考研數(shù)學(xué)三（無窮級數(shù)）模擬試卷1（共

9套）

（共272題）

考研數(shù)學(xué)三（無窮級數(shù)）模擬試卷第1

套

一、選擇題（本題共7題，每題1.0分，共7分。）

1、下列結(jié)論中正確的是

A、若數(shù)列｛Un｝單調(diào)有界，則級數(shù)…?收斂.

￡%部分和數(shù)列?sj單調(diào)有界，則級數(shù)￡un

B、若級數(shù)一i"w,

C、若級數(shù)收斂，則數(shù)列｛Un｝單調(diào)有界.

OB

2%

D、若級數(shù)-I收斂，則級數(shù)部分和數(shù)列岱目單調(diào)有界.

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點(diǎn)解析：由級數(shù)收斂的概念知級數(shù)收斂就是其部分和數(shù)列｛SQ收斂.數(shù)

列｛Un｝單調(diào)有界只說明兇存在；由｛Sn｝單調(diào)有界必存在極限即可判定級數(shù)收斂，

故選（B）.而由級數(shù)收斂，雖然可以確定數(shù)列｛Sn｝和｛Un｝收斂，但｛SQ和｛5｝未必是

單調(diào)的.

①若?%）收斂,則￡%收斂.②若￡4收斂，則￡“2000收斂.

Ra1A*1JB*IM■1

③若lim—>［，則￡/發(fā)散.④若￡（A+%）收斂，則￡￡嗎都收斂

U

*-**H??|n>In3InSI

其中真命題的序號是

A、①與②.

B、②與③.

C、⑤與④.

D、①與④.

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點(diǎn)解析：設(shè)un=(-l)n/(n=l,2,3,...),于是

+5)=￡(1-I)=。收斂,但￡%=￡(-1)"'

"■?-I**>發(fā)散.可見命題

①不正確.或把回去掉括號后所得的級數(shù).由級數(shù)的基本性質(zhì)5：收斂級數(shù)加括

號之后所得級數(shù)仍收斂，且收斂于原級數(shù)的和；但若加括號所得新級數(shù)發(fā)散時(shí)，則

原級數(shù)必發(fā)散；而當(dāng)加書號后所得新級數(shù)收斂時(shí)，則原級數(shù)的斂散性不能確定，即

原級數(shù)未必收斂.故命題①不是真命題.設(shè)的部分和Tn=Sn+1000-S|000，(n=l,

2,…)，從而收斂.設(shè)，由極限的保號性質(zhì)可知，存在自然數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí)

成立，這表明當(dāng)n>N時(shí)1如同號且后項(xiàng)與前項(xiàng)的比值大于1.無妨設(shè)UN+I>0,于

是有OVUN+IVUN+2V…<Un<…(n>N),從而有負(fù)項(xiàng)，可類似證明同樣結(jié)論成

立.可見命題②與③都是真命題.設(shè)Un=l，vn=-l(n=l,2,3...),于是都發(fā)

散.可見命題④不是真命題.故應(yīng)選(B).

￡3；…尸

3、若級數(shù)0當(dāng)x>0時(shí)發(fā)散，而當(dāng)x=0時(shí)收斂，則常數(shù)a二

A、1.

B、-1.

C、2.

D、-2

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點(diǎn)解析：本題是一個(gè)具體的基級數(shù)，可直接求出該級數(shù)的收斂域，再根據(jù)題設(shè)

IlimI^1111=lim―=1

條件確定a的取值.由4I“一八+1知收斂半徑為1,從而收斂區(qū)

岡

間為lx-alVI,即a-lVxVa+1.又當(dāng)x-a=l即x=a+l時(shí)，原級數(shù)變?yōu)?，?/p>

斂;當(dāng)x-a=-l即x=a-l時(shí)，原級數(shù)變?yōu)?，發(fā)散.因此，原級數(shù)的收斂域?yàn)閍-l<

x<a+l.于是，由題設(shè)K=0時(shí)級數(shù)收斂，x>0時(shí)級數(shù)發(fā)散可知，x=0是收斂區(qū)間的

一個(gè)端點(diǎn)，且位于收斂域內(nèi).因此只有a+l=O,從而a=l.故選(B).

收斂，則級數(shù)￡(-1)，金上

4、設(shè)常數(shù)>>0且級數(shù)"IC

A、發(fā)散.

B、條件收斂.

C、絕對收斂.

D、收斂性與A有關(guān).

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識點(diǎn)解析：利用不等式2IabI92+b2可得

"號卜撲」+尢)w加+為由于級數(shù)與￡比

收斂，所以原級數(shù)絕對收斂，即(C)正確.故選(C).

5、設(shè)11/一"J"),則級數(shù)

(A)￡%與￡%2都收斂.

