部分，由于每一部分中都有（耳）一故考慮逆用乘法分配率.

33

解

原式-)3X[-

?-)32—X—+(-)2]

?(-2(-5)-219x43(5)

2_74_3、巨

-8、25"19^43"25）-8xo=o

3、拆分法

1六士，曲=（《一?一從計算結(jié)

例：觀察下列計算:

1X22，

11

果中找規(guī)律，利用規(guī)律計算本++++

1入Z2X33X44X52009X2010

解析：原式=（-1）+（|11

4)+?一+(2009

,1111111_20()9父G2009

=k2+25+3-4+…+2009-20101-2010=2010,答案：2010

第三章代數(shù)式

從具體到抽象，我們用字母表示數(shù);

從特殊到一般，我們用代數(shù)式揭示數(shù)量之間的關(guān)系。

3.1用字母表示數(shù)

在數(shù)學(xué)中，經(jīng)常用字母表示數(shù)。利用字母表示數(shù)，能把數(shù)和數(shù)量關(guān)系一般化的、簡明的表示

出來。

提示：（1）字母與字母相乘，字母與數(shù)字相乘時，“X”通常省略不寫。（2）數(shù)字與字母相乘

時，一般把數(shù)字放在字母前邊。（3）同一個問題中，相同的字母只表示相同的量，不同的量

必須用不同的字母表示。（4）用字母表示數(shù)時，某些特定的字母表示特定的數(shù)，如用TT表示

圓周率。

3.2代數(shù)式

用“+”“一”“火”“+”和“乘方”“開方”等運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式

子都是代數(shù)式（"=，，“＜，，“〉”“￡，，等符號不是運算符號，因此含有這些符號的式子不是代

數(shù)式）。

單獨一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。像10a+2b,2a乙色與、，生更這樣的式子都是代數(shù)式。

4t

代數(shù)式可以簡明地描述許多實際問題中的數(shù)量關(guān)系。

在代數(shù)式中，數(shù)字與字母、字母與字母相乘，乘號通常用表示或省略不寫，

并且把數(shù)字寫在字母的前面，除法運算通常寫成分數(shù)的形式。

代數(shù)式0.55a、0.35b、2a、等都是數(shù)與字母的積，象這樣的代數(shù)式叫做單項式。單獨一個數(shù)或

一個字母也是單項式。

《中學(xué)教材全解》摘錄:單項式中數(shù)與字母或字母與字母之間都是乘積關(guān)系，例如：5可以

1X?

看成是9X,所以5是單項式；而（就不是單項式。分母中含有字母的式子既不是單項式，也

不是多項式。

單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，單項式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項式的次數(shù)。

幾個單項式的和叫做多項式。

多項式中，每個單項式叫做多項式的項；多項式里含幾項，就把這個多項式叫做兒項式，其

中次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做這個多項式的次數(shù),不含字母的項叫常數(shù)項。

單項式和多項式統(tǒng)稱整式“

擴展（可以無視）：代數(shù)式分為有理式和無理式（類似于實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)），有理式乂分為整式和

分式，有QQ群中家長提過這樣的問題，分母中含有字母是不是整式？如乎，當(dāng)應(yīng)該是分式，不是整式。

da

全解中解釋，分母含字母，不是單項式。再如根號中G是什么式呢，、后應(yīng)該是無理式.

《中學(xué)教材全解》摘錄:代數(shù)式、整式、單項式、多項式之間的關(guān)系是：代數(shù)式包含整式，整式就是

單項式與多項式的統(tǒng)稱。

3.3代數(shù)式的值

一般地，代數(shù)式的值隨著代數(shù)式中字母取值的變化而變化。

用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。例如：11是代數(shù)式x+5當(dāng)

