專題07全等三角形、等腰三角形、直角三角形（勾股定理）與相似三角形綜合（6大考點40題）考點01全等三角形的判定及性質(zhì)1．（2025·湖北·中考真題）如圖，平分．求證：．2．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，在中，點，分別在邊，上，．(1)求證：；(2)連接．請?zhí)砑右粋€與線段相關的條件，使四邊形是平行四邊形．（不需要說明理由）3．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，正方形中，點，分別在，上，且，與相交于點．

(1)求證：≌；(2)求的大?。?．（2023·湖北宜昌·中考真題）如圖，已知．點E位于第二象限且在直線上，，，連接．

(1)直接判斷的形狀：是_________三角形；(2)求證：；(3)直線EA交x軸于點．將經(jīng)過B，C兩點的拋物線向左平移2個單位，得到拋物線．①若直線與拋物線有唯一交點，求t的值；②若拋物線的頂點P在直線上，求t的值；③將拋物線再向下平移，個單位，得到拋物線．若點D在拋物線上，求點D的坐標．5．（2023·湖北襄陽·中考真題）【問題背景】人教版八年級下冊數(shù)學教材第63頁“實驗與探究”問題1如下：如圖，正方形的對角線相交于點，點又是正方形的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，無論正方形繞點怎樣轉動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的.想一想，這是為什么？（此問題不需要作答）九年級數(shù)學興趣小組對上面的問題又進行了拓展探究、內(nèi)容如下：正方形的對角線相交于點，點落在線段上，（為常數(shù)）．

【特例證明】（1）如圖1，將的直角頂點與點重合，兩直角邊分別與邊，相交于點，.①填空：______；②求證：．（提示：借鑒解決【問題背景】的思路和方法，可直接證明；也可過點分別作，的垂線構造全等三角形證明．請選擇其中一種方法解答問題②．）【類比探究】（2）如圖2，將圖1中的沿方向平移，判斷與的數(shù)量關系（用含的式子表示），并說明理由．【拓展運用】（3）如圖3，點在邊上，，延長交邊于點，若，求的值．考點02全等三角形的應用6．（2023·湖北·中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點在內(nèi)，，連接交于點交于點，連接．給出下面四個結論：①；②；③；④．其中所有正確結論的序號是．7．（2023·湖北襄陽·中考真題）如圖，在中，，是的中點，與相切于點，與交于點，，是的直徑，弦的延長線交于點，且．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．8．（2024·湖北·中考真題）如圖，在中，，點在上，以為直徑的經(jīng)過上的點，與交于點，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．9．（2023·湖北武漢·中考真題）問題提出：如圖（1），是菱形邊上一點，是等腰三角形，，交于點，探究與的數(shù)量關系．

問題探究：(1)先將問題特殊化，如圖（2），當時，直接寫出的大小；(2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關系．問題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當時，若，求的值．考點03等腰三角形的判定及性質(zhì)10．（2023·湖北荊州·中考真題）如圖，是等邊的中線，以為圓心，的長為半徑畫弧，交的延長線于，連接．求證：．

11．（2023·湖北武漢·中考真題）如圖，在四邊形中，，點在的延長線上，連接．

(1)求證：；(2)若平分，直接寫出的形狀．12．（2025·湖北·中考真題）如圖，是的外接圓，．過點作，垂足為，交于點，交于點．過點作的切線，交的延長線于點．(1)求證：；(2)若，求的半徑．13．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，在矩形中，點是的中點，將矩形沿所在的直線折疊，的對應點分別為，，連接交于點．

(1)若，求的度數(shù)；(2)連接EF，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．14．（2023·湖北荊州·中考真題）如圖1，點是線段上與點，點不重合的任意一點，在的同側分別以，，為頂點作，其中與的一邊分別是射線和射線，的兩邊不在直線上，我們規(guī)定這三個角互為等聯(lián)角，點為等聯(lián)點，線段為等聯(lián)線．(1)如圖2，在個方格的紙上，小正方形的頂點為格點、邊長均為1，為端點在格點的已知線段．請用三種不同連接格點的方法，作出以線段為等聯(lián)線、某格點為等聯(lián)點的等聯(lián)角，并標出等聯(lián)角，保留作圖痕跡；(2)如圖3，在中，，，延長至點，使，作的等聯(lián)角和．將沿折疊，使點落在點處，得到，再延長交的延長線于，連接并延長交的延長線于，連接．①確定的形狀，并說明理由；②若，，求等聯(lián)線和線段的長（用含的式子表示）．考點04直角三角形中勾股定理的應用15．（2023·湖北·中考真題）如圖，在中，，點在邊上，且平分的周長，則的長是（

）

A． B． C． D．16．（2023·湖北恩施·中考真題）《九章算術》被稱為人類科學史上應用數(shù)學的“算經(jīng)之首”．書中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少（如圖）？答：門高、寬和對角線的長分別是尺．

