空間向量及其運(yùn)算

【題型歸納目錄】

題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運(yùn)算

題型二：共線向量定理的應(yīng)用

題型三：共面向量及應(yīng)用

題型四：空間向量的數(shù)量積

題型五：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角

題型六：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長(zhǎng)度

題型七：利用空間向量的數(shù)量積證垂直

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一：空間向量的有關(guān)概念

1、空間向量

(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量.

(2)長(zhǎng)度或模：空間向量的大小.

(3)表示方法：

①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；

②字母表示法：用字母mb,c,…表示；若向量。的起點(diǎn)是兒終點(diǎn)是B,也可記作:卷，其模記為同

或|血

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

(1)空間中點(diǎn)的一個(gè)平移就是一個(gè)向量；

(2)數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空

間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。

2、兒類常見(jiàn)的空間向量

名稱方向模記法

零向量任意00

單位向量任意1———

4的相反向量：-a

相反向量相反相等

施的相反向量：BA

相等向量相同相等a=b

知識(shí)點(diǎn)二：空間向量的線性運(yùn)算

⑴向量的加法、減法

加法

空間向量OB=OA^-OC=a~\-b

的運(yùn)算

減法CA=OA-OC=a-boaA

加法運(yùn)算①交換律：a-\-b=b-\-a

律②結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

(2)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

①定義：實(shí)數(shù)人與空間向量〃的乘積而仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.

當(dāng)A0時(shí)，Qi與向量“方向相同；

當(dāng)入＜0時(shí)，布與向量a方向相反；

當(dāng)為=()時(shí)，30；3的長(zhǎng)度是〃的長(zhǎng)度的閃倍.

②運(yùn)算律

結(jié)合律：刈皿)=〃(筋)=(入〃).

分配律：(入+〃)a=X/z+〃a,人(〃+8)=?+福＞.

知識(shí)點(diǎn)詮釋，

(1)空間向量的運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的延展，空間向量的加法運(yùn)算仍然滿足平行四邊形法則和三角形

法則.而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運(yùn)算，可以將向量合并；

(2)向量的減法運(yùn)算是向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，滿足三角形法則.

(3)空間向量加法的運(yùn)算的小技巧：

①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，

即：44+44+44+…+4"=44

因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過(guò)平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量：

②首尾相接的若干向量若構(gòu)成?個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量，

即：44+44+44—4-i4+44=0；

知識(shí)點(diǎn)三：共線問(wèn)題

共線向量

(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行

向量.

(2)方向向量：在直線/上取非零向量m與向量”平行的非零向量稱為直線/的方向向量.

規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量。，都有0〃。.

(3)共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量。，〃(〃#)),?！Φ某湟獥l件是存在實(shí)數(shù)九使

(4)如圖，。是直線/上一點(diǎn)，在直線/上取非零向量a,則對(duì)于直線/上任意一點(diǎn)P,由數(shù)乘向量定義

及向量共線的充要條件可知，存古實(shí)數(shù)入，使得辦=而.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：此定理可分解為以卜.兩個(gè)命題：

(1))/區(qū)工工0)n存在唯一實(shí)數(shù)4,使得］=義5；

(2)存在唯一實(shí)數(shù)4,使得萬(wàn)=花(5工0),則1//鼠

注意：萬(wàn)不可丟掉，否則實(shí)數(shù)4就不唯一.

(3)共線向量定理的用途：

①判定兩條直線平行；(進(jìn)而證線面平行)

②證明三點(diǎn)共線。

注意：證明平行時(shí)，先從兩直線上取有向線段表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，

進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問(wèn)題的一種重要方法。證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，通常不用圖形，直接利

用向量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn)。

知識(shí)點(diǎn)四：向量共面問(wèn)題

共面向量

(1)定義：平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量.

(2)共面向量定理：若兩個(gè)向量”，〃不共線，則向量〃與向量m8共面的充要條件是存在唯一的有序

實(shí)數(shù)對(duì)(x,刃，使p=x〃+?.

(3)空間一點(diǎn)。位于平面/8C內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,j，),使蘇=工薪+)，52或?qū)臻g任意一

點(diǎn)0,有蘇=方+工薪+)k.

(4)共面向量定理的用途：

①證明四點(diǎn)共面

②線面平行(進(jìn)而證面面平行)。

知識(shí)點(diǎn)五：空間向量數(shù)量積的運(yùn)算

空間向量的數(shù)量積

⑴定義:已知兩個(gè)非零向量a,b,則憫cos(?,b)叫做a,〃的數(shù)量積，記作“6.即。協(xié)=|。憫cos(a,

b).

