幻燈片1：封面標(biāo)題：26.1.1反比例函數(shù)學(xué)科：數(shù)學(xué)年級(jí)：九年級(jí)下冊(cè)（結(jié)合冀教版教材體系，反比例函數(shù)通常安排在九年級(jí)）版本：冀教版（2024）幻燈片2：素養(yǎng)目標(biāo)理解反比例函數(shù)的定義，能識(shí)別形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)為常數(shù)，\(k\neq0\)）的函數(shù)為反比例函數(shù)，明確“\(k\neq0\)”和“自變量\(x\neq0\)”的核心前提。掌握反比例函數(shù)的三種常見解析式形式（\(y=\frac{k}{x}\)、\(y=kx^{-1}\)、\(xy=k\)），能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的解析式，培養(yǎng)代數(shù)變形能力。能結(jié)合實(shí)際問題分析反比例函數(shù)中變量的關(guān)系，確定自變量的取值范圍，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系?；脽羝?：重難點(diǎn)重點(diǎn)反比例函數(shù)的定義及三種解析式形式。根據(jù)已知條件求反比例函數(shù)的解析式。難點(diǎn)：理解反比例函數(shù)中“兩個(gè)變量的積為定值”的本質(zhì)特征，以及在實(shí)際問題中準(zhǔn)確判斷變量間的反比例關(guān)系?；脽羝?：新知導(dǎo)入——生活情境+舊知銜接情境1：小明要去距離家12km的公園，若騎車的平均速度為\(v\)（km/h），所需時(shí)間為\(t\)（h），則\(t\)與\(v\)的關(guān)系為\(t=\frac{12}{v}\)——速度越快，時(shí)間越短，且\(v\timest=12\)（積為定值）。情境2：一個(gè)矩形的面積為20cm2，若它的長為\(x\)（cm），寬為\(y\)（cm），則\(y\)與\(x\)的關(guān)系為\(y=\frac{20}{x}\)——長越長，寬越短，且\(x\timesy=20\)（積為定值）。舊知回顧：回顧正比例函數(shù)的定義（\(y=kx\)，\(k\neq0\)，兩個(gè)變量的比值為定值），對(duì)比情境中“變量的積為定值”的關(guān)系，引出“反比例函數(shù)”主題。提問：上述情境中，兩個(gè)變量的關(guān)系有什么共同特點(diǎn)？如何定義這類函數(shù)？幻燈片5：知識(shí)點(diǎn)1——反比例函數(shù)的定義定義內(nèi)容：一般地，形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)為常數(shù)，且\(k\neq0\)）的函數(shù)，叫作反比例函數(shù)。其中\(zhòng)(x\)是自變量，\(y\)是\(x\)的函數(shù)。關(guān)鍵特征（三要素）：形式特征：可表示為\(y=\frac{k}{x}\)、\(y=kx^{-1}\)（\(x^{-1}=\frac{1}{x}\)）、\(xy=k\)三種形式，本質(zhì)是“兩個(gè)變量的積為非零定值\(k\)”。常數(shù)特征：比例系數(shù)\(k\neq0\)（若\(k=0\)，則\(y=0\)，變?yōu)槌?shù)函數(shù)，不再是反比例函數(shù)）。自變量特征：自變量\(x\neq0\)（分母不能為0），函數(shù)值\(y\neq0\)（因\(k\neq0\)，\(y=\frac{k}{x}\neq0\)）。示例與判斷：是反比例函數(shù)的：\(y=\frac{3}{x}\)（\(k=3\neq0\)）、\(y=-2x^{-1}\)（即\(y=-\frac{2}{x}\)，\(k=-2\neq0\)）、\(xy=5\)（即\(y=\frac{5}{x}\)，\(k=5\neq0\)）。不是反比例函數(shù)的：\(y=\frac{0}{x}\)（\(k=0\)）、\(y=\frac{3}{x+2}\)（分母是\(x+2\)，非單獨(dú)\(x\)）、\(y=\frac{3}{x^2}\)（分母是\(x^2\)，非\(x\)的一次形式）。小練習(xí)：判斷下列函數(shù)是否為反比例函數(shù)，說明理由：①\(y=\frac{4}{x}\)（是，\(k=4\neq0\)，符合\(y=\frac{k}{x}\)形式）；②\(y=3x\)（否，是正比例函數(shù)）；③\(xy=-6\)（是，可化為\(y=-\frac{6}{x}\)，\(k=-6\neq0\)）?；脽羝?：知識(shí)點(diǎn)2——反比例函數(shù)的解析式形式三種常見形式及轉(zhuǎn)化：基本形式：\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）——最直觀的形式，體現(xiàn)“\(y\)與\(x\)成反比例”。負(fù)指數(shù)形式：\(y=kx^{-1}\)（\(k\neq0\)）——由\(x^{-1}=\frac{1}{x}\)推導(dǎo)而來，需注意指數(shù)為\(-1\)，非其他負(fù)整數(shù)。