2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)試卷一、集合與函數(shù)綜合應(yīng)用1.已知集合(A={x|\log_2(x-1)<2})，集合(B={x|x^2-4ax+3a^2<0})（(a>0)）。（1）求集合(A)與(\complement_{\mathbb{R}}A)；（2）若(A\capB=B)，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)(f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{4-x}})，求(f(x))的定義域與值域，并判斷其單調(diào)性。解析思路：（1）解對(duì)數(shù)不等式(\log_2(x-1)<2)得(1<x<5)，故(A=(1,5))，(\complement_{\mathbb{R}}A=(-\infty,1]\cup[5,+\infty))；（2）(B=(a,3a))，由(A\capB=B)得(B\subseteqA)，即(\begin{cases}a\geq1\3a\leq5\end{cases})，解得(a\in[1,\frac{5}{3}])；（3）定義域需滿足(x-1\geq0)且(4-x>0)，即([1,4))；通過(guò)換元法設(shè)(t=\sqrt{x-1})（(t\in[0,\sqrt{3}))），轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域；利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}+\frac{1}{2(4-x)^{\frac{3}{2}}}>0)，故在([1,4))上單調(diào)遞增。二、三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合2.已知函數(shù)(f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx-\frac{1}{2})（(x\in\mathbb{R})）。（1）化簡(jiǎn)(f(x))并求其最小正周期；（2）求(f(x))在區(qū)間([0,\frac{\pi}{2}])上的最大值與最小值；（3）若(g(x)=f(x)+m\cosx)在(x=\frac{\pi}{3})處取得極值，求實(shí)數(shù)(m)的值。解析思路：（1）利用二倍角公式化簡(jiǎn)：(f(x)=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x-\frac{1}{2}=\sin(2x-\frac{\pi}{6}))，周期(T=\pi)；（2）當(dāng)(x\in[0,\frac{\pi}{2}])時(shí)，(2x-\frac{\pi}{6}\in[-\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}])，最大值為(\sin(\frac{\pi}{2})=1)，最小值為(\sin(-\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2})；（3）(g'(x)=2\cos(2x-\frac{\pi}{6})-m\sinx)，由(g'(\frac{\pi}{3})=0)得(2\cos(\frac{\pi}{2})-m\sin\frac{\pi}{3}=0)，解得(m=0)。三、數(shù)列與不等式的證明3.已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+2^n)（(n\in\mathbb{N}^)）。*（1）證明：數(shù)列({\frac{a_n}{2^n}})是等差數(shù)列，并求({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(b_n=\frac{a_n}{n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)；（3）證明：對(duì)任意(n\geq2)，(\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3}+\cdots+\frac{1}{b_n}<\frac{3}{4})。解析思路：（1）由(\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2})，知數(shù)列({\frac{a_n}{2^n}})是首項(xiàng)為(\frac{1}{2})、公差為(\frac{1}{2})的等差數(shù)列，故(\frac{a_n}{2^n}=\frac{n}{2})，即(a_n=n\cdot2^{n-1})；（2）(b_n=2^{n-1})，(S_n=1+2+4+\cdots+2^{n-1}=2^n-1)；（3）(\frac{1}{b_n}=\frac{1}{2^{n-1}})，利用等比數(shù)列求和公式，(\sum_{k=2}^n\frac{1}{2^{k-1}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}=1-\frac{1}{2^{n-1}}<\frac{3}{4})（當(dāng)(n\geq2)時(shí)）。四、立體幾何與空間向量4.如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)中點(diǎn)。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求二面角(C_1-AD-C)的余弦值；（3）求點(diǎn)(B_1)到平面(ADC_1)的距離。解析思路：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，以(A)為原點(diǎn)，(AB,AC,AA_1)為坐標(biāo)軸，(A_1(0,0,2))，(B(2,0,0))，(D(1,1,0))，(C_1(0,2,2))；平面(ADC_1)的法向量(\mathbf{n}=(2,-2,1))，(\overrightarrow{A_1B}=(2,0,-2))，由(\overrightarrow{A_1B}\cdot\mathbf{n}=0)得線面平行；（2）平面(ADC)的法向量(\mathbf{m}=(0,0,1))，二面角余弦值(|\cos\langle\mathbf{m},\mathbf{n}\rangle|=\frac{1}{3})；（3）利用向量法求距離，(\overrightarrow{AB_1}=(2,0,2))，距離(d=\frac{|\overrightarrow{AB_1}\cdot\mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}=\frac{2}{3})。五、概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列的綜合5.某工廠生產(chǎn)的零件合格率為(p)（(0<p<1)），各零件是否合格相互獨(dú)立。（1）若(p=0.8)，求首次出現(xiàn)不合格品時(shí)已生產(chǎn)3個(gè)合格品的概率；（2）若生產(chǎn)5個(gè)零件，至少有1個(gè)不合格品的概率為(\frac{211}{243})，求(p)的值；（3）設(shè)(X)為首次出現(xiàn)不合格品時(shí)已生產(chǎn)的合格品數(shù)，求(X)的數(shù)學(xué)期望(E(X))（用含(p)的式子表示）。