x=6時的值。

《中學(xué)教材全解》摘錄:求代數(shù)式的值時，第一步只代入不計算，要注意書寫格式。在用數(shù)代替字母

時，遇到分數(shù)、負數(shù)的乘方要添上括號。

3.4合并同類項

多項式中，所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項，叫做同類項。

根據(jù)乘法分配律，把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項。

合并同類項法則

同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。

《中學(xué)教材全解》摘錄:⑴合并同類項必備的條件：①所含字母相同；②相同字母的指數(shù)也分別相同,

二者缺?不可，這是判斷同類項的依據(jù)。(2)同類項與系數(shù)無關(guān)，與字母排列順序也無關(guān)。

3.5去括號

去括號法則

括號前面是“+”，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里的各項符號都不改

變。括號前面是“一”號，把括號和它前面的“一”號去掉，括號里的各項符

號都改變。______________________________________________________________

例：(1)a+(-b+c-d)=a-b+c-d(2)a-(-b+c-d)=a+b-c+d

分析：第(1)題括號前面是“+”，去括號時.，括號里面各項的符號都不改變；第⑵題括號前面

是“一”號，去括號時，括號里面的各項的符號都改變。

點撥：去括號法則可以簡單地記為“正不變，負全變”，其中正、負是指括號前面的符號。

3.6整式的加減

進行整式的加減運算時，如果有括號先去括號，再合并同類項。

思考：

1、代數(shù)式是數(shù)學(xué)符號組成的語言，是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的重要工具。

2、在實際問題中，數(shù)量之間的關(guān)系常?？梢杂么鷶?shù)式表示：同一個代數(shù)式可以表示不同實際

問題中的數(shù)量關(guān)系。

3、代數(shù)值的值由代數(shù)式里的字母所取的值確定，它隨字母所取值的變化而變化。

4、合并同類項、老弱病殘括號法則是整式運算的重要工具。

5、在數(shù)學(xué)中，用代數(shù)式簡化的方法把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題。

如5仔2丫）?3卜2丫）十8人2丫）?4。?2丫）,把熾-2丫）看成一個字母a,使這個代數(shù)式簡化為5a-3a+8a-4a.

第四章一元一次方程

方程，表達數(shù)量之間相等關(guān)系的“天平”，是解決實際問題的有效模型（工具）。

4.1從問題到方程

從現(xiàn)實世界的許多實際問題口，通常有已知的量和未知的量，這些數(shù)量之間常常有相等的關(guān)

系。

實際問題中已知量和未知量之間的相等關(guān)系，可以用多種不同的方程描述，通過比較可以看

出，用議程描述這種相等關(guān)系最簡明。

方程兩邊都是整式，它們只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1（次），像這樣

的方程，叫做一元一次方程。像x+50=150,2x=200這樣含有未知數(shù)的笠式是方程。如1+2=3,

x+l>2,x-2等式子都不是方程。

《中學(xué)教材全解》摘錄:注意：一元一次方程必須同時滿足下面三個條件：（1）方程必須是整式方程,

即方程兩端必須都是整式（方程中分母不含未知數(shù)，如，=10就不是一元一次方程）；（2）只含有一個未知

X

數(shù)；（3）未知數(shù)的次數(shù)是1（次），指的是含未知數(shù)的項的最高次數(shù)都是1,如d+x=2就不是一元一次方程。

4.2解一元一次方程

能使議程兩邊的值相等的未知數(shù)叫做方程的解。求方程的解的過程叫做解方程。

等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式。

等式兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數(shù)，所得結(jié)果仍是等式。

等式兩邊同時（都）加上（或都減去）同一個數(shù)或式,所得的結(jié)果仍是等式。

a=b,a±c=b±c

等式兩邊都乘或同時（都）除以同一個數(shù)或式（除數(shù)不能為0）,所得結(jié)果仍是等式。

a=b,ac=bc,或@二^（c#0）

cc

方程中的某些項改變符號后，可以從方程的一邊移到另一邊，這樣的變形叫做移項。

《中學(xué)教材全解》摘錄:注意：（1）去分母是易錯點，不要漏乘沒有分母的項。（2）如果分子是多項

式，應(yīng)該看做一個整體，在去分母時，不要忘記將分子用括號括起來。

解一元一次方程有哪些步驟？

一般地，解次方程的步驟是：去分母，去括號，多項，合并同類項，未知數(shù)的系數(shù)化

為lo

合并兩邊同除以

去括號移項

同類項未知數(shù)的系數(shù)