(B)2A與都發(fā)散.

ms1Rs1IB*IAa1

?8

(C)收斂，而￡口「發(fā)散.(D)發(fā)散，而收斂

nsIA■!

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識點(diǎn)解析：ei是交錯級數(shù)，滿足萊布尼茨判別法的兩個(gè)條件，所以是收斂

的.而

Yu/是正項(xiàng)級數(shù)，且lim；=1.由級數(shù)￡J-發(fā)散即得工隊(duì)2

n?1■__?-In?>I

發(fā)散.這就說明(C)正確.”

y(-1—

6、設(shè)a>0為常數(shù)，則級數(shù)"J砂

A、發(fā)散.

B、條件收斂.

C、絕對收斂.

D、斂散性與a有關(guān).

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點(diǎn)解析：用分解法.分解級數(shù)的一般項(xiàng)

(lim2=0,3/V,n>N時(shí)?<同，>(打收斂=絕對收斂，又?…￡(二：)：條件收

斂，因此￡%=

n5In??I

條件收斂.選(B).

￡(-1廣皿

7、設(shè)常數(shù)a>2,則級數(shù)”M

A、發(fā)散.

B、條件收斂.

C、絕對收斂.

D、斂散性與a有關(guān).

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

(])nInn!_Ini?ln2?…?Inn<nlnn_Inn

知識點(diǎn)解析：由于n°-力力設(shè)常數(shù)p

滿足1-pVVa-l,則有0由正項(xiàng)級數(shù)比較判別法的極限形式知級數(shù)絕對收斂，

即(C)正確.

二、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)

=2,￡°2.7=5,證明級數(shù)

8、已知級數(shù)片白，-I收斂，并求此級數(shù)的

和.

￡(-1尸02

標(biāo)準(zhǔn)答案：由級數(shù)收斂則它的任何加括號級數(shù)也收斂的性質(zhì)及合

知，級數(shù)兇收斂，其和數(shù)為2,且an-0.又由于，從而設(shè)的部分和為Sn，則

Sn=a]+an+…+a2n-l+a2n=：a]+an）+…十（a2n-]+a2n）是,注意到S2n+1=S2n+a2n+l，因此

收斂且其和為8.

■―

￡（。2.1-%）是Z（-1）"5

知識點(diǎn)解析：注意到一1W的一個(gè)加括號級數(shù)，由題設(shè)

知級數(shù)區(qū)的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的級數(shù)收斂，從而可以由級數(shù)的性質(zhì)通過運(yùn)算來判定收斂

并求出其和.

9、判定下列級數(shù)的斂散性：

（>。）；（n）￡±（*>。）

asI1+G1學(xué)

標(biāo)準(zhǔn)答案：（I）當(dāng)a>l時(shí)，l+an>a\因此

w

，一<由幾何級數(shù)的斂散性可知￡■（，）n收斂，從而￡-一1~；收斂.

<a<lH^,l+an<2,因化1,由級數(shù)收斂的必要條件可知發(fā)散.（H）注意到

Xlnn=elnnlnx=nlnx,這樣原級數(shù)轉(zhuǎn)化為p一級數(shù).

知識點(diǎn)解析：暫無解析

10、判定下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性:

（）三留（

I平丁

K?1ZAs1

（IV）￡京冷；（V）f（VI）

*1nn*c=i（n+】）?*i2*

標(biāo)準(zhǔn)答案：（I）利用比值判別法.因

2n?1

0.1..2**1].2n?1_1,1

1向---=hm-------------=hm~~~rr=51

3-uA2，—In-?2（2n-I）Z

亍"，故原級數(shù)收斂.（II）利用比較

判別法的一般形式.由于口發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散.（皿）利用比較判別法的極限形

式.由于，而級數(shù)也發(fā)散.（W）利用比較判別法的一般形式.由不等式

ln（l+x）Wx（x>0）可得（V）利用比較判別法的極限形式.取，那么,由（W）注意到當(dāng)

n—oo時(shí)，由洛必達(dá)法則可得

知識點(diǎn)解析：暫無解析

11、判定下列級數(shù)的斂散性，當(dāng)級數(shù)收斂時(shí)判定是條件收斂還是絕對收斂：

?sin-?-s?n—+1

⑴￡—A；（D）￡（-l）fin=（/>0）;（DI）￡（-1尸一；-

M■1R?I?=?

標(biāo)準(zhǔn)答案：（I）由于

?-I.2JT

w；,而級數(shù)收斂，利用比較判別法即知219inT.

