第八章立體幾何初步（重難點(diǎn)專題復(fù)習(xí)）【題型1幾何體的截面問題】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)幾何體的截面形狀的研究，結(jié)合具體問題，進(jìn)行求解即可.【例1】用一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，得到的截面是三角形，這個(gè)幾何體不可能是（

）A．長(zhǎng)方體 B．圓錐 C．棱錐 D．圓臺(tái)【變式1-1】如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，DD1的中點(diǎn)為

A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形【變式1-2】如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為6,P為BC的中點(diǎn)，Q為A．21152 B．21172 C．【變式1-3】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是棱A．32+25 B．22+5【題型2平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的幾何體】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)問題，首先要對(duì)原平面圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指?，一般分割成矩形、三角形、梯形或圓(半圓或四分之一圓周)等基本圖形，然后結(jié)合圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的形成過程進(jìn)行分析.【例2】下列平面圖形中，繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到如圖所示的空間圖形的是（

）A． B． C． D．【變式2-1】下列結(jié)論中正確的是（

）A．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體是一個(gè)圓錐B．以直角梯形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體是一個(gè)圓臺(tái)C．以平行四邊形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體是一個(gè)圓柱D．圓面繞其一條直徑所在直線旋轉(zhuǎn)180°后得到的幾何體是一個(gè)球【變式2-2】銅錢又稱方孔錢，是古代錢幣最常見的一種．如圖所示為清朝時(shí)的一枚“嘉慶通寶”，由一個(gè)圓和一個(gè)正方形組成，若繞旋轉(zhuǎn)軸（虛線）旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是（

）A．一個(gè)球B．一個(gè)球挖去一個(gè)圓柱C．一個(gè)圓柱D．一個(gè)球挖去一個(gè)正方體【變式2-3】已知長(zhǎng)方形ABCD中，AD=2，AB=4，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，現(xiàn)以AE所在直線為旋轉(zhuǎn)軸將該長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的體積為（A．102π B．2823π 【題型3斜二測(cè)畫法】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)斜二測(cè)畫法畫直觀圖的規(guī)則和步驟，進(jìn)行求解即可.【例3】如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則原圖形的周長(zhǎng)是（

）A．16 B．12 C．4+82 D．【變式3-1】如圖所示的水平放置的三角形的直觀圖，D′是△A′B′C′中B′C′邊的中點(diǎn)，且A′D′平行于yA．最長(zhǎng)的是AB，最短的是ACB．最長(zhǎng)的是AC，最短的是ABC．最長(zhǎng)的是AB，最短的是ADD．最長(zhǎng)的是AD，最短的是AC【變式3-2】如圖，矩形O′A′B′A．面積為62的菱形 B．面積為6C．面積為324的菱形 D．面積為【變式3-3】如圖，四邊形ABCD的斜二測(cè)畫法的直觀圖為等腰梯形A′B′C′A．AB=2 B．AC．四邊形ABCD的周長(zhǎng)為4+22+23 D．四邊形【題型4簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積】【方法點(diǎn)撥】求解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與體積時(shí)，要結(jié)合具體條件，找出其中的基本量，利用相應(yīng)的表面積、體積計(jì)算公式，進(jìn)行求解即可.求解圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積與體積時(shí)，要結(jié)合具體條件，找出其中的基本量，利用相應(yīng)的表面積、體積計(jì)算公式，進(jìn)行求解即可.【例4】如圖所示，圓柱與圓錐的組合體，已知圓錐部分的高為12，圓柱部分的高為2，底面圓的半徑為1，則該組合體的體積為（

A．π3 B．2π C．13π【變式4-1】有一個(gè)正三棱柱形狀的石料，該石料的底面邊長(zhǎng)為6．若該石料最多可打磨成四個(gè)半徑為3的石球，則至少需要打磨掉的石料廢料的體積為（

）A．216?43π C．270?163π 【變式4-2】某同學(xué)有一個(gè)形如圓臺(tái)的水杯如圖所示，已知圓臺(tái)形水杯的母線長(zhǎng)為6cm，上?下底面圓的半徑分別為4cm和2cm.為了防燙和防滑，水杯配有一個(gè)杯套，包裹水杯23高度以下的外壁和杯底，如圖中陰影部分所示，則杯套的表面積為（不考慮水杯材質(zhì)和杯套的厚度）（

A．683πcm2 B．24πcm2 【變式4-3】如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=CA=AA1A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:7【題型5球的截面問題】【方法點(diǎn)撥】利用球的半徑、截面的半徑、球心與截面圓心的連線構(gòu)建直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要途徑.【例5】用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為（

）A．433πC．833π【變式5-1】如圖，已知球O是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1DA．6π6 C．π6 D．【變式5-2】2022年第三十二屆足球世界杯在卡塔爾舉行，第一屆世界杯是1930年舉辦的，而早在戰(zhàn)國(guó)中期，中國(guó)就有過類似的體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目：蹴鞠，又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．已知半徑為3的某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，P，AC⊥BC，AC=BC=4，PC=6，則該鞠（球）被平面PAB所截的截面圓面積為（