通過這些步驟可以將一個一元一次方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式。

4?3用一元一次議程解決問題

用一元一次方程解決問題，通常先用字母表示適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，并用含有這個字母的代數(shù)式表

示其他相關(guān)的量，再根據(jù)實際問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系列出方程，然后解這個議程，寫出

問題的答案。

方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。在本章里，我們經(jīng)歷了從問題到方程、解一元一

次方程、用一元一次方程解決實際問題的過程。

思考：

1、用一元一次方程解決問題的關(guān)關(guān)鍵，是通過列表、畫線形圖、扇形圖、柱形圖……直觀地

揭示實際問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系，從而列出方程。

2、用方程這個模型解決問題，一般要經(jīng)歷以下過程：

------------列方程-------------------解方程------------

實際問題_____________________＞數(shù)學(xué)問題（方程）_________________＞方程的解

T解釋、檢驗

3、解一元一次方程的一般步驟是：去分母，去括號，移項，合并同類項，將未知數(shù)的系數(shù)化

為1。通過這些步驟，可以把一個一元一次方程逐步轉(zhuǎn)化為x=a的形式。

4、代數(shù)式的值是隨代數(shù)式中字母取值的變化而變化的，如果字母的值確定，那么代數(shù)式的值

也隨之確定。如果代數(shù)的值確定，那么通過解一元一次方程可以求得字母的值。

5、生活中常用一元一次方程解決一些實際問題。

第五章、走進圖形世界

我們生活在豐富的圖形世界里，多姿多彩的圖形美化了我們的生活。

生活中常見的幾何體可分為：柱體、錐體和球體。柱體包括棱柱和圓柱；錐體包括棱錐和圓

錐。

5.1豐富的圖形世界

面與面相交得到線，線與線相交得到點。面有平面，也有曲面；線有直線，也的曲線。

在棱柱、棱錐中，任何相等兩個面的叫做棱，相鄰兩個側(cè)面的叫做側(cè)棱。

棱柱的棱與棱的交點做棱柱的頂點。

棱錐的各側(cè)棱的公共點叫做棱錐的頂點。

棱柱的棱長相等，棱柱的上、下底面是相同的多邊形，直棱柱的側(cè)面都是長方形，棱錐的側(cè)

面都是三角形。

幾何圖形由點、線、面組成。

點、線、面之間的關(guān)系：面與面相交得到線，線與線相交得到點。

圖形所表示的各個部分都在同一平面內(nèi)的兒何圖形，稱為平面圖形。如桌面、墻面、平靜的

水面等給我們以平面的形象。

圖形所表示的各個部分不在同一平面內(nèi)的幾何圖形，稱為立體圖形。如水管、易拉罐的側(cè)面,

地球儀的表面等給我們以曲面的形象。

如圖是圖①的正方體切去一塊，得到圖②?⑤的幾何體.

(1)它們各有多少個面？多少條棱？多少個頂點？

考點:截一個幾何體.

分V.?根據(jù)正方體原有的面數(shù)，頂點數(shù)，棱的條數(shù)，以及正方體截去一個角后，面、棱、頂

點的變化情況，形數(shù)結(jié)合求解;

解答:解：如圖①正方體原有6個面，12條棱，8個頂點，

如圖②把一個正方體截去一個角后得到的幾何體有7個面，有15條棱,有10個頂點.

如圖③把一個正方體截去一個角后得到的幾何體有7個面，有14條棱,有9個頂點.

如圖④把一個正方體截去一個角后得到的幾何體有7個面，有13條棱,有8個頂點.

如圖⑤把一個正方體截去一個角后得到的幾何體有7個面，有12條棱,有7個頂點.

(2)舉例說明其他形狀的幾何體也切去一塊，所得到的幾何體的面數(shù)、棱數(shù)和頂點數(shù)各是多

少；

如圖頂點數(shù)a、棱數(shù)b、面數(shù)c填入下表:

圖頂點數(shù)a棱數(shù)b面數(shù)c

18126

2695

38126

48137

510157

（3）若面數(shù)記為f,棱數(shù)記為e,頂點數(shù)記為v,則f+v-e應(yīng)滿足什么關(guān)系？

由（1）得：???把?個正方體截去一個角后得到的幾何體有7個面，有15條棱，有10個頂點.