規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.

(2)常用結(jié)論(m力為非零向量)

①a_Lb=°6=0.

②《ra=|a|M|cos{a,a)=|肝.

(3)數(shù)量積的運(yùn)算律

數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(㈤山=2(。切=優(yōu)出)

交換律ab=ba

分配律a(b+c)=ab+ac

【典型例題】

題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運(yùn)算

例1.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知正方體的中心為O,則在下列各結(jié)論中正確的共有

（）

①萬(wàn)+歷與麗+武是一對(duì)相反向量；

②OB-OC與OA-OD'是一對(duì)相反向量；

?OA+OS+OC+OD^OA'+OB^OC'+OD'是一對(duì)相反向量；

④。1一0N與。心一質(zhì)是一對(duì)相反向量.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】

，，

對(duì)于①，?.?次=一武，OD=-OB^-.OA+OD=-（OB+OC）f

，方+而與礪+正是一對(duì)相反向量，①正確：

對(duì)于②，\OB-OC=CB>37-防二萬(wàn)％,又而二萬(wàn)萬(wàn)，

.?.赤-反與37-麗不是相反向量，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，-OA=-OC^OB=-OD1?OC=-OA^麗=一麗，

/.(M+OB+^+OD=-^+O^+OC'+OD'Y

.??而+礪+反+而與方+兩+反''+而是?對(duì)相反向量,③正確;

對(duì)于④，-O4i-0A=7Ai>OC-OC^CCXZ7=-C7C，

-況與反-詼?zhǔn)?對(duì)相反向量，④正確.

故選：c.

例2.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）給出下列命題：

①問(wèn)量荏的長(zhǎng)度與向量瓦i的長(zhǎng)度相等；

②向量】與7平行,則十與1的方向相同或相反;

③兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；

④若向量前與向量而是共線向晝，則點(diǎn)兒B,C,。必在同一條直線上;

⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段.

其中假命題的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】對(duì)于①，|方卜|瓦5|，故①為真命題；

對(duì)于②，若￡與書(shū)中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向不確定，故②為假命題;

對(duì)于③，終點(diǎn)相同并不能說(shuō)明這兩個(gè)向量的方向相同或相反，所以③為假命題；

對(duì)于④，共線向量所在直線可以重合，也可以平行，不能得到點(diǎn)44,G。必在同一條直線上，故④為

假命題；

對(duì)于⑤，向量可用有向線段來(lái)表示，但并不是有向線段，故⑤為假命題.

故假命題的個(gè)數(shù)為4.

故選：C

例3.（2023?全國(guó)?高二隨堂練習(xí)）給出下列命題：

①零向量沒(méi)有方向：

②若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；

③若空間向量￡3滿足p|=W，則￡=九

④若空間向量m,n,p滿足m=〃,〃=p,則m=p;

⑤空間中任意兩個(gè)單位向量必相等.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3

C.2D.I

【答案】D

【解析】零向量的方向是任意的，但并不是沒(méi)有方向，故①錯(cuò)誤；

當(dāng)兩個(gè)空間向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等.但兩個(gè)向量相等，起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相

同，故②錯(cuò)誤；

根據(jù)相等向量的定義，要保證兩個(gè)向量相等，不僅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量i與否的方向

不一定相同，故③錯(cuò)誤；

命題④顯然正確；

對(duì)于命題⑤，空間中任意兩個(gè)單位向量的模均為I,但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯(cuò)誤.

故選：D.

變式1.（2023?遼寧葫蘆島?高二校考開(kāi)學(xué)考試）空間四邊形48CZ）,連接4C,BD.M,G分別是BC,CD

的中點(diǎn)，則方+!就+!筋等于（）

22

A.~ADB.GAC.AGD.MG

【答案】C

【解析】:歷，G分別是HC,CQ的中點(diǎn)，工工分心=8而，\-BD=MG.

22

?,?9+,比+!麗=方+麗+前=而+話=位

22

故選：C

變式2.（2023?黑龍江哈爾濱?高二尚志市尚志中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在四面體。48C中，OA=a,OB=b,OC=c

點(diǎn)必在棱。力上，且兩=2礪，N為BC中點(diǎn),則訴=（）

1-2t1一21

A.—a——n+—cBn.——a-+—Jrb+—c-

232322

I-1I一22-1

c.—a+—br—cD.--ci+-b--c

222332

【答案】B

【解析】，?,點(diǎn)M在線段0/上，巨OM=2M4,N為BC中點(diǎn)、,

OM=-04,ON=-（dB+OC）=^-dB+^-OC,

3222

[.122|1

：.MN=ON-OM=-OB+-OC——04=——a+-b+-c.