一

nUin?-iIn2I收斂，所以此級

數(shù)絕對收斂.（口）由于當(dāng)n充分大時(shí)有回，所以此級數(shù)為交錯級數(shù)，且此時(shí)還有

知識點(diǎn)解析：暫無解析

12、求工列幕級數(shù)的收斂域:

（I）(n)(ni)￡立

n=1ynR■1〃0=1〃

標(biāo)準(zhǔn)答案：（I）因

3,故收斂半徑夫=十

當(dāng)x=孑時(shí)，幕級數(shù)變?yōu)镋（二￡’,是一個(gè)收斂的交錯級數(shù)；當(dāng)％=-4■時(shí),基級數(shù)變成

*>IVn3

-￡灰，它是發(fā)散的，所以￡（-1）…底的收斂域。為

（D）由于回的收斂半徑R=+oo,即收斂域D為（-8,+00）.（DI）該累級數(shù)缺偶次方

項(xiàng)，即a2n=0,故不能用比值法來求其收斂半徑.此時(shí)，可將x看成數(shù)，把原嘉級

數(shù)當(dāng)作一個(gè)數(shù)項(xiàng)級數(shù)來處理.由于故當(dāng)4IxI2<|即|xI〈時(shí)級數(shù)絕對收斂；

當(dāng)41X|2>1即，|x|>時(shí)通項(xiàng)不趨于0,級數(shù)發(fā)散，所以收斂半徑R=,發(fā)

散.故原嘉級數(shù)的收斂域?yàn)?/p>

知識點(diǎn)解析：暫無解析

13、求?J及arctanx的麥克勞林級數(shù).

標(biāo)準(zhǔn)答案：利用公式，并以x2代替其中的X,則有

丁口=1-八八八.??*（?i）、2.+.??，（|*|<1）.

1+%’

由于「丁與=arctanx,故對r'的展開式實(shí)行逐項(xiàng)積分即得

Joi+t21+x2

岡

由于arctanx在［-1,1］上連續(xù)，幕級數(shù)在［-1,1］上收斂，故當(dāng)x=±l時(shí)上述展開

式也成立.即arctanx=

知識點(diǎn)解析：暫無解析

（I）￡”；

14、求下列累級數(shù)的和函數(shù)：-=1

ynx"-1

標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)令Si(x)="I,則易知S1(X)的收斂域?yàn)??L】),且

S(x)=xSi(x).為求其和函數(shù)S(x)首先求Si(x),在其收斂區(qū)間(?1,1)內(nèi)進(jìn)行逐項(xiàng)積

分得回(II)容易求得基級數(shù)的收斂域?yàn)椋?1,1).為求其和函數(shù)首先在收斂區(qū)間(.

1,1)內(nèi)進(jìn)行逐項(xiàng)求導(dǎo)，得又因?yàn)镾(0)=0,因此S(x)=S(x)?S(O)==ln(l?x)(?lVxV

1).注意和函數(shù)S(x)與函數(shù)-ln(l-x)都在［-1,1)上連續(xù),它們又在(-1,1)內(nèi)恒等,

于是由連續(xù)性可知S(x)=ln(l-x)也在x=-l處成立，即S(x)=-ln(l-x)(-lSxVl).

知識點(diǎn)解析：暫無解析

15、判別下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性：

(I)￡匕千fl(常數(shù)P>O)；<1(n)y(常數(shù)Q>O,B>O)

?■1nn=I"

標(biāo)準(zhǔn)答案：利用比值判別法.(I)由于

pi?(/1+】)！

pn?n\■(n+1)"is(］+1「?

n"**T/,所以，當(dāng)p<e時(shí)，

級數(shù)回收斂；當(dāng)p>e時(shí)，該級數(shù)發(fā)散；當(dāng)p=e時(shí)，比值判別法失效.注意到數(shù)

列是單調(diào)遞增趨于e的，所以當(dāng)p=c時(shí)，，即｛uQ單調(diào)遞增不是無窮小量，所以該

級數(shù)也是發(fā)散的.從而，級數(shù)當(dāng)pVe時(shí)收斂，pNe時(shí)發(fā)散.(口)，因此，當(dāng)0<1

時(shí)，原級數(shù)收斂，當(dāng)口>1時(shí)發(fā)散.若。=1,則原級數(shù)為，因此，當(dāng)a>l時(shí)收斂，

aS1時(shí)發(fā)散.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

16、判別下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性：

■_________?...I?,!/!?/T

(I)工"-"7正(H)工信.*)x；(皿)口。占八

￡—

標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)利用比較判別法的極限形式，由于級數(shù)46發(fā)散，而且當(dāng)nT8

時(shí)回所以原級數(shù)也發(fā)散.(口)仍利用比較判別法的極限形式.先改寫用泰勒公

式確定的階.由于(ID)注意到也收斂.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

(n)X(1-—)

17、判別下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性:-I、/.1，,其

中｛Xn｝是單調(diào)遞增而且有界的正數(shù)數(shù)列.