乘積形式：\(xy=k\)（\(k\neq0\)）——兩邊同乘\(x\)（\(x\neq0\)）得到，直接體現(xiàn)“\(x\)與\(y\)的積為定值\(k\)”，便于判斷變量關(guān)系。典例講解：將下列反比例函數(shù)化為三種形式（若可行）：例：已知\(y=\frac{5}{x}\)（\(k=5\neq0\)）：基本形式：\(y=\frac{5}{x}\)；負(fù)指數(shù)形式：\(y=5x^{-1}\)；乘積形式：\(xy=5\)。注意事項(xiàng)：三種形式本質(zhì)一致，需根據(jù)題目要求靈活轉(zhuǎn)化，如已知\(y\)與\(x\)的積為定值，優(yōu)先用乘積形式判斷是否為反比例函數(shù)?；脽羝?：知識(shí)點(diǎn)3——確定反比例函數(shù)的解析式（求\(k\)值）解題思路：反比例函數(shù)的解析式由比例系數(shù)\(k\)唯一確定，因此只需知道一組\(x\)、\(y\)的對(duì)應(yīng)值（或一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)\((x,y)\)，\(x\neq0\)，\(y\neq0\)），代入解析式即可求出\(k\)，進(jìn)而確定解析式。典例講解：例1：已知反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖象經(jīng)過點(diǎn)\((2,3)\)，求該反比例函數(shù)的解析式。解題步驟：代入點(diǎn)的坐標(biāo)：將\(x=2\)，\(y=3\)代入\(y=\frac{k}{x}\)，得\(3=\frac{k}{2}\)；求\(k\)值：兩邊同乘2，得\(k=6\)；寫解析式：該反比例函數(shù)的解析式為\(y=\frac{6}{x}\)（或\(xy=6\)、\(y=6x^{-1}\)）。例2：已知\(y\)與\(x\)成反比例，且當(dāng)\(x=-4\)時(shí)，\(y=5\)，求當(dāng)\(x=2\)時(shí)\(y\)的值。解題步驟：設(shè)解析式：因\(y\)與\(x\)成反比例，設(shè)\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）；求\(k\)值：將\(x=-4\)，\(y=5\)代入，得\(5=\frac{k}{-4}\)→\(k=-20\)，解析式為\(y=-\frac{20}{x}\)；求對(duì)應(yīng)\(y\)值：當(dāng)\(x=2\)時(shí)，\(y=-\frac{20}{2}=-10\)?；脽羝?：知識(shí)點(diǎn)4——反比例函數(shù)的自變量取值范圍與實(shí)際意義自變量取值范圍：從代數(shù)角度：\(x\neq0\)（分母不能為0），函數(shù)值\(y\neq0\)。從實(shí)際角度：需結(jié)合具體問題中變量的意義確定，如“速度\(v\)”“長度\(x\)”等需為正數(shù)，即\(x>0\)（或\(v>0\)）。典例講解：例：某工廠要生產(chǎn)1000件零件，若每天生產(chǎn)的零件數(shù)為\(x\)（件/天），完成生產(chǎn)所需的天數(shù)為\(y\)（天），則\(y\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系為\(y=\frac{1000}{x}\)。自變量取值范圍：從代數(shù)角度\(x\neq0\)，從實(shí)際意義（每天生產(chǎn)零件數(shù)為正），\(x>0\)且\(x\)為正整數(shù)（零件數(shù)為整數(shù)）；函數(shù)值意義：\(y\)表示生產(chǎn)1000件零件所需的天數(shù)，故\(y>0\)且\(y\)為正整數(shù)（天數(shù)為整數(shù)）?；脽羝?：易錯(cuò)點(diǎn)辨析常見錯(cuò)誤及糾正：忽略\(k\neq0\)：如認(rèn)為\(y=\frac{0}{x}\)是反比例函數(shù)（錯(cuò)誤，\(k=0\)時(shí)\(y=0\)是常數(shù)函數(shù)，非反比例函數(shù)）。誤解解析式形式：如將\(y=\frac{3}{x+2}\)誤認(rèn)為是反比例函數(shù)（錯(cuò)誤，分母是\(x+2\)，非單獨(dú)\(x\)，不符合\(y=\frac{k}{x}\)形式）。實(shí)際問題中忽略取值范圍：如“矩形長\(x\)”的取值范圍誤寫為\(x\neq0\)（正確應(yīng)為\(x>0\)，因長度為正數(shù)）。糾錯(cuò)練習(xí)：判斷“若\(y=kx^{-1}\)（\(k\)為常數(shù)），則\(y\)與\(x\)成反比例”是否正確（錯(cuò)誤，需補(bǔ)充\(k\neq0\)，否則當(dāng)\(k=0\)時(shí)\(y=0\)，不是反比例函數(shù)）?；脽羝?0：課堂檢測(cè)下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的是（