223322

故選：B.

變式3.（2023?安徽馬鞍山?高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐尸-488中，底面力8。是平行四邊形，已

知西=d，PC=b?PD=c?說(shuō)二g而，則屜;（）.

一rJ-

A.-a-b+—cB.-a-b+—c

22

-3___1_

C.ci+b—cD.。+6+-c

22

【答案】A

一1一一1一

【解析】因?yàn)槭珽=Lp。，所以。E=」P￡>,

22

因?yàn)辂惗?阮二麗+而二而—斤+而_蘇=2

———―—?一1—3———3-

所以BE=BD+DE=2PD—PC-PA一一PD=-P-PC-PA=-c-h-a,

222

故選：A.

變式4.（2023?貴州貴陽(yáng)?高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知四面體48CO,G是。。的中點(diǎn)，連接力G,則

AB+^BD-^BC）=（）

1__

A.AGB.CGC.~BCD.-BC

【答案】A

【解析】四面體4?CO,G是。。的中點(diǎn)，如圖所示，

因?yàn)镚是。。的中點(diǎn)，

所以萬(wàn)而+元）

一1一一—————

所以彳8+±(8O+8C)=/18+8G=4G.

2

故選：A.

變式5.(2023?福建宇德?高二?？茧A段練習(xí))直三棱柱力8C-48c中，若昂=3，而=B1，則福=

().

A.-a+b-cB.a-b+c

C.-a+b+cD.a+b-c

【答案】A

【解析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則得：

A^=A^Cl+Cfi+CB=AC-CCi+CB=-CA-CCl+C^=-a-c+b^.

故選：A

【方法技巧與總結(jié)】

在用已知向量表示未知向量的時(shí)候，要注意尋求兩者之間的關(guān)系，通?？蓪⑽粗蛄窟M(jìn)行一系列的轉(zhuǎn)

化，將具轉(zhuǎn)化到與已知向量在同一四邊形(更多的是平行四邊形)或二角形中，從而可以建立已知與未知

之間的關(guān)系式.另外，在平行六面體中，要注意相等向量之間的代換.

題型二：共線向量定理的應(yīng)用

例4.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知向量6，e?不共線，AB=e}+e2,AC=2e1+Se2,AD=3e}-5e2,

則()

A.荏與正共線B.而與而共線

C.A,8,C,。四點(diǎn)不共面D.A,B,C,D四點(diǎn)共面

【答案】D

【解析】對(duì)于A,?.4工)，.?.不存在實(shí)數(shù)4,使得數(shù)=4充成立，，前與就不共線，A錯(cuò)誤；

2o

對(duì)于B,VAC=2e]+8e2,AD=3e]-5e2,CD=AD-AC=e[-\3e1.

又二，.?.不存在實(shí)數(shù)4,使得湘=%而成立，「.數(shù)與無(wú)不共線，B錯(cuò)誤；

1—13

對(duì)于C、D,若A,8,C,。四點(diǎn)共面，

則有AD=xAB+yAC=(x+2y)q+(x+8y)q=3q-5q,

_VT_

x+2v=3?—17—4——

即《I,,故<D=—AB一一AC,

x+Sy=S'

=——433

3

故A,B,C,。四點(diǎn)共面，C錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

例5.(2023?高二課時(shí)練習(xí))若Z=T+2]-%，b=-3i+6j-3k,c=-2i+4j-2k,則()

A.可組成銳角三角形B.可組成直角三弟形

C.可組成鈍角三角形D.不構(gòu)成三角形

【答案】D

【解析】由題知，5=31忑=2萬(wàn)

所以仇E忑共線

所以￡、坂、）不構(gòu)成三角形.

故選：D

例6.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）已知空間四邊形48CZ）,點(diǎn)￡、尸分別是48與邊上的點(diǎn)，分別是8c

與S邊上的點(diǎn)，若近=2荏，AF=AAD,CM=^CB,CN=pCD,則向量而與麗滿足的關(guān)系為（）

A.EF=MNB.EF//MNC.同=|麗|D.府卜|麗|

【答案】B

【解析】由荏=2萬(wàn)，AF=AAD,EF^AF-AE=A（AD-AB]=ADB,所以加、麗共線，同理，由

CM=pCB,CN=pCD,得麗=〃麗，所以硒、加共線，所以而、曲共線，即麗〃麗.