標(biāo)準(zhǔn)答案：（I）直接利用定義來判別其收斂性.由

“廣!??!廣r-r-

5,=￡產(chǎn)a=fLeS*=（_2&/-2e-〃）

=Ze，+2e-1-2v6me-G-=4e"-2（/iTTT+1日一百,

[xl..

可知Me1,所以原級數(shù)收斂，且其和為4e」.（II）首先因?yàn)椋鹸/是單調(diào)遞增的

有界正數(shù)數(shù)列，所以0W-現(xiàn)考察原級數(shù)的部分和數(shù)列母目，由于又｛Xn1有界，

即lxnlSM（M>0為常數(shù)），故所以｛Snr也是有界的.由正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件

知原級數(shù)收斂.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

￡Q?,其中a=I?3?5..........（2/1-1）

18、考察級數(shù)?=0"2?4?6........（2n）,P為常數(shù).（I）證明：

口（n=2,3,4,...）；（口）證明：級數(shù)當(dāng)p>2時(shí)收斂，當(dāng)眸2時(shí)發(fā)散.

標(biāo)準(zhǔn)答案：（I）將

Q：改寫成

1）（2-?】）1

Q2~1-3?3-一5一?5-7(2n-3)(2n-1)

(2n?2)廠⑵尸2A?I

(2n-l)(2n?1)_(2n)

由于<l(n=I,2,3」??)=

(2n)(2n)

罰("=1.2,3,???).

再將改寫成

325^.72(2〃-1尸1

22,44?66?8(2n-4)(2〃-2)(2n-2)2n2n

(2n-1尸_4nn=2.3.4.…)=

一■（2n-2）（2n）4儲-4〃............................

a：>m=2,3,4,.》

（H）容易驗(yàn)證比值判別法對級數(shù)」失效，因此需要用適當(dāng)放大縮小法與比較原理

來討論它的斂散性.題（I）已給出了｛an｝上下界的估計(jì),由當(dāng)p>2時(shí)收斂,當(dāng)層2

時(shí)發(fā)散.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

19.判別下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性：

（B）：

（?）￡（J"；（"）￡（Inn尸;.?2^k^（*）￡〃（3）,

標(biāo)準(zhǔn)答案：（I）當(dāng)p《）時(shí),W（lnn）F>（In3）-p>l（n>3）^iL,即級數(shù)的一般項(xiàng)不是無

窮小量，故級數(shù)發(fā)散.當(dāng)p>0時(shí)，令回發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散.綜合即知：無論常

數(shù)p取何值，題設(shè)的級數(shù)總是發(fā)散的.（口）因（Inn）嘰/nJndnn）』帥n）〉/收斂，

故級數(shù)收斂.（DI）當(dāng)P>1時(shí)，由于n與時(shí)有收斂，故級數(shù)收斂.當(dāng)p〈l時(shí)，因

發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

￡%的斂散性，其中心=[x(1-x)sin2"xdx

20、討論級數(shù)-=?Jo

標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x€[0,1]時(shí)，x(l-x)sin2nx>0,從而哈0.故與為正項(xiàng)級數(shù).又

sin2nx<x2n(xe[0,1]),所以

4=Jx(l-x)?in2",xdxCJx(1-x)x2ndx

2+,22

=f'x-dx-f'X^dx=-..............!—=------------?------------w—

JoJo2n+22n+3(2…2)(2…3)4M

而￡上收斂，所以收斂.

■?l4nfiri

知識點(diǎn)解析：暫無解析

21、判別下列級數(shù)的斂散性（包括絕對收斂或條件收斂）

（,）￡一尸木；（n）如心+馬

J尸士1—L,而且級數(shù)y--

標(biāo)準(zhǔn)答案：（I）由于."發(fā)散，所以原級

數(shù)不是絕對收斂的.原級數(shù)是交錯級數(shù)，易知口的單調(diào)性，令f（x）:可知當(dāng)X充

分大時(shí)g（x）單調(diào)增加，從而f（x）單調(diào)增加.故當(dāng)n充分大時(shí)單調(diào)減少.這說明級數(shù)

滿足萊布尼茨判別法的兩個(gè)條件，所以該級數(shù)收斂，并且是條件收斂的.（口）由于

發(fā)散，這說明原級數(shù)不是絕對收斂的.由于sinx在第一象限是單調(diào)遞增函數(shù)，而

滿足萊布尼茨判別法的兩個(gè)條件，從而它是收斂的.結(jié)合前面的討論，知其為條件

收斂.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

y（-1）"

22、判別級數(shù)匕G+（一萬的斂散性.

標(biāo)準(zhǔn)答案：注意級數(shù)的一般項(xiàng)滿足

(TJ=(_[)■6_(-3=(,1)-JL--L-(n=2,3,…),

且t(-1廣」&條件收斂?￡一二發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散?

