第=page1717頁，共=sectionpages2121頁2025年高考專項(xiàng)訓(xùn)練2：集合的新定義問題一、單選題1.定義集合運(yùn)算：A*B={z|z=xy,x∈A.0 B.2 C.3 D.62.設(shè)A，B是非空集合，定義A*B={x|x∈A∪B且A.{x|1<x≤3} B.{x|x<0或3.若x∈A，則1x∈A,就稱AA.15 B.16 C.32 D.2564.設(shè)集合P={3,4,5}，Q={4,5,6,7}，定義P*Q={(a,bA.3個(gè) B.4個(gè) C.7個(gè) D.12個(gè)5.對(duì)于集合M，N，定義M-N={x|x∈M且x?N}A.-94,0 B.-94,06.定義一種新的集合運(yùn)算※：A※B={x|x∈A且x?B}.若集合A.{x|3<x≤4} B.{x7.當(dāng)一個(gè)非空數(shù)集G滿足“如果a，b∈G，則a+b，a-b，ab∈G，且b≠0時(shí)，ab∈G”時(shí)，我們稱G就是一個(gè)數(shù)域，以下四個(gè)數(shù)域的命題：

①0是任何數(shù)域的元素：

②若數(shù)域G有非零元素，則2024A.1 B.2 C.3 D.48.定義集合運(yùn)算：A⊕B=(x,y)x2∈A,2A.? B.4,1 C.1,32 9.對(duì)于非空集合A=a1,a2,a3,?,an(ai≥0,i=1,2,3,?,n)，其所有元素的幾何平均數(shù)記為EAA.2 B.4 C.6 D.810.若集合M滿足：M≠?,若a∈M,則-a∈M，則稱集合M是一個(gè)“對(duì)稱集合”.已知全集AA.A∩B B.A∪B C.二、多選題11.給定數(shù)集M，若對(duì)于任意a，b∈M，有a+b∈M，且aA.集合M={-4,-2,0,2,4}為閉集合

B.正整數(shù)集是閉集合

C.集合M={n|12.給定數(shù)集M，若對(duì)于任意a，b∈M，有a+b∈M，且aA.集合M=-4,-2,0,2,4為閉集合

B.正整數(shù)集是閉集合

C.13.已知集合A={x|(x-2)(x-a)=0,A.若card(A)=2，則card(A∪B)=4

B.若card(A)=1，則card14.對(duì)任意集合A,B?U，記，并稱A*B為集合A.A*B=B*A

B.若A?A*B，則A∩B≠?

C.命題“若A15.對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)有限點(diǎn)集(由有限個(gè)點(diǎn)組成的集合)，若該點(diǎn)集內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都恰有三個(gè)與之距離最近的點(diǎn)(這三個(gè)點(diǎn)也在點(diǎn)集內(nèi))，則稱這樣的點(diǎn)集為“對(duì)稱集”，記作Dn，其中n表示該點(diǎn)集內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù).如集合D3不存在;集合D16存在，該集合內(nèi)16個(gè)點(diǎn)的一種分布方式為：，則使Dn存在的n還可以為(

)A.20 B.24 C.4 D.5三、填空題16.若x∈A，則2-x∈A，就稱A是“對(duì)偶關(guān)系”集合，若集合{a,-4,-2,0,2,4,6,7}的所有非空子集中是17.給定集合A、B，定義：A*B={x|x∈A或x∈B，但x18.定義：對(duì)于非空集合A，若元素x∈A，則必有m-x∈A，則稱集合A為“m和集合”.已知集合B={1,2,3,4,5,6,7}，則集合B的所有子集中，是“819.在檢測文本相似度時(shí)常以杰卡德距離作為衡量工具．稱M為集合M內(nèi)元素的個(gè)數(shù)，定義MJ(A,B)=1-|A∩B||A∪B|為集合A,?20.設(shè)S為實(shí)數(shù)集R的非空子集，若對(duì)任意x，y∈S，都有x+y，x-y①集合S={②若S為封閉集，則一定有0∈③封閉集一定是無限集；④若S為封閉集，則滿足S?T?其中說法正確的是

(填序號(hào))．四、解答題21.若集合A具有以下性質(zhì)：(ⅰ)0∈A且1∈A；(ⅱ)若x，y∈A，則x-y∈A，且當(dāng)x≠0時(shí)，1x∈A，則稱集合A為“閉集”．