故選：B.

變式6.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）設(shè)向量,，e2,6不共面，已知月^二弓+6+6，BC=^4-/^2+^3,

而=%+阮+4],若4C,。三點(diǎn)共線，則4=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】由48=0+6+與，8。=6]+〃2+03，

得就二刀+而=21+（1+%叵+2怎，

因?yàn)?C,。三點(diǎn)共線，所以祝//麗，

則存在唯一實(shí)數(shù)〃，使得祀=〃函，

2=4〃_J_

則1+2=8〃，解得"=5.

2=4〃[%=3

故選：C.

變式7.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）如果空間向量不共線，且5-跖=切+3人那么X，）'的值分別是（）

A.x=-l,y=3B.x=-l,y=-3

C.x=l,y=-3D.x=\,y=3

【答案】C

【解析】由題意可知空間向量仇石小共線，\\.d-yb=xa+3bfK|J(x-l)ti-(>,+3)^=0>

則i_]=0,_(y+3)=0,即x=l,y=—3,

故選：C.

變式8.（2023?全國(guó)?高二假期作業(yè)）在正方體"CO-44CQ中，點(diǎn)E在對(duì)角線。田上，且砂閩=孑￡用,

點(diǎn)尸在棱?！晟?，若小E、尸三點(diǎn)共線，則|〃目=\FC].

【答案】1/0.5

【解析】因?yàn)檎襟w中，2B=D]A+4B=Dm+D￡,

設(shè)|。/|=4怛Cj,又|。閨=；但8|,

--------/?+1-------1----丸+1----

所以二-

4D]E=D/+DF，^D[E=-DXA^—D{F,

?OilA

因?yàn)?、E、/三點(diǎn)共線，所以（+倍，=1，解得7=g，即日=^"4

故答案為：y.

【方法技巧與總結(jié)】

利用共線向量定理可以判定兩直線平行、證明三點(diǎn)共線.證平行時(shí)，先從直線上取有向線段來(lái)表示兩

個(gè)問(wèn)量，然后利用向最的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，此為證明平行問(wèn)題的一種重要

方法；證明三點(diǎn)共線問(wèn)題時(shí)，通常不用圖形。直接利用向量的線性運(yùn)算，但一定要注意所表示的向量必須

有一個(gè)公共點(diǎn).

題型三：共面向量及應(yīng)用

例7.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）下列條件能使點(diǎn)M與點(diǎn)4SC一定共面的是（）

A.OM=OA-OB-OC

B.OM=OA+OB+OC

C.OM=-OA-OB+^OC

D.OM=-CM-麗+3OC

【答案】D

【解析】設(shè)兩=大方+），礪+2玩，若x+y+z=l,則點(diǎn)M,48,C共面.

對(duì)于A,OM=OA-OB-OC由于1-1-1=一1/1,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,OM=OA+OB+OC由于1+1+1=3工1,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,而=—而—?dú)v十,1，由于_1_1+，=_之注],故C錯(cuò)誤:

222

對(duì)于D,OM=-OA-OB+30C，由于一1-1+3=1,得共面，故D正確.

故選：D.

例8.（2023?安徽池州?高二池州市第一中學(xué)校考期中）在四面體力8co中，已知E為線段8C二的點(diǎn)，。為

線段OE上的點(diǎn)，SLJE=-BC,D0=-DEf^Ad=xAB+yAC+zAD,則》產(chǎn)的值為.

4

【答案】-

【解析】由題意可知，

（—、

=—AD+-3\―AB-A—D+>-IA—C—1=2-―AB-+~1—AC>2—AL,

5133J555

2124

所以x=1,y=w，z=］,所以可，z=玩.

JJJ14J

4

故答案為：if?

例9.（2023?全國(guó)?高二隨堂練習(xí)）如圖所示，四面體O-48C中，G,〃分別是△48C,Z\O8C的重心，設(shè)

方=瓦07=B,4=1,點(diǎn)。，M,N分別為BC,4B,08的中點(diǎn).

（1）試用向量,3忑表示向量而M而；

⑵試用空間向量的方法證明MNG”四點(diǎn)共面.

------1一1-

【解析】（1）MN=一一OA=一一a

22

因?yàn)樵?。1+怒，

—2--------------------------

而46=53。,力。=0。一。力，

又D為8c的中點(diǎn)，所以歷=g（赤+方），

所以而=況+§而=況+］（而_萬(wàn)）=次+5X5（°片+沅）_］況

1—?1—

=-（OA+OB+OC）=-（a+b+c）.

