第3節(jié)成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025課標(biāo)解讀1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義,了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.會通過相關(guān)系數(shù)比較成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性.2.了解一元線性回歸模型的含義,了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義,了解最小二乘原理,掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法.3.針對實(shí)際問題,會用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測.4.理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義,了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用.1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分2研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破目錄索引

1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分知識梳理1.變量的相關(guān)關(guān)系(1)兩個(gè)變量有關(guān)系,但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度,這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.(2)正相關(guān)、負(fù)相關(guān)從整體上看,當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí),另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)_______

的趨勢,我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān);當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí),另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)

的趨勢,則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).

是一種非確定的關(guān)系,不是函數(shù)關(guān)系

增加

減小(3)線性相關(guān)、非線性相關(guān)一般地,如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān),而且散點(diǎn)落在一條

附近,我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).

一般地,如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性,但不是線性相關(guān),那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).微點(diǎn)撥由散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量正相關(guān)、負(fù)相關(guān)的方法:當(dāng)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在平面直角坐標(biāo)系中從左下角到右上角的區(qū)域時(shí),兩個(gè)變量正相關(guān);當(dāng)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在平面直角坐標(biāo)系中從左上角到右下角的區(qū)域時(shí),兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).直線2.樣本相關(guān)系數(shù)

來衡量兩個(gè)變量間的線性相關(guān)關(guān)系.(1)當(dāng)r>0時(shí),稱成對樣本數(shù)據(jù)

;

當(dāng)r<0時(shí),稱成對樣本數(shù)據(jù)

.

(2)r的絕對值越接近1,成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度

;r的絕對值越接近0,成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.

正相關(guān)負(fù)相關(guān)越強(qiáng)3.一元線性回歸模型(1)數(shù)學(xué)表述式:如果兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以表示為我們稱該式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中,Y稱為因變量或響應(yīng)變量,x稱為自變量或解釋變量;a和b為模型的未知參數(shù),a稱為截距參數(shù),b稱為斜率參數(shù);e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.(2)經(jīng)驗(yàn)回歸方程

微點(diǎn)撥經(jīng)驗(yàn)回歸方程不一定都有實(shí)際意義.回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法,只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí),求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程才有實(shí)際意義.4.列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)2×2列聯(lián)表如下表,給出成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱為2×2列聯(lián)表.XY合計(jì)Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計(jì)a+cb+da+b+c+d(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)

利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”,簡稱獨(dú)立性檢驗(yàn).常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值表

作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn)

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.(

)3.相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1,樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng).(

)4.若分類變量X,Y關(guān)系越密切,則由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的χ2的觀測值越小.(

)√×√×題組二回源教材5.(人教B版選擇性必修第二冊4.3.1節(jié)例1改編)咽拭子檢測是一種醫(yī)學(xué)檢測方法,用醫(yī)用棉簽從人體的咽部蘸取少量分泌物進(jìn)行檢測,可以了解患者病情、口腔黏膜和咽部感染情況.某地區(qū)醫(yī)院的醫(yī)務(wù)人員統(tǒng)計(jì)了該院近五天的棉簽使用情況,具體數(shù)據(jù)如下表所示:t(單位:天)第1天第2天第3天第4天第5天y(單位:袋)152436445686

6.(人教A版選擇性必修第三冊8.3.2節(jié)例3)某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用有放回簡單隨機(jī)抽樣的方法對治療情況進(jìn)行檢查,得到了如下數(shù)據(jù):抽到接受甲種療法的患兒67名,其中未治愈15名,治愈52名;抽到接受乙種療法的患兒69名,其中未治愈6名,治愈63名.試根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.解

零假設(shè)為H0:療法與療效獨(dú)立,即兩種療法效果沒有差異.將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表,如下.單位:人療法療效合計(jì)未治愈治愈甲155267乙66369合計(jì)21115136根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計(jì)算得到χ2=4.881<7.879=x0.005.根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,因此可以認(rèn)為H0成立,即認(rèn)為兩種療法效果沒有差異.題組三連線高考7.(2021·全國甲,理17)甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品,為了比較兩臺機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量,分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品,產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表:機(jī)床產(chǎn)品質(zhì)量合計(jì)一級品二級品甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828(2)零假設(shè)為H0:甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量無差異.由題意可所以依據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.2研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性例1(1)調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度,所得數(shù)據(jù)如圖所示,其中相關(guān)系數(shù)r=0.8245,下列說法正確的是(