(1)試判斷集合B={-1,0,1}是否為“閉集”，并說明理由；

(2)設(shè)集合A是“閉集”，求證：若x，y∈22.設(shè)A，B為兩個(gè)集合，我們定義集合x∈A|x?B

為兩個(gè)集合A，B(1)已知A={x|-1<(2)求證：A-23.笛卡爾積是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾命名的，允許將不同集合的元素組合成有序?qū)?，具有廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，包括數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)和物理學(xué).對(duì)于非空數(shù)集A，B，定義A?B={(x,y)|x∈A且y∈B}，將A?B稱為“A與B的笛卡爾積”．

(1)若A={2024,2025}，B={2023}，求A?B和B?A；

(2)若A1，A2是非空數(shù)集，證明“A1=A224.設(shè)整數(shù)n≥2，對(duì)于集合A={1,2,3,?,n}，定義對(duì)應(yīng)關(guān)系f：A→A，規(guī)定：?①?x(1)當(dāng)n=4時(shí)，寫出滿足f(1)=2，(2)(ⅰ)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求i=1n(-(ⅱ)集合B={f(x)|x∈A}，記M={b1,b2,b3?bk25.已知集合M=a1,a2,a3,?,an0≤(1)若集合P={3,4,5}，Q={0,3,6}，判斷P，Q是否是“封閉集”(2)若集合P=a1,a2,a3(3)設(shè)集合A=a1,a2,a3,26.設(shè)k是正整數(shù)，A是N*的非空子集(至少有兩個(gè)元素)，如果對(duì)于A中的任意兩個(gè)元素x，y，都有|x-y|≠(1)試判斷集合B={1,2,4,5}，C={1,5,6}是否具有性質(zhì)P(2)若集合A={a1,(3)若集合A?{1,2,?,1000}且具有性質(zhì)P(4)和27.已知集合S為平面中點(diǎn)的集合，n為正整數(shù)，若對(duì)任意的k∈N*且1≤k≤n，總存在平面中的一條直線恰通過S中的(1).若S={(x,y)|x∈{0，1，2}，y∈{0,1,2,3,4}}(2).已知集合S為n連續(xù)共線點(diǎn)集，記集合S的元素個(gè)數(shù)為(ⅰ)若|S|=6，求n(ⅱ)對(duì)給定的正整數(shù)n，求|S|28.對(duì)任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)z，定義集合Mz={ω|ω=z2n-1,n∈N}．

(1)設(shè)29.已知集合Mn=x1,x2,(1)已知X=(1,0,1,0)∈M2，求所有的(2)已知X,Y,(3)已知A=X1,X2,???30.對(duì)非空整數(shù)集合M及k∈N，定義M⊕k=m+t|m∈M,t=-k,-k+1,?,k(1)設(shè)M=3,5,7，請(qǐng)直接寫出集合(2)設(shè)A=1,2,3,?(3)對(duì)三個(gè)非空整數(shù)集合A,B,C，若dA,B=3且答案和解析1.【答案】D

【解析】依題意，A={1,2}，B={0,2}，

當(dāng)x=1，y=0時(shí)，z=0，

當(dāng)x=1，y=2時(shí)，z=2，

當(dāng)x=2，y=0時(shí)，z=0，

當(dāng)x=2，y=22.【答案】B

【解析】由已知可得M∪N={x|x≤3}，M∩N3.【答案】A

【解析】具有伙伴關(guān)系的元素構(gòu)成的集合{-1}，{1}，{14、4}，{1其中任取1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)的并集構(gòu)成滿足題意的集合，

集合M的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合個(gè)數(shù)為：24-1=15，

4.【答案】D

【解析】∵a的取值可以是3，4，5之一，b的取值可以是4，5，6，7之一，

∴(a,b)的可能情況有：

(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，

(4,4)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，

(5,4)，(5,5)，(5,6)，(5,7)，共12種不同情況，

所以P*5.【答案】C

【解析】因?yàn)镸-N={x|x∈所以A-B=故A故選C．6.【答案】B

【解析】A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3}7.【答案】C

【解析】①因數(shù)域G是非空數(shù)集，取其中任意元素x，

則由數(shù)域定義x-x=0∈G，故①正確；

②因數(shù)域G有非零元素，設(shè)為y，

則由數(shù)域定義yy=1∈G，

因1∈G，則1+1=2∈G，1+2=3∈G，

類推可得任意正整數(shù)都在數(shù)域中，故②正確；

③P={x|x=3k,k∈Z}表示全體被3整除的整數(shù)，

則3∈P，6∈P，但8.【答案】D

【解析】因?yàn)榧螦=B=x∈N1<x<4=2,3，

由x2∈A可得：x2=2或3，則x=4或6，

由2y∈B可得：2y=2或3，則y=1或23，

所以A⊕B={(4,1)，(6,1)，(4,23)，(6,29.【答案】C

【解析】因?yàn)榧螦=1,2,4,8,16，則所以集合1,2,4,8,16的“保均值真子集”有：4，1,16，2,8，1,4,16，2,4,8，1,2,8,16，共6個(gè)．故選：C．10.【答案】C