33

（2）因?yàn)辂?麗—南，

麗=|歷=gxg（歷+南=頡+?）,

——1-111—

所以G〃=+H）—§（不+6+可=一§2=--OA,

——?1------3——

MN二一一OA,所以〃N=±G〃.

22

所以MVG”四點(diǎn)共面.

變式9.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體力BCO-中，M為。。的中點(diǎn)，NeAC,且

AN:NC=2,求證：4,'N，"四點(diǎn)共面.

【解析】設(shè)44]=值,48=5,4。=—,則48=6-萬(wàn)，

?.?M為。。的中點(diǎn)，.?.病=3-與，

Z

又,.,4N:NC=2,，4N=2/C=2（B+G）,

33、，

：.AyN=AN-AA[=-j（b+@-a=^（石一@c—W4鳥(niǎo)g4從，

.?.而,和而為共面向量，

又三向量有相同的起點(diǎn)4，...4,B,N，M四點(diǎn)共面.

變式10.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知A,B,C三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面48C外的任意一點(diǎn)。，分別根

據(jù)下列條件，判斷點(diǎn)M是否與點(diǎn)A,B,C共面：

（i）cw=-UA+-UB+-UC；

236

⑵麗=3方-礪-反.

【解析】（1）因?yàn)槎?,萬(wàn)i+，醞+■!■云，

236

---1—1—1——-

所以O(shè)M——OA——OB——OC=0,

236

所以，麗刀+'麗」麗+,麗-'玩=6,

223366

可得+-BM+-CM=0，所以西=—3瘋一2麗，

236

所以點(diǎn)”與點(diǎn)A,B,C共面.

（2）由兩=3而一麗一反川得兩一3厲+礪+反=6，

所以西-況+而-方+1-宓=6，

所以萬(wàn)7+荔+就=0，所以忘=萬(wàn)+農(nóng)，

所以點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C共面.

變式11.（2023,高二課時(shí)練習(xí)）下面關(guān)于空間向量的說(shuō)法正確的是（）

A.若向量￡石平行,則[出所在直線平行

B.若向晟i④所在直線是異面直線，則不共面

C.若小B,C,。四點(diǎn)不共面，則向量靜，麗不共面

D.若4,B,C,。四點(diǎn)不共面，則向量而，祝，而不共面

【答案】D

【解析】向量平行，所在直線可以重合，也可以平行，A錯(cuò)誤；

可以通過(guò)平移將空間中任意兩個(gè)向量平移到一個(gè)平面內(nèi)，因此空間任意兩個(gè)向量都是共面的，BC錯(cuò)誤；

顯然48,AC,力。是空間中有公共端點(diǎn)4但不共面的三條線段，所以向量而，AC，而不共面，D正

確.

故選：D

變式12.（2023?上海?高二專題練習(xí)）已知4B、。是空間中不共線的三個(gè)點(diǎn)，若點(diǎn)。滿足

OA+2OB+3OC則下列說(shuō)法正確的一項(xiàng)是（）

A.點(diǎn)。是唯一的，且一定與4B、C共面

B.點(diǎn)。不唯一，但一定與4B、。共面

C.點(diǎn)。是唯一的，但不一定與4B、。共面

D.點(diǎn)。不唯一，也不一定與4B、C共面

【答案】A

【解析】由空間向量的知識(shí)可知￡31共面的充要條件為存在實(shí)數(shù)X，兒使聯(lián)=藍(lán)+4，

因?yàn)闆r+2醞+3反=0，

所以的7法—3比

所以刀，礪，衣共面，

所以。,4邑。四點(diǎn)共面,

因?yàn)榉?2礪+3歷=6,所以@+1）+2（赤+1）=6.

所以點(diǎn)。唯一.

故選：A.

變式13.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）在下列條件中，能使M與A,B,。一定共面的是（）

A.OM=2OA-OB-OCB.麗=頡+：礪+：人

JJ4

c.MA+MB+MC=（）D.OM+04+OB+OC=0

【答案】C

【解析】空間向量共面定理，OM=xOA+ydB+zdC,若A,8,。不共線，且A,B,C,河共面，則

其充要條件是x+V+z=l；

對(duì)于A,因?yàn)?-1-1=0/1,所以不能得出A,8,C,M四點(diǎn)共面；

對(duì)于B,因?yàn)?+；+：=非?！?，所以不能得出A,B,C,M四點(diǎn)共面；

對(duì)于C,祝3=-荻-而心，則，沅i，元拓，成為共面向量，所以M與A,B,C一定共面；

對(duì)于D,因?yàn)榈?/+礪+反=0,所以而=-以-O豆-無(wú)，因?yàn)?1-1-1=-3工1,所以不能得出A,

8,C,M四點(diǎn)共面.