6n-1鼻—I—

0D

4=——^---------，則級數(shù)可寫成2(-|)””

知識點(diǎn)解析：設(shè)”2.對于交錯級數(shù)首先

要討論它是否絕對收斂，為此采取比較判別法的極限形式，由于小滿足區(qū)可見

級數(shù)不絕對收斂.又因級數(shù)的一般項(xiàng)的絕對值不是單調(diào)減少的，從而不能用萊布尼

茨判別法來判別這個(gè)級數(shù)的條件收斂性，必須用其他方法來討論它是否條件收

斂.以下介紹兩種方法.

￡%收斂，則￡%

23、判斷如下命題是否正確：設(shè)無窮小Un?Vn(n-oo),若級數(shù)&nx,

也收斂.證明你的判斷.

標(biāo)準(zhǔn)答案：對于正項(xiàng)級數(shù)，比較判別法的極限形式就是：若

00

lim—=4t0<A<+8,則￡“n

ao8000aB

與￡%同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.本題未限定z匕與￡外為正項(xiàng)級數(shù)，由￡%收斂不能斷定￡%一定

0■1n■In0(內(nèi)?|。?1

收斂.比如，取

iB■IA=iyna■]n.I■yit"'

則lim—=lim[(-1)--W((+3")]=，im*-----/?'

B?

即4~%(nt8).級數(shù)2%是收斂的，然而級數(shù)￡%是不收斂的?

知識點(diǎn)解析：暫無解疝’

24、求下列嘉級數(shù)的收斂域：

(I)￡1(1+%口(fl)三色：(4+1)，,

Sn-?n?2"

06B

(IB)Wna.G-1)”.、其中的收斂半徑R=3；(只求收斂區(qū)間)

IBNI?=0

(IV)￡4(%-3)J其中％=0時(shí)收斂產(chǎn)=6時(shí)發(fā)散?

yln(1+")工與5*ln(1?-)/

標(biāo)準(zhǔn)答案：(i)4〃4〃有相同的收斂半徑，可以用求

收斂半徑公式即(5.1)式計(jì)算收斂半徑，首先計(jì)算口所以R=l.再考察事級數(shù)

在兩個(gè)端點(diǎn)x=±1處的斂散性.當(dāng)x=l時(shí)，級數(shù)從而滿足萊布尼茨判別法的兩個(gè)條

件，故該級數(shù)收斂.這樣即得的收斂域?yàn)椋?1,1).(口)由于，所以其收斂半徑為

2.又由于本題是關(guān)于x+1的累級數(shù)，所以收斂區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)為x=-3與x=l.當(dāng)

x=-3時(shí)，原級數(shù)為是一個(gè)交錯級數(shù)，而且容易看出它滿足萊布尼茨判別法的兩個(gè)

條件，所以是收斂的.這表明事級數(shù)的收斂域?yàn)?3I］.(HI)有相同的收斂半徑

R=3.因而其收斂區(qū)間為(-2,4).(N)考瘵，由題設(shè)t=-3時(shí)它收斂知收斂半徑

RN3,又t=3時(shí)其發(fā)散知R03.因此R=3,由此可知的收斂域是［-3,3),故原級數(shù)

的收斂域是［0，6).

知識點(diǎn)解析：暫無解析

25、求下列哥級數(shù)的收斂域及其和函數(shù)：.

(I)V;(D)Xn(n+l)x"

R-Qn+1As|

標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)由于■

lim=lim"?】，而且在”=±1處，級數(shù)￡9----

―84a+2(n-1)RBIn+1均發(fā)

散，所以其收斂域?yàn)?-1，1).為求其和函數(shù)，先進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，使其能夠通過逐

項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分等手段變成幾何級數(shù).設(shè)區(qū)當(dāng)x=0時(shí)，上面的運(yùn)算不能進(jìn)

行，然而從原級數(shù)可直接得出S(O)=ao=l.綜合得界級數(shù)容易看出.這就說明S(x)

在x=0處還是連續(xù)的，這一點(diǎn)也正是累級數(shù)的和函數(shù)必須具備的性質(zhì).(口)利用同

樣的方法容易求得級數(shù)的收斂域?yàn)?-1,I).

知識點(diǎn)解析：暫無解析

26、將下列函數(shù)展成麥克勞林級數(shù)并指出展開式成立的區(qū)間：(I)ln(l+x+x2)；(口)

1n4,

標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)由于ln(l+x+x2)=-1r?=ln(l-x3)-ln(l-x),利用公式(5.11),并分

別以(4)與(-x)代替其中的x,就有回(II)由于，利用公式(5.13),并以x2代替

其中的X,就有注意函數(shù)在點(diǎn)X=-l處也收斂，從而上式在端點(diǎn)X=1處也成立，即

知識點(diǎn)解析：暫無解析

27、將下列函數(shù)在指定點(diǎn)處展開為泰勒級數(shù)：(I)/+3X+2,在x=l處;

(II)ln(2x2+x-3),在x=3處.