）A.\(y=2x\)B.\(y=\frac{x}{3}\)C.\(y=\frac{3}{x}\)D.\(y=\frac{3}{x^2}\)已知反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖象經(jīng)過點(diǎn)\((-3,4)\)，則\(k\)的值為______，該函數(shù)的解析式為______。已知\(y\)與\(x\)成反比例，且當(dāng)\(x=5\)時(shí)，\(y=-2\)，求當(dāng)\(y=4\)時(shí)\(x\)的值。某蓄水池的容積為100m3，若向水池注水的速度為\(v\)（m3/h），注滿水池所需時(shí)間為\(t\)（h），則\(t\)與\(v\)的函數(shù)關(guān)系為______，自變量\(v\)的取值范圍是______。幻燈片11：中考考法鏈接考情分析：反比例函數(shù)的定義、解析式求解是中考基礎(chǔ)考點(diǎn)，常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)（分值3-4分），也會(huì)在解答題中結(jié)合反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)考查，重點(diǎn)考查定義理解與\(k\)值計(jì)算。真題示例：（2024?河北唐山中考模擬）若函數(shù)\(y=(m+2)x^{m^2-5}\)是反比例函數(shù)，則\(m\)的值為（

）A.2B.-2C.±2D.無法確定解析：反比例函數(shù)需滿足“形式為\(y=kx^{-1}\)（\(k\neq0\)）”，即：指數(shù)條件：\(m^2-5=-1\)→\(m^2=4\)→\(m=\pm2\)；系數(shù)條件：\(m+2\neq0\)→\(m\neq-2\)；綜上，\(m=2\)，答案選A?；脽羝?2：課堂小結(jié)核心知識(shí)梳理：反比例函數(shù)定義：形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)），本質(zhì)是“\(x\)與\(y\)的積為定值\(k\)”。解析式形式：\(y=\frac{k}{x}\)、\(y=kx^{-1}\)、\(xy=k\)（\(k\neq0\)），三者可靈活轉(zhuǎn)化。求解析式：已知一組\(x\)、\(y\)值，代入求\(k\)，再寫解析式。取值范圍：代數(shù)上\(x\neq0\)，實(shí)際中需結(jié)合變量意義（如正數(shù)、整數(shù)）確定。解題口訣：反比例函數(shù)三形式，\(k\)非零是前提；已知一點(diǎn)求解析式，代入計(jì)算\(k\)值定；自變量，不為零，實(shí)際意義再限定?；脽羝?3：作業(yè)布置基礎(chǔ)作業(yè)：課本26.1節(jié)練習(xí)題第1、2、3題（重點(diǎn)練習(xí)反比例函數(shù)的識(shí)別、解析式求解）。提升作業(yè)：已知反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖象經(jīng)過點(diǎn)\((1,-5)\)，求：①該函數(shù)的解析式；②當(dāng)\(x=-1\)時(shí)\(y\)的值；③當(dāng)\(y=2.5\)時(shí)\(x\)的值。已知\(y\)與\(x^2\)成反比例，且當(dāng)\(x=3\)時(shí)，\(y=4\)，求\(y\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式。拓展作業(yè)：結(jié)合生活實(shí)例（如路程、面積、工作量等），編寫一個(gè)反比例函數(shù)問題，并求解該函數(shù)的解析式及某一自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，與同學(xué)交流。2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)【公開課精做課件】授課教師：

.班級(jí)：

.

時(shí)間：

.

26.1.1反比例函數(shù)第二十六章

反比例函數(shù)aiTujmiaNg

生活中我們常常通過控制電阻的變化來實(shí)現(xiàn)舞臺(tái)燈光的效果.在電壓U一定的情況下，當(dāng)R變大時(shí)，電流I變小，燈光就變暗；相反，當(dāng)R變小時(shí)，電流I變大，燈光變亮.你能寫出這些量之間的關(guān)系式嗎?反比例函數(shù)的概念

下列問題中，變量間具有函數(shù)關(guān)系嗎？如果有，請(qǐng)寫出它們的解析式.合作探究(1)京滬線鐵路全程為1463km，某次列車的平均速度v(單位：km/h)隨此次列車的全程運(yùn)行時(shí)間t(單位：h)的變化而變化；(2)某住宅小區(qū)要種植一塊面積為1000m2

的矩形草坪，草坪的長y(單位：m)隨寬x(單位：m)的變化而變化；(3)已知北京市的總面積為1.68×104km2，人均占有面積S(km2/人)隨全市總?cè)丝趎(單位：人)的變化而變化.