)A.花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性B.花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)C.花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)D.若從樣本中抽取一部分,則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245C解析

根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知,花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;散點(diǎn)的分布是從左下到右上,從而花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)性,B選項(xiàng)錯(cuò)誤,C選項(xiàng)正確;由于r=0.824

5是全部數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù),取出來一部分?jǐn)?shù)據(jù),相關(guān)性可能變強(qiáng),可能變?nèi)?即取出的數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)不一定是0.824

5,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.(2)近些年來,短視頻社交軟件日益受到追捧,用戶可以通過軟件選擇歌曲,拍攝音樂短視頻,創(chuàng)作自己的作品.某用戶對自己發(fā)布的視頻個(gè)數(shù)x與收到的點(diǎn)贊個(gè)數(shù)之和y之間的關(guān)系進(jìn)行了分析研究,得到如下數(shù)據(jù):x34567y4550606570計(jì)算x,y的樣本相關(guān)系數(shù)r(計(jì)算結(jié)果精確到0.01),并判斷是否可以認(rèn)為發(fā)布的視頻個(gè)數(shù)與收到的點(diǎn)贊數(shù)之和的相關(guān)性很強(qiáng).由此可以認(rèn)為發(fā)布的視頻個(gè)數(shù)與收到的點(diǎn)贊數(shù)之和的相關(guān)性很強(qiáng).[對點(diǎn)訓(xùn)練1](多選題)對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后得到的散點(diǎn)圖如圖,關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的結(jié)論正確的是(

)A.r1<0 B.r2>1C.r1+r2>0 D.|r1|>|r2|AC

解析

由散點(diǎn)圖可知,樣本相關(guān)系數(shù)r1的圖象表示y與x負(fù)相關(guān),故-1<r1<0,故A正確;樣本相關(guān)系數(shù)r2的圖象表示y與x正相關(guān),故1>r2>0,故B錯(cuò)誤;∵樣本相關(guān)系數(shù)r2的點(diǎn)較樣本相關(guān)系數(shù)r1的點(diǎn)密集,故|r2|>|r1|,故r1+r2>0,故C正確,D錯(cuò)誤.故選AC.考點(diǎn)二回歸模型(多考向探究預(yù)測)考向1一元線性回歸模型例2(2024·四川綿陽南山中學(xué)模擬)移動物聯(lián)網(wǎng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)制造、公共服務(wù)、個(gè)人消費(fèi)等領(lǐng)域.截至2022年底,我國移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)達(dá)18.45億戶,成為全球主要經(jīng)濟(jì)體中首個(gè)實(shí)現(xiàn)“物超人”的國家.下圖是2018~2022年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)w(單位:億戶)與年份代碼t的散點(diǎn)圖,其中年份2018~2022對應(yīng)的t分別為1~5.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān).計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01),并推斷它們的相關(guān)程度;(2)求w關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并預(yù)測2024年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù).[對點(diǎn)訓(xùn)練2](2024·青海西寧模擬)造林綠化對生態(tài)發(fā)展特別是在防風(fēng)固沙、緩解溫室效應(yīng)、凈化空氣、涵養(yǎng)水源等方面有著重要意義.某苗木培養(yǎng)基地為了對某種樹苗的高度偏差x(單位:cm)與樹干最大直徑偏差y(單位:mm)之間的關(guān)系進(jìn)行分析,隨機(jī)挑選了8株該品種的樹苗,得到它們的偏差數(shù)據(jù)(偏差是指個(gè)別測定值與測定的平均值之差)如下:樹苗序號12345678高度偏差x20151332-5-10-18直徑偏差y6.53.53.51.50.5-0.5-2.5-3.5(1)若x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(2)若這種樹苗的平均高度為120cm,樹干最大直徑平均為31.5mm,試由(1)的結(jié)論預(yù)測高度為128cm的這種樹苗的樹干最大直徑為多少毫米.(2)當(dāng)樹干高度為128cm時(shí),高度偏差x=128-120=8(cm),即預(yù)測高度為128cm的這種樹苗的樹干最大直徑為34毫米.考向2非線性回歸模型例3(2024·云南昆明一中校考)《中共中央國務(wù)院關(guān)于全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興加快農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化的意見》,這是21世紀(jì)以來第18個(gè)指導(dǎo)“三農(nóng)”工作的中央一號文件.文件指出,民族要復(fù)興,鄉(xiāng)村必振興,要大力推進(jìn)數(shù)字鄉(xiāng)村建設(shè),推進(jìn)智慧農(nóng)業(yè)發(fā)展.某鄉(xiāng)村合作社借助互聯(lián)網(wǎng)直播平臺進(jìn)行農(nóng)產(chǎn)品銷售,眾多網(wǎng)紅主播參與到直播當(dāng)中,在眾多網(wǎng)紅直播中,統(tǒng)計(jì)了10名網(wǎng)紅直播的觀看人次xi和農(nóng)產(chǎn)品銷售量yi(i=1,2,3,…,10)的數(shù)據(jù),得到如圖所示的散點(diǎn)圖.x和銷售量y的回歸方程類型;(只要給出判斷即可,不必說明理由)(2)對數(shù)據(jù)作出如下處理,得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如表:解

