2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)終結(jié)性評(píng)價(jià)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x-1)=0}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?復(fù)數(shù)z滿足z·i=1+i（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）A.1B.√2C.2D.4已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥b，則m=（）A.-2B.-1C.1D.2函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和振幅分別是（）A.π，1B.2π，1C.π，2D.2π，2某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12πcm3B.18πcm3C.24πcm3D.36πcm3已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1，S3=7，則公比q=（）A.2B.-3C.2或-3D.-2或3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x=2，則輸出的y=（）A.-1B.0C.1D.2已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.(-∞,1)B.(1,2)C.(2,+∞)D.(-∞,1)∪(2,+∞)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在拋物線上，且PF⊥x軸，則|PF|=（）A.1B.2C.3D.4已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2，若f'(1)=3，則a=（）A.1B.2C.3D.4在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=2，b=3，C=60°，則c=（）A.√7B.√13C.√19D.√23已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|，則函數(shù)f(x)的最小值為（）A.1B.2C.3D.4二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知函數(shù)f(x)=2x+1，g(x)=x2-1，則f(g(2))=______。已知直線l1：2x+y-1=0，l2：x+my+1=0，若l1⊥l2，則m=______。從3名男生和2名女生中隨機(jī)選出2人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則選出的2人中至少有1名女生的概率為______。已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，且相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為π，則函數(shù)f(x)的解析式為______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx，x∈R。（1）求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的單調(diào)遞增區(qū)間。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績(jī)調(diào)查，得到如下頻率分布表：成績(jī)分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.050.150.30.350.15（1）求這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）若從成績(jī)?cè)赱80,90)和[90,100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人成績(jī)都在[90,100]的概率。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)。（1）求證：A1D⊥平面BCC1B1；（2）求二面角A1-BD-C1的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(diǎn)(2,1)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求△AOB面積的最大值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：x1+x2>2/a。（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：(x-1)2+(y-2)2=25，直線l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)。（1）證明：直線l與圓C必相交；（2）設(shè)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=2√21，求直線l的方程；（3）在（2）的條件下，求過點(diǎn)A，B且圓心在直線y=x上的圓的方程。參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題B2.B3.D4.A5.C6.C7.A8.B9.B10.A11.A12.C二、填空題714.