）A．7π B．233π C．8【變式5-3】若球O是正三棱錐A?BCD的外接球，BC=3,AB=23，點(diǎn)E在線段BA上，BA=3BE，過點(diǎn)E作球O的截面，則所得的截面中面積最小的截面的面積為（

A．8π3 B．2π C．4【題型6幾何體與球的切、接問題】【方法點(diǎn)撥】1.球外接于幾何體，則幾何體的各頂點(diǎn)均在球面上.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，一般需依據(jù)球和幾何體的對(duì)稱性，明確接點(diǎn)的位置，根據(jù)球心與幾何體特殊點(diǎn)間的關(guān)系，確定相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面進(jìn)行求解.2.解決幾何體的內(nèi)切球問題，應(yīng)先作出一個(gè)適當(dāng)?shù)慕孛?一般作出多面體的對(duì)角面所在的截面)，這個(gè)截面應(yīng)包括幾何體與球的主要元素，且能反映出幾何體與球的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.【例6】已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)分別為23和6，且BD垂直平分AC把△ACD沿AC折起，使得點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P，則三棱錐P-ABC體積最大時(shí)，其外接球半徑為（

A．2 B．5 C．10 D．3【變式6-1】如圖，三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)恰是長(zhǎng)、寬、高分別是m，2，n的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，此三棱錐的體積為2，則該三棱錐外接球體積的最小值為（

）A．256π3 B．C．32π3 D．【變式6-2】如圖所示的糧倉可近似為一個(gè)圓錐和圓臺(tái)的組合體，且圓錐的底面圓與圓臺(tái)的較大底面圓重合.已知圓臺(tái)的較小底面圓的半徑為1，圓錐與圓臺(tái)的高分別為5?1和3，則此組合體的外接球的表面積是（

A．16π B．20π C．24π D．28π【變式6-3】已知某正三棱錐側(cè)棱與底面所成角的余弦值為21919，球O1為該三棱錐的內(nèi)切球.若球O2與球O1相切，且與該三棱錐的三個(gè)側(cè)面也相切，則球OA．49 B．19 C．925【題型7直線與直線的位置關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】1.定義法：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線異面.2.推論法：一條直線上兩點(diǎn)與另一條與它異面的直線上兩點(diǎn)所連成的兩條直線為異面直線.3.證明立體幾何問題的一種重要方法(反證法)：第一步，提出與結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，由此假設(shè)推出與已知條件或某一基本事實(shí)、定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾的結(jié)果；第三步，推翻假設(shè)，從而證明原結(jié)論是正確的.【例7】如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD?A′BA．直線AC與A′B．直線AD′與C．直線B′D′D．A【變式7-1】如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M,N分別為A．36 B．34 C．33【變式7-2】四棱錐P?ABCD如圖所示，則直線PC（

）A．與直線AD平行 B．與直線AD相交C．與直線BD平行 D．與直線BD是異面直線【變式7-3】一個(gè)正四棱錐的平面展開圖如圖所示，其中E，F(xiàn)，M，N，Q分別為P2A，P1D，P4①直線AF與直線BQ是異面直線；②直線BE與直線MN是異面直線；③直線BQ與直線MN共面；④直線BE與直線AF是異面直線.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【題型8直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】判斷空間中直線與平面的位置關(guān)系，一般先作出幾何圖形，直觀判斷，然后依據(jù)基本事實(shí)給出證明.另外，借助模型(如正方體、長(zhǎng)方體)舉反例也是解決這類問題的有效方法.兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有兩種：平行和相交.判斷兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系的主要依據(jù)是兩個(gè)平面之間有沒有公共點(diǎn).解題時(shí)要善于將自然語言或符號(hào)語言轉(zhuǎn)換成圖形語言，借助空間圖形進(jìn)行判斷.【例8】若m,n為兩條不同的直線，α,β為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若m//α,α//β，則m//βB．若m⊥α,α⊥β，則m//βC．若m//n,n//α，則m//αD．若m⊥α,α//β，則m⊥β【變式8-1】α,β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（

）A．若m⊥n,m?α,n?α，則m⊥α B．若α//β,m?α,n?βC．若α⊥β,n?α，則n⊥β D．若m⊥α,n?α，則m⊥n【變式8-2】已知互不重合的直線m，n，互不重合的平面α，β，γ，下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若α∥β,β∥γ，則α∥γB．若α∥β,β⊥γ，則α⊥γC．若α∥β,m∥α，則m∥βD．若α∥β,n?α，則n∥β【變式8-3】已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若m?α，n?α，m//β，n//β，則α//βB．若n//m，n⊥α，則m⊥αC．若m⊥α，m⊥n，則n//αD．若α//β，m?α，n?β，則m//n【題型9直線與平面平行的判定】【方法點(diǎn)撥】使用直線與平面平行的判定定理時(shí)，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，具體操作中，我們可以利用幾何體的特征，合理利用中位線定理，或者構(gòu)造平行四邊形等證明兩直線平行.【例9】已知A、B、C、D是不共面四點(diǎn)，M、N分別是△ACD、△BCD的重心．以下平面中與直線MN平行的是（