標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)

]_______]___1______1_

K"=x2+3x+2-(x+l)(x+2)-x+1z+2*

其中士==「一「即

在上述展式中就是以局」代替(5.13)式中的x.類似地，有

—L-=--——=--------?―=4-之(-1)”=1)’.-1<三^<1BP-2<X<4,

*?23+(?-1)3(13三'，I3廣3

所以/(*)=7TT'771=￡(-I)[擊-吉)㈠-<”<3.

(II)由于ln(2x2+x-3)=ln(2x+3)(x-1)=In(2x+3)+ln(x-1),對于右端兩項(xiàng)應(yīng)用公式

(5.11),得

ln(2x+3)=ln[2(x-3)+9]=ln9+ln[]+

00

=21n3+￡(_1)-T:E.3)「,,j5<x7.5.

In(x-1)=ln(x-3+2)=ln2+ln(1+x~j

=ln2.￡(.l尸(土-孚,1<x^5.

n>I/I?2

8J

所以ln(2x2+-3)=ln2+21n3+￡[二？"[信)”+削(％-3尸,其中1</W5.

知識點(diǎn)解析：使用間接法在指定Axo處作泰勒展開，就要用X-X0,或者X-X0的倍

數(shù)與方幕等代替原來的X.

xlnL士三

28、將f(x)=1一%展開為x的基級數(shù)，并求阿(0),其中產(chǎn)1,2,3,...

標(biāo)準(zhǔn)答案：

1

g產(chǎn)=ln(l+4)-ln(l-x)=V(二D。-V(—U"'(■x)n

1一xWnn

的系數(shù)口，由此可知當(dāng)nN2時(shí)有此夕卜還有f(0)=0.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

??.—?■.??????■??、?■???????

⑴2)=”方⑺白三?。╪i）/（x）=「受空必出.

J0t

標(biāo)準(zhǔn)答案：（I）由于

心.（七）=2二尸）’=2￡-，1-

■■■■■

所以/（X）-Z*?=2￡（n+1）丁-2犬=2；（2n4l）x\|x|<1.

flaIA?0RBOB,OH?O

（n）由于e.zJ=—y=Y,-8<4<+8,x，o,所以

x工&M%n!

f{x）='（€-^-）=￡'其中一8<%<+8,4#0.

（ni）被積函數(shù)的嘉級數(shù)展開式為回逐項(xiàng)積分即得

知識點(diǎn)解析：在后兩個(gè)小題中除了作累級數(shù)展開之外還涉及分析運(yùn)算：一個(gè)含有求

導(dǎo),一個(gè)含有積分其實(shí)在第（I）小題中由于分母含有（1x）2,也要借助于求導(dǎo).像

這樣的題目，到底是應(yīng)該先展開后做分析運(yùn)算，還是應(yīng)該先做分析運(yùn)算后展開呢？

一般來說應(yīng)該先展開，因?yàn)閷φ归_式的分析運(yùn)算就是逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分，比較簡

便.而且某些題目也必須先展開，第（山）小題就是如此.

30、將函數(shù)f（x）="arclanx-In/TTP展開成x的嘉級數(shù)，并求其收斂域.

標(biāo)準(zhǔn)答案：f（x）=arctanx,L（x尸］+/,將廣（x）展開，有從而當(dāng)IxI<1時(shí)

有F（x尸當(dāng)x=±l時(shí)，右邊級數(shù)收斂，又f（x）連續(xù),所以收斂域?yàn)?IWXWI.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

考研數(shù)學(xué)三（無窮級數(shù)）模擬試卷第2

套

一、選擇題（本題共7題，每題L。分，共7分。）

1

1、設(shè)級3數(shù)”發(fā)散（所>0）,令S產(chǎn)a1+a2+…+an，則Sf5--,川）/（）.

A、發(fā)散

2.

B、收斂于卬

C>收斂于0

D、斂散性不確定

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

2?！?limSH

知識點(diǎn)解析：因?yàn)檎?xiàng)級數(shù)”7發(fā)散，所以L8=4-00,令S'二

化一*)+&-*)+…+仁一±)=/一含，因?yàn)?/p>

limS\=告=工

?8，%所以選(B).