-215.7/1016.f(x)=2sin(x+π/6)三、解答題解：（1）f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)，所以函數(shù)f(x)的最大值為√2，最小值為-√2。（5分）（2）令-π/2+2kπ≤x+π/4≤π/2+2kπ(k∈Z)，解得-3π/4+2kπ≤x≤π/4+2kπ(k∈Z)。因?yàn)閤∈[0,π/2]，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的單調(diào)遞增區(qū)間是[0,π/4]。（10分）解：（1）平均數(shù)=55×0.05+65×0.15+75×0.3+85×0.35+95×0.15=79.5。（3分）因?yàn)?.05+0.15=0.2<0.5，0.05+0.15+0.3=0.5，所以中位數(shù)為80。（6分）（2）成績(jī)?cè)赱80,90)的學(xué)生有35人，成績(jī)?cè)赱90,100]的學(xué)生有15人，共50人。從50人中隨機(jī)抽取2人，基本事件總數(shù)n=C502=1225。這2人成績(jī)都在[90,100]的基本事件數(shù)m=C152=105。所以所求概率P=m/n=105/1225=3/35。（12分）（1）證明：因?yàn)锳A1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC。因?yàn)锳B=AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC。又因?yàn)锳A1∩AD=A，所以BC⊥平面A1AD，所以BC⊥A1D。（3分）因?yàn)锳B=AC=2，∠BAC=90°，所以BC=2√2，AD=√2。因?yàn)锳A1=2，所以A1D=√(AA12+AD2)=√6。因?yàn)锽B1=AA1=2，BD=√2，所以B1D=√(BB12+BD2)=√6。因?yàn)锳1B1=AB=2，所以A1B12+A1D2=B1D2，所以A1D⊥A1B1。又因?yàn)锳1B1∥AB，AB⊥AC，AB⊥AA1，所以AB⊥平面ACC1A1，所以AB⊥A1C1，所以A1B1⊥A1C1。因?yàn)锳1B1⊥A1D，A1B1⊥A1C1，A1D∩A1C1=A1，所以A1B1⊥平面A1DC1，所以A1B1⊥C1D。又因?yàn)锽C⊥A1D，BC∩C1D=C，所以A1D⊥平面BCC1B1。（6分）（2）解：以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，C1(0,2,2)，D(1,1,0)。（7分）設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z)，因?yàn)锳1D=(1,1,-2)，BD=(-1,1,0)，所以n·A1D=0，n·BD=0，即x+y-2z=0，-x+y=0，令x=1，則y=1，z=1，所以n=(1,1,1)。（9分）設(shè)平面C1BD的法向量為m=(a,b,c)，因?yàn)镃1D=(1,-1,-2)，BD=(-1,1,0)，所以m·C1D=0，m·BD=0，即a-b-2c=0，-a+b=0，令a=1，則b=1，c=0，所以m=(1,1,0)。（10分）所以cos<n,m>=n·m/|n||m|=(1+1+0)/√3×√2=√6/3。因?yàn)槎娼茿1-BD-C1為銳角，所以二面角A1-BD-C1的余弦值為√6/3。（12分）解：（1）因?yàn)闄E圓C的離心率為√3/2，所以c/a=√3/2，所以c=√3/2a，b2=a2-c2=a2-3/4a2=1/4a2。（2分）因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)(2,1)，所以4/a2+1/b2=1，即4/a2+4/a2=1，解得a2=8，所以b2=2，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/8+y2/2=1。（4分）（2）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立方程組{x2/8+y2/2=1，y=kx+m}，消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0。（5分）因?yàn)橹本€l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，所以△=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-8)=64k2m2-16(1+4k2)(m2-2)=16(8k2-m2+2)>0，即8k2-m2+2>0。（6分）x1+x2=-8km/(1+4k2)，x1x2=(4m2-8)/(1+4k2)。（7分）因?yàn)镺A⊥OB，所以O(shè)A·OB=x1x2+y1y2=0。因?yàn)閥1=kx1+m，y2=kx2+m，所以y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，所以x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，即(1+k2)(4m2-8)/(1+4k2)-8k2m2/(1+4k2)+m2=0，化簡(jiǎn)得5m2=8k2+8，即m2=(8k2+8)/5。（9分）因?yàn)閨AB|=√(1+k2)√[(x1+x2)2-4x1x2]=√(1+k2)√[64k2m2/(1+4k2)2-4(4m2-8)/(1+4k2)]=√(1+k2)√[16(8k2-m2+2)]/(1+4k2)=4√(1+k2)√(8k2-m2+2)/(1+4k2)。