17．（2023·湖北隨州·中考真題）如圖，在中，，D為AC上一點，若是的角平分線，則．

18．（2023·湖北荊州·中考真題）如圖，為斜邊上的中線，為的中點．若，，則．

考點05相似三角形的判定19．（2023·湖北荊州·中考真題）如圖，在菱形中，于，以為直徑的分別交，于點，，連接．

(1)求證：①是的切線；②；(2)若，，求．20．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，為的直徑，和相交于點F，平分，點C在上，且，交于點P．

(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)已知，求的值．21．（2024·湖北·中考真題）在矩形中，點E，F(xiàn)分別在邊，上，將矩形沿折疊，使點A的對應點P落在邊上，點B的對應點為點G，交于點H．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當P為的中點，，時，求的長；(3)如圖3，連接，當P，H分別為，的中點時，探究與的數(shù)量關系，并說明理由．22．（2023·湖北宜昌·中考真題）如圖，在正方形中，E，F(xiàn)分別是邊，上的點，連接，，．

(1)若正方形的邊長為2，E是的中點．①如圖1，當時，求證：；②如圖2，當時，求的長；(2)如圖3，延長，交于點G，當時，求證：．23．（2025·湖北·中考真題）在中，，將繞點旋轉得到，點的對應點落在邊上，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當時，求的長；(3)如圖3，過點作的平行線交的延長線于點，過點作的平行線交于點G，與交于點．①求證：；②當時，直接寫出的值．考點06相似三角形的應用24．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，在中，分別交于點D，E，交于點F，，，則的長為（）

A． B． C．2 D．325．（2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，為原點，，點為平面內(nèi)一動點，，連接，點是線段上的一點，且滿足．當線段取最大值時，點的坐標是（）

A． B． C． D．26．（2023·湖北十堰·中考真題）如圖，在菱形中，點E，F(xiàn)，G，H分別是，，，上的點，且，若菱形的面積等于24，，則．

27．（2023·湖北武漢·中考真題）如圖，平分等邊的面積，折疊得到分別與相交于兩點．若，用含的式子表示的長是．

28．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，將繞點A逆時針旋轉到的位置，使點落在上，與交于點E若，則（從“”中選擇一個符合要求的填空）；．

29．（2025·湖北·中考真題）如圖1，在中，．動點P，Q均以的速度從點同時出發(fā)，點沿折線向點運動，點沿邊CA向點運動．當點運動到點時，兩點都停止運動．的面積（單位：）與運動時間（單位：s）的關系如圖2所示．（1）；（2）．30．（2023·湖北襄陽·中考真題）如圖，在中，，點是的中點，將沿折疊得到，連接．若于點，，則的長為．

31．（2024·湖北·中考真題）如圖，由三個全等的三角形(，，)與中間的小等邊三角形拼成一個大等邊三角形．連接并延長交于點G，若，則：（1）的度數(shù)是；（2）的長是．32．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．直線交正方形的兩邊于點，，記正方形的面積為，正方形的面積為．若，則用含的式子表示的值是．33．（2023·湖北·中考真題）如圖，將邊長為3的正方形沿直線折疊，使點的對應點落在邊上（點不與點重合），點落在點處，與交于點，折痕分別與邊，交于點，連接．

(1)求證：；(2)若，求的長．34．（2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，為的直徑，E為上一點，點C為的中點，過點C作，交的延長線于點D，延長交的延長線于點F．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑長．35．（2024·湖北·中考真題）某數(shù)學興趣小組在校園內(nèi)開展綜合與實踐活動，記錄如下：活動項目測量校園中樹的高度活動方案“測角儀”方案“平面鏡”方案方案示意圖實施過程1．選取與樹底B位于同一水平地面的D處；2．測量D，B兩點間的距離；3．站在D處，用測角儀測量從眼睛C處看樹頂A的仰角；4．測量C到地面的高度．1．選取與樹底B位于同一水平地面的E處；2．測量E，B兩點間的距離；3．在E處水平放置一個平面鏡，沿射線方向后退至D處，眼睛C剛好從鏡中看到樹頂A；4．測量E，D兩點間的距離；5．測量C到地面的高度．測量數(shù)據(jù)1．；2．；3．．1．；2．；3．．備注1．圖上所有點均在同一平面內(nèi)；2．均與地面垂直；3．參考數(shù)據(jù)：．1．圖上所有點均在同一平面內(nèi)；2．均與地面垂直；3．把平面鏡看作一個點，并由物理學知識可得．請你從以上兩種方案中任選一種，計算樹的高度．36．（2023·湖北黃岡·中考真題）如圖，中，以為直徑的交于點，是的切線，且，垂足為，延長交于點．

(1)求證：；(2)若，求的長．37．（2023·湖北宜昌·中考真題）如圖1，已知是的直徑，是的切線，交于點，．

(1)填空：的度數(shù)是_________，的長為_________；(2)求的面積；(3)如圖2，，垂足為．是上一點，．延長，與，的延長線分別交于點，求的值．38．（2023·湖北·中考真題）如圖，等腰內(nèi)接于，，是邊上的中線，過點作的平行線交的延長線于點，交于點，連接．

(1)求證：為的切線；(2)若的半徑為，，求的長．39．（2024·湖北武漢·中考真題）問題背景：如圖（1），在矩形中，點，分別是，的中點，連接，，求證：．問題探究：如圖（2