【解析】因?yàn)锳={x|x<-1},B={x|x?1}，所以A∩B=x|x<-1，

因?yàn)?2∈A∩B，但2?A∩B，故A錯(cuò)誤，

A∪B=x≤1，因?yàn)?3∈A11.【答案】ABD

【解析】根據(jù)對(duì)于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a-b∈M，則稱集合M為閉集合．

對(duì)于A，當(dāng)集合M={-4,-2,0,2,4}時(shí)，由于2+4?M，所以集合M不為閉集合，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B，設(shè)a，b是任意的兩個(gè)正整數(shù)，當(dāng)a<b時(shí)，a-b<0不是正整數(shù)，所以正整數(shù)集不為閉集合，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C.當(dāng)M={n|n=3k,k∈Z}時(shí)，設(shè)a=3k1，b=3k2，k1∈12.【答案】ABD

【解析】A.當(dāng)集合

M=-4,-2,0,2,4時(shí)，

2,4∈M，

而

2+4?M，所以集合

M不為閉集合，選項(xiàng)A不正確．

B.設(shè)

a,b是任意的兩個(gè)正整數(shù)，

則

a+b∈M，但

a-b不一定屬于

M，如a=2，b=4，a-b=-2不屬于正整數(shù)，所以正整數(shù)集不為閉集合，選項(xiàng)B不正確．

C.當(dāng)

M=nn=3k,k∈Z?時(shí)，設(shè)

a=3k1,b=3k2,

k113.【答案】BD

【解析】∵集合A={x|(x-2)(x-a)=0,a∈R}，B={x|(x-1)(x-3)=0}={1,3}，

對(duì)于A，若card(A)=2，則card(A∪B)的可能取值為3或4，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若card(A)=1，則A={2}，A∪B={1,2,3}，∴card(14.【答案】AD

【解析】對(duì)A，，故A正確；對(duì)B，若A?A*B，當(dāng)A=?時(shí)，B≠?，，且A∩B=?，

當(dāng)對(duì)C，若A*B=A，則根據(jù)定義可知對(duì)D，由A*B?A，得故選：AD．15.【答案】AB

【解析】根據(jù)題目定義，對(duì)稱集Dn要求每個(gè)點(diǎn)有三個(gè)最近的鄰點(diǎn)，且這些鄰點(diǎn)均在點(diǎn)集內(nèi)．

結(jié)合圖論中的3-正則圖(每個(gè)頂點(diǎn)度數(shù)為3)需滿足邊數(shù)3n2為整數(shù)，故n必須為偶數(shù)．

題目中已給出D16存在的例子，而D3不存在．

幾何構(gòu)造分析表明，在平面中滿足每個(gè)點(diǎn)有三個(gè)等距鄰點(diǎn)的有限點(diǎn)集需要高度對(duì)稱的結(jié)構(gòu)，如蜂窩狀或特殊網(wǎng)格排列，但此類構(gòu)造僅對(duì)特定偶數(shù)可行．

最終答案所有可能的n值為偶數(shù)且n>4，所以n16.【答案】{1,-【解析】集合{a,-4,-2,0,2,4,6,7}的所有的“對(duì)偶關(guān)系”

有-4與6，-2與4，2與0，則a與7，

這些組合的“對(duì)偶關(guān)系”有4對(duì)，集合有24-1=15個(gè)．

那么2-a=7，可得a=-5．

當(dāng)a17.【答案】{0,3}

【解析】【分析】本題考查集合的新定義問題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意新定義的合理運(yùn)用，屬于中檔題．

求得A∩B，根據(jù)新定義即可求解【解答】

解：∵A*B={x|x∈A或x∈B，但x?A∩18.【答案】15

【解析】當(dāng)集合B的子集中只有1個(gè)元素時(shí)，即為{4}，共1個(gè);

當(dāng)集合B的子集中有2個(gè)元素時(shí)，即為{1,7}，{2,6}，{3,5}，共3個(gè);

當(dāng)集合B的子集中有3個(gè)元素時(shí)，即為{1,4,7}，{2,4,6}，{3,4,5}，

共3個(gè);

當(dāng)集合B的子集中有4個(gè)元素時(shí)，即為{1,7,2,6}，{1,7,3,5}，{2,6,3,5}，共3個(gè);

當(dāng)集合B的子集中有5個(gè)元素時(shí)，即為{1,7,4,2,6}，{1,7,4,3,5}，

{2,6,4,3,5}，共3個(gè);