故選：c.

___11

變式14.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）若點(diǎn)尸e平面力8C,且對(duì)空間內(nèi)任意一點(diǎn)。滿足0P=:。力+/10B+；；。。,

48

則4的值是（）

A.--B.--C.：D.-

8888

【答案】D

【解析】平面Z6C,

:.P,A,B,C四點(diǎn)共面，

—1——1一

又OP=-O4+/IO8+-OC,

48

.■二+：+/=],解得/=]

488

故選：D.

或者根據(jù)??/€平面45C，.?/，A,H,。四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)使得拓=.》而+_），]，

\^^-OP=x{OB-OP]+y[OC-OP^^（\-x-y）OP=OA-xOB-yOC,

]_x_y=4,

乂4而=8+4廊+場(chǎng)，所以?T=4%解得/I。

O

1

卜尸5，

故選：D

變式15.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）己知O為空間任意一點(diǎn)，從耳。,尸四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線.如

果而=〃?a+方+無(wú)，則加的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【解析】因?yàn)辂惗?麗，

所以由而=〃?而+礪+歷

^OP-bB=mOA+bB+OC，

^OP=mOA+2OB+OC

因?yàn)?。為空間任意一點(diǎn)，4法CP滿足任意三點(diǎn)不共線，且四點(diǎn)共面，

所以/〃+2+1=1,故〃？=一2.

故選：A.

變式16.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）己知點(diǎn)。在“8C確定的平面內(nèi)，。是平面48c外任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)

滿足歷=+y礪-雙，則f+”的最小值為（）

A.-B.型C.1D.2

55

【答案】D

【解析】因?yàn)榈Z=NS+），礪-近，點(diǎn)。在確定的平面內(nèi)，

所以x+y-l=l,即x=2-y,所以r+jJ=（2—）,>+/=2y2-4y+4=2（y-\）2+2>2,

所以當(dāng)y=i時(shí)，幺+y2的有最小值2.

故選：D

變式17.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）如圖，平面ABC內(nèi)的小方格均為正方形，點(diǎn)P為平面ABC內(nèi)的一點(diǎn),。為

平面力BC外一點(diǎn)，設(shè)方=機(jī)況+〃赤+歡，則〃?+〃的值為（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【解析】由題知而二次+方，

?.?4尸,8,。四點(diǎn)共面,

根據(jù)平面向量基本定理，

不妨設(shè)赤=x而+,X,（x,ywR）,

則方=M+x而+），%

=（\-x-y）OA+xOB+yOC,

,/OP=mOA+nOB+2OC，

\-x-y=m

：yx-n,

y=2

：.m+n=\—x—y+x=1-_y=-1.

故選:B

【方法技巧與總結(jié)】

在用共面向量定理及其推論的充要條件進(jìn)行向量共面判斷的時(shí)候，首先要選擇恰當(dāng)?shù)某湟獥l件形式，

然后對(duì)照形式將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算.

題型四：空間向量的數(shù)量積

例10.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）如圖，各棱長(zhǎng)都為2的四面體4BCQ中。=詼，萬(wàn)=2而，則向量

BECF=<）

1I11

A.B.§C.D.-

【答案】A

【解析】由題得說(shuō)，灰"夾角，麗，而夾角，布5,而夾角均為g,

-CE=ED,AF=2FD,

——I/■■■?■

...BE=-(BC+BD),AF=-AD,

_2____,__7_____,i____2-

=BA+^~AD-BC=BA+^（JD-BA）-BC=^BA-BC+^BD,

故選：A.

例11.（2023?北京昌平?高二?？茧A段練習(xí)）如圖，三棱錐力-4。。的各棱長(zhǎng)都是。，點(diǎn)E、尸、G分別是

、/ID、CO的中點(diǎn)，則/等于（）

A.2BAACB.2ADBDC.2FGCAD.2EFCB

【答案】B

【解析】由題意，三棱錐力-4。0為止四面體，

；點(diǎn)后、/、6分別是48、4Q、CD的中點(diǎn)，??.E/rJ_R7,且EFMFGUQ。，

對(duì)于A,2BA-lC=2a2-cos1200=-a2：

對(duì)于B,2ADBD=2a2-cos60Q=a^

對(duì)于C,2FG-CA=2--a2coslS00=-a2；

2

對(duì)于D,2EFC5=2—a2cosl200=一一a\

22

等于2而?麗.