2、設(shè)”Q收斂，則下列正確的是

OO

(A)?f一定收斂

W-1

(B)X”：一定發(fā)散

(c)?“絕對收斂

⑴)若是正項(xiàng)級數(shù)，則一定收斂

().I-1

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

OO(一1>元「(_1)丁_W工

Sn收斂，但k1L4nJ1】〃發(fā)

知識點(diǎn)解析：(A)不對，如"7

001

散;(B)不對，如n收斂,也收斂；(C)不對，如“■15收斂，

001

但”2TJ—7發(fā)散，選(D).

oo

2%與

--/A、1”'收斂，又OVkV2,則級數(shù)

X(--)^2w

w=I

().

A、絕對收斂

B、條件收斂

C、發(fā)散

D、斂散性與k有關(guān)

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

(爪an良)《2”，(ntan―]V

知識點(diǎn)解析：令Un=(-I)"'n)因?yàn)閨Un|二'"，a2n~ka2n，而i

ooco

yy

an收斂,所以?Tka2n收斂，于是??】Un絕對收斂，選(A).

4、下列結(jié)論正確的是

().X

(A)若XY及都收斂，則?("”土a)2收斂

”二|???1

(B)若收斂,則＞＞：或2式收斂

n=1i?=1

□ooo

(C)若X|弘|發(fā)散，則一定發(fā)散

胃—1Jl=l

8OO

(D)若&q(〃=1,2,…)且?”收斂，則一定收斂

”-1?=?1

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

8CO

￡Y及X*

知識點(diǎn)解析：(A)正確，因?yàn)?￡(Un士如252(11/+52)，而"7"-1收斂，所

OO

以由正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法得發(fā)Un士小尸收斂：(B)不對，如U產(chǎn)

弓二，q=七，顯然?

Eun.二

W0二收斂，而及都發(fā)散《)不對，如斯=土』，則￡

Ff=l"1力=1"J?=1

Un收斂，而

oo

yIun|發(fā)散；(D)不對，如4=±q+sin',“=e，

”】nnn顯然

cooo

Xa收斂，但2>”

Un<Vn(n=l,2,…)且“■】”T發(fā)散.

8Lsxnann,…11~\-Jn

--5---Vf(-1)In

sny/n

5、設(shè)a為任意常數(shù)，貝!級數(shù)().

A、發(fā)散

B、條件收斂

C、絕對收斂

D、斂散性與常數(shù)a有關(guān)

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點(diǎn)解析：因?yàn)?/p>

sinawK所以工也詈絕對收斂，又因?yàn)镮n1+6=必卜仁)

-Z2丁

單調(diào)減少且以零為極限，所以

8“("以號咚丁所

X《一I〉”。收斂，而1

n

以

次(-1)”on

條件收斂，于是級數(shù)力^^+(—l)”ln1+〃

1■■1Ln

條件收斂，選(B).

茨￡(-1尸臂上

6、設(shè)k>0,且級數(shù)“收斂，則級數(shù)4+勺).

A、發(fā)散

B、條件收斂

C、絕對收斂

D、斂散性與k的取值有關(guān)

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識點(diǎn)解析：因?yàn)?/p>

+且￡武與工1

2

2+/n~+k

都收斂，所以羽3+露)收斂建sIa”I

Vn2+k絕對收

斂，正確答案為(C).

g

N

7、設(shè)”=1an(x—l)n在K=一1處收斂，則此級數(shù)在x=2處().

A、條件收斂

B、絕對收斂

C、發(fā)散

D、斂散性不確定

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

22

知識點(diǎn)解析：因?yàn)?Tan(X—為在x=-1處收斂,即??匕】(一2尸收斂，所以

的收斂半徑RN2,故當(dāng)x=2時(shí)，|2-1|VR,所以級數(shù)“■Mx—?在x=2

處絕對收斂，選(B).

二、填空題(本題共3題，每題7.0分，共3分。)

OO

8、級數(shù)-Tn/的收斂域?yàn)開_______,和函數(shù)為________.

-Infl-y)

標(biāo)準(zhǔn)答案：12/(-2<x<2).

知識點(diǎn)解析：由一周I2得收斂半徑為R=2,當(dāng)x=-2時(shí)級數(shù)收斂，當(dāng)

OO8.

x=2時(shí)級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)W〃*2”的收斂域?yàn)椋?,2),令S(x)二〃?2?則

OO

一叩.

S(x)="I

9、級數(shù)2水—〃—+D在一IVxVl內(nèi)的和函數(shù)為

標(biāo)準(zhǔn)答案：xln（l一x2）+x3-x3ln（l一x2）（—*I<x<1）.

知識點(diǎn)解析：

、/小_不/，卜3_不/川_3不叱）-_A（X2）*H

:心+1）—右丁點(diǎn)甲—飛丁

不（丁尸=（犬尸

火與Kk—邑VF

而”=】〃=-ln(l-x2)(-1<X<1),

2一二二一

x2=一ln(l一x2)-x2(—*1<x<1),所以”g=xln(l-x2)+x3-x3ln(l

-x2)(-1<X<1).

oo

y烏

10、-14=.