當(dāng)集合B的子集中有6個(gè)元素時(shí)，即為{1,2,3,5,6,7}，共1個(gè)．

當(dāng)集合B的子集中有7個(gè)元素時(shí)，即為{1,2,3,4,5,6,7}，共1個(gè)．

故集合B的所有子集中是“8和集合”的集合有15個(gè)．

故答案為15．19.【答案】12【解析】由題意可知當(dāng)W1∩W2最大且因?yàn)閃1=6,W2=3，所以W且W1∪W2此時(shí)最小為若W2?W1，則W1故MJW1故答案為：1220.【答案】①②

【解析】①對(duì)，任取x，y∈S，

不妨設(shè)x=a1+b13，y=a2+b23(a1,a2,b1,b2∈Z)，

則x+y=(a1+a2)+(b1+b2)3，

21.【答案】解：(1)因?yàn)?1-1=-2?B，

所以B={-1,0,1}不是閉集，

(2)證明：因?yàn)榧螦是閉集，x，y∈A，

所以0-y=-y∈A，

故x-(-y)=x+y∈A；

(3)當(dāng)x=0或x=1時(shí)，命題“若x∈M，則x2∈M”為真命題，

當(dāng)x≠0且x≠1時(shí)，因?yàn)閤∈22.【解析】(1)A-B=x|-1<x?1，B-A=

??x∈A

∴

(

∵???

∴A

所以A

同理B-(B

23.【解析】(1)由題意知A?B={(2024,2023)，(2025,2023)}，

B?A={(2023,2024)，(2023,2025)}；

(2)證明：先證明“A1?A2=A2?A1”是“A1=A2”的充分條件，

若A1?A2=A2?A1，

任取x0∈A1，則對(duì)于任意y∈A2，有(x0,y)∈A1?A2，

∵A1?A2=A2?A1，則(x0,y)∈A2?A1，∴x0∈A2，

∴A1?A2；

任取y0∈A2，則對(duì)于任意x∈A1，有(y0,x)∈A2?A1，

∵A2?A1=A1?A2，則(y0,x)∈A24.【解析】(1)對(duì)應(yīng)關(guān)系：f(1)=2，f(2)=1，f(3)=4，f(4)=3；

(2)(i)要求i=1n(-1)f(i)-i的最小值，盡可能取f(i)-i為奇數(shù)或奇數(shù)相反數(shù)，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，不妨取f(1)=2，f(2)=1，f(3)=4，f(4)=3，?f(n-1)=n，f(n)=n-1，

此時(shí)i=1n(-1)f(i)-i=-n，所以i=1n(-1)f(i)-i的最小值為-n；

(ii)因?yàn)閒(i)≠i，所以|f(i)-i|≥1，則i=1n|f(i)-i|≥n，當(dāng)且僅當(dāng)f(i)-i=1或-1時(shí)取等號(hào)，

由(i)可知，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則i=1n|f(i)-i|最小值為n；

同理，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，按照上述構(gòu)造，必有一個(gè)|f(i)-i|≥2，此時(shí)i=1n|f(i)-i|≥n+1，

取f(1)=2，f(2)=1，f(3)=4，f(4)=3，?，f(n-2)=n-1，f(n-1)=n，f(n)=n-225.【解析】(1)集合P={3,4,5}中，因?yàn)?+5=10?P，5-5=0?P，所以集合P集合Q={0,3,6}因?yàn)?+3∈Q，0+6∈Q，6-3=3∈所以集合Q是“封閉集”；(2)因?yàn)閍1<a2<a3，且P所以a3+a3?又因?yàn)閍2+a則a3-a3∈P由集合的元素互異性可知，a3-a2=故集合P={0,1012,2024}(3)因?yàn)锳=a1,a所以an+an?又因?yàn)?≤a1又因?yàn)閍n+an-由集合元素的互異性可知所以a1=an-an，a所以a1即a所以當(dāng)n≥4則①-②為a也即an26.【解析】(1)∵4-2=2，∴B不具有性質(zhì)P(2)．

∵5-1≠2，6-1≠2，6-5≠2，∴C具有性質(zhì)P(2)；

(2)將集合{1,2,?,20}中的元素分為如下10個(gè)集合，

{1,6}，{2,7}，{3,8}，{4,9}，{5,10}，{11,16}，{12,17}，{13,18}，{14,19}，{15,20}．

所以從集合{1,2,?,20}中取11個(gè)元素，那么這10個(gè)集合至少有一個(gè)集合要選2個(gè)數(shù)，存在兩個(gè)元素其差為5，∴A不可能具有性質(zhì)P(5)；