故選：B.

例12.（2023?浙江溫州?高一校聯(lián)考期中）正四面體尸45c的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)。是的重心，則而?居的

值為（）

A.7B.C.|D.

【答案】D

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)。是△尸，4?的重心，，而=；（萬(wàn)+麗），

正四面體-45C的棱長(zhǎng)為2,.?.而?衣=［（再5+而）?（左一而卜

:.PB.B3=L（而?運(yùn)-p上.運(yùn)+方.運(yùn)一廣百）

1…1一1八2

=-2x2x—2x2x—+2x2x—4=—

3（222J3

故選：D.

變式18.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）設(shè)正四面體力-8C。的棱長(zhǎng)為2,E,歹分別是8C,40的中點(diǎn)，則

族.酢的值為（）

A.1B.J3

C.2D.4

【答案】A

【解析】依題意，由

p5|=pc|=pD|=2,<AB.JD>=<AC,JD>=603,

故萬(wàn).瓦=衣而=畫(huà)珂cos<前,而>=2x2x；=2,

所以公布=3口豆+衣）.（（而）=（（1瓦而+祝彳萬(wàn)）

=：（2+2）=1.

故選:A.

變式19.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）在校長(zhǎng)為1的正方體46CO-48CQ中，〃為CG上任意一點(diǎn)，則

正?而二（）

A.-V2B.-1C.1D.V2

【答案】B

【解析】由圖形可得必=城+乙3=該+屈+而，

所以必雨=（限+區(qū)+麗卜祠=祝?而+麗麗+而襦，

由正方體性質(zhì)可得就1襦，而1刷，所以雨?福=0,西?南=0,

所以正?襦=麗?而，

又|c,=1,卜|。|卜1，區(qū)與反，方向相反，

所以南?甌二一1.

故選：B.

變式20.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）在三棱錐。-力5c中，

==/80c=60',04=。。=204=2,七為0。的中點(diǎn)，則赤.豆心等于（）

A.-1B.0C.1D.3

【答案】C

【解析】因?yàn)?/。8=//OC=4B0C=60\OB=OC=2OA=2.

所以灰?麗=|人，礪|cos60o=2x2x；=2,

刀?麗=|研?畫(huà)cos60o=lx2x；=l,

^C=|O4|-|dc|cos600=lx2xl=l,

因?yàn)榉?■灰-35,灰二灰一礪,

2

=lx4--x2-l+l=2-l-l+l=l.

22

故選：C.

變式21.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積

的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵力8。-44G中，，出_14G分別是

4。津4的中點(diǎn)，G是的中點(diǎn)，A8=2AC=2AA,=4,則/G,MN=（）

A.4B.5C.6D.8

【答案】C

【解析】

連接力MAM,由棱柱性質(zhì),側(cè)棱四_L平面48￡,4GU平面4片G，則4"4G，

故4M=J彳力：+4A/?=44+1=V5,又AN=NAB'+BN'=J4?+F=>/T7，

XG-A/N=g（4M+4M）?（4N—XM）=；（KN『一%M『）=；x（17-5）=6.

故選：C

變式22.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知空間四邊形力8。。的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a,點(diǎn)從尸分別

是BC、4。的中點(diǎn)，則荏.簫的值為（）

A.a2B.C.D.^-a2

244

【答案】C

【解析】由題意，刀,力和衣，瓦之間夾角均為60。，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算有

族布=；函+元）；而

故選：C

變式23.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)P在棱長(zhǎng)為2的正方依的表面上運(yùn)動(dòng)，則西?麗

的最大值為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】取48中點(diǎn)O,連接尸O，如圖，

則西.萬(wàn)二回+珂?（冏+礪[用2_方=而2_[,

當(dāng)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)到?；騁處時(shí)，夕。最大，

所以麗；x=〃。2+加/+彳。2=9,

所以蘇?麗的最大值為8.

故選：C

變式24.（2023?全國(guó)?高二隨堂練習(xí)）已知正四面體。-/出。的棱長(zhǎng)為1,如圖所示，求：

⑴方?礪；

（2）西+麗.@+函；

（3）即礪+困.