觀察以上三個(gè)解析式，你覺得它們有什么共同特點(diǎn)？問題：都具有

的形式，其中

是非零常數(shù)．分式分子

一般地，形如(k為常數(shù)，k≠0)的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)，其中x是自變量，y

是函數(shù).

反比例函數(shù)(k≠0)的自變量x的取值范圍是什么？思考：

因?yàn)?/p>

x作為分母，不能等于零，所以自變量

x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù).

但實(shí)際問題中，應(yīng)根據(jù)具體情況來確定反比例函數(shù)自變量的取值范圍.

例如，在前面得到的第一個(gè)解析式中，t的取值范圍是t＞0，且當(dāng)t取每一個(gè)確定的值時(shí)，v都有唯一確定的值與其相對(duì)應(yīng).

反比例函數(shù)除了可以用(k≠0)的形式表示，還有沒有其他表達(dá)方式？想一想：反比例函數(shù)的三種表達(dá)方式(注意k≠0)：下列函數(shù)是不是反比例函數(shù)？若是，請(qǐng)指出k的值.是，k=3不是不是不是練一練是，例

1

已知函數(shù)

是反比例函數(shù)，求m的值.典例精析所以m2+2m－4=－1，m－1≠0.解得m=－3.解：因?yàn)槭欠幢壤瘮?shù)，方法總結(jié)：已知某個(gè)函數(shù)為反比例函數(shù)，則自變量的次數(shù)為－1，且系數(shù)不等于0.2.

已知函數(shù)

是反比例函數(shù)，則k必須滿足

.1.

當(dāng)m=

時(shí)，

是反比例函數(shù).k≠2且k≠－1±1練一練指數(shù)為

-1系數(shù)不為0例

2

已知y是x的反比例函數(shù)，并且當(dāng)x=2時(shí)，y=6.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；提示：依題意設(shè).把x=2和y=6代入上式，就可求出常數(shù)k的值.這就是待定系數(shù)法.解：設(shè).因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí)，y=6，所以有

解得k=12.

因此確定反比例函數(shù)的解析式(2)當(dāng)x=4時(shí)，求y的值.解：把x=4代入，得歸納：用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟：①設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式；②將已知條件(自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值)代入解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程；③解方程，求出待定系數(shù)；

④寫出反比例函數(shù)解析式.已知y與x+1成反比例，并且當(dāng)x=3時(shí)，y=4.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)x=7時(shí)，求y的值．解：(1)設(shè)，因?yàn)楫?dāng)x=3時(shí)，y=4，所以，解得k=16，因此.

(2)當(dāng)x=7時(shí)，練一練建立簡(jiǎn)單的反比例函數(shù)模型例

3

人的視覺機(jī)能受運(yùn)動(dòng)速度的影響很大，行駛中司機(jī)在駕駛室內(nèi)觀察前方物體是動(dòng)態(tài)的，車速增加，視野變窄.當(dāng)車速為50km/h時(shí)，視野為80度，如果視野f(度)是車速v(km/h)的反比例函數(shù)，求f關(guān)于v的函數(shù)解析式，并計(jì)算當(dāng)車速為100km/h時(shí)，視野的度數(shù).解：設(shè).由題意知，當(dāng)v=50時(shí)，f=80，解得k=4000.

因此所以當(dāng)v

=

100時(shí)，f

=

40.所以當(dāng)車速為

100km/h時(shí)視野為40度.例4

如圖，已知菱形ABCD的面積為180平方厘米，設(shè)它的兩條對(duì)角線AC，BD的長分別為xcm，y

cm.寫出變量y與x之間的關(guān)系式，并指出它是什么函數(shù).ABCD解：因?yàn)榱庑蔚拿娣e等于兩條對(duì)角線長乘積的一半，所以S菱形ABCD

所以變量y與x之間的關(guān)系式為，它是反比例函數(shù).B返回1．下列函數(shù)不是反比例函數(shù)的是(

)返回A2．已知函數(shù)y＝(m＋2)xm2－5是反比例函數(shù)，則m的值是(

) A.2B．±2

C．±4D．±6 C返回3．下列成反比例關(guān)系的是(

) A.正方形的周長C與邊長a的關(guān)系

B.圓的面積S與半徑r的關(guān)系

C.當(dāng)路程s一定時(shí)，時(shí)間t與速度v的關(guān)系

D.直角三角形兩銳角∠A與∠B的關(guān)系

4．返回1805．返回k≥0且k≠16