把一個正方體截去一個角后得到的幾何體有7個面，有14條棱，有9個頂點.

把一個正方體截去一個角后得到的幾何體有7個面，有13條棱，有8個頂點.

把一個正方體截去一個角后得到的幾何體有7個面，有12條棱，有7個頂點.

RP7+10-15=2,7+9-14=2,7+8-13=2,7+7-12=2,

???面數(shù)記為f,頂點數(shù)記為e,棱數(shù)記為v,

???則f+v-e=2.

點部；本題考查了正方體的截面.關(guān)鍵是明確正方體的面數(shù)，頂點數(shù)，棱的條數(shù)，形數(shù)結(jié)合,

求出截去一個角后得到的幾何體的而數(shù)，頂點數(shù)，棱的條數(shù).

5.1圖形的運動

把筆尖看成一個點，這個點在紙上運動時形成線。

把汽車的雨刷看成一條線，這條線在玻璃上運動時形成扇面。

點動成線，線動成面，面動成體。

（I）長方形紙板繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)1周，形成圓柱；

（2）直角三角尺繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)1周，形成圓錐；

（3）一枚硬幣在桌面上豎直快速旋轉(zhuǎn)，形成球。

圖形的運動包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折，圖形在運動的過程中，對應(yīng)線段、對應(yīng)角的大小

不變，改變的是圖形的位置。

平移：對應(yīng)點的連線平行且相等。

旋轉(zhuǎn)：對應(yīng)線段的夾角相等，這個夾角就是旋轉(zhuǎn)角。

翻折：對應(yīng)點的連線的垂直平行線就是對稱軸。

（1）旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀。

（2）圖形上的每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動了相同的角度。

（3）任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角度都是旋轉(zhuǎn)角。

（4）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。

5.3展開與折疊

長方體紙盒展開后，可以得到平面圖形。

X

1

1、將圓柱形紙筒的側(cè)面沿虛線剪開，得到的是長方形平面圖形

2、將圓錐形冰淇淋紙筒的側(cè)面沿虛線剪開，得到的扇形平面圖形。

3、將無蓋的正方體(無蓋五個面)紙盒剪開，得到的平面圖形如下。

西

將一個正方體紙盒沿部分棱剪開展成一個平面圖形。

正方體的表面展開圖可分成三類。

(1)“二二二型”：兩個正方形連成一排，如右上圖。

(2)三個正方形連成一排，稱為“三三型”“一三二型”(也叫“二三一型”)如下圖

三三型二三一型

(3)“一四一型”：四個正方形邊成一排，如下圖

一四一型

口訣：“一四一”“一三二”一在同層可任行；“三個二”成階梯，“二個三”，“日”狀連；異層必有“日

字現(xiàn)”，整體沒有，有“田”就完蛋。

5.4主視圖、左視圖、俯視圖

從不同方向看同一物體，看到的圖形往往是不同的。

比課本P134中圖5-20更復(fù)雜一些的

請同學(xué)們討論下面的三幅圖分別從什么

方向看到的？

□AD口區(qū)。

從正面看從左面看從上面看

生活中，你有類似的體驗嗎？

P135觀察下表中所示物體，并將看到的圖形填入表中。

在生產(chǎn)實踐中，通常把俯視圖畫在主視圖的下面，左視圖畫在主視圖的右面。（見下面）

俯視圖

人們從不同的方向觀察某個物體，可以看到不同的圖形，一般地，我們把從正面看到的圖形,

稱為主視圖；從左面看到的圖形，稱為左視圖；從上面看到的圖形，稱為俯視圖。

從上面石土

主視圖左視圖

從正面小、俯視圖

從正面看到的圖形，稱為主視圖；

從左面看到的圖形，稱為左視圖；

從上面看到的圖形，稱為俯視圖.