【解析】⑴在正四面體OH8C中，網(wǎng)=網(wǎng)=|同=1,且（應(yīng)，赤）=〈小，發(fā)）=（而，反）=60。,

可得刀=|次|麗卜osN408=1xIxcos600=5.

（2）由向量的運(yùn)算法則，可得（5+礪）（E+屈）=（而+為）?（刀一反+為一反）

=I2+2x1x1xcos600-2x1x1xcos600+12-2xlxlxcos60°=1+1-14-1-1=1.

（3）由陀+麗+雙卜，件+而+玩）2=/+『+]2+（2x1x1xcos6（）o）x3=6

【方法技巧與總結(jié)】

向量的數(shù)量積運(yùn)算除不滿足乘法結(jié)合律外，其它都滿足，所以其運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算基本相同。求空間

向量數(shù)量積的運(yùn)算同平面向量一樣，關(guān)鍵在于確定兩個(gè)向量之間的夾角以及它們的模，利用公式：

〃石=|同例cos依方〉即可順利計(jì)算.

題型五：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角

例13.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)；如圖，在平行六面體力BCQ-44GA中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條邊的長(zhǎng)

度都為L(zhǎng)且兩兩夾角為60。.求西與祝所成角的余弦值.

【解析】設(shè)福=3，AD=h^AA.=c,

由已知可得a?分=a?c=1?c=1x1xcos60°=—,

2

因?yàn)閔l）、=BA+BC+BR=—AB+AD+AAi=—a+6+c，

AC=AB+AD=a+b?

所以，西*=（-￡+坂+=/+1+/一276+2"工一27工=1+1+1—2乂3+2、；-2乂3=2,

就~=伍+石）~="l+2x；=3，

5nAe=（—a+石+c）-（q+B）=_/_￡.否+￡.]+否2+13+行工=_]_；+g+]+g+g=],

所以|西卜應(yīng)"狗=5

所以，cos（西，式”雪碧=下」=逅，

故方瓦與刀所成角的余弦值為近.

6

例14.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）如圖，在正方體力8CO一4EC。中，求向量；^分別與向量彳百,萬(wàn)了，

AD?CD，F(xiàn)F的夾角?

【解析】連接80,則在正方體4BCQ—4夕（7。中，AC上BD,^BAC=45°,AC=AD,=CD\

所以《就,彳酊=（就,畫(huà)=45°,

（AC,西）=18O°-（JC,碼=135°,

（就，西=NONC=60。，

您畫(huà)二120。，

體,前）=國(guó),西=90°.

例15.（2023?河南鄭州?高二宜陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平行六面體力例?。-力/￡2中,

AB=AD=AA[,且的兩兩夾角都是60.

（1）若48=1,求線段力G的長(zhǎng)度；

（2）求直線BD、與AC所成角的余弦值.

【解.析】⑴以｛麗麗,刀;｝為空間?組基底.

=方+而+麗,

=l+l+14-2（3xlxlxcos600）=6:

所以陷卜

（2）BDI=AD]-7B=AD+AAI-AB,

=l+l+l+2x（lxlxcos600-1x1xcos600-Ix1xcos60°）=2,

所以|西卜亞.

AC=AB+AD^7C2=（AB+AD）2=~AB+2^5-JD+J￡）2=1+2x1x1xcos60°+1=3>

所以I就l=x/5.

=2x1x1xcos600=1.

設(shè)直線BD]與直線4C所成角為依

則COS0=卜OS（西,AC）\=[竺;紇=r-1r~=牛.

變式25.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知：正四面體力8C。（所有棱長(zhǎng)均相等）的棱長(zhǎng)為1,E、F、G、

〃分別是四面體48CO中各棱的中點(diǎn)，求EP、G”的夾角.

【解析】正四面體力3CQ的棱長(zhǎng)為1，E、F、G、，分別是四面體48CQ中各棱的中點(diǎn)，

.ilAB-a?AC=b?AD=c?

由空間向量數(shù)吊積的定義可得a7=Vc=c-a=1cos^=

J4

BE=^BC=^AC-AB)=^b-a)fAF=^AD=^t

；,EF=EB+^+AF=-^b-a)-a+^c=^-a-h),

同理可得麗=；Q+—),

所以，存?麗=：僅一石一2)?伍+3-工)=；(7+7-21)一片)=0,

.\EF1GH,因此，EF、G”的夾角為90工

變式26.(2023?廣東深圳?高二深圳市羅湖外語(yǔ)學(xué)校?？计谀?平行六面體

⑴若