解析思路：（1）概率為(p^3(1-p)=0.8^3\times0.2=0.1024)；（2）“至少1個(gè)不合格品”的對(duì)立事件為“全合格”，即(1-p^5=\frac{211}{243})，解得(p=\frac{2}{3})；（3）(X)的分布列為(P(X=k)=p^k(1-p))（(k=0,1,2,\cdots)），期望(E(X)=\sum_{k=0}^\inftykp^k(1-p)=\frac{p}{1-p})。六、解析幾何與導(dǎo)數(shù)的綜合6.已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過(guò)點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的方程；（2）過(guò)點(diǎn)(P(1,0))的直線(l)與橢圓交于(A,B)兩點(diǎn)，若(M)為線段(AB)的中點(diǎn)，求(k_{OM}\cdotk_l)的值（(O)為原點(diǎn)）；（3）若直線(y=kx+m)與橢圓(C)相切，且與拋物線(y^2=4x)交于(D,E)兩點(diǎn)，求(|DE|)的最小值。解析思路：（1）由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，(a^2=b^2+c^2)，代入點(diǎn)((2,1))得(a^2=8)，(b^2=2)，方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)；（2）設(shè)(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2))，中點(diǎn)(M(x_0,y_0))，由點(diǎn)差法得(\frac{x_0}{8}+\frac{y_0k_l}{2}=0)，故(k_{OM}\cdotk_l=-\frac{1}{4})；（3）聯(lián)立橢圓與直線方程，由判別式(\Delta=0)得(m^2=8k^2+2)；聯(lián)立拋物線方程得(k^2x^2+(2km-4)x+m^2=0)，弦長(zhǎng)(|DE|=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{\sqrt{16-16km}}{k^2})，代入(m^2)化簡(jiǎn)后求最值，當(dāng)(k^2=\frac{1}{4})時(shí)，(|DE|_{\text{min}}=4\sqrt{3})。七、復(fù)數(shù)與數(shù)列的創(chuàng)新應(yīng)用7.已知復(fù)數(shù)(z_n=(1+i)\left(1+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)\left(1+\frac{i}{\sqrt{3}}\right)\cdots\left(1+\frac{i}{\sqrt{n}}\right))（(n\in\mathbb{N}^)）。*（1）求(|z_1|,|z_2|,|z_3|)，并猜想(|z_n|)的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想；（3）若(z_n=a_n+b_ni)，求數(shù)列({a_n},{b_n})的前(n)項(xiàng)和。解析思路：（1）(|z_n|=\prod_{k=1}^n\left|1+\frac{i}{\sqrt{k}}\right|=\prod_{k=1}^n\sqrt{1+\frac{1}{k}}=\sqrt{n+1})；（2）數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)(n=1)時(shí)成立；假設(shè)(n=k)時(shí)成立，推證(n=k+1)時(shí)(|z_{k+1}|=|z_k|\cdot\sqrt{1+\frac{1}{k+1}}=\sqrt{k+2})；（3）由(z_n=\sqrt{n+1}\left(\cos\theta_n+i\sin\theta_n\right))，其中(\theta_n=\sum_{k=1}^n\arctan\frac{1}{\sqrt{k}})，故(a_n=\sqrt{n+1}\cos\theta_n)，(b_n=\sqrt{n+1}\sin\theta_n)，前(n)項(xiàng)和需結(jié)合復(fù)數(shù)乘法幾何意義化簡(jiǎn)。八、概率與統(tǒng)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用8.某學(xué)校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下2×2列聯(lián)表（單位：人）：數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀總計(jì)男生203050女生153550總計(jì)3565100（1）根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)”；（2）從全校數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記其中男生人數(shù)為(X)，求(X)的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）若用樣本頻率估計(jì)概率，從該校隨機(jī)抽取10名學(xué)生，記數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為(Y)，求(D(Y))。解析思路：（1）(K^2=\frac{100(20\times35-15\times30)^2}{50\times50\times35\times65}\approx1.09<3.841)，無(wú)95%把握；（2）(X\simH(3,20,35))（超幾何分布），分布列為(P(X=k)=\frac{\binom{20}{k}\binom{15}{3-k}}{\binom{35}{3}})，期望(E(X)=3\times\frac{20}{35}=\frac{12}{7})；（3）(Y\simB(10,0.35))，方差(D(Y)=10\times0.35\times0.65=2.275)。九、綜合創(chuàng)新題：數(shù)學(xué)建模與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用9.某企業(yè)生產(chǎn)一種精密儀器，已知該儀器的月產(chǎn)量(x)（臺(tái)）與月利潤(rùn)(y)（萬(wàn)元）的關(guān)系為(y=-x^3+21x^2-100x-180)（(x\in[1,20])，(x\in\mathbb{N}^)）。*（1）求月產(chǎn)量為多少時(shí)，月利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（2）為保護(hù)環(huán)境，政府對(duì)該企業(yè)每月征收環(huán)保稅(t)萬(wàn)元（(t>0)），若企業(yè)每月稅后利潤(rùn)不低于100萬(wàn)元，求(t)的取值范圍；（3）若該企業(yè)每月投入研發(fā)費(fèi)用(m)萬(wàn)元（(m\in[0,10])），利潤(rùn)函數(shù)變?yōu)?y=-x^3+21x^2-100x-180-m+\frac{5m}{\