從這三個方向上看到的圖形，叫做這個

幾何體的三個視圖。

視圖通?？梢源_定物體的開關(guān)和大小，畫出它的表面展開圖，加工出所需的產(chǎn)品。

一個物體的三視圖同主視圖、左視圖和俯視圖組成。其中，俯視圖畫在主視圖的下面，左視

圖在主視圖的右面。

在三視圖中，由主視圖與俯視圖可以知道物體的長，由主視圖與左視圖可以知道物體的高，

由左視圖與俯視圖可以知道物體的寬，三個視力起來就能確定簡單物體的形狀和大小，畫三

視圖時，要使主視圖與俯視圖的長對正，主視圖與左視力的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相

等。

三視圖在生產(chǎn)實際中有著廣泛的應(yīng)用，生產(chǎn)中，工人師傅根據(jù)設(shè)計者提供的三視圖，確定出

物體的形狀、大小，并進行進行加工。

設(shè)計包裝紙盒

某種產(chǎn)品的形狀是長方體，它的長、寬、高分別是16cm、6cm、3cm。請廠家設(shè)計一種包裝

紙箱，使每箱能裝30件這種產(chǎn)品，且該紙箱所用材料盡可能少。

解析：要使所用材料盡可能少，即表面積要盡可能的小。對于一個長方體來說，當(dāng)長、寬、

高的值相等時，表面積最小。因此要盡可能使長寬高的值接近。另一方面，結(jié)合實際情況，

長寬高的值還必須是肥皂的長寬高的倍數(shù)。綜合這兩個條件，得：16*6*3*30=86400=

16*18*30此時，包裝箱的表面積是:(30*18+18*16+30*16)*2=2616(平方厘米)

小結(jié)與思考：

1、在本章里，我們學(xué)習(xí)用眼光看世界，從多姿多彩的圖形世界中，我們看到許多熟悉的圖形,

如圓柱、棱柱、圓錐、棱錐、球……

我們通過觀察、操作等活動，感受到圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等運動，運用平移、翻折、旋

轉(zhuǎn)，讓圖形“動”起來，是研究圖形性質(zhì)的重要方法。

2、在本章里，我們學(xué)習(xí)了圖形的展開與折疊，以及簡單物體的視圖，初步感受立體圖形與平

面圖形的關(guān)系。

3、在本章里，我們通過對幾何體進行分類，感悟分類的思想；通過對不同幾何體特征的對比,

感悟?qū)Ρ鹊乃枷搿?/p>

4、三分球柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形等，我們把這樣的棱柱分別叫做三棱柱、

四棱柱、五棱柱等。

軸對稱圖形與中心對稱圖形的區(qū)別

軸對稱圖形中心對稱圖形

有一條對稱軸---直線有一個對稱中心---點

沿時稱軸對折繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°

對折后與原圖形重合旋轉(zhuǎn)后與原圖形重合

觀察圖形，并回答下面的問題：

(1)哪些只是軸對稱困形？(3)(4)(6)

(2)哪些只是中心對稱圖形？(1)

(3)哪些既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形？(2)(5)

觀察圖I中的4個圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，回答下列問題：

KH圖HIH

解：（1）特征1：都是軸對稱圖形；特征2：都是中心對稱圖形；特征3：這些圖形的面積都

等于4個單位面積；等。

（2）圖形如下:

《中學(xué)教材全解》摘錄:中考真題與教材習(xí)題都考查了由主視圖、左視圖、俯視圖判斷幾何

體。由視圖想象物體的形狀一般按以下步驟進行：（1）分線框，把幾個視圖聯(lián)系起來看，把

物體大致分成幾部分；（2）識形體，定位置，根據(jù)每一部分的視圖想象出它的形體，并確定

它們的相互位置；（3）綜合起來想象整體，確定各個部分的形狀及相互位置后，整體物體的

形狀也就清楚了。

第六章、平面圖形的認識（一）

線段、射線、直線、角……構(gòu)成了許多美妙的圖形。

6.1線段、射線和直線

兩點之間線段最短，這里的線段最短是指線段的長度最短。

兩點之間線段的長度叫做這兩點之間的距離。

實踐告訴我們一個基本事實：

兩點之間線段是最短。

線段：直線上西直回的部分。比如：一段拉直的棉線可近似地看作線段，線段有兩個端點。

線段是直的，有兩個端點，有長短，沒有方向。

線段的畫法：

（1）畫線段時，要畫出兩個端點之間的部分，不要畫出向任何一方延伸的情況.