標(biāo)準(zhǔn)答案：2.

知識點(diǎn)解析：

令S（z）=力女1（-1VzVD，

?-i

則S（H）=S^'），=（s^"）z=（r^）/=

故［余T斗信）1=1S（1）=?4=2.

三、解答題（本題共15題，每題J.0分，共15分。）

z,04141,

X

11、設(shè)f(x)=2—1，1<"42，So』2f(x)edx,S1=J24f(x—2)e

8

gs..

X2n+2X

dx,…，Sn=f2n+2f(x一2n)edx,求

標(biāo)準(zhǔn)答案：So=Io2f(x)eXdx=fo，xe'dx+JJ(2—x)eXdx='?！钬蝬—2,

則Si=e2Jo2f(t)eldt=e2So，令t=x-2n,則Sn=e2f⑴?%t=e2%Sc，

S=gS”=S°￡eZ=S0*=M.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

Sln(1+^)

12、判斷級數(shù)的斂散性.

￡足(1+旬

標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椤癮是正項(xiàng)級數(shù)，又

ln(l+§)?4且g§

‘〃/,"=]/收斂，根據(jù)比較審斂法的極限形式，級數(shù)

I，收斂.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

oo

yJ-

]+&

13、判斷級數(shù)”=1n”的斂散性.

1

lim^-z-=lim]

卸—81R—8(^7

標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樾栋l(fā)散,由比較審

°01

斂法的極限形式得級數(shù)「I〃”發(fā)散.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

3

…數(shù)期一1

2n+1

的斂散性.

標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?/p>

\?(2?I)

?嚴(yán)忘=1叫(1一擊),=1型[(1一

2〃+1)=c/V1,

所以級金L點(diǎn)L

知識點(diǎn)解析：暫無解析

OO

WJsin(n+a2)

15、判斷級數(shù)…I的斂散性，若收斂是絕對收斂還是條伶收

斂？

標(biāo)準(zhǔn)答案：

sin(n，/2+a2)=sin[nK+〃(，/+a?-〃)]=(-l)"sin+一-+--〃.

212B18________

因?yàn)閘imsin-7T=—/'=4-且Xl發(fā)散，所以XIsin(7t，++a?)I發(fā)散.

又當(dāng)〃充分大時(shí)單調(diào)減少，且limsin-7m—=0,

8

所以級數(shù)￡sin(“+/)條件收斂.

知識點(diǎn)解/：暫無解析

OO

、斗———

16、設(shè)”-1為發(fā)散的正項(xiàng)級數(shù),令Sn=ai+a2+...+an(n=l,2,...).證明:

'oo廿

i"收斂.

OO

ylim

標(biāo)準(zhǔn)答案:顯然{Sn}n=l0°,單調(diào)增加,因?yàn)榧墧?shù)占而發(fā)散,所以…8Sn=+oo.對交

7W0,

jl+3八Jim々=0,所以它三文

錯級數(shù)S1=0,單調(diào)減少，且—'.]1

收斂.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

￡皿府+土）

17、判斷級數(shù)的斂散性，若級數(shù)收斂，判斷其是絕對收斂還

是條件收斂.

gsin（〃7r+：）=X（-D"sin；

標(biāo)準(zhǔn)答案：級數(shù)I'lnn/Im”是交錯級數(shù),

因?yàn)椴穘煮｝單調(diào)減少且岬sin±=0,所以2>in（標(biāo)+±）收斂.

因?yàn)榧矗ㄈ?=）|=而心~+》《，且￡§發(fā)散，所以￡,（，5+自）1發(fā)

散，即級數(shù)2sin（w+*）為條件收斂.

知識點(diǎn)解屆;暫無解析

設(shè)…】n=l為兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù).證明:

lim鼾=0,且￡>”收斂，則

18、若L8工…”T

收斂;

lim》

標(biāo)準(zhǔn)答案：取卬=1,由”-8第二0,根據(jù)極限的定義，存在N>0,當(dāng)n>N時(shí),

^-0L即三/由蔡斂得?￡,收斂（收斂級數(shù)去掉有限項(xiàng)不改

S'B

變斂散性），由比較審斂法得*'I收斂，從而&an收斂（收斂級數(shù)添加有限項(xiàng)不

改變斂散性）.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

癡*=0,且￡>“發(fā)散，則

19、若L8"”…發(fā)散.

OO

y乙期

標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)（1）,當(dāng)n>N時(shí)，有0San<bn，因?yàn)榘装l(fā)散，所以“-74發(fā)散,

由比較審斂法，兇發(fā)散，進(jìn)一步得加發(fā)散.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

oo

（X-1）"

20、求事級數(shù)”t71