（10分）因?yàn)閙2=(8k2+8)/5，所以8k2-m2+2=8k2-(8k2+8)/5+2=32k2/5+2/5，所以|AB|=4√(1+k2)√(32k2+2)/5/(1+4k2)=4√(1+k2)√2(16k2+1)/5/(1+4k2)=4√2√(1+k2)(16k2+1)/5/(1+4k2)。（11分）設(shè)t=1+4k2(t≥1)，則k2=(t-1)/4，所以|AB|=4√2√(t+3)/4·(4t-3)/4/5/t=4√2√(t+3)(4t-3)/16/5/t=√2√(t+3)(4t-3)/5/t。令f(t)=(t+3)(4t-3)/t2=4t2+9t-9)/t2=4+9/t-9/t2，令u=1/t(0<u≤1)，則f(u)=-9u2+9u+4=-9(u-1/2)2+25/4，所以當(dāng)u=1/2，即t=2時(shí)，f(u)取得最大值25/4，所以|AB|的最大值為√2×5/2/5=√2/2，所以△AOB面積的最大值為1/2×√2/2×√(m2+m2)=1/2×√2/2×√2m=1/2×√2/2×√2×√(8k2+8)/5=1/2×(8k2+8)/5=4(k2+1)/5。因?yàn)閠=2，所以k2=(t-1)/4=1/4，所以△AOB面積的最大值為4(1/4+1)/5=4×5/4/5=1。（12分）解：（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，f'(x)=1/x-a。（1分）當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。（2分）當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0，得x=1/a。當(dāng)0<x<1/a時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)x>1/a時(shí)，f'(x)<0。所以函數(shù)f(x)在(0,1/a)上單調(diào)遞增，在(1/a,+∞)上單調(diào)遞減。（4分）（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a>0，且f(1/a)=ln(1/a)-a·1/a+1=-lna>0，解得0<a<1。（6分）（3）證明：因?yàn)閤1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以lnx1-ax1+1=0，lnx2-ax2+1=0，兩式相減得lnx1-lnx2=a(x1-x2)，即ln(x1/x2)=a(x1-x2)。（7分）令t=x1/x2(t>1)，則x1=tx2，所以lnt=a(tx2-x2)=a(t-1)x2，解得x2=lnt/[a(t-1)]，x1=tlnt/[a(t-1)]。（8分）要證x1+x2>2/a，即證tlnt/[a(t-1)]+lnt/[a(t-1)]>2/a，即證(t+1)lnt/[a(t-1)]>2/a，即證(t+1)lnt>2(t-1)。（9分）令g(t)=(t+1)lnt-2(t-1)(t>1)，則g'(t)=lnt+(t+1)/t-2=lnt+1/t-1。（10分）令h(t)=lnt+1/t-1(t>1)，則h'(t)=1/t-1/t2=(t-1)/t2>0，所以h(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，所以h(t)>h(1)=0，所以g'(t)>0，所以g(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，所以g(t)>g(1)=0，即(t+1)lnt>2(t-1)，所以x1+x2>2/a。（12分）（1）證明：直線l的方程可化為(2x+y-7)m+(x+y-4)=0，令{2x+y-7=0，x+y-4=0}，解得{x=3，y=1}，所以直線l過定點(diǎn)P(3,1)。（2分）因?yàn)?3-1)2+(1-2)2=4+1=5<25，所以點(diǎn)P在圓C內(nèi)，所以直線l與圓C必相交。（4分）（2）解：圓C的圓心為C(1,2)，半徑r=5。設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則d=|(2m+1)×1+(m+1)×2-7m-4|/√[(2m+1)2+(m+1)2]=|2m+1+2m+2-7m-4|/√(4m2+4m+1+m2+2m+1)=|-3m-1|/√(5m2+6m+2)。（5分）因?yàn)閨AB|=2√21，所以d=√(r2-(|AB|/2)2)=√(25-21)=2。（6分）所以|-3m-1|/√(5m2+6m+2)=2，即(3m+1)2=4(5m2+6m+2)，即9m2+6m+1=20m2+24m+8，即11m2+18m+7=0，解得m=-1或m=-7/11。（7分）當(dāng)m=-1時(shí)，直線l的方程為(2×(-1)+1)x+(-1+1)y-7×(-1)-4=(-1)x+0×y+7-4=-x+3=0，即x=3。（8分）當(dāng)m=-7/11時(shí)，直線l的方程為(2×(-7/11)+1)x+(-7/11+1)y-7×(-7/11)-4=(-14/11+11/11)x+(4/11)y+49/11-44/11=(-3/11)x+(4/11)y+5/11=0，即3x-4y-5=0。（9分）所以直線l的方程為x=3或3x-4y-5=0。（10分）（3）解：當(dāng)直線l的方程為x=3時(shí)，聯(lián)立方程組{(x-1)2+(y-2)2=25，x=3}，解得{y=2+√21，y=2-√21}，所以A(3,2+√21)，B(3,2-√21)。（11分）設(shè)所求圓的圓心為M(a,a)，則|MA|=|MB|，所以(3-