（2）以后我們說“連結(jié)”就是指畫以A、B為端點的線段.

線段的表示方法：

（1）用它的兩個端點的大寫字母來表示;Aa8

?--------------------------------------------------?

（2）線段也可以用一個小寫字母來表示。

線段AB；線段。

射線：將線段向一個方向（一方）無限延長,就形成了射線，射線有一個端點。如手電筒、

探照燈射出的光線等。

射線只有一個端點，有方向，沒有長短。

射線的畫法：畫射線一要畫出射線端點；二要畫出射線經(jīng)過一點，并向一旁延伸的情況.

射線的表示方法

ABa

射線AB；射線a（端點字母寫在前）

直線：將線段向兩個方向（兩方）無限延長就形成了直線,直線沒有端點，不可度，不能比

較大小。如筆直的鐵軌等。

直線的畫法：用直尺畫直線，但只能畫出一部分，不能畫端點。

實踐告訴我們一個基本事實：

兩點確定二條直線。

通過度量或疊合可以比較兩條線段的大小。

比較線段長短的方法：度量法、疊合法。

線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系：

聯(lián)系：三者都是直的，線段向一個方向延長可得到射線，線段向兩個方向延長可得到直線，故

射線、線段都是直線的一部分，線段是射線的一部分。

區(qū)別：直線可以向兩方延伸，射線可以向一方無限延伸，線段不能延伸，三者的區(qū)別見下表:

端

點

名

圖形表示方法可向幾個長度可

稱為延長

數(shù)否度量

線MN

段??線段MN不可延長兩個可以

線段a

射

線

OP射線OP一方一個不可以

直

EF宜線EF

線??兩方無不可以

____________m直線m

直線的基本性質(zhì)（重點）

（1）經(jīng)過一點可以畫無數(shù)條直線

（2）經(jīng)過兩點只可以畫一條直線

線段上有一點B,點B把線段AC分成兩條相等的線段AB和BC,點B叫做線段AC的中點。

6.2角

有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做魚，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩

角也可以看成是一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)到另一個位置的所形成的圖形。射線的端點叫做

角的頂點，起始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊。

角的表示方法：

角的符號表示為“N”，對于一個角可以有四種表示方法：

1、用三個大寫英文字母表示出任何一個角，如NAOB（頂點字母在中間）；

2、用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如NB,Zy；

3、在不混淆的情況下，角還可以用它的頂點字母表示，如NO；

4、用數(shù)字書寫在角的內(nèi)部來表示，如/I、/2等

角的分類：

1、直角：平角（180°）的一半，叫直角，1直角=90°

2、銳角：小于直角的角，叫銳角，0°〈銳角＜90。

3、鈍角：大于直角且小于平角的角，叫鈍角，90°（鈍角＜180°

角的度量單位及換算：

以度、分、秒為基本單位的角的度量制，叫做角度制。度、分、秒的意義如下：

1、把一個平角18（）等分，每一份就是1度的角，記作1°;

2、把1度的角60等分，每一份就是1分的角，記作1,；

3、把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，記作1"。

1°=60',r=60",1°=3600"；

]〃-（―），11-（―、。1u-（—!—）。.

1一（6（）），?一（6（）'，?一（360（），，

1周角=360°,1平角=180°°

角的比較方法：

角的大小即是它們的度數(shù)的大小，角的比較方法有兩種：

1、度量法：先分別量出每個角的度數(shù)，再按照量出的度數(shù)比較大小。（利用量角器）

2、疊合法：先把兩個角的頂點與頂點重合，一條邊與一條邊重合°再比較另外兩邊的位置，

從而確定這兩個角的大小。（利用圓規(guī)和直尺）

用量角器作一個角的步驟：

1.用量角器測量已知角的度數(shù)。

2.做一條射線。

3.用量角器做另一條射線，使得夾角等于已知度數(shù)。

角的平分線：

從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。

6.3余角、補角、對頂角

①如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角互為余角，簡稱互余，其中的一個角叫做另一

個角的余角。用數(shù)學(xué)語言