第19課等邊三角形

知識(shí)點(diǎn)01等邊三角形

等邊三角形定義:

的三角形叫等邊三角形.

要點(diǎn)詮釋:

由定義可知，等邊三角形是一種特殊的.也就是說(shuō)等腰三角形包括等邊三角形.

知識(shí)點(diǎn)02等邊三角形的性質(zhì)

等邊三角形的性質(zhì):

等邊三角形,并且每一個(gè)內(nèi)角都等于

知識(shí)點(diǎn)03等邊三角形的判定

等邊三角形的判定:

(1)的三角形是等邊三角形;

(2)的三角形是等邊三角形;

(3)是等邊三角形.

知識(shí)點(diǎn)04含30°的直角三角形

含30°的直角三角形的性質(zhì)定理:

在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角是30°,那么它所對(duì)的.

要點(diǎn)詮釋:

這個(gè)定理的前提條件是“”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一

半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系.

考法01等邊三角形

【典例1］如圖，已知點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，A48c和A0CE都是等邊三角形，BE

交AC于F,AD交CE于H.

(1)求證：△BCE0ZXACD；

(2)求證：FH〃BD.

［即學(xué)即練1珈圖,0ABD.0ACE都是正三角形,BE和CD交于O點(diǎn)，則回BOC=度.

【典例2】如圖，ZXABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D,延長(zhǎng)BA到E,使AE=BD,連接CE、

DE.求證：CE=DE.

【即學(xué)即練2］如圖所示，AABC是正三角形，^BDC是頂角NBDC=120°的等腰三角形,

以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN.試探

究線段CN、BM、MN之間的關(guān)系，并加以證明.

【典例3】如圖所示，某船上午11時(shí)30分在A處觀測(cè)海島B在北偏東60。方向，該船以每

小時(shí)10海里的速度航行到C處，再觀測(cè)海島B在北偏東30。方向，又以同樣的速度繼續(xù)航

行到D處，再觀測(cè)海島在北偏西30。方向，當(dāng)輪船到達(dá)C處時(shí)恰好與海島B相距20海里,

請(qǐng)你確定輪船到達(dá)C處和D處的時(shí)間.

北

B

CD

考法02含30°的直角三角形

【典例4】如圖所示，/A=60°,CE_LAB于E,BD_LAC于D,BD與CE相交于點(diǎn)H,HD=1,

HE=2,試求BD和CE的長(zhǎng).

A

【即學(xué)即練3】如圖所示，在AABC中，AB=AC,D是BC邊上的點(diǎn)，DE±AB,DF±AC,垂足

分別為點(diǎn)E、F,ZBAC=120°.

求證：DE+DF^-BC.

2

【典例5】如圖所示，在等邊AABC中，AE=CD,AD、BE相交于點(diǎn)P,BQ_LAD于Q,

求證：BP=2PQ.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.如圖，已知NAOB=60。，點(diǎn)P在邊0A上，OP=10,點(diǎn)M、N在邊0B上，PM=PN,若MN=2,

則0M的長(zhǎng)為（）

A.2B.3C.4D.5

2.如圖，已知aABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C,D、E在同一直線上，且CG二CD,DF=DE,則

ZE=()

A.30°B.25°C.15°D.10°

3.已知NAOB=30。，點(diǎn)P在NAOB的內(nèi)部，Pi與P關(guān)于OA對(duì)稱，P2與P關(guān)于OB對(duì)稱,

則APlOP?是（）

A.含30。角的直角三角形B.頂角是30的等腰三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

4.如圖，木工師傅從邊長(zhǎng)為90cm的正三角形木板上鋸出一正六邊形木塊，那么正六邊形

木板的邊長(zhǎng)為（）

A.34cmB.32cmC.30cmD.28cm

5.如圖，點(diǎn)、D,E是等邊三角形48c的邊8C,47上的點(diǎn)，且CD=4E,4。交BE于點(diǎn)P,BQ

上人。于點(diǎn)Q,已知PE=2,PQ=6,貝1]4。等于（）

A.10B.12C.14D.16

6.如圖，ADAC和AEBC均為等邊三角形，A、C、B三點(diǎn)在同一直線上，AE、BD分別與CD、

CE交于點(diǎn)M、N,有如下結(jié)論：①AACE烏ZXDCB；②AC=DN；③AE=BD；@ZBOE=60°；

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

CB

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

題組B能力提升練

1.如圖，已知AB=AC=BC=AD,貝lJ/BDC=

BC

2.如圖，在等腰直角4ABC中，ZBAC=90°,ZBAD=30°,AD=AE,則NEDC的度數(shù)是

3.如圖，已知AABC中，AB=AC,ZBAC=120°,DE垂直平分AC交BC于D,垂足為E,

若DE=2cm,貝ijBC=cm.

4.如圖，AB=AC=AD=4cm.DB=DC,若N48C為60度，則BE為,ZABD=

A

5.在AABC中，ZA=45°,ZB=30°,AD為AABC的中線，則NADC='

6.如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且總使AD=BE,AE

與CD交于點(diǎn)F,AGLCD于點(diǎn)G,則/以G=

題組C培優(yōu)拔尖練

1.4ABC為正三角形，點(diǎn)M是射線BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是射線CA上任意一點(diǎn)，且BM=CN,

直線8N與A/W相交于Q點(diǎn)，就下面給出的三種情況，如圖8中的①②③，先用量角器分別

測(cè)量N8Q/M的大小，然后猜測(cè)N8QM等于多少度.并利用圖③證明你的結(jié)論.

2.如圖，在等邊AABC中，NA8C與NACB的平分線相交于點(diǎn)。，且。?！?8,OE//AC

(1)試判定△ODE的形狀，并說(shuō)明你的理由;

(2)若8c=10,求ZkODE的周長(zhǎng).

3.數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目.

如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且ED=EC.

試確定線段AE與BD之間的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答:

特殊情況，探索結(jié)論

(1)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1,則AEBD(填或"=

特例啟發(fā)，解答題目

(2)當(dāng)E為AB上任意一點(diǎn)時(shí)，AE與BD