）①平面ABC；

②平面ABD；

③平面ACD；

④平面BCD．A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④【變式9-1】如圖，在下列四個(gè)正方體中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ平行的有（

）個(gè)①．

②．③．④．A．1 B．2 C．3 D．4【變式9-2】在如圖所示的正方體或正三棱柱中，M，N，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，則滿足直線BM與平面CNQ平行的是（

）A． B．C． D．【變式9-3】在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P是平面A．平面PAM內(nèi)任意一條直線都不與BC平行B．平面PAB和平面PCM的交線不與平面ABCD平行C．平面PBC內(nèi)存在無數(shù)條直線與平面PAM平行D．平面PAM和平面PBC的交線不與平面ABCD平行【題型10平面與平面平行的判定】【方法點(diǎn)撥】第一步：在一個(gè)平面內(nèi)找出兩條相交直線；第二步：證明這兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面；第三步：利用平面與平面平行的判定定理得出結(jié)論.【例10】在下列判斷兩個(gè)平面α與β平行的4個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）．①α、β都垂直于平面r，那么α∥β②α、β都平行于平面r，那么α∥β③α、β都垂直于直線l，那么α∥β④如果l、m是兩條異面直線，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥βA．0 B．1 C．2 D．3【變式10-1】已知兩個(gè)平面α、β，在下列條件下，可以判定平面α與平面β平行的是（

）A．α、β都垂直于一個(gè)平面γB．平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行C．l、m是α內(nèi)兩條直線，且l∥β，mD．l、m是兩條異面直線，且l∥α，m∥α【變式10-2】在正方體EFGH?E1FA．平面E1FG1與平面EGHC．平面F1H1E與平面FHE【變式10-3】如圖，在下列四個(gè)正方體中，P，R，Q，M，N，G，H為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，陰影平面與PRQ所在平面平行的是（

）A． B．C． D．【題型11線面垂直判定定理的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】利用直線與平面垂直的判定定理判定線面垂直的步驟：(1)在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使要證直線和這兩條直線垂直；(2)確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；(3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論.【例11】如圖，四棱錐P?ABCD的底面是等腰梯形，AD//BC，BC=2AB=2AD=2，PC=3，PC⊥底面ABCD，M(1)證明：AB⊥CM；(2)若三棱錐P?CDM的體積為112，求PM【變式11-1】已知棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱ABC?A1B1C1，M，(1)證明：C1N∥(2)證明：AB1⊥【變式11-2】如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BD⊥平面(1)求證：AC⊥B(2)若P是線段AB上一點(diǎn)，BD=1，BC=AC=2，三棱錐B1?PAC的體積為33【變式11-3】如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，CC1⊥(1)求證：BD1//(2)求證：直線DE⊥平面B1(3)求直線BD1與平面【題型12面面垂直判定定理的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】利用判定定理證明面面垂直的一般方法：先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線存在，則可通過線面垂直來證明面面垂直；若這樣的垂線不存在，則需通過作輔助線來證明.【例12】如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是矩形，SA⊥底面ABCD，SA=AD，點(diǎn)M是SD的中點(diǎn)，AN⊥SC且交SC于點(diǎn)N.(1)求證：SB∥平面ACM；(2)求證：平面SAC⊥平面AMN.【變式12-1】如圖所示，直角梯形ABDE和三角形ABC所在平面互相垂直，DB⊥AB，ED∥AB，AB=2DE=2BD=2，AC=BC，異面直線DE與

(1)求證：平面ACE⊥平面BCD；(2)若點(diǎn)F在CE上，當(dāng)△AFB面積最小時(shí)，求三棱錐F?ABE的體積.【變式12-2】在幾何體ABC?A1B1C1中，AB=BC=3，AC=3，點(diǎn)D，E(1)求證：平面A1BE⊥平面(2)若A1D=2，求點(diǎn)A1【變式12-3】如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面為菱形，∠ABC=60°，AB=PC=2，PA=PB=2，M為PD的中點(diǎn)，R為PB的中點(diǎn)，平面α過M、C、R三點(diǎn)且與面PAC交于直線l，l交PA于點(diǎn)Q(1)求證：面PAB⊥面ABCD；(2)求證：PQPA(3)求平面BCQ與平面ABCD所成夾角的正切值.【題型13空間角的計(jì)算】空間角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角，根據(jù)具體問題，結(jié)合這幾種空間角的一般求解步驟，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例13】如圖，四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，?ABCD為正方形，PD=6，AB=8，點(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn)．(1)記過A、D、E三點(diǎn)的平面與平面PBC的交線為l，求證：l//平面PAD(2)求PB與平面ADE所成角的正弦值．【變式13-1】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC=83，∠DAB=π3，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折為△A′DE，若(1)求證：BF//平面A′(2)若二面角A′?DE?C=60°，求A′【變式13-2】如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且∠ADC=∠BCD=90°，AD=