(3)先說明連續(xù)11項(xiàng)中集合A中最多選取5項(xiàng)，以1，2，3?，11為例.將這11個(gè)數(shù)分為{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}，{5}，{6}，{7}7個(gè)集合，

?①5，6，7同時(shí)選，因?yàn)榫哂行再|(zhì)P(4)和P(7)，所以選5則不選1，9;選6則不選2，10;選7則不選3，11;則只剩4，8.故1，2，3?，11中屬于集合A的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè)．

?②5，6，7選2個(gè)，若只選5，6，則1，2，9，10，7不可選，又{4,11}只能選一個(gè)元素，3，8可以選，故1，2，3?，11中屬于集合A的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè)．

若選5，7，則只能從2，4，8，10中選，但4，8不能同時(shí)選，故1，2，3?，11中屬于集合A的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè)．

若選6，7，則2，3，10，11，5不可選，又{1,8}只能選一個(gè)元素，4，9可以選，故1，2，3?11中屬于集合A的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè)．

?③5，6，7中只選1個(gè)，又四個(gè)集合{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}每個(gè)集合至多選1個(gè)元素，故1，2，3?，11中屬于集合A的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè)．

由上述?①?②?③可知，連續(xù)11項(xiàng)自然數(shù)中屬于集合A的元素至多只有5個(gè)，如取1，4，6，7，9.因?yàn)?000=90×11+10，

則把每11個(gè)連續(xù)自然數(shù)分組，前90組每組至多選取5項(xiàng);從991開始，最后10個(gè)數(shù)至多選取5項(xiàng)，故集合A的元素最多有91×5=455個(gè)．

給出如下選取方法：從1，2，3?，11中選取1，4，6，7，9;然后在這5個(gè)數(shù)的基礎(chǔ)上每次累加11，構(gòu)造90次．

此時(shí)集合A的元素為：1，4，6，7，27.【答案】解：(1)直線x=0經(jīng)過(0,0)，(0,1)，(0,2)3個(gè)點(diǎn)，直線y=x-1經(jīng)過(1,0)，(2,1)2個(gè)點(diǎn)，

直線y=x-2經(jīng)過(2,0)1個(gè)點(diǎn)，所以S為3連續(xù)共線點(diǎn)集，

沒有直線經(jīng)過S中的4個(gè)點(diǎn)，所以不是4連續(xù)共線點(diǎn)集；

(2)(i)因?yàn)閨S|=6，即直線最多經(jīng)過S中的6個(gè)點(diǎn)，所以n≤6.

n=6時(shí)，6個(gè)點(diǎn)在一條直線上，沒有一條直線恰經(jīng)過5個(gè)點(diǎn)，不滿足．

n=5時(shí)，5個(gè)點(diǎn)在一條直線上，則僅剩1個(gè)點(diǎn)，沒有一條直線恰經(jīng)過4個(gè)點(diǎn)，不滿足．

又當(dāng)S={(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(2,0)}時(shí)，x=0，y=0，y=-x+1，y=-x分別恰經(jīng)過S中4，3，2，1個(gè)點(diǎn)，為4連續(xù)共線點(diǎn)集，所以nmax=4．

(ii)設(shè)lk恰經(jīng)過S中的k個(gè)點(diǎn)(k=1,2,?,n)，

由于ln經(jīng)過n個(gè)點(diǎn)，ln-1恰經(jīng)過n-1個(gè)點(diǎn)，最多與ln交1個(gè)點(diǎn)，即最少需要多n-1-1個(gè)點(diǎn);

ln-2恰經(jīng)過n-2個(gè)點(diǎn)，最多分別與ln，ln-1各交1個(gè)點(diǎn)，即最少需要多n-2-2=n-4個(gè)點(diǎn);

依次類推，ln-k(0≤k≤n2,k∈N*)恰經(jīng)過n-k個(gè)點(diǎn)，最多分別與ln，ln-1?ln-k+1各交1個(gè)點(diǎn)，即最少需要多n-k-k=n-2k個(gè)點(diǎn)，

所以當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，最少需要k=0n2(n-2k)=n2+2n4個(gè)點(diǎn)，

當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，最少需要k=0n-12(n-2k)=(n+1)24點(diǎn).

所以|S|≥[(n+1)24]([x]為不超過x的最小整數(shù))．

下面用歸納法構(gòu)造[(n+1)24]個(gè)元素的點(diǎn)集，為n連續(xù)共線點(diǎn)集

①n=1，2時(shí)，

因?yàn)楫?dāng)28.(1)解：由x+1x=2，得x2-2x+1=0，