(1)由散點(diǎn)圖可知,散點(diǎn)分布在一條對數(shù)型曲線附近,所以選擇回歸方程[對點(diǎn)訓(xùn)練3](2024·山西呂梁模擬)數(shù)據(jù)顯示中國車載音樂已步入快速發(fā)展期,隨著車載音樂的商業(yè)化模式進(jìn)一步完善,市場將持續(xù)擴(kuò)大,下表為2018~2022年中國車載音樂市場規(guī)模(單位:十億元),其中年份2018~2022對應(yīng)的代碼分別為1~5.年份代碼x12345車載音樂市場規(guī)模y2.83.97.312.017.0(1)由上表數(shù)據(jù)知,可用指數(shù)函數(shù)模型y=a·bx擬合y與x的關(guān)系,請建立y關(guān)于x的回歸方程(a,b的值精確到0.1);(2)綜合考慮2023年及2024年的經(jīng)濟(jì)環(huán)境等因素,某預(yù)測公司根據(jù)上述數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的回歸方程后,通過修正,把b-1.3作為2023年與2024年這兩年的年平均增長率,請根據(jù)2022年中國車載音樂市場規(guī)模及修正后的年平均增長率預(yù)測2024年的中國車載音樂市場規(guī)模.參考數(shù)據(jù):(2)由(1)知2023年與2024年這兩年的年平均增長率為1.6-1.3=0.3,2022年中國車載音樂市場規(guī)模為170億元,故預(yù)測2024年的中國車載音樂市場規(guī)模為17(1+0.3)2=28.73(十億元),即287.3億元.考點(diǎn)三列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)例4(2024·四川宜賓模擬)為了解學(xué)生對黨的“二十大”精神的學(xué)習(xí)情況,學(xué)校開展了“二十大”相關(guān)知識的競賽活動,全校共有1000名學(xué)生參加,其中男生450名,采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取100人,將他們的比賽成績(滿分為100分),分為6組:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.其中成績不低于80分為“優(yōu)秀”,低于80分為“非優(yōu)秀”.(1)求實(shí)數(shù)a的值,并估算全校1000名學(xué)生中成績優(yōu)秀的人數(shù);(2)完成下列2×2列聯(lián)表,依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為比賽成績優(yōu)秀與性別有關(guān).性別成績是否優(yōu)秀合計(jì)是否男

女10

合計(jì)

α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解

(1)由題意可得(0.005+0.015+0.030+0.025+0.005+a)×10=1,解得a=0.020,所以樣本中成績優(yōu)秀的頻率為(0.020+0.005)×10=0.25,據(jù)此估算全校1

000名學(xué)生中成績優(yōu)秀的人數(shù)為0.25×1

000=250(人).(2)零假設(shè)為H0:比賽成績優(yōu)秀與性別無關(guān).由題意,采用分層隨機(jī)抽樣,男生抽取

100=45(人),女生抽取100-45=55(人),且樣本中優(yōu)秀